当前位置:首页 >> 高考 >>

高考一轮复习专题-三角函数(全)



高考一轮复习专题——三角函数
第 1 讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数
基础梳理 1.任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边相同的角 终边与角 α 相同的角可写成 α +k?360°(k∈Z). (3)弧度制 ①1 弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. ②规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零, |α |= ,l 是以角 α 作为圆心角时所对圆弧的长,r 为半径. ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制, 比值 与所取的 r 的大小无关, 仅与角的大小有关. ④弧度与角度的换算:360°=2π 弧度;180°=π 弧度. ⑤弧长公式:l=|α |r, 1 1 扇形面积公式:S 扇形= lr= |α |r2. 2 2 2.任意角的三角函数定义 设 α 是一个任意角,角 α 的终边上任意一点 P(x,y),它与原点的距离为 r(r >0),那么角 α 的正弦、余弦、正切分别是:sin α = ,cos α = ,tan α = ,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数. 3.三角函数线 设角 α 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点

l r

l r

y r

x r

y x

P,过 P 作 PM 垂直于 x 轴于 M,则点 M 是点 P 在 x 轴上的正射影.由三角函数的
定义知,点 P 的坐标为(cos_α ,sin_α ),即 P(cos_α ,sin_α ),其中 cos α
第 1 页 共 1 页

=OM,sin α =MP,单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A,单位圆在 A 点的切线与 α 的终边或其反向延长线相交于点 T,则 tan α =AT.我们把有向线段 OM、MP、AT 叫做 α 的余弦线、正弦线、正切线.

三 角 函 数 线 有向线段 MP 为正弦线 有向线段 OM 为余弦线 有向线段 AT 为正切线

一条规律 三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦. (2)终边落在 x 轴上的角的集合{β |β =kπ ,k∈Z};终边落在 y 轴上的角的集

? ? ? 合 ?? ? ? ? k? , k ? Z ? ; 终 边 落 在 坐 标 轴 上 的 角 的 集 合 可 以 表 示 为 2 ? ? ? ? k? ,k ?Z?. ?? ? ? 2 ? ?
两个技巧 (1)在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位 圆的交点,|OP|=r 一定是正值. (2)在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧. 三个注意 (1)注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同的三类 角,第一类是象限角,第二类、第三类是区间角. (2)角度制与弧度制可利用 180°=π rad 进行互化,在同一个式子中,采用的 度量制度必须一致,不可混用. (3)注意熟记 0°~360°间特殊角的弧度表示,以方便解题. 双基自测
第 2 页 共 2 页

1.(人教 A 版教材习题改编)下列与 A.2kπ +45°(k∈Z) C.k?360°-315°(k∈Z)

9π 的终边相同的角的表达式是( 4 9 B.k?360°+ π (k∈Z) 4 D.kπ + 5π (k∈Z) 4 ).

).

2.若 α =k?180°+45°(k∈Z),则 α 在( A.第一或第三象限 C.第二或第四象限

B.第一或第二象限 D.第三或第四象限 ).

3.若 sin α <0 且 tan α >0,则 α 是( A.第一象限角 C.第三象限角

B.第二象限角 D.第四象限角 ). 1 2

4.已知角 α 的终边过点(-1,2),则 cos α 的值为( A.- 5 5 B. 2 5 5 C.- 2 5 5 D.-

5.(2011?江西)已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴非负半轴,若 P(4,

y)是角 θ 终边上一点,且 sin θ =-

2 5 ,则 y=________. 5

考向一

角的集合表示及象限角的判定

【例 1】? (1)写出终边在直线 y= 3x 上的角的集合; (2)若角 θ 的终边与 角; (3)已知角 α 是第二象限角,试确定 2α 、 α 所在的象限. 2 6π θ 角的终边相同, 求在[0,2π )内终边与 角的终边相同的 7 3

【训练 1】角 α 与角 β 的终边互为反向延长线,则( A.α =-β B.α =180°+β C.α =k?360°+β (k∈Z)
第 3 页 共 3 页

).

D.α =k?360°±180°+β (k∈Z)

考向二

三角函数的定义 2 m,试判断 4

【例 2】? 已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m)(m≠0)且 sin θ = 角 θ 所在的象限,并求 cos θ 和 tan θ 的值.

【训练 2】(2011?课标全国)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负 半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ =( 4 A.- 5 B.- 3 5 C. 3 5 D. 4 5 ).

考向三

弧度制的应用

【例 3】? 已知半径为 10 的圆 O 中,弦 AB 的长为 10. (1)求弦 AB 所对的圆心角 α 的大小; (2)求 α 所在的扇形的弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S.

【训练 3】已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最 大?

第 4 页 共 4 页

考向四

三角函数线及其应用

【例 4】? 在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边的范围.并由此写出角 α 的集合: (1)sin α ≥ 3 ; 2 1 (2)cos α ≤- . 2

【训练 4】求下列函数的定义域: (1)y= 2cos x-1; (2)y=lg(3-4sin2x).

1 解 (1)∵2cos x-1≥0,∴cos x≥ . 2

重点突破——如何利用三角函数的定义求三角函数值 【问题研究】三角函数的定义:设 α 是任意角,其终边上任一点 P(不与原点重 合)的坐标为(x,y),它到原点的距离是 r(r= x2+y2>0),则 sin α = 、cos α = 、tan α = 分别是 α 的正弦、余弦、正切,它们都是以角为自变量,以 比值为函数值的函数,这样的函数称为三角函数,这里 x,y 的符号由 α 终边所
第 5 页 共 5 页

y r

x r

y x

在象限确定,r 的符号始终为正,应用定义法解题时,要注意符号,防止出现错 误.三角函数的定义在解决问题中应用广泛,并且有时可以简化解题过程.

【解决方案】利用三角函数的定义求三角函数值时, 首先要根据定义正确地求得

x,y,r 的值;然后对于含参数问题要注意分类讨论.
【示例】? (本题满分 12 分)(2011?龙岩月考)已知角 α 终边经过点 P(x,- 2)(x≠0),且 cos α = 3 x,求 sin α 、tan α 的值. 6

4 【试一试】已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α +cos α + tan α . 5

第 2 讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
基础梳理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α +cos2α =1; (2)商数关系: 2.诱导公式 公式一:sin(α +2kπ )=sinα ,cos(α +2kπ )=cosα ,其中 k∈Z.
第 6 页 共 6 页

sin α =tan α . cos α

公式二:sin(π +α )=-sinα ,cos(π +α )=-cosα , tan(π +α )=tan α . 公式三:sin(-α )=-sinα ,cos(-α )=cosα . 公式四:sin(π -α )=sin α ,cos(π -α )=-cosα .

? ? 公式五:sin ( ? ? ) =cosα ,cos ( ? ? ) =sin α . 2 2 ? ? 公式六:sin ( ? ? ) =cosα ,cos ( ? ? ) =-sinα . 2 2
π 诱导公式可概括为 k? ±α 的各三角函数值的化简公式.记忆规律是:奇变偶 2 不变,符号看象限.其中的奇、偶是指 π 的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数 2

名称的变化.若是奇数倍,则函数名称变为相应的余名函数;若是偶数倍,则函 数名称不变,符号看象限是指把α 看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号.

一个口诀 诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限.

三种方法 在求值与化简时,常用方法有: (1)弦切互化法:主要利用公式 tan α = sin α 化成正、余弦. cos α

(2)和积转换法:利用(sin θ ±cos θ )2=1±2sin θ cos θ 的关系进行变形、 转化. (3)巧用“1”的变换:1=sin2θ +cos2θ =cos2θ (1+tan2θ )=tan 三个防范 (1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角 函数,其步骤:去负-脱周-化锐. 特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.
第 7 页 共 7 页

π =?. 4

双基自测 1 1.(人教 A 版教材习题改编)已知 sin(π +α )= ,则 cos α 的值为( 2 A.± 1 2 B. 1 2 C. 3 2 D.± 3 2 ). ).

2. (2012? 杭州调研)点 A(sin 2 011°, cos 2 011°)在直角坐标平面上位于( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 ). 3 4

4 3.已知 cos α = ,α ∈(0,π ),则 tan α 的值等于( 5 A. 4 3 B. 3 4 C.± ). 2 2 4 3 D.±

4.cos (? A. 2

17? 17? ) -sin (? ) 的值是( 4 4

B.- 2

C.0

D.

1 5.已知α 是第二象限角,tan α =- ,则 cos α =________. 2 考向一 利用诱导公式化简、求值 【例 1】? 已知 f (? ) ?

sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) sin( ? ? ) tan( ? ??) 2

?

,求

f( ) 3

?

cos( ? ? ) sin(?? ? ? ) 2 【训练 1】已知角α 终边上一点 P(-4,3),则 11 ? 9? cos( ? ? ) sin( ? ? ) 2 2
为________.

?

的值

考向二 同角三角函数关系的应用

第 8 页 共 8 页

【例 2】? (2011?长沙调研)已知 tan α =2. 求:(1) 2sin α -3cos α ; 4sin α -9cos α

(2)4sin2α -3sin α cos α -5cos2α .

sin α +3cos α 【训练 2】已知 =5.则 sin2α -sin α cos α =________. 3cos α -sin α 考向三 三角形中的诱导公式 【例 3】? 在△ABC 中,sin A+cos A= 2, 3cos A=- 2cos(π -B),求△

ABC 的三个内角.

【训练 3】若将例 3 的已知条件“sin A+cos A= 2”改为“sin(2π -A)=- 2 sin(π -B)”其余条件不变,求△ABC 的三个内角.

重点突破——忽视题设的隐含条件致误 【问题诊断】涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时,应深挖隐含条 件,处理好开方、平方关系,避免出现增解与漏解的错误., 【防范措施】一要考虑题设中的角的范围;二要考虑题设中的隐含条件 【示例】? 若 sinθ ,cosθ 是关于 x 的方程 5x2-x+a=0(a 是常数)的两根, θ ∈(0,π ),求 cos 2θ 的值.
第 9 页 共 9 页

【试一试】已知 sinθ +cosθ =

7 ,θ ∈(0,π ),求 tanθ . 13

第 3 讲 三角函数的图象与性质
基础梳理 1. “五点法”描图 (1)y=sin x 的图象在[0,2π ]上的五个关键点的坐标为

? 3? (0,0), ( ,1) ,(π ,0), ( ,?1) ,(2π ,0). 2 2
(2)y=cos x 的图象在[0,2π ]上的五个关键点的坐标为

? 3? (0,1), ( ,0) ,(π ,-1), ( ,0) ,(2π ,1). 2 2
2.三角函数的图象和性质 函数 性质

y=sin x

y=cos x

y=tan x

第 10 页 共 10 页

定义域

R

R

{x|x≠kπ + Z}

π ,k∈ 2

图象 值域 [-1,1] 对称轴:x=kπ + 对称性 (k∈Z) 对称中心: (kπ ,0)(k∈Z) π 2 [-1,1] 对称轴:x=kπ (k ∈Z) 对称中心:
错误!

R 无对称轴 对称中心: (
k? ,0) (k 2

∈Z)

周期

2π 单调增区间



π

? ?? ? (k 2 k ? ? , 2 k ? ? ? 2 2? ? ?
单调性 ∈Z); 单调减区间

单调增区间[2kπ -π ,2kπ ](k∈ Z); 单调减区间[2k π ,2kπ +π ](k ∈Z) 单调增区间
(k? ?

?
2

, k? ?

?
2

) (k∈

? 3 ? ? 2k? ? ,2k? ? ? ? ( ? 2 2 ? ?
k∈Z)
奇偶性 奇

Z)





两条性质 (1)周期性 函数 y=Asin(ω x+φ )和 y=Acos(ω x+φ )的最小正周期为 +φ )的最小正周期为 (2)奇偶性
第 11 页 共 11 页

2π ,y=tan(ω x |ω |

π . |ω |

三角函数中奇函数一般可化为 y=Asin ω x 或 y=Atan ω x,而偶函数一般可化 为 y=Acos ω x+b 的形式.

三种方法 求三角函数值域(最值)的方法: (1)利用 sin x、cos x 的有界性; (2)形式复杂的函数应化为 y=Asin(ω x+φ )+k 的形式逐步分析ω x+φ 的范 围,根据正弦函数单调性写出函数的值域; (3)换元法:把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最 值)问题.

双基自测

? 1.(人教 A 版教材习题改编)函数 y=cos ( x ? ) ,x∈R( 3
A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 2.函数 y=tan (

).

? ? x ) 的定义域为( ). 4
? ? ? B. ? x x ? 2k? ? , k ? Z ? 4 ? ? ? ? ? D. ? x x ? 2k? ? , k ? Z ? 4 ? ?

? ? ? A. ? x x ? k? ? , k ? Z ? 4 ? ? ? ? ? C. ? x x ? k? ? , k ? Z ? 4 ? ?

3 . (2011 ? 全 国 新 课 标 ) 设 函 数 f(x) = sin( ω x + φ ) + cos( ω x + φ )

? ? < )的最小正周期为π ,且 f(-x)=f(x),则( ( ?>0, 2
? A.f(x)在 (0, ) 单调递减 2

).

? 3? B.f(x)在 ( , ) 单调递减 4 4
第 12 页 共 12 页

? C.f(x)在 (0, ) 单调递增 2

? 3? D.f(x)在 ( , ) 单调递增 4 4
4.y=sin ( x ? A.(-π ,0) C. (
3? ,0 ) 2

? ) 的图象的一个对称中心是( ). 4
B. ( ?
3? ,0 ) 4

? D. ( ,0) 2
?
6 ) 的最小正周期为________.

5.(2011?合肥三模)函数 f(x)=cos ( 2 x ?

考向一 三角函数的定义域与值域 【例 1】? (1)求函数 y=lg sin 2x+ 9-x2的定义域. (2)求函数 y=cos2x+sinx( x ?

?
4

)的最大值与最小值.

【训练 1】(1)求函数 y= sin x-cos x的定义域. (2)已知函数 f(x)=cos ( 2 x ?

?
3

) +2sin ( x ?

? ? ) ?sin ( x ? ) ,求函数 f(x)在区 4 4

间 ?? ? , ? ? 上的最大值与最小值. ? ? 12 2 ? ?

第 13 页 共 13 页

考向二 三角函数的奇偶性与周期性 ? ) 2 (x ? 【例 2】? (2011?大同模拟)函数 y=2cos 4 -1 是( ). A.最小正周期为π 的奇函数 C.最小正周期为 π 的奇函数 2 B.最小正周期为π 的偶函数 D.最小正周期为 π 的偶函数 2

【训练 2】已知函数 f(x)=(sin x-cos x)sin x,x∈R,则 f(x)的最小正周期 是________.

考向三 三角函数的单调性 【例 3】? 已知 f(x)=sinx+sin (

? ? x ) ,x∈[0,π ],求 f(x)的单调递增区间. 2

? 【训练 3】函数 f(x)=sin ( ?2 x ? ) 的单调减区间为______. 3

考向四 三角函数的对称性 【例 4】? (1)函数 y=cos ( 2 x ? A.x=- π 6 B.x=- π 12

?
3

) 图象的对称轴方程可能是(

).

C.x=

π 6

D.x=

π 12

【训练 4】(1)函数 y=2sin(3x+φ )( ? < ________.

?
2

)的一条对称轴为 x=

π ,则φ = 12

(2)函数 y=cos(3x+φ )的图象关于原点成中心对称图形.则φ =________.
第 14 页 共 14 页

重点突破——利用三角函数的性质求解参数问题 含有参数的三角函数问题,一般属于逆向型思维问题,难度相对较大一些.正确 利用三角函数的性质解答此类问题,是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提 的, 解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合.下面就利用三角函数性质求 解参数问题进行策略性的分类解析. 一、根据三角函数的单调性求解参数 【示例】? (2011?镇江三校模拟)已知函数 f(x)=sin (?x ?

?
3

) (ω >0)的单调递

5? ?? ? 增区间为 ?k? ? , k? ? ? (k∈Z),单调递减区间为 ?k? ? ? , k? ? 7? ? (k∈Z), ? 12 12? ? 12 12 ? ? ?

则ω 的值为________.

二、根据三角函数的奇偶性求解参数 【示例】? (2011?泉州模拟)已知 f(x)=cos( 3x+φ )- 3sin( 3x+φ )为 偶函数,则φ 可以取的一个值为( π A. 6 B. π 3 C.- π 6 D.- π 3 ).

▲根据三角函数的周期性求解参数 【示例】? (2011?合肥模拟)若函数 y=sinω x?sin (?x ? π 周期为 ,则ω =________. 7

?
2

) (ω >0)的最小正

第 15 页 共 15 页

▲根据三角函数的最值求参数 【示例】? (2011?洛阳模拟)若函数 f(x)=asinx-bcosx 在 x= -2,则常数 a、b 的值是( A.a=-1,b= 3 C.a= 3,b=-1 ). B.a=1,b=- 3 D.a=- 3,b=1 π 处有最小值 3

第 4 讲 正弦型函数 y=Asin(ω x+φ )的图象及应用
基础梳理 1.用五点法画 y=Asin(ω x+φ )一个周期内的简图时,要找五个特征点 如下表所示

x

0-φ ω 0

π -φ 2 ω π 2

错误!

错误!

错误!

ω x+φ

π

3π 2 -A



y=Asin(ω x+
φ)

0

A

0

0

2.函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ω x+φ )的图象的步骤

第 16 页 共 16 页

3.图象的对称性 函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的图象是轴对称也是中心对称图形,具体 如下: (1)函数 y=Asin(ω x+φ )的图象关于直线 x=xk(其中 ω xk+φ =kπ + ∈Z)成轴对称图形. (2)函数 y=Asin(ω x+φ )的图象关于点(xk,0)(其中 ω xk+φ =kπ ,k∈Z)成中 心对称图形. 一种方法 在由图象求三角函数解析式时, 若最大值为 M, 最小值为 m, 则 A= ω 由周期 T 确定,即由 一个区别 由 y=sin x 的图象变换到 y=Asin (ω x+φ )的图象,两种变换的区别:先相 位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ |个单位;而先周期变换(伸缩变 换)再相位变换,平移的量是 |φ | (ω >0)个单位.原因在于相位变换和周期变换 ω 2π =T 求出,φ 由特殊点确定. ω π ,k 2

M-m
2

, k=

M+m
2



都是针对 x 而言,即 x 本身加减多少值,而不是依赖于 ω x 加减多少值. 两个注意 作正弦型函数 y=Asin(ω x+φ )的图象时应注意: (1)首先要确定函数的定义域; (2)对于具有周期性的函数, 应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象, 就可根据周期性作出整个函数的图象. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)y=2sin ( 2 x ? 别为( A.2, C.2, ). 1 π ,- π 4 1 π ,- π 8 B.2, D.2, 1 π ,- 2π 4 1 π ,- 2π 8

?
4

) 的振幅、频率和初相分

第 17 页 共 17 页

2.已知简谐运动 f(x)=Asin(ω x+φ )( ? < 谐运动的最小正周期 T 和初相 φ 分别为( A.T=6π ,φ = C.T=6,φ = π 6 π 6

?
2

)的部分图象如图所示,则该简

). π 3

B.T=6π ,φ = D.T=6,φ = π 3

3.函数 y=cos x(x∈R)的图象向左平移 则 g(x)的解析式应为( A .- sin x D.cos x 4.设 ω >0,函数 y=sin (?x ? ). B . sin x

π 个单位后,得到函数 y=g(x)的图象, 2

C .- cos x

?
3

) +2 的图象向右平移

4π 个单 3

位后与原图象重合,则 ω 的最小值是( A. 2 3 B. 4 3 C. 3 2

). D.3

5.(2011?重庆六校联考)已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0)的图象如图所 示,则 ω =________.

考向一

作函数 y=Asin(ω x+φ )的图象

? - <?<0 )的最小正周期为 π , 【例 1】? 设函数 f(x)=cos(ω x+φ )( ?>0, 2
3 ? 且 f( )= . 2 4 (1)求 ω 和 φ 的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π ]上的图象.

第 18 页 共 18 页

1 ? 【训练 1】已知函数 f(x)=3sin ( x ? ) ,x∈R. 2 4

(1)画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数 y=sin x 的图象作怎样的变换可得到 f(x)的图象?

考向二

求函数 y=Asin(ω x+φ )的解析式

【例 2】? (2011?江苏)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ 为常数,A>0, ω >0)的部分图象如图所示,则 f(0)的值是________.

【训练 2】已知函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,|φ |< >0)的图象的一部分如图所示. (1)求 f(x)的表达式; (2)试写出 f(x)的对称轴方程.

π ,ω 2

第 19 页 共 19 页

考向三

函数 y=Asin(ω x+φ )的图象与性质的综合应用

【例 3】? (2012?西安模拟)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ),x∈R(其中 A>0, ω >0,0<φ < π π )的图象与 x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图 2 2
2? , ?2) . 3

象上的一个最低点为 M ( (1)求 f(x)的解析式;

?? ? ? (2)当 x∈ ? , ? 时,求 f(x)的值域. ?12 2 ?

【训练 3】(2011?南京模拟)已知函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的图象 过点 P (
,0) ,图象上与点 P 最近的一个最高点是 Q ( ,5) . 12 3

?

?

(1)求函数的解析式; (2)求函数 f(x)的递增区间.

第 20 页 共 20 页

重点突破——怎样求解三角函数的最值问题 【问题研究】(1)求三角函数的最值是高考的一个热点.在求解中,一定要注意 其定义域,否则容易产生错误. (2)主要题型:①求已知三角函数的值域(或最值); ②根据三角函数的值域(或最 值)求相关的参数;③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的 问题. 【解决方案】①形如 y=asinx+bcosx+c 的三角函数,可通过引入辅助角 Φ ( cos? ?
a a ?b
2 2

, sin ? ?

b a ?b
2 2

) ,将原式化为 y= a2+b2?sin(x+φ )+

c 的形式后,再求值域(或最值);②形如 y=asin2x+bsin x+c 的三角函数,可
先设 t=sin x, 将原式化为二次函数 y=at2+bt+c 的形式,进而在 t∈[-1,1] 上求值域(或最值);③形如 y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c 的三角函数, 1 可先设 t=sin x±cos x,将原式化为二次函数 y=± a(t2-1)+bt+c 的形式, 2 进而在闭区间 t∈[- 2, 2]上求最值.

? 【示例】? (本题满分 12 分)(2011?北京)已知函数 f(x)=4cosxsin ( x ? ) -1. 6
(1)求 f(x)的最小正周期;
? ? ?? (2)求 f(x)在区间 ?? , ? 上的最大值和最小值. ? 6 4?

5 3 ? ?? 【试一试】是否存在实数 a,使得函数 y=sin2x+acos x+ a- 在闭区间 ?0, ? 8 2 ? 2? 上的最大值是 1?若存在,求出对应的 a 值?若不存在,试说明理由.

第 21 页 共 21 页

第 5 讲 两角和与差的正弦、余弦和正切
基础梳理 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(α -β ):cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ ; (2)C(α +β ):cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ ; (3)S(α +β ):sin(α +β )=sinα cosβ +cos_α sinβ ; (4)S(α -β ):sin(α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ ; (5)T(α +β ):tan(α +β )= (6)T(α -β ):tan(α -β )= tan α +tan β ; 1-tan α tan β tan α -tan β . 1+tan α tan β

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α :sin 2α =2sin_α cos_α ; (2)C2α :cos 2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α ; (3)T2α :tan 2α = 2tan α . 1-tan2α

3.有关公式的逆用、变形等 (1)tan α ±tan β =tan(α ±β )(1?tan_α tan_β ); (2)cos2α = 1+cos 2α 1-cos 2α ,sin2α = ; 2 2

(3)1+sin 2α =(sin α +cos α )2,1-sin 2α =(sin α -cos α )2,

? sin α ±cos α = 2sin (? ? ) . 4

4.函数 f(α )=acos α +bsin α (a,b 为常数),可以化为 f(α )= a2+b2 sin(α +φ )或 f(α )= a2+b2cos(α -φ ),其中φ 可由 a,b 的值唯一确定.

第 22 页 共 22 页

两个技巧 (1)拆角、 拼角技巧: 2α =(α +β )+(α -β ); α =(α +β )-β ; β = α -β α -β ? ? - ; = (? ? ) - ( ? ? ) . 2 2 2 2 (2)化简技巧:切化弦、 “1”的代换等. α +β 2

三个变化 (1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑” . (2)变名: 通过变换函数名称达到减少函数种类的目的, 其手法通常有 “切化弦” 、 “升幂与降幂”等. (3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目 标,其手法通常有: “常值代换” 、 “逆用变用公式” 、 “通分约分” 、 “分解与组合” 、 “配方与平方”等. 双基自测 1 1.(人教 A 版教材习题改编)下列各式的值为 的是( 4 A.2cos2 C. π -1 12 ).

B.1-2sin275° D.sin 15°cos 15° sin 2α 的值等于( cos2α D.6 ). D. 5 3 ). ).

2tan 22.5° 1-tan222.5°

2.(2011?福建)若 tan α =3,则 A.2 B.3

C.4

2 3.已知 sin α = ,则 cos(π -2α )等于( 3 A.- 5 3 B.- 1 9 C. 1 9

1 ? 4.(2011?辽宁)设 sin ( ? ? ) = ,则 sin 2θ =( 3 4 A.- 7 9 B.- 1 9 C. 1 9 D. 7 9

第 23 页 共 23 页

5.tan 20°+tan 40°+ 3tan 20° tan 40°=________.

考向一 三角函数式的化简

1 2 . 【例 1】? 化简 ? ? 2 tan( ? x) sin 2 ( ? x) 4 4 2 cos4 x ? 2 cos2 x ?

【训练 1】化简:

(sin ? ? cos ? ? 1)(sin ? ? cos ? ? 1) . sin 2?

考向二 三角函数式的求值 【例 2】? 已知 0<β < cos(α +β )的值. π 1 2 ? ? <α <π ,且 cos (? ? ) =- ,sin ( ? ? ) = ,求 2 9 3 2 2

4 1 ? 【训练 2】已知α ,β ∈ (0, ) ,sin α = ,tan(α -β )=- ,求 cos β 的 5 3 2 值.

第 24 页 共 24 页

考向三 三角函数的求角问题 1 13 π 【例 3】? 已知 cos α = ,cos(α -β )= ,且 0<β <α < ,求β . 7 14 2

【训练 3】已知α ,β ∈ ( ? 的两个根,求α +β 的值.

? ?

, ) ,且 tan α ,tan β 是方程 x2+3 3x+4=0 2 2

考向四 三角函数的综合应用 【例 4】? (2010?北京)已知函数 f(x)=2cos 2x+sin2x.

? (1)求 f ( ) 的值; 3
(2)求 f(x)的最大值和最小值.

【训练 4】已知函数 f(x)=2sin(π -x)cos x. (1)求 f(x)的最小正周期;
? ? ?? (2)求 f(x)在区间 ?? , ? 上的最大值和最小值. ? 6 2?

第 25 页 共 25 页

重点突破——三角函数求值、求角问题策略 面对有关三角函数的求值、化简和证明,许多考生一筹莫展,而三角恒等变换更 是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点,其难点在于:其一,如何牢固记 忆众多公式,其二,如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法. 一、给值求值 一般是给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键 在于“变角” ,如α =(α +β )-β ,2α =(α +β )+(α -β )等,把所求角用 含已知角的式子表示,求解时要注意角的范围的讨论. tan x ? 【示例】? (2011?江苏)已知 tan ( x ? ) =2,则 的值为________. tan 2x 4

二、给值求角 “给值求角” :实质上也转化为“给值求值” ,关键也是变角,把所求角用含已知 角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角. 1 1 【示例】? (2011?南昌月考)已知 tan(α -β )= ,tan β =- ,且α ,β ∈ 2 7 (0,π ),求 2α -β 的值.

▲三角恒等变换与向量的综合问题 两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具,是每年高考的必考内容,常 在选择题中以条件求值的形式考查. 近几年该部分内容与向量的综合问题常出现 在解答题中,并且成为高考的一个新考查方向. 【示例】? (2011?温州一模)已知向量 a=(sin θ ,-2)与 b=(1,cos θ )互

? 相垂直,其中θ ∈ (0, ) . 2
(1)求 sin θ 和 cos θ 的值;
第 26 页 共 26 页

(2)若 5cos(θ -φ )=3 5cos φ ,0<φ <

π ,求 cos φ 的值. 2

第 6 讲 正弦定理和余弦定理
基础梳理 1.正弦定理: = = =2R,其中 R 是三角形外接圆的半径.由正 sin A sin B sin C 弦定理可以变形为: (1)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (2)a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C; (3)sin A=

a

b

c

a b c ,sin B= ,sin C= 等形式,以解决不同的三角形问题. 2R 2R 2R
第 27 页 共 27 页

2. 余弦定理: a2=b2+c2-2bccosA, b2=a2+c2-2accosB, c2=a2+b2-2abcosC. 余

b2+c2-a2 a2+c2-b2 a2+b2-c2 弦定理可以变形为:cos A= ,cos B= ,cos C= . 2bc 2ac 2ab

1 1 1 abc 1 3.S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B= = (a+b+c)?r(R 是三角形外 2 2 2 4R 2 接圆半径,r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算 R,r.

4.已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知 a,b,A, 则

A 为锐角

A 为钝角或
直角

图形 关系 式 解的 个数

a<bsin A

a=bsin A

bsin A<a< b
两解

a≥b

a>b

a≤b

无解

一解

一解

一解

无解

一条规律 在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角 也较大,即在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B.

两类问题 在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:(1)已知两角及任一边,求其它边或 角;(2)已知两边及一边的对角,求其它边或角.情况(2)中结果可能有一解、两 解、无解,应注意区分.余弦定理可解决两类问题:(1)已知两边及夹角求第三 边和其他两角;(2)已知三边,求各角.

第 28 页 共 28 页

两种途径 根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径: (1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.

双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)在△ABC 中,A=60°,B=75°,a=10,则 c 等于 ( ). A.5 2 C. 10 6 3 sin A B.10 2 D.5 6 = cos B ,则 B 的值为( C.60° ). D.90° ).

2.在△ABC 中,若 A.30°

a

b

B.45°

3.(2011?郑州联考)在△ABC 中,a= 3,b=1,c=2,则 A 等于( A.30° B.45° C.60° D.75°

1 4.在△ABC 中,a=3 2,b=2 3,cos C= ,则△ABC 的面积为( 3 A.3 3 B.2 3 C.4 3 D. 3

).

5.已知△ABC 三边满足 a2+b2=c2- 3ab,则此三角形的最大内角为________. 考向一 利用正弦定理解三角形

【例 1】? 在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45°.求角 A,C 和边 c.

【训练 1】(2011?北京)在△ABC 中,若 b=5,∠B= =________;a=________.

π ,tan A=2,则 sin A 4

第 29 页 共 29 页

考向二

利用余弦定理解三角形 cos B b =- . cos C 2a+c

【例 2】? 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积.

【训练 2】 (2011?桂林模拟)已知 A,B,C 为△ABC 的三个内角,其所对的边分 别为 a,b,c,且 2cos2 (1)求角 A 的值; (2)若 a=2 3,b+c=4,求△ABC 的面积.

A
2

+cos A=0.

第 30 页 共 30 页

考向三

利用正、余弦定理判断三角形形状

【例 3】? 在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,试判断△ABC 的形 状.

【训练 3】在△ABC 中,若 A.直角三角形 C.钝角三角形

a
cos A



b
cos B



c
cos C

;则△ABC 是(

).

B.等边三角形 D.等腰直角三角形

考向四

正、余弦定理的综合应用

【例 3】? 在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C π = . 3 (1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b; (2)若 sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC 的面积.

【训练 4】(2011?北京西城一模)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,

第 31 页 共 31 页

b,c,且 cos B= ,b=2.
(1)当 A=30°时,求 a 的值; (2)当△ABC 的面积为 3 时,求 a+c 的值.

4 5

重点突破——忽视三角形中的边角条件致错 【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大,但稍不注意,会出现 “会而不对,对而不全”的情况,其主要原因就是忽视三角形中的边角条件., 【防范措施】 解三角函数的求值问题时,估算是一个重要步骤,估算时应考虑 三角形中的边角条件. 【示例】? (2011?安徽)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,

a= 3,b= 2,1+2cos(B+C)=0,求边 BC 上的高.

第 32 页 共 32 页

【试一试】(2011?辽宁)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,

asin Asin B+bcos2 A= 2a.
(1)求 ; (2)若 c2=b2+ 3a2,求 B.

b a

第 7 讲 正弦定理、余弦定理应用举例
基础梳理 1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中, 视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角 叫俯角(如图(1)).

(2)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角, 如 B 点的方位角为α (如图(2)). (3)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东 30°,北偏西 45°,西偏东

第 33 页 共 33 页

60°等. (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.

一个步骤 解三角形应用题的一般步骤: (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的 关系. (2)根据题意画出示意图, 将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问 题、近似计算的要求等. 两种情形 解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正 弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形, 这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时 需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.

双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)如图,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 A 所在 的同侧河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105° 后,就可以计算出 A,B 两点的距离为( A.50 2 m B.50 3 m ). D. 25 2 m 2 ).

C.25 2 m

2. 从 A 处望 B 处的仰角为α , 从 B 处望 A 处的俯角为β , 则α , β 的关系为( A.α >β C.α +β =90° B.α =β D.α +β =180°

3.若点 A 在点 C 的北偏东 30°,点 B 在点 C 的南偏东 60°,且 AC=BC,则点 A 在点 B 的( ).
第 34 页 共 34 页

A.北偏东 15° C.北偏东 10°

B.北偏西 15° D.北偏西 10°

4. 一船向正北航行, 看见正西方向相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线 上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60°,另一灯塔在船的南偏西 75°,则这艘船的速度 是每小时( ). B.5 3海里 D.10 3海里

A.5 海里 C.10 海里

5.海上有 A,B,C 三个小岛,测得 A,B 两岛相距 10 海里,∠BAC=60°,∠ABC =75°,则 B,C 间的距离是________海里.

考向一 测量距离问题 【例 1】? 如图所示,为了测量河对岸 A,B 两点间的距离,在这岸定一基线 CD, 现已测出 CD=a 和∠ACD=60°,∠BCD=30°,∠BDC=105°,∠ADC=60°, 试求 AB 的长.

【训练 1】如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D 为两岛 上的两座灯塔的塔顶,测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75°, 30°,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60°,AC=0.1 km.试探究图中 B、

D 间距离与另外哪两点间距离相等,然后求 B,D 的距离.
第 35 页 共 35 页

考向二 测量高度问题 【例 2】? 如图,山脚下有一小塔 AB,在塔底 B 测得山顶 C 的仰角为 60°,在山顶 C 测得塔顶 A 的俯角为 45°,已知塔高 AB=20 m,求山高 CD.

【训练 2】如图所示,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面 内的两个测点 C 与 D,现测得∠BCD=α ,∠BDC=β ,CD=s,并在点 C 测得塔 顶 A 的仰角为θ ,求塔高 AB.

第 36 页 共 36 页

考向三 正、余弦定理在平面几何中的综合应用 【例 3】? 如图所示,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=5,AC=9,∠BCA=30°, ∠ADB=45°,求 BD 的长.

【训练 3】如图,在△ABC 中,已知∠B=45°,D 是 BC 边上的一点,AD=10,

AC=14,DC=6,求 AB 的长.

重点突破——如何运用解三角形知识解决实际问 【问题研究】 1.解三角形实际应用问题的一般步骤 是:审题—— ——求解—

—检验作答;2. 三角形应用题常见的类型:①实际 问题经抽象概括后, 已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或 余弦定理解之;②实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个三角形,这 时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解;③实际问题经抽象概括后,涉及
第 37 页 共 37 页

的三角形只有一个, 但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定 理. 【解决方案】航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据,这些数据 反映在坐标系中就构成了一些三角形, 根据这些三角形就可以确定目标在一定的 时间内的运动距离,因此解题的关键就是通过这些 三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三 角形中. 【示例】 ? (本题满分 12 分)如图, 甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直 线航行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏 西 105°方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲 船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B2 处,此时 两船相距 10 2海里.问:乙船每小时航行多少海里?

【试一试】如图所示,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距 40 海里的

B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西
30°、相距 20 海里的 C 处的乙船,现乙船朝北偏东θ 的 方向即沿直线 CB 前往 B 处救援,求 cos θ .

第 38 页 共 38 页


相关文章:
广东省2016届高三一轮复习专题突破训练:三角函数(理数)
2016 届高三数学理一轮复习专题突破训练 三角函数 2016 年广东省高考将采用全国卷, 下面是近三年全国卷的高考试题及 2015 届广东省部 分地区的模拟试题,供同学们...
2014届高三数学一轮复习全能测试_专题三_三角函数_文
2014届高三数学一轮复习全能测试_专题三_三角函数_文_数学_高中教育_教育专区。全是基础题莱西第二中学2012 届高 三一轮复习全能 测试 专题三角函 数本试卷...
高三一轮复习三角函数专题及答案解析
高三一轮复习三角函数专题及答案解析_数学_高中教育_教育专区。弘知教育内部资料 中小学课外辅导专家 三角函数典型习题 1 .设锐角 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分...
江苏省2017届高三数学一轮复习专题突破训练:三角函数
江苏省2017届高三数学一轮复习专题突破训练:三角函数_高三数学_数学_高中教育_教育专区。江苏省 2017 年高考一轮复习专题突破训练 三角函数 一、填空题 1、(2016 ...
2015届高三一轮复习全能测试(文科)专题三 三角函数
2015届高三一轮复习全能测试(文科)专题三角函数_数学_高中教育_教育专区。2015 届高三一轮复习全能测试 专题三角函数本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 ...
高考数学第一轮复习专题训练--三角函数与向量 精品
高考数学第一轮复习专题训练--三角函数与向量 精品_数学_高中教育_教育专区。三角函数 1. 已知 sin(? ? ? ) ? 0 ,cos(? ? ? ) ? 0 , 则下列关系中...
...届高三一轮复习全能测试(理科)专题三 三角函数
[原创精品]温州市平阳县鳌江中学2013届高三一轮复习全能测试(理科)专题三角函数_数学_高中教育_教育专区。高三一轮复习全能测试专题三角函数一、选择题:(本...
高三理数一轮复习专题一(三角函数与解三角形)
高三理数一轮复习专题一(三角函数与解三角形)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三数学一轮复习,小题专练,非常实用!高三理数一轮复习专题一---三角函数(小...
高考第一轮复习三角函数试题
高考一轮复习三角函数试题_数学_高中教育_教育专区。第一轮复习三角函数专题一、 选择题(每题 5 分共 60 分) 1 . sin 600 = 。 ( B. ) A. - 1 ...
广东省2017届高三数学文一轮复习专题突破训练:三角函数
广东省2017届高三数学文一轮复习专题突破训练:三角函数_数学_高中教育_教育专区。广东省 2017 届高三数学文一轮复习专题突破训练 三角函数一、选择、填空题 1、(...
更多相关标签: