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一道联考试题引发的探究


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辅教导学 ?  

数 学通 讯 —— 2 O 1 2年 第 l 1 、 1 2期 ( 上半 月)  

5 1  



道 联 考试 题 引发 的探 究 
李培颖  
( 江苏 省徐 州市 侯 集 高级 中学 数 学 组 , 2 2 1 1 2 1

)  

≤2 √ 2 .   题目   已知直线Y —   与函 数g ( z ) 一÷( z   所以 t
>O )的图象 交 于点 Q, P, M 分别 是 直线 Y— z与 
。 

综 上 可知 : t ≤2 √ 2且 t ≠√ 2 .  
思路 二 ( 数形结 合 )  

函数 g ( z )=  (  > O )的 图象上 异 于 点 Q 的两 
Z 

① 式可变形为   一2 t u +4   5t 4 一8 ≥0 .  
令 厂 ( 乱 ) 一“   一2 t u+4 V  ̄ t 一8= 。 一8 —2 t ( u  


点, 若 对 于任意 点 M , P M ≥P Q恒 成立 , 则点 P横  坐标 的取值 范 围是
. 
— —

2 4 5 ) , 所以函数 , (   ) 的图象恒过定点 ( 2 5, 4 o ) ,  

本 题是 江 苏省 苏 北 四市 ( 徐州、 淮安、 连 云港 、  

宿迁 ) 2 0 1 2届 高 三第 三 次质 量 检 测第 1 4题. 主要 

结 合二次函数厂 (   ) 的图象易得 t ≤2 √ 2 且t ≠√ 2 .  
几 何 解 释 
f )  

考 查 恒成立 问题 , 笔 者 给 出其 解 法 并 作 浅 显 的研 
究, 与读者 分 享.   解 法分 析  如 图 1 , 由  
Y  J  

g (  ) = :  

y 

三(  > O )的 图象 为 等 轴 双 
Z  

/ / 1 肘  
一  

题意, 易求得 Q (  , 5) 4 , 设 
0 

\   (  


曲线 的一 支 , 直线 Y— z为该 
双 曲线 的 实 轴 所 在 直 线 , 为 

D  Q  

压)  
i 
.  

M( x,   ) , P( t , £ ) .  

D   /、 ‘ - .  一 一  

了研 究 的方便 , 我们将 图 1 绕  原 点顺 时 针旋 转 4 5 。 , 重 新 建  系如图 2 . 此 时直 线 为 z轴 . ,  
图 2  

,  
  。

因为 P M ≥ P Q, 所 以 
P M 。≥ P Q。 , 即 
( £ 一 z) 。 + ( £ 一三) 。  
X 

曲 线 为 双 曲 线   一 譬 一 1 的 右 支 , 右 顶 点 为 Q ( 2 ,  
O ) , 设 P( m, O ) , 问题 “ 对 于 曲线 上 任 意 点 M , P M 
≥ P Q恒 成立 ” , 可从 另一个 角度理 解为 : 以点 P为 

≥ ( £ 一  ) 。 + (  一  )  ,  

展 开 得 


2 红+z 2 一生 + (  ) 。 ≥一 4  

+4
.  

圆心 , 线段 P Q 的长 为半 径 的 圆与 双 曲线  一 


1的右支 有且 只有一个 公 共点 Q( 2 , O ) , 求  的 

令  一 z+  , 则  ≥ 2   , 上 式 即为 
“   一4 —2 t u≥一 4   +4   ① 

范 围.   解 题 过 程 如 下  由 

根据题 目的需要 , 设 出两 个量 z和 t , 将P M ≥  P Q 坐标 化后 发 现 形 式 较 为 复 杂 , 联 想 到 了换 元 ,   将 问题 转化 为关 于变 量  的一 元 二 次不 等 式恒 成 

』   一  
I ( z— m) 。 +Y 。一 ( m~ 2 )  
消去 Y可得 z 。 一眦 + 2 m 一 4: 0 .   令  (   )= 。 一7 n x+2 m- - 4= = = z   一4 一m( x  


立 问题 , 进一 步 的求解 思路 常 有 以下两种 .   思路 一 ( 分离 变量 求最 值 )  

2 ) , 易知 厂 ( z )的图象恒 过定 点 ( 2 , O ) , 所 以可得 
m  ≤ 2即  ≤ 4 .  

① 式可 变形 为  一 8≥ 2 t ( u 一2 √ 2 ) .  
当   一2   时, 不 等式 为 0≥ 0 , 所以 t ∈ R;  

当“ >2   时, 不等式可变形为u -2 、 ,   ≥2 £ ,  

从 而 原 问 题 中 点 P 横 坐 标 的 取 值 范 围 

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数 学通 讯 —— 2 O 1 2年 第 1 1 、 1 2期 ( 上 半 月)  

? 辅教 导学 ?  

是( 一o o ,   )U (  , 2 伺 .  
解 题反 思  由上 面 的几何 解 释不难 发 现 , 点 

的顶 点 , M 为 双曲线 上任一 点 , 点 P( x 。 , O ) 在双 曲 

线 实轴所 在直线 上 , 若 P Q≤ P M 恒成立 , 则点 P  

P的临界 位置 ( 4 , o ) 并 非双 曲线的 右焦点 F( 2 √ 2 ,  
0 ) , 那 么数字 4与双 曲线 中的几何 不变 量有无 确定  的关 系? 能 否 推 广 到 一 般 情形 ? 经研究, 可 以得 到  双 曲线 中的一 个一般 性 的结论 :  
双 曲线  一  = 1 ( 口 >0 , 6 >o ) , Q为双 曲线 

的横坐标 的取值 范 围是[ 一三 二 , 三 二 ] ( 其中 c z 一。 z 十 
n  n 

b   ) .  

( 收稿 日期 : 2 0 1 2 —0 7 —0 7 )  

当“ 任 意存 在 ”   遭遇 “ 两个 变 量 ”  
龚 洁琳  
( 江 苏 省 南 京 市 大 厂 高级 中学 ,2 1 0 0 4 4 )  

函数 类 问题 中涉及任 意 与存 在 的题 目一直 是 

( 3 )当 0≤一   ≤ 1时 , 即 一2 ≤6 ≤ 0时 , M 
厶 


高 考考查 的热 点 、 难点, 其 着 力 点在 于考 察 学生 的 
逻 辑思维 能力 和 综 合 解 题 能 力. 对 于涉 及 一 个 变  量 的“ 任 意存在 ”问题 比较容 易理解 , 但是 当“ 任意 
L 

f ( -1 ) 一f ( -  ): = = (   -- 1 ) z ≤ 4恒成 立 ;  
厶  厶 

存在 ”问题遭 遇“ 两个 变 量”时就 变得 令 人 眼花缭  乱, 使 学生 产 生 不 知所 措 、 无 法 下手 的感 觉. 下 面  我们 就 以几个题 目题 为例 来探 讨 一下 解 决这 类 问 
题 的策略 .  
一  

( 4 ) 当一等 > 1 时, 即b <一2 时, M—f ( -1 )  
厶 

( 1 )一一2 6> 4 , 与题 设 矛盾.  

综上 可知 : 一2≤ b ≤2 .   评 注  解 决本题 的关 键 在 于正 确理 解 “ 对 任 

例1 ( 2 0 1 2年 陕 西 高 考 理 科 卷 第 2 1题 第  ( 1 I )问) 设 函数 . 厂 ( z ) 一z   +b x+c ( b , c ∈ R) , 若 

意z   , z   ∈[ 一1 , 1 ] , 有 l   f ( x   ) 一f ( x   )l ≤4 ”的  含义, 在 区间 [ 一1 , 1 ]上求  ( z )的最 值 时 应 注意 
分 类讨论 , 做 到不重 不漏.  

对 任意 z   ,   。∈ [ 一1 , 1 ] , 有 I   f ( x   ) 一f ( x : )l ≤ 
4 , 求 b的取 值范 围.  

分析  对任意 z   , x 2∈ [ .1 , 1 ] , 有 I   f ( x   ) 一 
f ( x 2 )l ≤4 恒成立 , 即I   f ( x   ) 一f ( x 2 )I 的最大值必 


例2 ( 2 0 0 5 年全 国卷 Ⅲ 第 2 2 题 改 编)已知 

函数 ( z ) 一 z一4 , X∈ F o , 1 3 , g ( x ) 一z 。 一3 a   z  

须小于或等于 4 , 并注意到 I 厂 ( ∞) 一f ( x 2 )l 的最大值 

2 a , z∈ E o , 1 3 ( 其中 n ≥2 ) , 若 存在 z   , z : ∈E o ,  
1 ] , 使得 l   f ( x   ) 一g ( x 。 )I <1 成立 , 求n 的取 值范 
围.  

就是 _ 厂 (   ) 在[ 哪! , 1 ] 上 的最大值与最小值的差.  

解  对任 意 z   , z  ∈ [ 一1 , 1 ] , 有 I   f ( x   ) 一  f ( x 。 )l ≤4 ∞厂 ( z )在[ 一1 , 1 ]上 的最 大值 与最 小 
值 的差 M ≤ 4 , 据此 分类 讨论如 下 :  
L 

分析  存 在 z   , z 。∈ E 0 , 1 ] , 使得 I   f ( x 。 ) 一  g ( x z )l <1 , 即只要有 一对实 数 。 ,  : ∈E o , 1 ] , 使  得 I   f ( x 。 ) 一g ( x : )I <1 而 非对所 有 z   , z 。∈ E o ,  
1 ] , 使得 l   f ( x   ) 一g ( x 。 )I <1 , 故 只需 1   f ( x 。 ) 一  g ( x 。 )I 的最小 值小 于 l即可.   解  对 函 数 g ( z )求 导 , 得 g   ( z )一 3 ( x  
一 Ⅱ  ) .  

( 1 )当 一  <一 1时 , 即b > 2时 , M 一. 厂 ( 1 )  
厶 


厂 ( 一1 ): = =2 b >4 , 与题设矛 盾 ;  
L 

( 2 ) 当 一l ≤一詈 < 0 时, 即0 <b ≤2 时, M 
厶 
L 


L 

厂 ( 1 ) 一f ( -  ) 一( 詈+1 )  ≤ 4 恒成立;  

由 n≥ 2得 , 当  ∈ ( O , 1 ) 时, g   ( z ) <3 ( 1 一  


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