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2014高考数学(文科)陕西卷真题答案解析


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2014 高考数学(文科)陕西卷真题答案解析
举国瞩目的 2014 高考已结束,新东方在线高考名师团队联合西安新东方高考名师第一 时间对 2014 高考北京物理真题进行了点评,希望能对考生、家长有所帮助,也希望对 2015 题号 题目 文科 1
2 设 集 合 M ? x x ?

0, x ? R , N ? x x ? 1, x ? R , 则 M

?

?

?

?

N?



) A. ?0, 1? D. ?0,1? B. ? 0,1? C. ? 0, 1?

真题解析 考点

D; N ? ??1 ? x ? 1? , M

N ? ?0,1? 。

考察解不等式及集合的交并补关系;

高考考生提供借鉴。以下是西安新东方高考数学名师对 2014 陕西高考数学(文科)真题的 解析和点评。

题号 题目

文科 2 函数 f ? x ? ? cos ? 2 x ?

? ?

??

? 的最小正周期是( 4?
B. ?



A.

? 2

C. 2?

D. 4? 真题解析

B;考察三角函数的周期, T ?

2?

?



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考点

T?

2? ?? 2

题号 题目

文科 3 已知复数 z ? 2 ? i ,则 z z 的值为( A. 5 D. 3 B. 5 ) C. 3

真题解析 考点 题号 题号 题目 题目

A;由 z ? 2 ? i 及共轭复数的概念可知, z ? 2 ? i ,故 z z ? 5 考察共轭复数的概念及复数的运算 文科 4 文科 5 根据右边框图,对于大于 2 的整数 N ,输 将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体 出的数列的通项公式是( ) 的侧面积是( ) A. an ? 2n B. an ? 2 ? n ?1? A. 4? B. 3? C. 2? D C. ? an ? 2n D. an ? 2n?1

真题解析

C; 旋转后为半径为 1 的圆柱,侧面展开图是个矩形, S ? 1? 2? R ? 2?

真题解析 考点

C; ai ? 2 ? Sn ? 2 ? ai ?1 ,最终得 an ? 2n 考察程序框图和数列通项公式;

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考点

考察几何旋转体中圆柱的侧面积。

题号 题目

文科 6 从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距 离小于该正方形边长的概率为( ) A.

1 5 4 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

真题解析

2 B;其中五个点中任意取 2 个点,C5 ? 10 ,其中小于该正方形边长

的即中心到 4 个顶点,即有 4 个满足小于该正方形边长的情况,即概率

P?
考点

4 2 ? 10 5
综合题目,考察了概率中的古典概型和两点间距离;

题号 题目

文科 7 下列函数中, 满足 “ f ? x ? y? ? f ? x? f ? y ? ” 的单调递增的函数是 ( A. f ? x ? ? x3 D. f ? x ? ? ? ? B. f ? x ? ? 3x
x



C. f ? x ? ? x 2

1

?1? ?2?

真题解析

B;其中 f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? 的抽象函数表达式是指数函数类型,只 有 B,D,单调递增的函数是 D。

考点

考察抽象函数表达式和函数运算性质及函数单调性;

题号

文科 8

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题目 原命题为“若

an ? an ?1 ? an , n ? N? ,则 ?an ? 为递减数列” ,关于其 2


逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( A.真,真,真 D.假,假,假 真题解析 B.假,假,真 C.真,真,假

A; 其中命题真假关系式: 原命题与逆否命题真假性一致, 逆命题与否命 题真假性一致。其中原命题为真命题,则逆否命题为真,其中逆命题 “ ?an ? 为递减数列,则

an ? an ?1 ? an ”为真,故否命题也为真。 2

考点

考察数列性质和命题逻辑真假关系。

题号 题目

文科 9 某公司 10 位员工的月工资(单位:元)为 x1 , x2 ,?, x10 ,其均值和 方差分别为 x 和 s , 若从下月起每位员工的月工资增加 100 元, 则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为( A. x , s ? 100
2 2 2

) B .

x ? 100 ,

s 2 ? 1002
C. x , s
2

D. x ? 100 , s

2

真题解析

D; 其中每个数据同时加减一个数 a ,平均值加减数 a ,方差不变。则 根据平均值和方差的特点,选择 x ? 100 , s
2

考点

考察样本数据的平均值和方差。

题号 题目

文科 10 如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相 切) 。已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析

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式为(



A. y ?

1 3 1 2 x ? x ?x 2 2
1 3 1 2 x ? x ? 3x 2 2

B. y ?

C. y ?

1 3 x ?x 4 1 3 1 2 x ? x ? 2x 4 2

D. y ? 真题解析

A;

y ? ax3 ? bx2 ? cx ? d , 函 数 经 过 ? 0, 0 ? 点 , 则 d ? 0 ,

y ? ax3 ? bx2 ? cx ,又函数过 ? 2, 0 ? 点,且函数在 ? 0, 0 ? 点和 ? 2, 0 ? 点处
2 切线方程分别为 y ? ? x 和 y ? 3x ? 6 ,故求导 y? ? 3ax ? 2bx ? c ,三

式联立,得函数解析式为 y ? 考点 题号 题目

1 3 1 2 x ? x ?x 2 2

考察实际问题和函数解析式间的转换及函数切线问题; 文科 11 抛物线 y ? 4 x 的准线方程为_____
2

真题解析

x ? ?1 , 由抛物线方程可知 2 p ? 4 , 所以
考点 对应班级 考察圆锥曲线的准线方程 高考数学文综冲刺班(冲刺串讲)

p ? 1, 故准线方程为 x ? ?1 2

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题号 题目

文科 12 已知 4 ? 2 , lg x ? a ,则 x ? ____.
a

真题解析

10 ; a ? log 4 2 ?
考点 考察指对数运算;

1 1 1 , lg x ? a ? ? lg10 ? lg 10 ,则 x ? 10 ; 2 2 2

题号 题目

文科 13 设0 ?? ?

?
2

,向量 a ? ? sin 2? ,cos? ? , b ? ?1, ? cos? ? ,若 a b ? 0 ,

则 tan ? ? _____ 真题解析

1 2 2 ; 由 a b ? 0 , 则 sin 2? ? cos ? ? 0 , 2sin ? cos ? ? cos ? , 2
0 ?? ?

?
2

,则 tan ? ?

1 ; 2

考点

考察向量坐标运算及向量关系,三角函数中二倍角公式和同角关系式;

题号 题目

文科 14 已知 f ? x ? ?

x , x ? 0 ,若 f1 ? x ? ? f ? x ? , fn?1 ? x ? ? f ? fn ? x ? ? , 1? x

n ? N? ,则 f2014 ? x ? 的表达式为___.
真题解析

x x x ,?, f2 ? x ? ? 1 ? x ? x 1 ? 2014 x ; 1 ? 2 x 1? 1? x x x f 2014 ? x ? ? 1 ? 2013x ? x 1 ? 2014 x 1? 1 ? 2013x

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考点

考察推理证明中的归纳推理。

题号 题目

文科 15

b ,m ,n ? R , ma ? nb ? 5 , A. (不等式选做题) 设a, 且 a ? b ? 5,
2 2

则 m2 ? n2 的最小值为____ B. (几何证明选做题)如图, ?ABC 中, BC ? 6 ,以 BC 为直径的半 圆分别交 AB , AC 于点 E , F ,若 AC ? 2 AE ,则 EF ? _____

C. (坐标系与参数方程选做 题)在极坐标系中,点

? ?? ? 2, ? ? 6?





线

?? ? ? sin ? ? ? ? ? 1 的 距 离 6
? ?
是_____ 真题解析

5 ; 3 ; 1 ; A. a 2 ? b 2 ? 5 ; ? a 2 ? b 2 ?? m2 ? n 2 ? ? ? ma ? nb ? ;
2

m2 ? n 2 ?

ma ? nb a ?b
2 2

?

5 ? 5 5

B. 其 中 四 边 形 EFCB 中 ,

?ACB ? ?BEF ? ? ,而 ?AEF ? ?ACB ? ? ,故
?BEF ? ?AEF ;则 ?AEF

?ABC ,

AC BC ? ? 2 ,得 EF ? 3 AE EF

C.

? ?? ? 2, ? 即 点 ? 6?

?

3,1

?



3 1 ? sin ? ? ? cos ? ? 1 , 则 2 2

3 y ? x ? 2 ? 0 ,则通过点到直线距离公式可得距离是1
考点 A. 考察柯西不等式; B. 考察三角形相似和四边形外接圆; C. 考察极坐 标和直角坐标的转化及点到直线距离;

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题号 题目

文科 16

?ABC的内角A, B, C所对的边分别为a,b,c
(1)若 a,b,c 成等差数列,证明: sin A ? sin C ? 2sin( A ? C ) (2)若 a,b,c 成等比数列,且 c ? 2a ,求 cos B 的值

真题解析

(1)由 a,b,c 成等差数列 得:a+c=2b 由正弦定理得: sin A ? sin C ? 2sin B

sin B ? sin ?? ? ( A ? C)? ? sin( A ? C)
即: sin A ? sin C ? 2sin( A ? C ) (2)由题意得 b2 ? ac, c ? 2a,?b ? 2a, 由余弦定理得 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? 4a 2 ? 2a 2 3 ? ? 2ac 4a 2 4

考点

诱导公式、等差等比中项、余弦定理

题号 题目

文科 17 四面体 ABCD 及其三视图如图所示, 平行于棱 AD,BC 的平面分别交四面体的棱 AB,BD,DC,CA 于点 E,F,G,H. (1) 求四面体 ABCD 的体积; (2) 证明:四边形 EFGH 是矩形.

真题解析

(1)由该四面体的三视图可知: BD ? DC, BD ? AD, AD ? DC, BD ? DC ? 2, AD ? 1
? AD ? 平面BDC ?四面体体积V ? 1 1 2 ? ? 2 ? 2 ?1 ? 3 2 3

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(2) ? BC//平面EFGH,平面EFGH ? 平面BDC ? FG,平面EFGH ? 平面ABC ? EH ? BC//FG, BC//EH ? FG // EH 同理EF // AD, HG // AD ? EF // HG ?四边形EFGH是平行四边形 又 ? AD ? 平面BDC ? AD ? BC, EF ? FG ?四边形EFGH是矩形。

考点

几何体体积的计算;线面垂直、平行性质应用

题号 题目

文科 18 在 直 角 坐 标 系

xOy











A(1,1), B(2,3), C(3, 2), 点P( x, y)在?ABC 三边围成的区域(含边
界)上,且 OP ? mAB ? nAC (m, n ? R)

2 ,求 OP 3 (2) 用 x , y 表示 m ? n ,并求 m ? n 的最大值
(1) 若 m ? n ? 真题解析 (1)由 m ? n ?

2 , 3 AB ? ?1, 2 ? , AC ? (2,1),

? OP ?

2 2 (1, 2) ? (2,1) ? (2, 2) 3 3

? OP ? 22 ? 22 ? 2 2
(2)由题意得:

OP ? m ?1, 2 ? ? n ? 2,1? ? ? m ? 2n, 2m ? n ? ? x ? m ? 2n ?? ? y ? 2m ? n 两式相减,得m ? n ? y ? x

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令 y ? x ? t ,由图知,当直线 y ? x ? t 过点 ? 2,3? 时,t 取得最 大值 1,故 m ? n 的最大值为 1.

考点 题号 题目

向量坐标运算;线性规划 文科 19 某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车 辆中每辆车的赔付结果统计如下: 赔付金额 (元) I. II. 0 1000 130 2000 100 3000 150 4000 120

车辆数 (辆) 500

若每辆车的投保金额均为 2800 元,估计赔付金额大于投保金额的 概率; 在样本车辆中,车主是新司机的占 10%,在赔付金额为 4000 元 的 样本车辆中,车主是新司机的占 20%,估计在已投保车辆中,新司 机获赔金额为 4000 元的概率.

真题解析

(1)设 A 表示事件“赔付金额为 3000 元” ,B 表示事件“赔付金额为 4000 元” ,以频率估计概率得 P(A)=错误!未找到引用源。=0.15,P(B)=错误!未找到引用源。=0.12. 由于投保金额为 2800 元,赔付金额大于投保金额对应的情形是 3000 元 和 4000 元,所以概率为 P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27. (2)设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔 4000 元” ,由已知,样本 车辆中车主为新司机的有 0.1 ? 1000=100 辆, 而赔付金额为 4000 元的车 辆中,车主为新司机的有 0.2 ? 120=24 辆,所以样本车辆中新司机车主 获赔金额为 4000 元的频率为错误!未找到引用源。 ,由频率估计概率得 P(C)=0.24 本题第一问为互斥事件有一个发生的概率与古典概型的结合;第二问为 典型的古典概型问题

考点

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题号 题目

文科 20

y2 x2 1 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )经过点 0, 3 ,离心率为 , 2 a b
左右焦点分别为 F 1 ? ?c,0? , F 2 ? c,0? .

?

?

?? ? 求椭圆方程;

??? ? 若直线 l1 : y ? ? 1 x ? m 与椭圆交于 A, B 两点,与以 F1F2 为直
2
径的圆交于 C , D 两点,且满足

AB 5 3 ,求直线 l 的方程. ? CD 4
?b ? 3 ? ?c 1 (1)由题意得 ? ? , ?a 2 ?b 2 ? a 2 ? c 2 ?
解得 a ? 2, b ? 3, c ? 1

真题解析

? 椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

(2)由题意得以 F1F2 为直径的圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 1

?圆心到直线l的距离d ?

2m 5

,由d ? 1得 m ?

5 . (*) 2

4 2 ? CD ? 2 1 ? d 2 ? 2 1 ? m2 ? 5 ? 4m2 5 5
设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

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1 ? y ?? x?m ? ? 2 由? 2 2 ?x ? y ?1 ? 3 ?4

得 x 2 ? mx ? m2 ? 3 ? 0

由求根公式可得 x1 ? x2 ? m, x1 x2 ? m2 ? 3

? ? 1 ?2 ? 2 15 ? AB ? ?1 ? ? ? ? ? ? m ? 4 ? m 2 ? 3? ? ? 4 ? m2 ? ? 2 ? ? 2? ? ? ?
由 AB CD ? 5 3 4 ? m2 得 ?1 4 5 ? 4m 2

解得 m ? ?

3 , 满足(*) 3

1 3 1 3 ? 直线l的方程为y=- x ? 或y ? - x ? 2 3 2 3

考点

椭圆方程;椭圆、圆的弦长公式;

题号 题目

文科 21 设函数 f ( x ) ? ln x ?

m ,m? R . x

(1)当 m ? e ( e 为自然对数的底数)时,求 f ( x) 的极小值;

x 零点的个数; 3 f (b) ? f (a) ? 1 恒成立,求 m 的取值范围. (3)若对任意 b ? a ? 0, b?a
(2)讨论函数 g ( x) ? f ?( x) ? 真题解析 (1)由题设,当 m ? e 时, f ( x) ? ln x ?

e x?e ,则 f ?( x) ? 2 , x x

? 当 x ? (0, e), f ?( x) ? 0, f ( x) 在 (0, e) 上单调递减,
当 x ? (e,??), f ?( x) ? 0, f ( x) 在 (e,??) 上单调递增,

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e ? x ? e 时, f ( x) 取得极小值 f (e) ? ln e ? =2, e

? f ( x) 的极小值为 2.
(2)由题设 g ( x) ? f ?( x) ? 令 g ( x) ? 0 ,得 m ? ? 设 ? ( x) ? ?

x 1 m x ? ? ? ( x ? 0), 3 x x2 3

1 3 x ? x( x ? 0). 3

1 3 x ? x( x ? 0), 则 ??( x) ? ? x 2 ? 1 ? ?( x ? 1)(x ?1) , 3

当 x ? (0,1) 时, ? ?( x) ? 0, ? ( x) 在 (0,1) 上单调递增; 当 x ? (1,??) 时, ? ?( x) ? 0, ? ( x) 在 (1,??) 上单调递减. 且是极大值点, 因此 x ? 1 也是 ? ( x) 的 ? x ? 1 是 ? ( x) 的唯一极值点, 最大值点,

? ? ( x) 的最大值为 ? (1) ?

2 . 3

又 ? (0) ? 0 ,结合 y ? ? ( x) 的图像,可知

2 时,函数 g ( x) 无零点; 3 2 ② 当 m ? 时,函数 g ( x) 有且只有一个零点; 3 2 ③ 当 0 ? m ? 时,函数 g ( x) 有两个零点; 3
① 当m ? ④ 当 m ? 0 时,函数 g ( x) 有且只有一个零点. 综 上 所 述 , 当

m?

2 时,函数 g ( x) 3


无零点;

m?

2 或 m ? 0 时,函 3

数 g ( x) 有且只有一个 零点; 当

0?m?

2 时,函数 g ( x) 有两个零点. 3

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(3)对于任意的 b ? a ? 0,

f (b) ? f (a) ? 1 恒成立, b?a

等价于 f (b) ? b ? f (a) ? a 恒成立 (?) 设 h( x) ? f ( x) ? x ? ln x ?

m ? x( x ? 0), ? (?) 等 价 于 h( x) 在 x

(0,??) 上单调递减.
1 m ? ? 1 ? 0 在 (0,??) 恒成立, x x2 1 2 1 2 得 m ? ? x ? x ? ?( x ? ) ? ( x ? 0) 恒成立, 2 4 1 1 1 , ? m ? (对 m ? , h?( x) ? 0 仅在 x ? 时成立) 4 4 2
由 h?( x ) ?

?1 ? ? m 的取值范围是 ? ,?? ? . ?4 ?
考点 第一问考察不含参求极值最值 第二问考察用参变分离讨论零点问题 第三问考察不等式恒成立求参数取值范围问题

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