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高中数学北师大版必修2配套课件:2章归纳总结


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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
解析几何初步

第二章

解析几何初步

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第二章
本章归纳总结

第二章

解析几何初步

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1

知识结构

3

专题探究

2

知识梳理

4

即时巩固

第二章

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知识结构

第二章

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第二章

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第二章

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知识梳理

第二章

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1.直线的倾斜角和斜率 令直线的倾斜角为 α,斜率为 k. (1)k=tanα(α≠90° ),其中 α∈[0° ,180° ),k∈R,当 α=90° 时,斜率不存在; (2)过 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线斜率 y2-y1 k= (x1≠x2). x2-x1

第二章

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2.直线方程的几种形式 (1)点斜式 y-y0=k(x-x0). y-y0 ① =k 表示不含 P0(x0, y0)的两条无端点的反向射线方 x-x0 程,必须化为 y-y0=k(x-x0)才是整条直线方程. ②当直线的斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程 为 x=x0 . ③在解题时若选用点斜式的话,应单独考虑斜率不存在时 的情况.

第二章

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(2)斜截式 y=kx+b. 在解题时若选用斜截式的话,应单独考虑斜率不存在的情 况. y-y1 x-x1 (3)两点式 = (x2-x1≠0 且 y2-y1≠0). y2-y1 x2-x1 ①两点式方程的条件是 x1≠x2, y1≠y2, 即不能表示平行(或 重合)于坐标轴的直线. ②若把两点式写成形式(x2-x1)(y-y1) =(y2-y1)(x-x1),则可适用任何位置的直线.

第二章

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x y (4)截距式a+b=1(ab≠0). ①截距是坐标而不是长度. ②当斜率不存在或为零时,或直线过原点,都不能用截距 式,因此用截距式时应单独考虑这几种情形. (5)一般式 Ax+By+C=0(A2+B2≠0).

第二章

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3.两直线的位置关系 (1)设l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2. ①l1与l2相交?k1≠k2, 特别地k1·k2=-1?l1⊥l2;

②l1∥l2?k1=k2,且b1≠b2;
③l1与l2重合?k1=k2,且b1=b2.

第二章

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(2)设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0. ①l1与l2相交?A1B2≠A2B1, 特别地A1A2+B1B2=0时?l1⊥l2; ②l1∥l2?A1B2=A2B1,且A1C2≠A2C1;

③l1与l2重合?A1B2=A2B1且A1C2=A2C1.

第二章

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4.两条直线的交点
两条直 ? ?A1x+B1y+C1=0?A1,B1不同时为0? 线交点 → 解方程组? ? ?A2x+B2y+C2=0?A2,B2不同时为0? 坐标

第二章

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5.平面直角坐标系中的距离公式 (1)两点间的距离公式 |P1P2|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 (2)点到直线的距离 设 P(x0,y0),l:Ax+By+C=0,则点 P 到直线 l 的距离为 |Ax0+By0+C| d= ,特别地 p∈l?d=0. 2 2 A +B ①当 p(x0,y0)在 l 上,则 Ax0+By0+C=0; ②当 p 在 l 上方,则 Ax0+By0+C>0(B>0); ③当 p 在 l 下方,则 Ax0+By0+C<0(B>0).
第二章 本章归纳总结

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(3)两平行直线距离. 设 l1:Ax+By+C=0,l2:Ax+By+C′=0(C≠C′),则 |C-C′| l1 与 l2 间的距离 d= 2 A +B2 .

第二章

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6.圆的方程 (1)标准式:圆心在点(a,b),半径为 r 的圆的标准方程为(x -a)2+(y-b)2=r2,特别地,当圆心在坐标原点时,圆的方程 为 x2+y2=r2. (2)一般式:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). ①在二元二次方程中,x2 和 y2 的系数相等并且没有 xy 项. ②如果问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊 位置时,一般用标准方程,如果给出圆上的三个点的坐标,一 般用一般方程.

第二章

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③在一般方程中,当 D2+E2-4F=0 时,方程表示一个点 D E (- 2 ,- 2 ),当 D2+E2-4F<0 不表示任何图形. ④由于圆的方程均含有三个参变数(a,b,r 或 D,E,F), 而确定这三个参数必须有三个独立条件,因此,三个独立条件 确定一个圆. ⑤待定系数法是求圆的方程的常用方法.

第二章

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7.点和圆的位置关系 (1)点在圆上

①如果一个点的坐标满足圆的方程,那么该点在圆上.
②如果点和圆心的距离等于半径,那么点在圆上. (2)点不在圆上

①若点的坐标满足 F(x , y)>0 ,则该点在圆外;若满足
F(x,y)<0,则该点在圆内. ②点和圆心的距离大于半径则点在圆外;点和圆心的距离 小于半径则点在圆内. 若P点是圆C外一定点,则该点与圆上的点的最大距离dmax

=|PC|+r,最小距离dmin=|PC|-r.
第二章 本章归纳总结

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8.直线和圆的位置关系 (1)代数法:通过解直线方程与圆的方程所组成的方程组, 根据解的个数来研究.若有两组不同的实数解 ( 即 Δ>0) ,则相 交;若有 两组相同 实数解 ( 即 Δ = 0) , 则相切;若 无实数解

(Δ<0),则相离.
(2) 几何法:由圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小来判 断.当 d<r 时,直线与圆相交;当 d = r 时,直线与圆相切;当 d>r时,直线与圆相离.

第二章

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①当直线与圆相离时, 圆上的点到直线的最大距离是 d+r, 最小距离是 d-r,其中 d 为圆心到直线的距离. ②当直线与圆相交时,设弦长为 l,弦心距为 d,半径为 r, l 2 2 2 则有(2) +d =r . ③当直线与圆相交时,设弦为 AB,则 |AB|= 1+k2 |xA-xB|, AB· 1+k2 AB |AB|= |k | · |yA-yB|. AB

第二章

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(3)当直线与圆相切时,切线的求法 ①若点(x0,y0)在圆 x2+y2=r2 上,则切线方程为 x0x+y0y=r2. 若点(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上时,则切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. ②斜率为 k 且与圆 x2+y2=r2 相切的切线方程为 y=kx± r 1+k2. 斜率为 k 且与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 相切的切线方程求法, 可以设切线为 y=kx+m,然后变成一般式 kx-y+m=0,利用 圆心到切线的距离等于半径列出方程求 m.
第二章 本章归纳总结

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③若点(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的外面,则设切线 方程为 y-y0=k(x-x0),变成一般式 kx+y+y0-kx0=0,因为 |ka-b+y0-kx0| 与圆相切,所以有 =r.由此解出 k,若由方程有 2 k +1 一个实根,则还有一条斜率不存在的切线,务必要补上.

第二章

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9.圆和圆的位置关系 (1)代数法:解两个圆的方程所组成的二元二次方程组.若 方程组有两组不同的实数解,则两圆相交;若方程组有两组相 同的实数解,则两圆相切;若无实数解,两圆相离.

(2) 几何法:设两圆半径分别为 r1 ,r2 ,两圆心分别为 C1 ,
C2,则 当|C1C2|>r1+r2时,两圆相离; 当|C1C2|=r1+r2时,两圆外切; 当|C1C2|=|r1-r2|时,两圆内切;

当|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2时,两圆相交;
当|C1C2|<|r1-r2|时,两圆内含.
第二章 本章归纳总结

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10.空间直角坐标系 (1)右手直角坐标系 ∠xOy=∠xOz=135° ,∠yOz=90° ,x 轴、y 轴、z 轴的正 半轴分别指向右手拇指、食指、中指. 作点 P(x,y,z)的步骤与方法:从原点出发沿 x 轴正(x>0) 或负(x<0)方向移动|x|个单位, 再沿 y 轴正(y>0)或负(y<0)方向移 动|y|个单位,最后沿 z 轴正(z>0)或负(z<0)方向移动|z|个单位.

第二章

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(2)空间两点间的距离 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2), 则 P1P2= ?x2-x1?2+?y2-y1?2+?z2-z1?2.
?x1+x2 y1+y2 z1+z2? ? P1P2 的中点坐标为? ? 2 , 2 , 2 ?. ? ?

第二章

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专题探究

第二章

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利用待定系数法求直线与圆的方程 待定系数法,适用于根据条件可以直接判断出轨迹类型是 什么曲线,而且知道它的方程形式的情形.因此,利用待定系

数解决问题的关键是正确判断所求曲线方程的结构形式,而直
线与圆的方程正好是结构形式固定,于是,待定系数法是在求 曲线方程中应用较多的思想方法.

第二章

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[ 例 1] 程,使得:

已知直线 l 的方程为 3x + 4y - 12 = 0 ,求直线 l′ 的方

(1)l′与l平行,且过点(-1,3); (2)l′与l垂直,且l′与两轴围成的三角形面积为4.

[ 规范解答 ]

(1) 由条件,可设 l′ 的方程为 3x + 4y + m =0 ,

将x=-1,y=3代入, 得-3+12+m=0,即得m=-9, ∴直线l′的方程为3x+4y-9=0.

第二章

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(2)由条件,可设 l′的方程为 4x-3y+n=0 令 y=0,得 x n n =-4,令 x=0,得 y=3,于是由三角形面积 1 n n S=2· |-4|· |3|=4,得 n2=96, ∴n=± 4 6. ∴直线 l′的方程是 4x-3y+4 6=0 或 4x-3y-4 6=0.

第二章

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[ 例 2]

已知 A(2,2) , B(5,3) , C(3 ,- 1) ,求△ ABC 外接圆
设△ABC 外接圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+

的方程,外心坐标和外接圆的半径.
[规范解答] F=0, ?2D+2E+F+8=0 ? 由题意得?5D+3E+F+34=0 ?3D-E+F+10=0 ? ?D=-8 ? ,解得?E=-2 ?F=12 ?



即△ABC 外接圆的方程为 x2+y2-8x-2y+12=0. 将方程化为标准形式为(x-4)2+(y-1)2=5, ∴外接圆的圆心(即△ABC 的外心)为(4,1).半径为 5.
第二章 本章归纳总结

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对称问题
圆不仅是轴对称图形,而且还是中心对称图形.在代数中 学习的奇函数的图像是关于原点成中心对称的图形,偶函数是

关于 y 轴成轴对称的图形等等,高中数学中的对称很多,因
此,有必要系统地研究对称及其应用问题. 对称问题的实质是点关于点、点关于线的对称,几乎所有 的对称问题都要转化为以上两个对称,所以求对称图形的曲线 方程就是求任意点关于点(线)的对称点的坐标满足的条件.

第二章

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其解题规律如下: (1)中心对称(关于某点对称)
? ?以-x代换x, 解题方法:? ? ?以-y代换y.

(2)轴对称(关于某直线对称)
? ?斜率之积等于-1, 解题方法:? ? ?中点在对称轴上.

第二章

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特殊情况:①关于 x

? ?x不变, 轴对称,方法? ? ?以-y代换y;

②关于 y

? ?以-x代换x, 轴对称,方法? ? ?y不变; ? ?以y代换x, 对称,方法? ? ?以x代换y,

③关于直线 y=x

即 x,y 对调;

④关于直线 y=-x

? ?以-y代换x 对称,方法? ? ?以-x代换y

即 x,y 对调之后加负号. 注意:光线反射问题、角的平分线问题等都是对称问题.
第二章 本章归纳总结

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[例3] 已知直线l∶x+2y-2=0,试求: (1)点P(-2,-1)关于直线l的对称点坐标; (2)直线l1∶y=x-2关于直线l对称的直线l2的方程; (3)直线l关于点(1,1)对称的直线方程.

[ 思路分析 ]
线方程.

先作出 l∶x + 2y - 2 = 0 对应的直线,然后转

化为点的对称,求出对称点.再根据直线方程的几种形式求直

第二章

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[规范解答]

(1)设点 P 关于直线 l 的对称点为 P′(x0, y0 ) ,

则线段 PP′的中点 M 在对称轴 l 上,且 PP′⊥l. ? 1 ?y0+1· ?-2?=-1, ?x0+2 ∴? y0-1 ?x0-2 +2· 2 -2=0, ? ? 2 2 ? ?x0=5, 解之得:? ?y0=19, 5 ? 2 19 即 P′点的坐标为(5, 5 ).
第二章 本章归纳总结

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(2)直线 l1∶y=x-2 关于直线 l 对称的直线为 l2, 则 l2 上任 一点 P(x,y)关于 l 的对称点 P′(x′,y′)一定在直线 l1 上, 反之也成立. ? 1 ?y-y′· ?-2?=-1 ?x-x′ 由? y+y′ ?x+x′ +2· 2 -2=0 ? ? 2

第二章

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? ?x′=3x-4y+4, 5 ? 得? -4x-3y+8 ? y′= . ? 5 ? 把(x′, y′)代入方程 y=x-2 并整理, 得: 7x-y-14=0, 即直线 l2 的方程为 7x-y-14=0.

第二章

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(3)设直线 l 关于点 A(1,1)的对称直线 l′,则直线 l 上任一 点 P(x1,y1)关于点 A 的对称点 P′(x,y)一定在直线 l′上,反 之也成立. ? ?x+x1=1, ? 2 由? ?y+y1 =1, ? ? 2
? ?x1=2-x, 得? ? ?y1=2-y.

将(x1,y1)代入直线 l 的方程得:x+2y-4=0, ∴直线 l′的方程为 x+2y-4=0.

第二章

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[规律总结]

对称问题主要是点关于直线的对称,点关于

点的对称是用中点坐标问题;点关于直线的对称从两个方面入 手:中点在直线上,斜率之积为-1,直线关于直线对称、直线 关于点对称,圆关于直线对称都归入点关于直线对称解决.

第二章

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定点问题 定点问题一般是指曲线(含直线)在运动变化过程中恒过一 个(或多个)定点,此时曲线方程中含有参数,解决时可以将方 程整理成关于参数的等式,再利用恒成立的要求处理即可.

第二章

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[ 例 4] P(3,4),

已 知 直 线 l : (2a + b)x + (a + b)y + a - b = 0 及 点

(1)证明直线l过某定点,并求该定点的坐标; (2)当点P到直线l的距离最大时,求直线l的方程.

[思路分析 ]

分离参数a,b求定点坐标;寻找 P到直线l的

距离最大时,直线l满足的条件.

第二章

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[规范解答] -1)=0,

(1)将直线 l 的方程化为 a(2x+y+1)+b(x+y

∴无论 a,b 如何变化,该直线系都恒过直线 2x+y+1=0 与直线 x+y-1=0 的交点.
? ?2x+y+1=0, 由? ? ?x+y-1=0, ? ?x=-2, 得? ? ?y=3.

∴直线 l 过定点 Q(-2,3).

第二章

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4-3 (2)当 l⊥PQ 时, 点 P 到直线 l 的距离最大, 由 kPQ= 3-?-2? 1 =5,可知直线 l 的斜率为-5, ∴直线 l 的方程为 y-3=-5(x+2), 即 5x+y+7=0.

第二章

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最值问题 解析几何中的最值问题是人们工作和生活所追求的目标, 本章主要研究直线与圆中的最值问题,在处理时可以抓住研究 对象的特征,利用数形结合思想定性分析;也可以定量分析, 利用函数思想,借助二次函数来解决,或利用方程思想,联立

方程组,利用判别式来处理.

第二章

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[例5]

已知正三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P,

使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求此最小值.
[规范解答] 以 BA 所在直线为 x 轴,AB 的中垂线为 y 轴,

建立直角坐标系,由△ABC 为正三角形,且边长为 a,
? ? a ? a 3 ? ? ∴A(2,0),B?-2,0?,C?0, a? ?, 2 ? ? ? ?

又设 P(x,y),则

第二章

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|PA|2+|PB|2+|PC|2 3 2 a2 2 a2 2 2 =(x-2) +y +(x+2) +y +x +(y- 2 a) 5 2 =3x +3y - 3ay+4a
2 2

3 2 =3x +3(y- 6 a) +a2≥a2,
2

3 并且仅当 x=0,y= 6 a 时等号成立,所求最小值为 a2, 此时 P 为正△ABC
? 的中心? ?0, ?

3 ? ? a 6 ? ?
第二章 本章归纳总结

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数形结合思想在解析几何中的应用 “数”和“形”是数学研究的两类基本对象.由于坐标系 的建立, 使“形 ” 和“数” 互相联系 ,互相渗透,互相转

化.在数学解题中实现数形结合,具体的来说就是对问题中的
条件和结论既分析其代数意义又分析其几何意义,从图形在代 数与几何的结合点上寻找到解题的思路与方法. 用数形结合解题,主要通过三种途径:一是通过坐标系, 二是通过转化,三是构造图形、构造函数.

第二章

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[例 6] 已知曲线 C:x= 4-y2(-2≤y≤2)和直线 y=k(x -1)+3 只有一个交点,求实数 k 的取值范围.
[思路分析] 情况. 将所给曲线和直线画在一个坐标系下,曲线

为半圆,直线过定点,从图形中可以发现两者只有一个交点的

第二章

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[规范解答]
B(0,-2).

如下图,曲线C表示的是以(0,0)为圆心,2为

半径的右半圆,直线y=k(x-1)+3过定点M(1,3),点A(0,2),点

第二章

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1 由图可得 kAM=1=1, 5 kBM=1=5,∴1≤k<5. 又当直线与曲线 C 相切时, |-k+3| 2 有 = 2,3 k +6k-5=0, 2 1+k 2 6 2 6 解得 k=-1- 3 或-1+ 3 (舍). 2 6 ∴k 取值的集合为{k|1≤k<5 或 k=-1- 3 }.
第二章 本章归纳总结

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[规律总结] 想求解.

有“几”个公共点、有“几”个根等有具体

的指定的解的问题多数情况下都要结合图像利用数形结合的思

第二章

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分类与整合思想
在解决问题时经常会遇到不能用同一标准或同一种方法去 解决的问题,因而会出现多种情况,这就需要分成若干个局部

的问题去解决,这就是分类讨论的思想.
在本章中,运用点斜式方程或斜截式方程时要讨论斜率是 否存在;运用两点式方程时要观察两点横坐标和纵坐标是否相 等;运用截距式方程时要讨论截距是否为零;将直线方程的一 般式化为截距式或斜截式时也要注意讨论系数是否为零.

第二章

本章归纳总结

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[例8] 是( )

过点A(4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程

A.x+y=5 B.x-y=5

C.x+y=5或x-4y=0
D.x-y=5或x+4y=0

第二章

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[规范解答]

因为截距相等,所以分截距相等且不为零和

截距为零两种情况. (1)若截距为零, 设直线方程为 y=kx, 把点 A(4,1)的坐标代 1 1 入得 k=4,所以直线的方程为 y=4x,即 x-4y=0. x y (2)若截距相等且不为零, 设直线方程为a+a=1, 把点 A(4,1) 的坐标代入得 a=5,所以直线的方程为 x+y=5, 综上可知,直线的方程为 x+y=5 或 x-4y=0,选 C.

[答案] C
第二章 本章归纳总结

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[ 规律总结 ]

1. 截距可取任意实数,截距式方程中截距必

不为零,注意分截距是否为零进行讨论. 2 .在解决问题时经常会遇到不能用同一标准或同一种方 法去解决的问题,因而会出现多种情况,这就需要分成若干个

局部的问题去解决,这就是分类讨论的思想.

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