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郑州市2015年高三第一次质量检测数学试卷及答案(理)


河南省郑州市 2015 年高中毕业年级第一次质量预测理科数学试卷
一、选择题: 1.已知集合 M ? ?x | ?1 ? x ? 2? , 若M ? N , 则实数 a 的取值范围是( N ? ?x | x ? a?, A. )

? 2, ???

B. [2, ??)

C.

? ??, ?1?

D. (??, ?1] )

2.在复平面内与复数 z ? A. 1 ? 2i

5i 所对应的点关于虚轴对称的点为 A , 则 A 对应的复数为 ( 1 ? 2i B. 1 ? 2i C. ?2 ? i D. 2 ? i
) D. ?2

3.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 ? 6, a3 ? 0 ,则公差 d 等于( A. ?1 B. 1 C. 2

4.命题 p : “ a ? ?2 ”是命题 q : “直线 ax ? 3 y ? 1 ? 0 与直线 6 x ? 4 y ? 3 ? 0 垂直”成立的 ( ) A. 充要条件

B. 充分非必要条件

C.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

5.已知点 P ? a, b? 是抛物线 x 2 ? 20 y 上一点,焦点为 F , PF ? 25 ,则 ab ? ( A. 100 B.200 C.360 D.400

?x ? 1 ? 6.已知点 P ? x, y ? 的坐标满足条件 ? y ? x ? 1 ,那么点 P 到直线 3x ? 4 y ? 13 ? 0 的最 ?x ? 3y ? 5 ? 0 ?
小值为( A. ) B. 2 C.

11 5

9 5

D. 1 )

7.某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则 xy 的最大值为( A. 32 B. 32 7 C.64 D. 64 7

8. 如图,函数 f ? x ? ? Asin ??x ? ? ? (其中 A ? 0,? ? 0, ? ?

?
2

)与坐标轴的三个交点 )

P, Q, R 满足 P ?1,0 ? , ?PQR ?
A. 2 3 B.

?
4

, M ? 2, ?2 ? 为线段 QR 的中点,则 A 的值为(
C.

7 3 3

8 3 3

D. 4 3

9.如图所示的程序框图中, 若 f ? x ? ? x2 ? x ? 1, g ? x ? ? x ? 4 , 且 h ?x ? ? 则m的 m 恒成立, 最大值是( A. 4 ) B.3 C. 1 D. 0

10.设函数 f ? x? ? ex ? 2 x ? 4, g ? x? ? ln x ? 2 x2 ? 5,若实数 a , b 分别是 f ? x? , g ? x? 的零 点,则( ) B. f ?b? ? 0 ? g ? a ? D. f ?b? ? g ? a ? ? 0

A. g ? a ? ? 0 ? f ?b? C. 0 ? g ? a ? ? f ?b?

11. 在 Rt ?ABC 中, CA ? CB ? 3 , M , N 是斜边 AB 上的两个动点,且 MN ?

2 ,则

CM ? CN的取值范围为(
A. ? 2, ? 2

) B.

? 5? ? ?

? 2, 4?

C. ?3,6?

D.

? 4,6?

12.设函数 f1 ? x ? ? x, f 2 ? x ? ? log 2015 x, ai ?

i ? i ? 1, 2,…, 2015 ? ,记 2015


I k ? f k ? a2 ? ? f k ? a1 ? ? f k ? a3 ? ? f k ? a2 ? ? … ? f k ? a2015 ? ? f k ? a2014 ? , k ? 1, 2 , 则 (
A. I1 ? I 2 二、填空题: 13.已知等比数列 ?an ? ,前 n 项和为 Sn , a1 ? a2 ? 14.已知 a ? B. I1 ? I 2 C. I1 ? I 2 D. 无法确定

3 , a4 ? a5 ? 6 ,则 S6 ? 4

?

?

2 0

a? ? cos xdx ,在二项式 ? x 2 ? ? 的展开式中, x 的一次项系数的值为 x? ?

5

15. 设函数 y ? f ? x? 的定义域为 D ,若对于任意的 x1 , x2 ? D ,当 x1 ? x2 ? 2a 时,恒有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2b , 则 称 点 ? a, b ? 为 函 数 y ? f ? x ? 图 象 的 对 称 中 心 . 研 究 函 数 f ? x ? ? x3 ? sin x ? 2 的 某 一 个 对 称 中 心 , 并 利 用 对 称 中 心 的 上 述 定 义 , 可 得 到

? 19 ? f ? ?1? ? f ? ? ? ? … ? f ? 20 ?
x

? 19 ? ? ? ? f ?1? ? ? 20 ?

16.给定方程: ?

?1? ? ? sin x ? 1 ? 0 ,下列命题中:①该方程没有小于 0 的实数解;②该方 ?2?

程有无数个实数解;③该方程在 ? ??, 0 ? 内有且只有一个实数根;④若 x0 是方程的实数根, 则 x0 ? ?1 . 正确命题是 三、解答题: 17.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A 、 B 、 C 的对边, D 为边 AC 的

中点, a ? 3 2, cos ?ABC ?

2 4

(1)若 c ? 3 ,求 sin ?ACB 的值; (2)若 BD ? 3 ,求 ?ABC 的面积.

18.(本小题满分 12 分)某学校为了丰富学生的业余生活,以班级为单位组织学生开展古诗 词背诵比赛,随机抽取题目,背诵正确加 10 分,背诵错误减 10 分,只有“正确”和“错误” 两种结果,其中某班级的正确率为 p ?

2 1 ,背诵错误的的概率为 q ? ,现记“该班级完成 3 3

n 首背诵后总得分为 Sn ”.
(1)求 S6 ? 20 且 Si ? 0 ?i ? 1,2,3? 的概率; (2)记 ? ? S5 ,求 ? 的分布列及数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形,AD / / BC ,

PD ? 底面 ABCD ,?ADC ? 90?, BC ?
为棱 PC 上一点.

1 AD ? 1, PD ? CD ? 2 ,Q 为 AD 的中点, M 2

(1)试确定点 M 的位置,使得 PA / / 平面 BMQ ,并证明你的结论; (2)若 PM ? 2 MC ,求二面角 P ? BQ ? M 的余弦值.

20.(本小题满分 12 分)已知动点 P 到定点 F ?1, 0 ? 和直线 l : x ? 2 的距离之比为

2 ,设 2

动点 P 的轨迹为曲线 E ,过点 F 作垂直于 x 轴的直线与曲线 E 相交于 A, B 两点,直线

l : y ? mx ? n 与曲线 E 交于 C , D 两点,与线段 AB 相交于一点(与 A, B 不重合)
(1)求曲线 E 的方程; (2)当直线 l 与圆 x ? y ? 1 相切时,四边形 ABCD 的面积是否有最大值,若有,求出其
2 2

最大值,及对应的直线 l 的方程;若没有,请说明理由.

2 2 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x ln x ? ax ? 2 .

?

?

(1)当 a ? ?1 时,求 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; ( 2 )当 a ? 0 时,设函数 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 2 ,且函数 g ? x ? 有且仅有一个零点,若

?

?

e?2 ? x ? e , g ? x ? ? m ,求 m 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,答 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲: 如图所示, EP 交圆于 E , C 两点, PD 切圆于 D , G 为 CE 上一点且 PG ? PD ,连接

DG 并延长交圆于点 A ,作弦 AB 垂直 EP ,垂足为 F . (1)求证: AB 为圆的直径;
(2)若 AC ? BD, AB ? 5 ,求弦 DE 的长.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程: 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系,圆 C 的极坐 标方程为 ? ? 2 2 cos ? ? ?

? ?

??
4?

直线的参数方程为 ? ?,

? ?x ? t (为参数) , 直线和圆 C ? ? y ? ?1 ? 2 2t

交于 A, B 两点, P 是圆 C 上不同于 A, B 的任意一点. (1)求圆心的极坐标; (2)求 ?PAB 面积的最大值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲: 已知函数 f ? x ? ? m ? x ? 1 ? 2 x ? 1 . (1)当 m ? 5 时,求不等式 f ? x ? ? 2 的解集;
2 (2)若二次函数 y ? x ? 2 x ? 3 与函数 y ? f ? x ? 的图象恒有公共点,求实数 m 的取值范

围.

参考答案
一、选择题 1-12:BCDA DBCC 二、填空题 13. BADA

63 4

14. ?10

15.82

16.②③④

三、解答题 17.解:(Ⅰ) a ? 3 2 , cos?ABC ?

2 ,c ? 3, 4 由余弦定理: b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2c ? a ? cos?ABC 2 = 32 ? (3 2 ) 2 ? 2 ? 3 2 ? 3 ? ? 18 ,………………………………2 分 4 ? b ? 3 2 . ……………………………………………………………………4 分 14 又 ?ABC ? (0, ? ) ,所以 sin ?ABC ? 1 ? cos2 ?ABC ? , 4 c b ? 由正弦定理: , sin ?ACB sin ?ABC c ? sin ?ABC 7 得 sin ?ACB ? .………………………………………6 分 ? b 4
(Ⅱ) 以 BA,BC 为 邻 边 作 如 图 所 示 的 平 行 四 边 形 ABCE , 如 图 , 则

cos?BCE ? ? cos?ABC ? ?

BE ? 2BD ? 6, 在△BCE 中,

2 ,…………………8 分 4

E

BE 2 ? CB2 ? CE2 ? 2CB ? CE ? cos ?BCE . 由余弦定理:
即 36 ? CE 2 ? 18 ? 2 ? 3 2 ? CE ? (?

AD
B C

解得: CE ? 3, 即 AB ? 3, …………………10 分 所以 S ?ABC ?

2 ), 4

1 9 7 .…………………………………………12 分 acsin ?ABC ? 2 4

18.解:(Ⅰ)当 S 6 ? 20 时,即背诵 6 首后,正确个数为 4 首,错误 2 首,………………2 分 若第一首和第二首背诵正确,则其余 4 首可任意背诵对 2 首;…………………3 分 若第一首正确,第二首背诵错误,第三首背诵正确,则其余 3 首可任意背诵对 1 首, 此时的概率为:

2 2 1 2 1 2 2 1 16 2 1 p ? ( ) 2 ? C4 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? ? ? ? C3 ? ( )2 ? ? ………… …………5 分 3 3 3 3 3 3 3 3 81 2 1 (2)∵ ? ? S5 的取值为 10,30,50,又 p ? , q ? , …………………6 分 3 2 40 3 2 3 1 2 2 2 2 1 3 ∴ P(? ? 10) ? C 5 ( ) ( ) ? C 5 ( ) ( ) ? , 3 3 3 3 81 2 1 30 1 2 1 1 4 P(? ? 30) ? C 54 ( ) 4 ( )1 ? C 5 ( ) ( ) ? 3 3 3 3 81

11 5 2 5 0 1 5 P(? ? 50) ? C5 ( ) ? C5 ( ) ? . …………………9 分 3 3 81
∴ ? 的分布列为:

?
p

10

30

50

11 81 40 30 11 1850 ? 30 ? ? 50 ? ? ∴ E? ? 10 ? .…………………………………………12 分 81 81 81 81
19.解: (1)当 M 为 PC 中点时, PA / / 平面 BMQ ,…………………2 分 理由如下: 连结 AC 交 BQ 于 N ,连结 MN , 因为 ?ADC ? 900 , Q 为 AD 的中点,所以 N 为 AC 的中点. 当 M 为 PC 的中点,即 PM ? MC 时, MN 为 ?PAC 的中位线,…………4 分 z 故 MN / / PA ,又 MN ? 平面 BMQ , 所以 PA / / 平面 BMQ .…………………………………………5 分 (2)由题意,以点 D 为原点 DA, DC, DP 所在直线分别为 x, y , z 轴, 建立空间直角坐标系,…………………6 分 则 P(0,0,2), Q(1,0,0), B(1,2,0), …………………7 分 由 PM ? 2 MC 可得点 M (0,
Q A N P

40 81

30 81

D

M

C B

x

y

4 2 , ), 3 3

所以 PQ ? (1,0 ? 2), QB ? (0,2,0), QM ? (?1,

4 2 , ), 3 3

? ? PQ ? n1 ? x ? 2 z ? 0, ? x ? 2 z , ?? ? 设平面 PQB 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,则 ?QB ? n ? 2 y ? 0, ? y ? 0. ? 1
令 z ? 1,? n1 ? (2,0,1) ,…………………9 分 同理平面 MBQ 的法向量为 n 2 ? ( ,0,1) ,…………………10 分 设二面角大小为 ? , cos? ?

2 3

n1 ? n2 n1 n2

?

7 65 . …………………………………………12 分 65

( x ? 1) 2 ? y 2 2 20.解:(1).设点 P( x, y) ,由题意可得, ,…………………2 分 ? | x?2| 2
整理可得:

x2 x2 ? y 2 ? 1 .曲线 E 的方程是 ? y 2 ? 1 .………………………5 分 2 2

(2).设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y 2 ) ,由已知可得: | AB |? 当 m ? 0 时,不合题意. …………………6 分 当 m ? 0 时,由直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切,可得:

2.

|n| m ?1
2

? 1,即 m2 ? 1 ? n2 .

?y ? m x? n 1 2 ? 2 2 联立 ? x 2 消去 y 得 (m ? ) x ? 2mnx ? n ? 1 ? 0. …………………8 分 2 2 ? ? y ?1 ?2
1 ? 2m n ? ? ? 2m n ? ? ? ? 4m 2 n 2 ? 4(m 2 ? )( n 2 ? 1) ? 2m 2 ? 0 , x1 ? , x2 ? 2 2 2m ? 1 2m 2 ? 1

? 4m n 2n 2 ? 2 , x1 x2 ? 所以, x1 ? x2 ? 2m 2 ? 1 2m 2 ? 1
S四边形 ACBD ?

2 2 2 2m 2 ? n 2 ? 1 2|m| 1 | AB | | x2 ? x1 | = = ? ? . 10 分 2 2 1 2 2m ? 1 2m ? 1 2 | m | ? 2 |m|
1 2 6 ,即 m ? ? 时等号成立,此时 n ? ? ,经检验可知, |m| 2 2

当且仅当 2 | m |?

直线 y ?

2 6 2 6 和直线 y ? ? 符合题意. ………………………………12 分 x? x? 2 2 2 2
2 2

21. 解:(1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? ( x ? 2 x)ln x ? x ? 2 ,定义域为 ? 0, ?? ? ,

f ?( x) ? ? 2x ? 2? ln x ? ? x ? 2? ? 2x. …………………2 分

? f ?(1) ? ?3 ,又 f (1) ? 1, f ( x) 在 ?1, f ?1? ? 处的切线方程 3x ? y ? 4 ? 0. ……………4 分
2 2 (2)令 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 2 ? 0, 则 x ? 2 x ln x ? ax ? 2 ? x ? 2, 即 a ?

?

?

1 ? ( x ? 2) ? ln x , x

令 h( x ) ?

1 ? ( x ? 2) ? ln x , …………………5 分 x

则 h?( x) ? ?

1 1 2 ? 2 ln x 1 ? x ? 2 ln x ? ? ? . …………………6 分 x2 x x2 x2

令 t ( x) ? 1 ? x ? 2 ln x , t ?( x) ? ?1 ? 函数,又

2 ?x ? 2 ? , x x

t ?( x) ? 0 , t ( x) 在 (0, ??) 上是减

t ?1? ? h? ?1? ? 0 所以当 0 ? x ? 1 时, h? ? x ? ? 0 ,当 1 ? x 时, h? ? x ? ? 0 ,


所以 h ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减,?h ? x ?max ? h(1) ? 1.………8 分 因为 a ? 0 , 所以当函数 g ? x ? 有且仅有一个零点时, a ? 1 .
2 2 当 a ? 1 , g ? x ? ? x ? 2 x ln x ? x ? x ,若 e?2 ? x ? e ,g ( x ) ?m , 只需证明 g ( x)max ? m,

?

?

…………………9 分

g?( x) ? ? x ?1??3 ? 2ln x ? 令 g ?( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? e ,又 e ?2 ? x ? e , ,
? 函数 g ( x) 在 (e , e ) 上单调递增,在 (e ,1) 上单调递减,在 (1, e) 上单调递增,10 分
3 ? 1 ?3 又 g (e ) ? ? e ? 2e 2 2 ? 3 2
?2 ? 3 2 ? 3 2

3 ? 2



g (e) ? 2e 2 ? 3e,

3 3 3 ? ? ? 1 3 g (e 2 ) ? ? e ?3 ? 2e 2 ? 2e 2 ? 2e ? 2e(e ? ) ? g (e). 2 2

即 g (e

?

3 2

) ? g (e) , g ( x) max ? g (e) ? 2e 2 ? 3e,

? m ? 2e 2 ? 3e. ………12 分

22.证明:(1)因为 PG ? PD ,所以 ?PDG ? ?PGD . 由于 PD 为切线,故 ?PDA ? ?DBA ,…………………2 分 又因为 ?EGA ? ?PGD ,所以 ?EGA ? ?DBA , 所以 ?DBA ? ?BAD ? ?EGA ? ?BAD , 从而 ?PFA ? ?BDA .…………………4 分 ? ? 又 AF ? EP, 所以 ?PFA ? 90 ,所以 ?BDA ? 90 , 故 AB 为圆的直径.…………………5 分 (2)连接 BC,DC. 由于 AB 是直径,故∠BDA=∠ACB=90° . 在 Rt△BDA 与 Rt△ACB 中 , AB = BA , AC = BD , 从 而 得 Rt△BDA≌Rt△ACB, 于是∠DAB=∠CBA. …………………7 分 又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故 DC∥AB. ………………8 分 因为 AB⊥EP,所以 DC⊥EP,∠DCE 为直角,…………………9 分 所以 ED 为直径,又由(1)知 AB 为圆的直径,所以 DE ? AB ? 5 .…………………10 分 23.解:(Ⅰ)圆 C 的普通方程为 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 0 ,即 ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 2. ………2 分
2 2
2 2

所以圆心坐标为(1,-1) ,圆心极坐标为 ( 2,

7? ) ;…………………5 分 4

(Ⅱ)直线 l 的普通方程: 2 2x ? y ? 1 ? 0 ,圆心到直线 l 的距离

d?

2 2 ?1?1 3

?

2 2 ,…………………7 分 3

所以 AB ? 2 2 ?

8 2 10 ? , 9 3
2? 2 2 5 2 ? , …………………9 分 3 3

点 P 直线 AB 距离的最大值为 r ? d ?

Smax ?

1 2 10 5 2 10 5 .…………………10 分 ? ? ? 2 3 3 9

?3 x ? 6, x ? ?1 ? 24.解: (Ⅰ)当 m ? 5 时, f ( x ) ? ?? x ? 2,?1 ? x ? 1, ………………………3 分 ?4 ? 3 x , x ? 1 ?
由 f ( x) ? 2 易得不等式解集为 x ? (? ,0) ;………………………5 分 (2)由二次函数 y ? x2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1)2 ? 2 ,该函数在 x ? ?1 取得最小值 2,

4 3

?3 x ? 1 ? m, x ? ?1 ? 因为 f ( x) ? ? ? x ? 3 ? m, ?1 ? x ? 1 在 x ? ?1 处取得最大值 m ? 2 ,…………………7 分 ??3 x ? m ? 1, x ? 1 ?
所以要使二次函数 y ? x ? 2 x ? 3 与函数 y ? f ( x) 的图象恒有公共点,只需 m ? 2 ? 2 ,
2

即 m ? 4. .……………………………10 分


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