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均值不等式讲义学生


编号:001310190G2

智萌教育题库

基本不等式应用
一.基本不等式 1. (1) a, b ? R , a 2 ? b 2 ? 2ab 若 则 2. (1)若 a, b ? R ,则 a ? b ? ab 2
*
2 2 (2)若 a, b ? R , ab ? a ? b (当且仅当 a ? b

时取 则 “=” )

2

(当且仅当 a ? b 时取“=” )
2

(2)若 a, b ? R * ,则 ab ? ? a ? b ? ? ?
? 2 ?

(当且仅当 a ? b 时取“=” )

2 2 3.若 a, b ? R ,则 ( a ? b ) 2 ? a ? b (当且仅当 a ? b 时取“=” )

2

2

技巧一、直接利用公式 例:求下列函数的值域 1 1 (1)y=3x 2+2x 2 (2)y=x+ x

注意:①运用不等式一定注意:一正,二定,三相等,三者缺一不可。 ②若题中字母不是整数,要提两个负号,使之变为正,如(2)

练习:要解题过程 ①设 x>0,则函数 y=2-
4 -x 的最大值为 x

;此时 x 的值是



②已知 x ? 0, f(x) 求 =

12 ? 3x 的最小值为 x

技巧二:凑项 例 :已知 x ?
5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5

1

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注意:目的是把分母消掉,不要忘记当且仅当。

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练习:①已知 x ? 3, 求 y ?

4 ? x 的最小值为 x ?3



②已知 x ? 3, 求 y ?

4 ? x 的最大值为 x ?3

。 (注意正负)

③ 若 x ? 4, 函数 y ? ? x ?

1 ,当 x ? 4? x

时,函数有最



。 (注意正负)

技巧三:凑系数 例: 当 时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。

注意:原式是乘法的题型,要配系数,配成和括号里 x 的系数的绝对值一样即可。 3 练习:①设 0 ? x ? ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2

②. 设 0 ? x ? 1, 则函数 y ? x(1 ? x) 的最大值是



③已知: 0 ? x ?

1 , 则函数 y ? x(1 ? 4 x) 的最大值。 4

技巧四: 分离 x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 例:求 y ? x ?1
解、

)。

注意:分母是什么,分子就配成什么的平方,最后分子的未知量要和分母的一样。 x 2 ? 3x ? 1 练习:①当 x ? ?1 时,求 y ? 的最小值。 x ?1
2

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②:函数 y=

x2 ? x ? 4 在 x>1 的条件下的最小值为为多少?此时 x 为多少? x ?1

③求函数 y ?

? x ? 4?? x ? 9? 的最值。 x

(注意正负,没说就讨论)

技巧五、倒数法,再分离 例: 若 x ? 0 ,求函数 y ?
x 的最大值。 x ? x ?1
2

、 、

注意:因为原式不能约分,只有倒过来才能约分。注意最后取值时符号的变化。 练习:①若 x ? 1 ,求函数 y ?
x ?1 的值域 x ? 2x ? 5
2

②若 x ? 2 ,求函数 y ?

2? x 的值域 x ? 4x ? 8
2

技巧六、条件求最值

充分利用常数 .

例:若实数满足 a ? b ? 2 ,则 3a ? 3b 的最小值是


练习:①若 log 4 x ? log 4 y ? 2 ,求

1 1 ? 的最小值.并求 x,y 的值 x y

3

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1 9 例:已知 x ? 0, y ? 0 ,且 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y

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注意:有条件常数时,有充分利用常数,一般是乘以这个常数,再做整理。 练习:① 若 x, y ? R 且 2 x ? y ? 1 ,求 1 ? 1 的最小值
x y
?

②已知正数 x、y 满足

8 1 ? ? 1 ,求 x ? 2 y 的最小值。 x y

③若实数 x,y 满足 A.最大值 3 ? 2 2 技巧七、取平方

1 1 ? 2 ? 1 ,则 x 2 ? 2 y 2 有( 2 x y



B. 最小值 3 ? 2 2

C. 最小值 6

D.最小值

例:已知 x,y 为正实数,3x+2y=10,求函数 W= 3x + 2y 的最值.

注意:待根号的可以平方。 练习:求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( 1 ? x ? 5 ) 的最大值。
2 2

4


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