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专题二。韩昌


专题二:翻折问题
编者话:翻折问题是立体几何中一类重热点题型,多出现于选填题中,其
难点体现在两个方面:一为作不出来翻折后的图形;二为找不出 翻折前后图形的联系。因而,突破两点至关重要,其一:先作出 平面图形并分析翻折后的基本图形,并能作出该大致图像( 即作 两图) ;其二:写出翻折前后的不变量,需注意翻折前后在同一个 三角形中的角度、长度不变。

1: 在矩形 ABCD 中, AB= 2 , BC=2, E 为 BC 中点, 把⊿ABE 和⊿CDE 分别沿 AE、DE 折起使 B 与 C 重合于点 P, (1)求证:平面 PDE⊥平面 PAD; (2)求二面角 P-AD-E 的大小.
A B D E P C

例 2:将锐角为 60° ,边长为 a 的菱形 ABCD 沿较短的对角线 BD 折成 60° 的二面角后, (1)求异面直线 AC 与 BD 的距离; (2)求三棱锥 C ? ABD 的体积; (3)求 D 到面 ABC 的距离。 A B B D A C D C

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例 3:如图,已知 ABCD 是直角梯形,AB⊥AD,AD∥BC,AD=2,AB=BC=1。沿着 AC 将 △ ABC 折起,使 B 成为 P,且平面 PAC⊥平面 ACD. (1)证明:PC⊥CD; (2) 在 PA 上是否存在一点 E, 使得 BE∥平面 PCD?若存在, 请指出点 E 的位置,并给出证明;若不存在,请说明理由; (3)求二面角 A—PD—C 的大小。 B C A P

D

例 4:如图,正方形 A1BA2C 的边长为 4,D 是 A1B 的中点,E 是 BA2 上的点,将△ A1DC 及△ A2EC 分别沿 DC 和 EC 折起,使 A1、A2
A1 D C A

重合于 A,且二面角 A-DC-E 为直二面角。w_w w. k#s5_u.c o*m (1)求证:CD⊥DE; (2)求 AE 与面 DEC 所成的角.
B E A2 D C

E

平面图

折叠图

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强化训练 1、如图,在等腰梯形 ABCD中,AB ? 2 DC ? 2, ?DAB ? 60?, E为AB 的中点, 将 ?ADE与?BEC 分别沿 ED、EC 向上折起,使 A、B 重合于点 D C

P ,则三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为( )
A.

4 3? 27

B.

6? 2

C.

6? 8

D.

6? 24

A

E

B

2、正方形 ABCD 边长为 1,E、F 分别为 BC、CD 中点,沿 AE、EF、AF 折成一个三棱锥, 则这个三棱锥的体积是( ) A.

1 8

B.

1 24

C.

2 24

D.

5 48
A H D J I B E G F C

3、如图,在正三角形 ABC 中,D、E、F 分别为各边的中点, G、H、I、J 分别为 AF、AD、BE、DE 的中点,将△ ABC 沿 DE、 EF、DF 折成三棱锥以后,GH 与 IJ 所成角的度数为( A、90° B、60° C、45° D、0° )

4、在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,从顶点 A 出发沿 表面运动到 C1 的最短距离是( ) A. 3a B. 5 a C. ( 2 ? 1)a D. 3a S

Q

5、如图,在正方形 SPGQ 中,E、F 分别是边 PG、GQ 的中点, D 是 EF 的中点, 沿 SE、 SF 及 EF 把这个正方形折成一个几何体, 使 P、G、Q 三点重合于点 G,则下列结论成立的是( ) A、SG⊥平面 EFG C、GF⊥平面 SEF B、SD⊥平面 EFG D、GD⊥平面 SEF S P E G F F D G

6、等边三角形 ABC 的边长为 1,BC 上的高为 AD,沿高 AD 折 成直二面角,则 A 到 BC 的距离是( ) A、 2 B、 D E D、

2 2

C、

3 2

14 4

7、边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠成直二面角后,AC 的长为( ) A、a B、

a 2

C、

a 4

D、

2 a 2

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8、沿等腰三角形 ABC 底边上的高 AD 把△ ABC 折成二面角 B—AD—C,则( A、平面 ABD 与平面 BDC 可能不垂直 B、平面 ABD 与平面 ADC 都与平面 BDC 垂直 C、平面 ADC 和平面 BDC 可能不垂直 D、平面 ABD 与平面 ADC 都与平面 BDC 垂直 9 、 如 图 , 在 四 边 形 ABCD 中 , AD∥BC , AD=AB , ∠BCD=45° ,∠BAD=90° ,将△ ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥ 平面 BCD,则在几何体 ABCD 中,下列说法正确的是( ) A、平面 ABD⊥平面 ABC C、平面 ABC⊥平面 BDC B、平面 ADC⊥平面 BDC D、平面 ADC⊥平面 ABC B A



D

C

10、在直角坐标系中,设 A(3,2),B( ? 2,?3 ),沿 y 轴把直角坐标系折成 120° 的二面角后, 则 AB= .
0

11、将边长为 2,锐角为 60 的菱形 ABCD 沿较短对角线 BD 折成二面角 A ? BD ? C ,点

E , F 分别为 AC, BD 的中点,给出下列四个命题: ① EF // AB ;② EF 是异面直线 AC 与
③当二面角 A ? BD ? C 是直二面角时,AC 与 BD 间的距离为 BD 的公垂线; 垂直于截面 BDE 。其中正确的是________。 12、 如图, 把等腰直角三角形 ABC 的直角顶点 C 沿斜边 AB 翻折 到 D 点,使 CD=AC,求证:面 ABD⊥面 ABC A B C D

6 ; ④ AC 2

13、如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=AC=1,∠ACD=90° ,将它沿对角线 AC 折起,使 AB 与 CD 成 60° 角,求 B、D 间的距离。 A B D

A

C B

D

C

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