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二次函数y=ax (a≠0)与y=ax+c(a≠0)的图象与性质


《二次函数 y=ax 一、最简单的二次函数

2

(a≠0)与 y=ax +c(a≠0)的图象与性质

2

y ? ax 2 2 2 1.画出二次函数 y ? x 的图象——画图步骤?如何列表?解:在 y ? x 中,自变量 x 任意实数.

列表如下:

描点,用平滑曲线顺次连接各点. 1.画出二次函数

y?x

2

的图象:

y ? x2 的图象性质:形状、大小和位置. 2 (1)这条曲线叫做抛物线 y ? x . 2 2 一般地,二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象叫做抛物线 y ? ax ? bx ? c .
2.归纳二次函数 (2)开口方向:_________. (3)对称轴:____________________; 对称轴方程: x (4)顶点:抛物线

? 0 .思考如何进行证明?( x ,y)和(-x,y)都在同一条抛物线上. ? 0 时,y 取________值.

y?x

2

与其对称轴的交点(0,0) ,即原点.顶点是抛物线的最_____点;即当 x

(5)图象位于第________象限.形:在 y 轴左侧,抛物线呈________趋势;在 y 轴右侧,抛物线呈________趋势. 数:当 x 当x

? 0 时,y 随 x 的增大而________;

? 0 时,y 随 x 的增大而________.

探究:分别在同一平面直角坐标系中,画出下列两组函数: (1) (2)

1 2 x , y ? 2 x2 , y ? x 2 ; 2 1 y ? ? x2 , y ? ? x 2 , y ? ?2 x 2 的图象,并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点. 2 y?

3.归纳二次函数 一般地,抛物线 (1)当 a 当x

y ? ax 2 的图象及其性质:

y ? ax 2 的对称轴是______轴,顶点是________.

? 0 时,抛物线的开口________,顶点(0,0)是抛物线的最低点.抛物线位于第___象限.

在 y 轴左侧,抛物线呈________趋势;在 y 轴右侧,抛物线呈________趋势.

? 0 时,y 最小=________.当 x ? 0 时,y 随 x 增大而________; x ? 0 时,y 随 x 增大而_______a 越大,抛物线的开口越________; 当
(2)当 a

? 0 时,抛物线的开口_______,顶点(0,0)是抛物线的最______点. 当 x ? 0 时,y 最大=______.当 x ? 0 时,y 随 x 增大而________; 当 x ? 0 时,y 随 x 增大而________.抛物线位于第________象限.
在 y 轴左侧,抛物线呈________趋势;在 y 轴右侧,抛物线呈________趋势.

a 越大,抛物线的开口越________.
(3)

a

大,抛物线的开口越________;

a

越小,抛物线的开口越________.

y ? ax2 ? c 的图象和性质 2 2 在同一平面直角坐标系中,画出 y ? x ? 1 , y ? x ?1 的图象.
二、二次函数

1

解:列表利用平移变换,描点画图,得到 把抛物线

y ? x2 ? 1 和 y ? x2 ?1 的图象.
把抛物线向下平移 1 个单位,就得到抛物线

y ? x2 向上平移 1 个单位就得到抛物线 y ? x2 ? 1 ;

y ? x2 ? 1 .

y ? ax2 ? c 的图象是抛物线,其性质是: 2 (1) 当 a ? 0 时, 开口方向、 对称轴、 增减性与 y ? ax 相同, 不同的是顶点坐标为 (____, ____) 当 x ? 0 时, y 最小=________.
1. 二次函数 (2) 当a
2 ? 0 时, 开口方向、 对称轴、 增减性与 y ? ax 相同,不同的是顶点坐标为 (____, ____) , 当 x ? 0 时, y 最大=________.

y ? ax 2 与 y ? ax2 ? c 有何联系? 2 2 (1)抛物线 y ? ax 与 y ? ax ? c 的形状完全_______,只是在坐标系中的_______不同. 2 2 (2)抛物线 y ? ax 向_______平移_______个单位长度得到抛物线 y ? ax ? c ;
2.抛物线 抛物线

y ? ax 2 向_______平移_______个单位长度得到抛物线 y ? ax 2 ? c ; y ? ax 2 与 y ? ?2 x 2 的形状相同,开口大小一样,开口方向相反,则 a ?
,B(b,0.5) ,则 a y ? x2 的图象左侧上有两点 A(a,15) ,对称轴是 ,顶点坐标是 .

练习:1.(1)二次函数

(2)不计算比较大小:函数 2.(1)抛物线
2

b.


y ? ?2 x ? 5 的开口方向

(2)抛物线

,则其解析式为 y ? ax2 ? c 与 y ? 3x 2 的形状相同,其顶点坐标为(0,1)



(3)抛物线

1 y ? ? x2 ? 7 向 2

平移

个单位后,得到抛物线

1 y ? ? x2 ? 3 2
) .

3.在同一平面直角坐标系中,一次函数

y ? ax ? c 与二次函数 y ? ax2 ? c 的图象大致为(
y

y

O

x

O

x

A.

B.

y

y

O

x

O

x

C.

D.

2


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