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数学必修四1-2-1-2


名师一号 · 高中同步学习方略 · 新课标B版 · 数学 · 必修4

第一章 基本初等函数(Ⅱ)

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第一章

基本初等函数(Ⅱ)

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1.2 任意角的三角函数

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第一章

基本初等函数(Ⅱ)

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1.2.1 三角函数的定义

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第一章

基本初等函数(Ⅱ)

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第二课时

三角函数在各象限中的符号

课前预习目标

课堂互动探究

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第一章

1.2

1.2.1

第二课时

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课前预习目标
梳理知识 夯实基础

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第二课时

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学习目标 理解并熟练掌握三角函数在各象限的符号.

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第二课时

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自学导航 三角函数值的符号 y 1.sinα= r ,r>0,于是sinα的符号与 y 的符号相同,因此 当α是第一、二 象限的角时,sinα>0;当α是 第三、四 象限的角 时,sinα<0.

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第二课时

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x 2.cosα=r ,r>0,于是cosα的符号与 x 的符号相同,因此 当α是 第一、四 象限的角时,cosα>0;当α是第二、三象限的角 时,cosα<0. y 3.tanα= ,当x与y同号时,它的比值为 正 ,当x与y异号 x 时,它的比值为 负 ,因此当α为 第一、三 tanα>0;当α为 第二、四象限的角时,tanα<0. 象限的角时,

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思考探究 确定一个角的某一三角函数值的符号,关键是什么? 提示 关键先判断角是哪一象限角,再根据符号法则判断

三角函数值的正负.

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自测自评 1.cos3的值( A.小于0 C.等于0 ) B.大于0 D.无法确定

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π 解析 2<3<π,∴3是第二象限角,∴cos3<0.

答案

A

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2.若cosα>0,且tanα<0,则α是( A.第一象限角 C.第三象限角 B.第二象限角 D.第四象限角

)

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解析 cosα>0,则α是第一、四象限角或α的终边在x轴的正 半轴;tanα<0,则α是第二、四象限角.∵α满足cosα>0, tanα<0,∴α是第四象限角,故选D.

答案

D

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3.若θ是第二象限角,则( θ A.sin >0 2 θ C.tan >0 2 θ B.cos <0 2 D.以上均不对

)

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π 解析 ∵θ是第二象限角,∴2kπ+2<θ<2kπ+π,k∈Z. π θ π ∴kπ+4<2<kπ+2,k∈Z. θ θ ∴2是第一、三象限角,∴tan2>0.
答案 C

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4.若三角形的两内角α,β满足sinα· cosβ<0,则此三角形 必为( ) B.钝角三角形 D.等腰三角形

A.锐角三角形 C.直角三角形

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解析 由条件知α,β∈(0,π),∴sinα>0,又 sinα· cosβ<0,∴cosβ<0,∴β必为钝角,故三角形必为钝角三 角形.

答案 B

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名师点拨 1.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号

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2.三角函数符号的记忆口诀 三角函数在各象限的符号可简记为“全正切余”,即按象 限依次为:第一象限全为正;第二象限正弦为正;第三角限正 切为正;第四象限余弦为正.至于余切、正割、余割由三角函 数的定义可知它们分别为正切、余弦、正弦的倒数,因此也就 分别与它们的符号相同.

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1.2

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课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通

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典例剖析

例1

确定下列三角函数值的符号:

(1)cos250° ;
? π? (2)sin?-4?; ? ?

(3)tan(-672° ). 剖析 首先要确定所涉及到的角所在的象限,然后再根据

各三角函数在各象限的符号,即可判定所给三角函数值的符 号.

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第二课时

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解析 (1)∵250° 是第三象限角,∴cos250° <0.
? π? π (2)∵- 是第四象限角,∴sin?-4?<0. 4 ? ?

(3)∵-672° =-2×360° +48° ,而48° 是第一象限角, ∴-672° 是第一象限角.∴tan(-672° )>0.

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规律技巧

当涉及到的角的绝对值较大时,可以在0° ~

360° 范围内或[0,2π)内找到与它终边相同的角来确定该角所在 的象限,进而确定所求.

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变式训练1

判断下列三角函数值的正负:

(1)sin1125° ; (2)cos(-1230° ); 2011π (3)tan 6 .

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解析 (1)∵1125° =1080° +45° , ∴1125° 是第一象限角,∴sin1125° >0. (2)∵-1230° =-4×360° +210° , ∴-1230° 是第三象限角,∴cos(-1230° )<0. 2011 7π (3)∵ 6 π=334π+ 6 , 2011 2011π ∴ 6 π是第三象限角,∴tan 6 >0.

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例2

? 4 3? cosα 角α的终边上存在一点P?-5m,5m? ,且 tanα <0,求 ? ?

sinα+cosα的值. cosα 剖析 应先根据点P的坐标特点以及 <0来确定点P所 tanα 在的象限,即确定实数m的取值范围,再利用三角函数的定义 进行求解 .

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cosα 4 3 解析 ∵ tanα <0,又-5m与5m异号, 所以α是第四象限角,所以m<0. ∴r=
? 4 ?2 ? 3 ?2 1 1 ?- ? +? ? =| |=- . m m ? 5m? ?5m?

y 3 4 ∴sinα= =- ,cosα= , r 5 5 1 ∴sinα+cosα=5.

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规律技巧

根据三角函数值在各象限中的符号确定点 P 所

在的象限,另外如果已知角终边上的一点坐标,一般可用三角 函数的定义计算各三角函数值.

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变式训练2

sinα+cscα 已知 <0,求α所在的象限. tanα+cotα

解析

在α角终边上任取一点P(x,y),|PO|=r.

y r y x 则sinα= ,cscα= ,tanα= ,cotα= . r y x y y r + sinα+cscα r y ∵ <0,∴y x<0, tanα+cotα + x y

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y r y x ∵r 与y同号,x与y同号. y y ∴只需要r 与x异号, ∴sinα· tanα<0, ∴α所在象限为第二或第三象限.

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例3

已知角α的终边上一点P(3a-9,a+2),且

cosα≤0,sinα>0,求实数a的取值范围. 剖析 P(x,y)是α的终边上一点,cosα≤0, 则x≤0;sinα>0,则y>0.

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解析 由题意可知,3a-9≤0,a+2>0, ∴a≤3且a>-2. ∴-2<a≤3.

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变式训练3

x 已知角α的终边上一点P(8,x),且sinα= 17 ,

tanα<0,求x的值.

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第二课时

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x 解析 由tanα=8<0,则x<0. x x sinα= 2 2=17,∴82+x2=172. 8 +x ∴x2=225,∴x=-15.

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