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高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条


椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论)

1. 2. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的 两个端点. 3. 4. 5. 6. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在椭圆 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在椭圆 是 7.
x0 x a
2

1. 2.

点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长 轴的两个端点.


3. 4. 5. 6.
x0 x a
2

以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支) 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在双曲线 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在双曲线
x a x a
2 2 2 2

? ?

y b y

2 2 2 2

? 1 (a>0,b>0)上,则过 P0 的双曲线的切线方程是

x0 x a
2

?

y0 y b
2

?1.

x a x a

2 2 2 2

? ?

y b y b

2 2 2 2

? 1 上,则过 P0 的椭圆的切线方程是

?

y0 y b
2

? 1.

切点弦 P1P2 的直线方程是 7. 双曲线
x a
2 2

b x0 x

? 1 (a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2,则

a

2

?

y0 y b
2

?1.

? 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意一点 ? F1 P F2 ? ? ,
2

?
2 2

y0 y b
2

? 1.

则双曲线的焦点角形的面积为 S ? F P F ? b co t
1 2

?
2

.

椭圆

x a

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 ? F1 P F2 ? ? ,则椭圆的焦点
2

8.

双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 ( ? c , 0 ) , F2 ( c , 0)

角形的面积为 S ? F P F ? b tan
1 2

?
2

当 M ( x 0 , y 0 ) 在右支上时, | M F1 |? ex 0 ? a , | M F2 |? ex 0 ? a . 当 M ( x 0 , y 0 ) 在左支上时, | M F1 |? ? ex 0 ? a , | M F2 |? ? ex 0 ? a 9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别 交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于 点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是双曲 线
K OM ? K ?
x a
2 AB 2
2 2

.

8.

椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的焦半径公式:

| M F1 |? a ? ex 0 , | M F 2 |? a ? ex 0 ( F1 ( ? c , 0 ) , F2 ( c , 0) M ( x 0 , y 0 ) ).

9.

设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦 点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是椭圆 即K
? ?
x a
AB
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a> 0,b >0 )的 不平 行于对 称轴的弦 , M ( x 0 , y 0 ) 为 AB 的中 点,则

b x0 a y0

,即 K
x a

AB

?
y b

b x0 a y0
2 2

2

2



?
2

y b

2 2

? 1 的不平行于对称轴的弦,M ( x 0 , y 0 ) 为 AB 的中点,则 k O M ? k A B ? ?

b a

2 2

, 12. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在 双 曲 线
x0 x ? y0 y b
2

2 2

?

? 1 ( a > 0,b > 0 ) 内 , 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是

b x0 a y0
2


x a x a
2 2

12. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在椭圆

?

y b

2 2

? 1 内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 x a
2 2

x0 x a
2

? y
2 2

y0 y b ?
2

?

x0 a ?

2

2

?

y0 b

2

a

2

?

x0 a

2

2

?

y0 b

2

2

.
x a
2 2

2

.

13. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在 双 曲 线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a > 0,b > 0 ) 内 , 则 过 Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是

2 2

13. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在椭圆

?

y b

2 2

? 1 内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是

?

x0 x a
2

y0 y b
2

.

b

?

y b

2 2

?

x0 x a
2

?

y0 y b
2

.

双曲线

第 1 页 共 3 页

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)

1. 椭圆
x a
2 2

9.



? 1 (a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 2 b | PF | e ? . 轴于 P,则 | MN | 2

过椭圆

x

2 2

?

y

2

a

?

y b

2 2

? 1 (a>b>o)的两个顶点为 A1 ( ? a , 0 ) , A 2 ( a , 0 ) ,与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2 时 x a
2 2

10. 已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2 2

? 1 ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点
2

A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2. 过椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1.

P ( x0 , 0 ) , 则 ?

a ?b a x a
2 2

? x0 ?
2 2

a ?b
2

2

.

a

?

y b

2 2

? 1 (a>0, b>0)上任一点 A ( x 0 , y 0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点,

11. 设 P 点是椭圆

?

y b

? 1 ( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 ? F1 P F 2 ? ? ,则

则直线 BC 有定向且 k B C ?
x a
2 2

b x0 a y0
2

2

(常数). (1) | P F1 || P F 2 | ?
2b
2

3.

若 P 为椭圆

?

y b

2 2

? 1 ( a > b > 0 ) 上 异 于 长 轴 端 点 的 任 一 点 ,F1, F

2

是 焦 点 , ? P F1 F 2 ? ? ,

1 ? co s ? x a
2 2

.(2) S ? P F F ? b tan
2
1 2

?
2

.

? P F 2 F1 ? ? ,则
x a
2 2

a?c a?c

? tan

?
2

co t

?
2

12. 设 A 、 B 是 椭 圆 .

?

y b

2 2

? 1 ( a> b > 0) 的长 轴两 端点, P 是椭 圆上 的一 点, ?PAB ? ? ,

? P B A ? ? , ? B P A ? ? , c 、 e 分 别 是 椭 圆 的 半 焦 距 离 心 率 , 则 有 (1) | P A |?

2 a b | co s ? |
2

4.

设椭圆

?

y b

2 2

a ? c co s ?
2 2 2

.(2)

? 1 (a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2 sin ? sin ? ? sin ?

tan ? tan ? ? 1 ? e .(3) S ? P A B ?
2

2a b
2

2

2 2

b ?a

co t ? .

中,记 ? F1 P F 2 ? ? , ? P F1 F 2 ? ? , ? F1 F2 P ? ? ,则有

?

c a

? e.

13. 已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a>b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交

5.

若椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 0<e≤

2 ? 1 时,可在

于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 B C ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线 垂直.

椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a > b > 0 ) 上 任 一 点 ,F1,F2 为 二 焦 点 , A 为 椭 圆 内 一 定 点 , 则

15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
2

2 a ? | A F2 |? | P A | ? | P F1 |? 2 a ? | A F1 | ,当且仅当 A , F 2 , P 三点共线时,等号成立.

7.

椭 圆
2 2

( x ? x0 ) a
2

2

2

?

( y ? y0 ) b
2

2

?1 与 直 线
2

Ax ? By ? C ? 0

有 公 共 点 的 充 要 条 件 是

A a ? B b ? ( A x0 ? B y0 ? C ) .
2

8.

已知椭圆
1 | OP |
2

x a

2 2

?

y b
2

2 2

? 1 (a>b>0) ,O 为坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点,且 O P ? O Q .(1) 1 a
2

?

1 | OQ |

?

?

1 b
2

;(2)|OP| +|OQ| 的最大值为

2

2

4a b
2

2

2 2

a ?b

;(3) S ? O P Q 的最小值是

a b
2

2

2

a ?b

.

第 2 页 共 3 页

双曲线
1. 双曲线
x a
2 2

直平分线交 x 轴于 P,则 10. 已知双曲线
x a
2 2

| PF | | MN |

?

e 2

.

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的两个顶点为 A1 ( ? a , 0 ) , A 2 ( a , 0 ) ,与 y 轴平行的直线交双曲线于 x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相 a ?b
2 2

P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2. 过双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1.

交于点 P ( x 0 , 0 ) , 则 x 0 ? 11. 设 P 点是双曲线
x a
2 2

a

或 x0 ? ?

a ?b
2

2

.

a

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>o)上任一点 A ( x 0 , y 0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于

?

y b

2 2 2

?1 (a>0,b>0) 上异于实轴端点的任一点,F1、 2 为其焦点记 ? F1 P F 2 ? ? , F

B,C 两点,则直线 BC 有定向且 k B C ? ?
x a
2 2

b x0 a y0
2

2

(常数).

则(1) | P F1 || P F 2 | ?

2b
2 2

1 ? co s ? x a ? y b
2 2

.(2) S ? P F F ? b co t
2
1 2

?
2

.

3.

若 P 为双曲线

?

y b

2 2

?1 (a>0,b>0)(或左) 右 支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点, ? P F1 F 2 ? ? ,
? tan

12. 设 A、B 是双曲线

? 1 (a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点, ? P A B ? ? ,

? P F 2 F1 ? ? ,则
x a
2 2

c?a c?a

?
2

co t

?
2

(或

c?a c?a

? tan

?
2

co t

?
2

? P B A ? ? , ? B P A ? ? ,c、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1) | P A |?

2 a b | co s ? |
2

).
2 (2) tan ? tan ? ? 1 ? e .(3) S ? P A B ?

| a ? c co s ? |
2 2 2

.

2a b
2

2

2 2

4.

设双曲线

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,

b ?a

co t ? .

13. 已知双曲线 在△PF1F2 中,记 ? F1 P F 2 ? ? , ? P F1 F 2 ? ? , ? F1 F2 P ? ? ,则有
sin ? ? (sin ? ? sin ? ) ? c a ? e.

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右焦点 F 的直线与

双曲线相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 B C ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点.
2 ?1

5.

若双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 1<e≤

14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线 必与切线垂直.

时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为双曲 线
x a
2 2

?

y b

2 2

15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂
? 1 ( a> 0,b> 0) 上任一 点 ,F1,F2 为 二 焦点 ,A 为双曲 线内一 定点 ,则

直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.
? 1 (b>a >0) ,O 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点,且 O P ? O Q . 1 ? 1 b
2

| A F2 | ? 2 a ? | P A | ? | P F1 | ,当且仅当 A , F 2 , P 三点共线且 P 和 A , F 2 在 y 轴同侧时,等号成立.

7.

双曲线
2 2

x a
2

2 2

?
2

y b

2 2

? 1 ( a > 0,b > 0 ) 与 直 线 A x ? B y ? C ? 0 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是
2

A a ?B b ?C .

8.

已知双曲线
1 | OP |
2

x a

2 2

?

y b

2 2

(1)

? x a
2 2

1 | OQ | ? y b
2 2 2

?

a

2

;(2)|OP| +|OQ| 的最小值为

2

2

4a b
2

2

2 2

b ?a

;(3) S ? O P Q 的最小值是

a b
2

2

2 2

18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. .

b ?a

9.

过双曲线

? 1 (a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂

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