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云南师大附中2013届高考适应性月考卷(八)理科数学


云南师大附中 2013 届高考适应性月考卷(八) 理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.
参考公式: 样本数据 x1 , x 2 , ? , x n 的标准差
s ? 1 ? ( x1 ? x ) 2 ? ( x 2 ? x ) 2 ? ? ? ( x n ? x ) 2 ? ? n ?

锥体体积公式

r />
V ?

1 3

Sh

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积,体积公式

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V ? S h 其中 S 为底面面积, h 为高

S ? 4? R , V ?
2

4 3

?R

3

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
?1? i ? 1.复数 ? ? ( i 是虚数单位)化简的结果是 ?1? i ?
2

A. 1 2.已知集合 A ? ? x
? ?

B. ? 1
x ?1

C. i

D. ? i

? ? 0 ? , B ? ? x | y ? lo g 2 ( x ? 2 )? ,则 A ? B = x ?1 ?

A. ? ? 2 , ? 1 ? C. ?1, ? ? ?

B. ? ? 2, ? 1 ? ? ?1, ? ? ? D. ? ? 2 , ? 1 ? ? ? ? 1, ? ? ?

3.已知两条直线 m , n 和平面 ? ,且 m 在 ? 内, n 在 ? 外,则“ n ∥ ? ”是“ m ∥ n ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 4.已知等差数列 ? a n ? 中, a 3 ? a 9 ? a 1 5 ? 9 ,则数列 ? a n ? 的前 17 项和 S 1 7 =


D.既不充分也不必要条件
开始
S ? 0, n ? 2, i ? 1

A.102 B.36 C.48 D.51 5.阅读如图 1 所示的程序框图,则输出的 S 的值是 A.
2013 2015

i ? 2013 ?

否 输出 S 结束
S ? S ? 1 ( n ? 1) n

B.

2013 2014

n ? n ?1

i ? i ?1

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C.

2012 2013

D.
? ?

2011 2012

6.已知随机变量 ? ? B ? 3 0 ,
5 6

1? ? ,则随机变量 ? 的方差 D ( ? ) = 6?

A.

B.5

C.

25 6

D.25
1 1 1 正视图 2 侧视图

7.某四面体的三视图如图 2 所示,该四面体的六条棱长中,长度 最大的是 A. 5 C. 7 B. 6 D. 2 2
俯视图

? x ? y ? 0, ? 8 . 设 变 量 x , y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 1, 目 标 函 数 ? x ? 2 y ? 1, ?
z ? x ? 2 x ? y ,则 z 的取值范围是
2 2

A. ? , 3 ? 9
? ?

?8

?

B. ?

?17 ? 9

,4

? ? ?

C. ?

? 17 ? 3

? ,2? ?

D. ?
?

?2 3

2

? ,2? ?

9.定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? ?

2 f (x)

( f ( x ) ? 0 ) ,且在区间 ? 2 0 1 3, 2 0 1 4 ? 上单

调递增,已知 ? , ? 是锐角三角形的两个内角,比较 f (sin ? ) , f (c o s ? ) 的大小的结果是 A. f (sin ? ) ? f (co s ? ) C. f (sin ? ) ? f (co s ? ) B. f (sin ? ) ? f (co s ? ) D.以上情况均有可能

10.已知方程 ln x ? a ( x ? 2 e ) ? 2 ? 0 ( a 为实常数)有两个不等实根,则实数 a 的取值范围是 A. ? 0,1 ? B. ? 0 , e ? C. ?1, e ?
? ? 1? e?

D. ? 0 , ?

11.在平面直角坐标系中,定义 d ( A , B ) ? | x1 ? x 2 | ? | y 1 ? y 2 | 为两点 A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 间的 “折线距离” ,在此定义下,给出下列命题: ①到原点的“折线距离”为 1 的点的集合是一个正方形; ②到原点的“折线距离”为 1 的点的集合是一个圆;
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③到 M ( ? 1, 0 ) , N (1, 0 ) 两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是 x ? 0 . 其中,正确的命题有 A.3 个
2

B.2 个
2

C.1 个
x
2

D.0 个
? y
2

12.已知点 P 在圆 C : x ? ( y ? 3) ? 1 上,点 Q 在双曲线 左焦点,则 | P Q | ? | Q F | 的最小值为 A. 2 1 0 ? 1 B. 3 ? 2 5 C. 4 ? 2 5

? 1 的右支上, F 是双曲线的

5

2

D. 5 ? 2 5

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
注意事项:用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上.
13.已知 s in ? ? ?
??? ?
1 3

,且 ? ? ? ?
?

?

?

? , 0 ? ,则 sin 2 ? = 2 ?


??? ? ????

14.已知向量 A B 与 A C 的夹角为 30°,且 | A B | ? 6 ,则 | A B ? A C | 的最小值是
1) ) 15.已知函数 f ( m ) ? lo g ( m ? 1) ( m ? 2 )( m ? N ) ,令 f ( ? f(2) ? ?? (f m ? k
*

????

??? ?



,当 m ? ?1,2013

?,

且 k ? N 时,满足条件的所有 k 的值的和为
*



16.以 A B 为直径的圆有一内接梯形 A B C D ,且 A B ∥ C D .以 A 、 B 为焦点的椭圆恰好过 C 、
D 两点,当梯形 A B C D 的周长最大时,此椭圆的离心率为



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤.
17. (本小题满分 12 分)已知数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,点 ( a n , S n ) 在直线 y ? 3 x ? 4 上. (1)求数列 ? a n ? 的通项 a ; (2)令 b n ? n a n ( n ? N ) ,试求数列 ? b n ? 的前 n 项和 T n .
*

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18. (本小题满分 12 分)如图 3,在直三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中,△ A B C 为等腰直角三角形,
A1

? B A C ? 9 0 ,且 A B ? A A1 , E 、 F 分别为 B C 、 C C 1 的中点.

?

B1 A B

C1 F

(1)求证: B 1 E ⊥平面 A E F ; (2)当 A B ? 2 时,求点 E 到平面 B1 A F 的距离.
E

C

19. (本小题满分 12 分)近年空气质量逐渐恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重, 大气污染会引起多种心肺疾病.空气质量指数(AQI)是国际上常用来衡量空气质量的一种指标, 空气质量指数在 (0, 5 0 ) 为优良,在 (5 0,1 0 0 ) 为中等,在 (1 0 0 ,1 5 0 ) 为轻度污染,在 (1 5 0, 2 0 0 ) 为 中度污染,??.某城市 2012 年度的空气质量指数为 110(全年平均值) ,对市民的身心健康产 生了极大影响,该市政府为了改善空气质量,组织环保等有关部门经过大量调研,准备采用两种 方案中的一种治理大气污染,以提高空气质量.根据发达国家以往的经验,若实施方案一,预计 第一年度可使空气质量指数降为原来的 0.8,0.7,0.6 的概率分别为 0.5,0.3,0.2,第二年度使空 气质量指数降为上一年度的 0.7,0.6 的概率分别为 0.6,0.4;若实施方案二,预计第一年度可使 空气质量指数降为原来的 0.8,0.7,0.5 的概率分别为 0.6,0.3,0.1,第二年度使空气质量指数降 为上一年度的 0.7,0.6 的概率分别为 0.5,0.5.实施每种方案,第一年与第二年相互独立,设 ? i ( i ? 1, 2 )表示方案 i 实施两年后该市的空气质量指数(AQI) . (1)分别写出 ? 1 , ? 2 的分布列(要有计算过程) ; (2)实施哪种方案,两年后该市的空气质量达到优良的概率更大? 20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线的顶点在原点, 准线方程为 x ? 1 ,F 是焦点. 过点 A ( ? 2 , 0 ) 的直线与抛物线交于 P ( x1 , y 1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) 两点,直线 P F , Q F 分别交抛物线于点 M , N . (1)求抛物线的方程及 y 1 y 2 的值; (2)记直线 P Q , M N 的斜率分别为 k 1 , k 2 ,证明:
k1 k2

为定值.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ?

mx 4 x ? 16
2

, g (x) ? ?

?1? ? ?2?

|x ? m |

,其中 m ? R 且 m ? 0 .

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(1)判断函数 f ( x ) 的单调性; (2)当 m ? ? 2 时,求函数 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 在区间 ? ? 2, 2 ? 上的最值; (3)设函数 h ( x ) ? ?
? f ( x ) ,x ? 2 , ? g ( x ), x ? 2 ,

当 m ? 2 时 , 若 对 于 任 意 的 x1 ? ? 2 , ? ? ? , 总 存 在 唯 一 的

x 2 ? ? ? ? , 2 ? ,使得 h ( x1 ) ? h ( x 2 ) 成立,试求 m 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时 请写清题号. 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何选讲】 如图 4, 已知 A B , C D 是圆 O 的两条平行弦, 过点 A 引圆 O 的切线 E P 与 D C 的延长线交于点 P ,
A

? F 为 C D 上的一点,弦 F A , F B 分别与 C D 交于点 G , H .

B O H D F G C P

(1)求证: G P ? G H ? G C ? G D ; (2)若 A B ? A F ? 3 G H ? 9 , D H ? 6 ,求 P A 的长. 23. (本小题满分 10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 已知椭圆 C 的极坐标方程为 ? ?
2

12 3 c o s ? ? 4 s in ?
2 2

,点 F1 , F 2 为其左右焦点.以极点为原点,

? 2 t, ?x ? 2 ? ? 2 极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数, 2 ? y ? t, ? ? 2
t?R ) .

(1)求直线 l 的普通方程和椭圆 C 的直角坐标方程; (2)求点 F1 , F 2 到直线 l 的距离之和. 24. (本小题满分 10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】 已知函数 f ( x ) ? lo g 2 ? | x ? 1 | ? | x ? 5 | ? 1 ? . (1)当 a ? 5 时,求函数 f ( x ) 的定义域; (2)若函数 f ( x ) 的值域为 R ,求实数 a 的取值范围.

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云南师大附中 2013 届高考适应性月考卷(八)理科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 B 2 B 3 B 4 D 5 B 6 C 7 D 8 A 9 A 10
?1 ? ? , ??? ?e ?

11 B

12 B

【解析】 4. S 1 7
? 1 7 ( a1 ? a1 7 ) 2 ? 1 7 a9

, a3

? a 9 ? a 1 5 ? 3 a 9 ? 9 ,∴ a 9 ? 3

.故选 D.

5.依题意,知 i

? 1, n ? 2 , S ? 0 ? 1 1? 2 1 1? 2 1 2?3 1 2?3

1 1? 2

,

i ? 2 , n ? 3, S ?

?

, 1 3? 4

i ? 3, n ? 4 , S ?

?

?

,

??
i ? 2 0 1 3, n ? 2 0 1 4 , S ? 1 1? 2 ? 1 2?3 ? 1 3? 4 ?? ? 1 2013 ? 2014 ?1? 1 2014 ? 2013 2014

. 故选 B.

6.随机变量 ? 服从二项分布,所以方差 D (? ) ?

n p (1 ? p ) ? 3 0 ?
? ABC

1 6

1 ? 25 ? ? ?1 ? ? ? 6? 6 ?

.故选 C.

7.由题图可知,几何体为如图 1 所示的三棱锥 P 其中 P A
AB ?



? A C ? 1, P A ? A C , P A ? A B

,由俯视图可知,

5 , BC ? 2 2



PB ?
2

6

,故选 D.
图1
2 2 2

8. z

? x + 2 x ? y ? ( x ? 1) ? y ? 1 ,

用线性规划,可求得 ( x ? 1) 2 9. f ( x
? 2) ? ? 2 f ( x ? 1) ? ? ? 2 2

? y

2

的范围是 ?

?17 ? 9

? , 4? ?
? 2

,所以 z ? ?
f (x)

?8 ?9

? , 3? ?

.故选 A.
2014)

? f (x)

, 周期 T

, 因为

在区间 ( 2 0 1 3,

上单调递增,

f (x)

所以

f (x)

在区间 ( ? 1,

0)

上单调递增,又

f (x)

在 R 上是偶函数,所以
? ? ? π 2

f (x)

在区间 (0,
0? π 2

1)

上单调
π 2

递减.因为 ?, ? 是锐角三角形的两个内角,有 ?

,即

? ? ?? ?



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?π ? sin ? ? sin ? ? ? ? ? c o s ? ? 2 ?

,从而,

f (sin ? ) ? f (co s ? )

.故选 A.

10. ln x ? a ( x ? 2 e ) ? 2 = 0 令 y1

? ln x = a ( x ? 2 e ) + 2

, 过定点 ( 2 e ,
1 x

? ln x , y 2 ? a ( x ? 2 e ) ? 2 ? a ( x ? 2e) ? 2

,直线 y 2

? a ( x ? 2e) ? 2

2)



设直线 y 2

与 y1 的切点为 ( x 0 ,
ln x 0 ? 2 x 0 ?2e

ln x 0 )

,由于 y 1? ?


1 e

所以,切线斜率 a 当a ? ?
?1 ? , ??? ?e ?

?

1 x0

?

, x 0 ln x 0 ? 3 x 0 ? ? 2 e , ∴ x 0 ? e , a ?



时,直线 y 2

? a ( x ? 2e) ? 2

与 y1 的图象有 2 个交点. ,则 | x | ? |
y |? 1

11.设到原点的“折线距离”为 1 的点为 ( x ,

y)



其轨迹为如图 2 所示的正方形,所以①正确,②错误; 设到 M
( ? 1, 0 ), N (1, 0 )

两点的“折线距离”相等的点为 ( x ,

y)



则| x ? 1 | ? | 从而 x
? 0

y | ? | x ? 1 | ? | y |, | x ? 1 | ? | x ? 1 | ,
图2

,所以③正确.故选 B.
x
2

12.设双曲线

?

y

2

? 1 的右焦点为 F ? ,则 F ( ?

7 , 0 ), F ? ( 7 , 0 )

,由双曲线定义知

5

2

| Q F |? | Q F ? | ? 2 5



| Q F | ? | P Q |? | Q F ? | ? | P Q | ? 2 5
|) m in ? 3



当C,

P, Q, F ?

共线时, (| Q F ? | ? | P Q



∴ (| Q F | ? | P Q |) m in ? 3 ? 2 5

.故选 B.

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 【解析】 14.如图 3 所示,点 C 的轨迹为射线 A C ? (不含端点 A) , 当 BC 15.
? AC

13
? 4 2 9

14 3

15 54

16
3 ?1

时, |

??? ? ???? ??? ? A B ? A C | m in ? | C B | m in ? 3


图3

f (1) ? f ( 2 ) ? … ? f ( m ) ? lo g 2 3 ? lo g 3 4 ? lo g 4 5 ? … ? lo g ( m ? 1) ( m ? 2 )

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? lo g 2 ( m ? 2 ) ? k

,m

? 2 ?2
k

,∵ m ? [1,

2 0 1 3], k ? N

*

, 210

? 1024, 2

11

? 2013 ,

所以, k 值组成的集合为 {2, 16.不妨设 | A B
|? 2

3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9, 1 0} , 2 ? 3 ? … ? 9 ? 1 0 ? 5 4
? π ?? ? ? ? ? ? ? ? 0, ?? 2 ?? ? ?



,圆心为 O, ? B O C



则| CD

|? 2 co s ? , | B C | ?

2 ? 2 co s ?



梯形 ABCD 的周长为 L
? 1? ? ? ? 4 ? s in ? ? ? 5 2 2? ?
2

? ? 2 ? ? ? 2 ? 2 co s ? ? 2 2 ? 2 co s ? ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 sin ? ? 4 sin 2? 2 ?



当 s in

?
2

?

1 2

, ? ?
?

π 3

时,梯形 ABCD 的周长最大,此时, |
? | AB | | DB | ? | DA | ? 2 3 ?1 ? 3 ?1.

A D | ? 1, | B D | ?

3



椭圆的离心率 e

2c 2a

三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为点 ( a n ,
Sn )

在直线 y

? 3x ? 4

上,所以 S n ,

? 3an ? 4

, S n ?1

? 3 a n ?1 ? 4



a n ?1 ? S n ?1 ? S n ? 3 a n ?1 ? 3 a n

,化简得 2 a n ? 1
? 3 2

? 3an

所以数列 { a n } 为等比数列,公比 q
n ?1

,由 S 1

? a1 ? 3 a1 ? 4

得 a1

? ?2



故 an

? a1 q

?3? ? ?2 ?? ? ?2?

n ?1

(n ? N ) .
*

?????????????????(6 分)

(Ⅱ)因为 所以 T n

bn ? n a n ( n ? N )
*



? b1 ? b 2 ? b3 ? b 4 ? ? ? b n ? 1 ? b n
2 3 n?2 n ?1

? 3 ?3? ?3? ?3? ? ? 2 ?1 ? 2 ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? ( n ? 1) ? ? ? 2 2? 2? ? ? ?2? ? ?
2 3 4

?3? ? n?? ? ?2?

? ? ? ?

,①

?3 ?3? ?3? ?3? ?3? ? T n ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? ( n ? 1) ? ? ? 2 ?2? ?2? ?2? ?2? ?2 ? 3 ? 3 ?3? ?3? ?3? ? T n ? ? 2 ?1+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ?2? ?2? ?2? ? ?
2 3 n ?1

n ?1

?3? ? ? n?? ? ? ?2? ? ?
n

,②

① ? ②得 ?

1

?3? ? ? n?? ? ? ?2? ? ?
n



???(8 分)

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? 3 ?3? ?3? ?3? T n ? 4 ?1+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?2? ?2? ?2? ? ?
2 3

n ?1

?3? ? ? n?? ? ? ?2? ? ?
n

?3? 1? ? ? ?2? ? 4? 3 1? 2

n

?3? ?3? * ? 4 n ? ? ? ? 4(2 ? n ) ?? ? ? 8(n ? N ) ?2? ?2?

n

n



????????(12 分)

18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:在直三棱柱 A B C
∵ △ ABC

? A1 B1 C 1

中,不妨设 |

A B | ? | A A1 | = a



为等腰直角三角形, ? B A C
2a

? 90? ,

∴ B C ? | B1 C 1 |?




E、F 分别为 BC、 C C 1 的中点,
2

? 2 ? 3 2 2 ∴ | B1 E | ? | B E | ? | B B1 | ? ? a? ? a ? a ? 2 ? 2 ? ?
2 2 2 2



? 2 ? 1 2 3 2 | E F | ?| E C | ? | C F | ? ? a? ? a ? a , ? 2 ? 4 4 ? ?
2 2 2

| B1 F | ? | B1 C 1 | ? | C 1 F | ? 2 a ?
2 2 2 2

1 4 9 4

a

2

?

9 4

a

2


2

有 | B1 E

| ? | EF | ?
2 2

3 2

a ?
2

3 4

a

2

?

a

2

? | B1 F |



∴ B1 E ? E F

, 平面 ABC,∴ B1 E
? AE

又∵ A E
∴ B1 E ?

? B C , B1 B ?

, AE

? EF ? E



平面 AEF.

???????????????????????(6 分)

(Ⅱ)解:由条件知,
| A E |? 2 , | B1 E | ? 6 , | E F |? 3 , | A F |? 5



| A B1 | ? 2 2 , | B1 F | ? 3
∵ AE ? EF


? 1 2 ?

?????????????????????(8 分)
| A E | ? | E F |? 8?5?9 2?2 2? 5 1 2 ? 1 10 ? 2? 3 ? 6 2 , s in ? B 1 A F ? 3 10

,∴ S △ A E F

, ,

在 △ A F B1 中, c o s ? B1 A F

167331769.doc-第 9 页 (共 16 页)

∴ S △ AB

1F

?

1 2

| A B 1 | ? | A F | sin ? B 1 A F ?

1 2

?2

2?

5?

3 10

? 3,

??????(10 分)

设点 E 到平面 B1 A F 的距离为 d , 则d
? S △ AB
1F

? | B1 E | ? S △ A E F
6 2 3 ?1



6?

所以 d

?

, ??????????????????(12 分)

即点 E 到平面 B1 A F 的距离为 1. 19. (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)依题意, ? 1 的可能取值为: 3 9 .6, 因为第一年与第二年相互独立, 所以 P (? 1
? 3 9 .6 ) ? 0 .2 ? 0 .4 ? 0 .0 8

4 6 .2, 5 2 .8, 5 3 .9, 6 1 .6



????(1 分)

, P (? 1

? 4 6 .2 ) ? 0 .2 ? 0 .6 ? 0 .3 ? 0 .4 ? 0 .2 4



P (? 1 ? 5 2 .8) ? 0 .5 ? 0 .4 ? 0 .2 0 P (? 1 ? 6 1 .6 ) ? 0 .5 ? 0 .6 ? 0 .3 0

, P (? 1 .

? 5 3 .9 ) ? 0 .3 ? 0 .6 ? 0 .1 8



???????????????????(3 分)

所以, ? 1 的分布列为:
?1
P
3 9 .6 4 6 .2 5 2 .8 5 3 .9 6 1 .6

0 .0 8

0 .2 4

0 .2 0

0 .1 8

0 .3 0

???????????????????????????(4 分)
?2

的可能取值为: 3 3,

3 8 .5, 4 6 .2, 5 2 .8, 5 3 .9, 6 1 .6



??????????(5 分) , , , ???????(7 分)

P (? 2 ? 3 3) ? 0 .1 ? 0 .5 ? 0 .0 5

, P (? 2

? 3 8 .5) ? 0 .1 ? 0 .5 ? 0 .0 5

P (? 2 ? 4 6 .2 ) ? 0 .3 ? 0 .5 ? 0 .1 5 P (? 2 ? 5 3 .9 ) ? 0 .3 ? 0 .5 ? 0 .1 5

, P (? 2 , P (? 2

? 5 2 .8) ? 0 .6 ? 0 .5 ? 0 .3 0

? 6 1 .6 ) ? 0 .6 ? 0 .5 ? 0 .3 0

所以, ? 2 的分布列为:
?2
33
3 8 .5 4 6 .2 5 2 .8 5 3 .9 6 1 .6

167331769.doc-第 10 页 (共 16 页)

P

0.05

0.05

0.15

0.30

0.15

0.30

????????????????????????????(8 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知, P (? 1 ≤ 5 0 ) ?
0 .0 8 ? 0 .2 4 ? 0 .3 2



P (? 2 ≤ 5 0 ) ? 0 .0 5 ? 0 .0 5 ? 0 .1 5 ? 0 .2 5 P (? 1 ≤ 5 0 ) ? P (? 2 ≤ 5 0 )



, ????(12 分)

所以,实施方案一,两年后该市的空气质量达到优良的概率更大. 20. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)解:依题意,设抛物线方程为 y 2 由准线 x
? p 2 ? 1 ,得 p ? 2

? ?2 px( p ? 0) ,

, . ??????????????????(2 分) ,代入 y 2 ,
? ?4 x

所以抛物线方程为 y 2 设直线 P Q 的方程为 x 消去 x ,整理得 y 2 从而 y1 y 2
? ?8

? ?4 x

? my ? 2



? 4my ? 8 ? 0



????????????????????????(6 分)
( x 3 , y 3 ), N ( x 4 , y 4 )

(Ⅱ)证明:设 M


? y4
2



k1 k2

?

y1 ? y 2 x1 ? x 2

?

x3 ? x 4 y3 ? y4

?

y1 ? y 2 y1
2

?4

?

y2

2

? 4 ? y3 ? y4 ? ?4 y3 ? y4 y1 ? y 2

y3

2



???????(8 分)

?4
2

设直线 P M 的方程为 x 消去 x ,整理得 y 2 所以 y1 y 3 同理 y 2 y 4
? ?4 ,

? n y ? 1 ,代入 y ? ? 4 x



? 4ny ? 4 ? 0



? ?4


?4 ?

????????????????????????(10 分)
?4 y2 ? ?4 y1 y 2 ? ?4 ?8 ? 1 2



k1 k2

?

y3 ? y4 y1 ? y 2

?

y1

y1 ? y 2

,为定值.

??????????(12 分)

21. (本小题满分 12 分)
167331769.doc-第 11 页 (共 16 页)

解: (Ⅰ)依题意, 当m 所以 当m 所以
?0

f ?( x ) ?

m (4 ? x )
2

4( x ? 4)
2

2

?

m ( 2 ? x )( 2 ? x ) 4( x ? 4)
2 2

, 或x
? 2

时,

f ? ( x ) ? 0 ? ? 2 ? x ? 2, f ? ( x ) ? 0 ? x ? ? 2



f (x)
?0

在 (?2,

2 ) 上单调递增;在 ( ? ? , ? 2 ), ( 2, ? ? )

上单调递减.
? 2

时,

f ? ( x ) ? 0 ? ? 2 ? x ? 2, f ? ( x ) ? 0 ? x ? ? 2

或x



f (x)

在 (?2,

2 ) 上单调递减;在 ( ? ? , ? 2 ), ( 2, ? ? )

上单调递增. ????(4 分)

(Ⅱ)当 m
?1? g (x) ? ? ? ?2?

? ? 2, ? 2≤ x ≤ 2
?1? ? ? ? ?2?
x?m

时,
?1? ?? ? ?2?
x

|x ? m |

? 2

m

在 [ ? 2,

2]

上单调递减.

由(Ⅰ)知, 所以 F ( x ) ?

f (x)

在 (?2,

2 ) 上单调递减,
x

f (x) ? g (x) ?

m ? 1 ? ? 2 ? ? 2 4 x ? 16 ?2?

mx

在 (?2,

2)

上单调递减.

∴ F ( x ) m ax ? F ( ? 2 ) ? 4 ? 2 F ( x ) m in ? F ( 2 ) ? 2
m?2

m

?

m 16

? 2

m?2

?

m 16



?

m 16



?????????????????????(8 分)
m x1 4 x1 ? 1 6
2

(Ⅲ)当 m≥ 2 , x1 ? [ 2 , 由(Ⅰ)知 h ( x1 ) 在 [ 2 , 从而 h ( x1 ) ? (0,

? ? ) 时, h ( x1 ) ? f ( x1 ) ?



? ?)

上单调递减, ;
| x2 ? m |

m ? ? f ( 2 )] ,即 h ( x1 ) ? ? 0 , ? 16 ? ?

??????????????(9 分)
?1? ? ? ? ?2?
m ? x2

当 m≥ 2 , x 2

? 2

时, h ( x 2 ) ?

?1? g ( x2 ) ? ? ? ?2?

?1? ? ? ? ?2?

m

?2

x2

,在 ( ? ? ,

2)

上单调递增,

? ?1? 从而 h ( x 2 ) ? (0 , g ( 2 )) ,即 h ( x 2 ) ? ? 0 , ? ? ? ?2? ?

m?2

? ? ? ?



???????????(10 分)

对于任意的 x1 ? [ 2 ,
?1? ? ? ? 16 ? 2 ? m
m?2

? ? ) ,总存在唯一的 x 2 ? ( ? ? , 2 )
m?2

,使得 h ( x1 ) ?

h ( x 2 ) 成立,

只需

,即

?1? ?? ? 16 ? 2 ? m
m?2

? 0

成立即可.

记函数 H ( m ) ?

?1? ?? ? 16 ? 2 ? m

,易知 H ( m ) ? .

?1? ?? ? 16 ? 2 ? m

m?2

在[2,

? ?)

上单调递增,且 H ( 4 ) ? 0 ,

所以 m 的取值范围为 [ 2 ,

4)

???????????????????(12 分)

167331769.doc-第 12 页 (共 16 页)

22. (本小题满分 10 分) 【选修 4?1:几何证明选讲】 (Ⅰ)证明:∵ P E 与圆 O 切于点 A , ∴ ?EAB
? ?BFA



∵ A B // C D , ∴ ?EAB
? ?APD


??HFG ? ?APG , ?? HGF ? ? AGP,

在 △ H G F 和 △ A G P 中, ? ∴ △ H G F ∽△ AGP , ∴GH
?G P ? G F ?G A

????????????????????????(2 分)

. , ???????????????????????(5 分)

又∵ G C ∴GP

?G D ? G F ?G A

?G H ? G C ?G D

. ,

(Ⅱ)解:∵ A B ∴ ?ABF

? AF

? ?AFB ? ?APH



又∵ A B // C D , ∴四边形 A B H P 为平行四边形, ∴ AB ∴GP ∴GC ∴ PC
? PH ? 9

??????????????????(7 分)

, ,
? 2

? PH ? GH ? 6

?

G P ?G H GD

?

6?3 9



? 4



∵ P A 是⊙ O 的切线, ∴ PA2
? PC ? PD

, PA

? 2 15



??????????????????(10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】 解: (Ⅰ)由 l 的参数方程消去 t ,得 y 故直线 l 的普通方程为 x ? 由?2
? 12 3 co s ? ? 4 sin ?
2 2

? x?2



y?2? 0


2

????????????????(2 分)
2

? 3( ? co s ? ) ? 4 ( ? sin ? ) ? 1 2



而?

? x ? ? cos ? , ? y ? ? s in ? ,

所以 3 x 2

? 4 y ? 12
2

,即

x

2

?

y

2

?1



4

3

167331769.doc-第 13 页 (共 16 页)

故椭圆 C 的直角坐标方程为 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, F1 ( ? 1, 点 F1 ( ? 1, 点 F2 (1,
0 ) 到直线 l

x

2

?

y

2

?1

. ,
?

??????????????(6 分)

4

3

0 ), F 2 (1, 0 )

的距离 d 1

?

| ?1 ? 0 ? 2 | 2

3 2 2



0)

到直线 l 的距离 d 2 ,所以点 F1 ,
F2

?

|1 ? 0 ? 2 | 2

?

2 2


2

d1 ? d 2 ? 2 2

到直线 l 的距离之和为 2



???????(10 分)

24. (本小题满分 10 分) 【选修 4?5:不等式选讲】 解: (Ⅰ) 当 a
? 5

时,要使函数
0

f ( x ) ? log 2 (| x ? 1 | ? | x ? 5 | ? a)

有意义,

需 | x ? 1 | ? | x ? 5 | ?5 ?

恒成立.

? x ≤ 1, ?1 ? x ? 5, ? x≥ 5, | x ? 1 | ? | x ? 5 | ?5 ? 0 ? ? 或 ? 或 ? ??2 x ? 1 ? 0 ??1 ? 0 ?2 x ? 11 ? 0
? x ? 1 2 或x ? 11 2


? ? 1 ? ? 11 ? , ??? ??? 2? ? 2 ?

所以函数

f (x)

的定义域为 ? ? ? ,



???????????(5 分)

(Ⅱ)函数

f (x)

的值域为 R,需要 g ( x ) ? | x ? 1 | ? | x ? 5 | ? a 能取到所有正数,

即 g ( x ) m in ≤ 0 .
? 6 ? 2 x , x ? 1, ? 由 | x ? 1 | ? | x ? 5 |? ? 4 , 1≤ x ≤ 5, ? 2 x ? 6 , x ? 5, ?

易知 | x ? 1 | ? |

x ? 5 | ≥4



故 g ( x ) m in

? 4 ? a≤ 0

,得 a≥ 4 ,所以实数 a 的取值范围为 a≥ 4 .

?????(10 分)

167331769.doc-第 14 页 (共 16 页)

云南师大附中 2013 届高考适应性月考卷(八) ·双向细目 表理科数学
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 命题 思想 题型 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 填空题 填空题 填空题 填空题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 达成 目标 分值 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 12 分 12 分 12 分 12 分 12 分 10 分 10 分 10 分 优秀率 5% 试题内容 复数 集合 立体几何 数列 程序框图 概率与统计 三视图 线性规划 函数与三角 函数 解析几何 解析几何 三角 向量 函数 函数、解析几何 数列 立体几何 概率 圆锥曲线 导数应用 平面几何 参数方程 不等式 及格率 60% 难易程度 易 易 易 易 易 易 易 中 中 中 中 难 易 易 中 难 易 易 中 中 难 中 中 中 平均分 90~100 备注

167331769.doc-第 15 页 (共 16 页)

1. 检查双基的掌握情况,常规解题方法。 2. 突出体现函数思想、数形结合、分类讨论、特值思想。

167331769.doc-第 16 页 (共 16 页)


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