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20121229直线与平面垂直的判定


2012.12.29

情景创设
1. 提问:直线与平面平行的判定定理及性 质定理? 2. 讨论:日常生活中有哪些现象给人以直 线与平面垂直的感觉?

情景创设

大桥的桥柱与水面垂直

旗杆与地面垂直

情景创设
一个人走在灯火通明的大街上,会 在地面上

形成影子,随着人不停的走动,

这个影子忽前忽后、忽左忽右,但是无
论怎样,人始终与影子相交于一点,并

始终保持垂直.

A

α

B

探求新知
1. 直线和平面垂直的定义 如果直线l与平面?内的任意一条直线 都垂直,则直线l与平面?互相垂直,记作 l⊥?. l叫平面?的垂线,?叫直线l的垂面.
直线与平面垂直时,它们惟一的公共点P 叫做垂足. l P (线线垂直→线面垂直) ?

探求新知
举例:生活中直线与平面垂直的现象有 哪些?
→提问:你觉得垂直的依据是什么? →思考:给定一条直线和一个平面,如 何判定它们是否垂直?

探究(P65)
过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将 翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与 桌面接触),问如何翻折才能保证折痕AD与 桌面所在平面垂直? A

B

D

C

探究(P65)
A B B D A B B C

A D

?

C
A D C

线与桌面所在平面? 垂直.

C D 当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时,AD所在直

?

探求新知
2. 直线和平面垂直的判定 定理:一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直,则这条直线与该平 面垂直. 符号语言: l⊥m l⊥n m∩n=B m?? n? ? l
? ? ? ? ? ? l⊥? ? ? ? ?

m
?

B

n

例1 已知a∥b,a⊥?,求证:b⊥?.
即:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一 条也垂直于同一个平面

拓展思维

证明:在平面?内作两条相 交直线m、n。

a

b

因为a⊥?,根据直线与平面垂 直的定义知, a⊥m,a ⊥n 又因为a∥b且m??,n??, m、n是两条相交直线 所以b⊥?

?

n
m

线面垂直→线线垂直→线面垂直

例2如图,已知:α∩β=l,PA⊥α于

Α,PB⊥β于B,AQ⊥l于Q, 求证:BQ⊥l .
提示:
欲证BQ⊥l ?l⊥平面BPQ ? l⊥PQ ?l⊥平面PAQ
?
A

P

l

Q

B

?

巩固深化

练习1.判断下列命题是否正确 A.若一条直线垂直于平面内的两条直线, 则这条直线垂直于这个平面; × B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条 直线,则这条直线垂直于这个平面; × C.若一条直线平行于一个平面,则垂直于 这个平面的直线必定垂直于这条直线; √ D.若一条直线垂直于一个平面,则垂直于 这条直线的另一直线必平行于这个平面.×

巩固深化
练习2 如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,
AB A'B' C'D' CD; 与平面B‘C’CB垂直的棱有_____________

与棱AA'垂直的平面有__________________. 平面ABCD 平面A'B'C'D' D' C' A' D

B'
C

A
练习3 P.66探究;

B

讲授新课
直线和平面所成的角

P

?

A

讲授新课
直线和平面所成的角 一条直线PA和一个平面?相交,但 不和这个平面垂直,这条直线叫做这个 平面的斜线

P

?

A

讲授新课
直线和平面所成的角 一条直线PA和一个平面?相交,但 不和这个平面垂直,这条直线叫做这个 平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做 斜足. P

?

A

讲授新课
直线和平面所成的角 过斜线上斜足以外的一点向平面引 垂线PO,

P

? O

A

讲授新课
直线和平面所成的角 过斜线上斜足以外的一点向平面引 垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫 做斜线在这个平面上的射影.

P

? O

A

讲授新课
直线和平面所成的角 过斜线上斜足以外的一点向平面引 垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫 做斜线在这个平面上的射影.平面的一条 斜线和它在平面上的射影所成的锐角, P 叫做这条直线和这 个平面所成的角. A ? O

讲授新课
直线和平面所成的角 过斜线上斜足以外的一点向平面引 垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫 做斜线在这个平面上的射影.平面的一条 斜线和它在平面上的射影所成的锐角, P 叫做这条直线和这 个平面所成的角. A O o o ? 范围:(0 ,90 ).

练习
1. P.67练习第3题; 2. (1)在正方体ABCD-A'B'C'D'中,直线 AB'与面ABCD所成的角为 度; (2)在正方体ABCD-AB'C'D' 中,直线BD'与面ABCD所 D' 成的角的余弦是 . A' D

C'
B'

C
B

A

例1 在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求直线 A'B和平面A'B'CD所成的角. D'
A'

C' B' C
B

D
A

例1 在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求直线 A'B和平面A'B'CD所成的角. D'
A'

C' B' O

D
A B

C

例1 在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求直线 A'B和平面A'B'CD所成的角. D'
A'

C' B' O

D
A B

C

例1 在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求直线 A'B和平面A'B'CD所成的角. D'
A'

C' B' O

D
A B

C

课堂小结
1.直线与平面垂直的概念

2.直线与平面垂直的判定 (1)利用定义;垂直与平面内任意一条直线
(2)利用判定定理. 线线垂直

线面垂直

3.数学思想方法:转化的思想

课后作业
如图,已知AP⊥⊙O所在平面,AB为 ⊙O的直径,C是圆周 P 上的任意一点,过A作

AE⊥PC于点E.
求证: AE⊥平面PBC. A EO C

B

结束语


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