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高二 空间向量(学生用)


空间向量在立体几何中的应用
【考点及要求】 1.理解直线的方向向量与平面法向量. 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. 3.能用向量方法证明证明直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理). 4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题,了解向量方法 在研究集合问题中的应用. 【考点归纳分析】 考点 1.利用空间向量证明空间垂直问题 利用空间向量证明空间线线、线面、面面垂直问题是高考考查的重点内容,考查形式 灵活多样,常与探索性问题、平行问题、空间角问题结合,考查形式可以是小题,也可以是 解答题的一部分,或解答题的某个环节,题目容易,是高考中的重要得分点. 例 1 已知三棱锥 P-ABC 中,PA⊥面 ABC,AB⊥AC,PA=AC= AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点.证明:CM⊥SN;

1 AB ,N 为 AB 上一点, 2

E F CF = AB = 2CE , 例 2 在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, 、 分别是棱 BC , CC1 上的点,

AB : AD : AA1 = 1: 2 : 4 .证明 AF ? 平面 A1ED

例 3 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形, MA ? 平面 ABCD , PD // MA , E 、 G 、 F 分 别 为 MB 、 PB 、 PC 的 中 点 , 且 AD ? PD ? 2 MA .求证:平面 EFG ? 平面 PDC .

考点 2.利用空间向量处理空间平行关系 空间线线、线面、面面平行关系问题是高考考查的另一个重点内容,考查的形式灵活多 样,常与探索性问题、垂直问题、空间角问题结合,可以是小题,也可以是解答题的一个小 题,题目的难度一般不大,是高考中的得分点之一. 例 4 在正方体 ABCD ? A E 是棱 DD1 的中点。 在棱 C1D1 上是否存在一点 F, 使 B1F 1B 1C1D 1, ∥平面 A 1BE ?证明你的结论。

例 5 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 侧棱垂直于底面, 在底面 ABC 中 ?ABC = 90 ,D 是 BC 上
0

一点,且 A 1B ∥面 AC1 D , D 1为B 1C1 的中点,求证:面 A 1 BD 1 ∥面 AC1 D .

考点 3 利用空间向量处理异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题 异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题是高考考查的热点和重点,常与探索性 问题、平行问题、垂直等问题结合,重点考查综合利用空间向量、空间平行与垂直的有关定 理、空间角的相关概念解决空间角问题的能力,是立体几何中的难点,难度为中档难度. 例 6 在长方体 ABCD ?
1

E 、 F 分 别 是 棱 BC , CC1 上 的 点 , A1 B1 C 中 1 D,

C F? A B ?2

C,E AB : AD : AA1 ? 1: 2 : 4 (1)求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值;

(2)求二面角 A1 ? ED ? F 的正弦值。

例 7( 2010 全国卷 I 理 7)正方体

ABCD- A1B1C1D1 中,B B1 与平面 AC D1 所成角的

余弦值为 A
2 3

B

3 3

C

2 3

D

6 3


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