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【名师A计划】2017高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第六节 正弦定理和余弦定理及其应用习题 理


第六节
[基础达标]

正弦定理和余弦定理及其应用

一、选择题(每小题 5 分,共 35 分) 1. (2015·淮安联考) 在△ABC 中,a=2,b=2 ,B= ,则 S△ABC= ( )

A.2

B.3

C.6

D.6

1.A 【解析】由正弦定理得

,得 sin A= ,又 b>a,则 B>A,所以 A= ,∠C= ,故

S△ABC= ab= ×2×2

=2

.
2 2

2. (2015·西北工业大学附中期末考试) 在三角形 ABC 中,a,b,c 是边 A,B,C 对边,若 a -c =2b, 且 sin B=6cos A·sin C,则 b= A.4 B.3 C.2 D.1 ,即 2b2=3a2-3c2=6b,所以 b=3. ( )

2.B 【解析】由 sin B=6cos A·sin C 得 b=6c·

3. (2015·南京三模) 在三角形 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边是 a,b,c,且 A= ,acos C+ccos

A=2bcos A,则 sin B+sin C 的取值范围是
A. B. C. D.

(

)

3.A 【解析】 sin B+sin C=sin B+sin

=sin B+sin

cos B-cos

sin B= sin B+

cos

B=

sin B+

,∵0<B<

,∴ <B+

,∴ <sin

≤1,故

sin

.

1

4. (2015·天津河西区二模) 在三角形 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边是 a,b,c,且 asin Bcos

C+csin B cos A= b,且 a>b,则 B=

(

)

A.

B.

C.

D.

4.A 【解析】利用正弦定理,化简已知等式得 sin A sin B·cos C+sin C sin B cos A= sin

B,∵sin B≠0,∴sin A·cos C+sin C cos A=sin(A+C)=sin B= .∵a>b,∴A>B,即 B 为锐角,

所以 B= . 5. (2015·天津高考) 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知△ABC 的面积为 3 A.10 ,b-c=2,cos A=- ,则 a 的值为 B.9 C.8 D.7 ,而 S= bcsin A=3
2

(

)

5.C 【解析】由 cos A=- ,可得 sin A=
2 2 2 2 2

,可得 bc=24,由余弦定

理可得 a =b +c -2bccos A=b +c +12=(b-c) +2bc+12=64,解得 a=8. 6. (2015·合肥质检) △ABC 中,∠ABC = 30°,AB= ,BC 边上的中线 AD=1,则边 AC 的长度为 ( A.1 或 B. C. D.1 或 )

6.A 【解析】由正弦定理可知

,则 sin ∠ADB=

,所以∠ADB=60°或∠

ADB=120°.当∠ADB=60°时,BD=2,DC=2,∠ADC=120°,由余弦定理得 AC=

.当∠

ADB=120°时,BD=1 ,DC=1 ,∠ADC=60° ,所以△ADC 为等边三角形,所以 AC=1.综合得 AC 的
长度为 1 或

.
2

7. (2016·河南林州一中质检) 在△ABC 中,角 A,B 的对边分别为 a,b,且 A=2B,sin B= ,则 的 值是 A. B. C. D. ( )

7.D 【解析】由 A =2B 知 sin A=sin 2B=2sin Bcos B,又由 sin B= 知 cos B= ,所以由正

弦定理得 =2cos B=2×

.

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 8. (2015·北京高考) 在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则

=

.

8.1 【解析】由余弦定理得 cos A=

,由正弦定理得

=1.

9. (2015·福建高考) 若锐角△ABC 的面积为 10

,且 AB=5,AC=8,则 BC 等于

.

9.7 【解析】由题可得 c=5,b=8,那么由 S= bcsin A=10

可得 sin A=

,又由于该三角

形是锐角三角形,则有 cos A= ,那么由余弦定理可得 a =b +c -2bccos A=49,解得 a=7. 三、解答题(共 10 分) 10.(10 分) (2015·山东实验中学一模) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边长分别是 a,b,c,且满足 (2b-c)cos A-acos C=0. (1)求角 A 的大小; (2)若 a= ,△ABC 的面积 S△ABC= ,试判断△ABC 的形状,并说明理由.

2

2

2

10.【解析】(1)∵(2b-c)cos A-acos C=0,

∴(2sin B-sin C)cos A-sin Acos C=0,
3

∴2sin Bcos A=sin(A+C), ∴2sin Bcos A=sin B,∴cos A= ,∴A= .

(2)∵S△ABC=

,∴ bcsin A=

,∴bc=3.

∵cos A=

,∴b+c=2

.

∴b=c=

.

又 A= ,∴△ABC 是等边三角形.

[高考冲关] 1.(5 分) (2016·南昌摸底) 在△ABC 中,sin A=

=8,则△ABC 的面积为

(

)

A.3

B.4

C.6

D.

1.A 【解析】因为

=bc·cos A=8,又因为 sin A= ,所以 cos A= ,因此 bc=10,所

以 S△ABC= bcsin A= ×10× =3.

2.(5 分) (2015·重庆高考) 在△ABC 中,B=120°,AB=

,A 的角平分线 AD=

,则

AC=
2.

.
【解析】 在△ABD 中,由正弦定理得 sin ∠ADB=

.由题意知 0°<

∠ADB<60°,所以∠ADB=45°,则∠BAD=180°-∠B-∠ADB=15°,所以∠BAC=2∠BAD=30°,所

4

以∠C=180°-∠BAC-∠B=30°,所以 BC=AB=

,于是由余弦定理得

AC=
3.(5 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,角 A,B,C 成等差数列,则 cos B= 若同时边 a,b,c 成等比数列,则 cos 2A= 3.

.
;

.

-

【解析】本题考查余弦定理在解三角形中的应用.若角 A,B,C 成等差数列,则

2B=A+C,又 A+B+C=π ,故 B= ,cos B= .若同时边 a,b,c 成等比数列,则 b2=ac,cos

B=

,则 a=c,故 A=B=C=60°,cos 2A=- .

4.(12 分) (2016·浙江温州中学等五校联考) 已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边, 向量 m=(2sin B,2-cos 2B),n= (1)求角 B 的大小; (2)求 c 的值. 4.【解析】(1)因为 m·n=0, 所以 4sin Bsin
2

,m⊥n,a=

,b=1.

+cos 2B-2=0,

则 2sin B

+cos 2B-2=0,

所以 sin B= ,

又 B∈(0,π ),则 B= 又 a>b, 所以 B= .

,

(2)由余弦定理得 b =a +c -2accos B, 5

2

2

2

解得 c=2 或 c=1. 5.(13 分) (2016·云南玉溪一中月考) △ABC 的内角 A,B,C 及所对的边分别为 a,b,c,已知

a≠b,c=

,cos2A-cos2B=

sin Acos A-

sin Bcos B.

(1)求角 C 的大小; (2)若 sin A= ,求△ABC 的面积.

5.【解析】(1)由倍角公式知原等式可化为

sin 2A-

sin 2B,

即 sin

=sin

,

∵a≠b,∴A≠B.
又∵A,B∈(0,π ),

∴2B- +2A- =π ,∴C= .

(2)由正弦定理可求得 a= ,

∵a<c,∴cos A= .

∴sin B=sin(A+C)=

.

∴S△ABC= acsin B=

.

6


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