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2011届状元之路物理2.4.3


4.3 圆周运动的规律及应用

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知 识 精 要zhi shi jing yao高效梳理· 知识备考 一?描述圆周运动的物理量

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>
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二?向心力 1.定义:向心力是按效果命名的力,向心力产生向心加速度,即 只改变线速度方向,不会改变线速度的大小. v2 4? 2 r 2 2.大小:F=ma向= m =mω2r= =m4π m 2 2f r. r T 3.方向:总指向圆心,时刻变化. 4.来源:做匀速圆周运动的物体,向心力就是物体所受的合外

力,总是指向圆心.做变速圆周运动的物体,向心力只是物体所
受合外力在沿着半径方向上的一个分力.

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三?匀速圆周运动 1.匀速圆周运动:质点沿圆周运动,在相等的时间里通过的弧 长相等. 2.匀速圆周运动的特点 (1)是速度大小不变而速度方向时刻变化的变速曲线运动. (2)加速度:只存在向心加速度,不存在切向加速度.

(3)合外力即产生向心加速度的力,充当向心力.
(4)条件:合外力大小不变,始终与速度方向垂直且指向圆心.

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四?离心运动 1.定义:做圆周运动的物体,在所受合外力突然消失或不足以 提供圆周运动所需向心力情况下,就做远离圆心的运动,这种 运动叫离心运动. 2.本质 (1)离心现象是物体惯性的表现.

(2)离心运动并非是沿半径方向飞出的运动,而是运动半径越
来越大的运动或沿切线方向飞出的运动. (3)离心运动并不是受到什么离心力.

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3.条件:做圆周运动的质点,当它受到的沿着半径指向圆心的 合外力突然变为零或不足以提供圆周运动所需向心力.

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双基精练 1.如图所示,(a)?(b)?(c)三个轮子依靠摩擦传动,相互之间不打 滑,其半径分别为r1?r2?r3.若(a)轮的角速度为ω 1,则(c)轮的角

速度为( )

r1?1 A. r3 r3?1 C. r2

r3?1 B. r1 r1?1 D. r2

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解析:对(a)轮边缘的线速度v1=r1ω1. 对(b)轮边缘的线速度v2=r2ω2. 对(c)轮边缘的线速度v3=r3ω3. 由各轮边缘的线速度相等得:r1ω1=r2ω2=r3ω3.

r1?1 , A选项正确. 所以 ? 3 ? r3
答案:A

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2.如图所示,轻杆的一端有一个小球,另一端有光滑的固定轴O, 现给球一初速度,使球和杆一起绕轴O在竖直面内转动,不计空 气阻力,用F表示球到达最高点时杆对小球的作用力,则F( )

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A.一定是拉力 B.一定是推力 C.一定等于零 D.可能是拉力,可能是推力,也可能等于零 答案:D

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3.(2009· 广东茂名调研)在地球上,赤道附近的物体A和北京附 近的物体B,随地球的自转而做匀速圆周运动,可以判断( ) A.物体A与物体B的向心力都指向地心 B.物体A的线速度的大小小于物体B的线速度的大小 C.物体A的角速度的大小小于物体B的角速度的大小 D.物体A的向心加速度的大小大于物体B的向心加速度的大小

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解析:物体A与物体B的向心力都指向地轴,物体A的角速度的 大小等于物体B的角速度的大小,由v=ωr可知,物体A的线速度 的大小大于物体B的线速度的大小,由a=ω2r可知,物体A的向心 加速度的大小大于物体B的向心加速度的大小.

答案:D

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4.如图所示,一圆盘可绕一过圆盘中心O且垂直于盘面的竖直 轴转动,在圆盘上放置一个木块,当圆盘匀速转动时,木块随圆 盘一起运动,那么( )

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A.木块受到圆盘对它的摩擦力,方向背离圆盘中心 B.木块受到圆盘对它的摩擦力,方向指向圆盘中心 C.因为木块随圆盘一起运动,所以木块受到圆盘对它的摩擦力, 方向与木块的运动方向相同 D.因为摩擦力总是阻碍物体的运动,所以木块所受到圆盘对它 的摩擦力的方向与木块的运动方向相反

答案:B

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解析:从静摩擦力总是阻碍物体间的相对运动的趋势来分析: 由于圆盘转动时,以转动的圆盘为参考系,物体的运动趋势是 沿半径向外背离圆心的,所以盘面对木块的静摩擦力方向沿半 径指向圆心. 从做匀速圆周运动的物体必须受到一个向心力的角度来分析, 木块随圆盘一起做匀速圆周运动,它必须受到沿半径指向圆心

的合力,只有来自盘面的静摩擦力提供指向圆心的向心力,因
而盘面对木块的静摩擦力方向必沿半径指向圆心,所以,正确 选项为B.

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疑难精讲 疑难点一.向心力是一种新的性质力吗?

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名师在线:向心力不是一种特殊性质的力,是依据力的效果命 名的,由其他力充当,可以是物体受到的某一力,也可以是某几 个力的合力,还可以是某一个力的分力,在受力分析时,不要说 物体受到了向心力.

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疑难点二.竖直面内的圆周运动是一种典型的变速曲线运动, 此类运动常出现临界问题,试对轻绳模型和轻杆模型进行分析 比较. 名师在线:对轻绳模型和轻杆模型比较如下:

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名师提示:轻绳模型和轻杆模型过最高点的临界条件不同,其 实质主要是:“绳”不能承受压力,而“杆”既能承受压力,也能 承受拉力

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易 错 点 拨?
易错点一不善于挖掘隐含条件导致出错

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自我诊断1如图所示,M为固定在水平桌面上的有缺口的方形 木块,abcd为?圆周的光滑轨道,a为轨道的最高点,de面水平且 有一定长度,今将质量为m的小球在d点的正上方高为h处由静 止释放,让其自由下落到d处切入轨道内运动,不计空气阻力, 则( )

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A.在h一定的条件下,释放后小球的运动情况与小球的质量有 关 B.只要改变h的大小,就能使小球通过a点后,既可能落回轨道 内又可能落到de面上 C.无论怎样改变h的大小,都不可能使小球通过a点后落回轨道 内

D.调节h的大小,使小球飞出de面之外(即e的右面)是可能的
答案:CD

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解析:在h一定的条件下,释放后小球的机械能守恒,其运动情 况与小球的质量无关,A错;小球能通过a点的最小速度 v ? gR , 从a点平抛, 变h的大小,都不可能使小球通过a点后落回轨道内,C正确;如 果h足够大,小球可能会飞出de面之外,D也正确,本题正确答案 为CD.

1 2 R ? gt , s ? vt ? 2 R 2

,所以,无论怎样改

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易错点二不能正确分析物体受力导致出错 ?自我诊断2质量相等的小球A?B分别固定在轻杆的中点及端 点,当杆在光滑的水平面上绕O点匀速转动时,如图所示,求杆

的OA段及AB段对球的拉力之比.

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解析:A球做圆周运动的向心力由OA段和AB段轻杆的拉力的 合力提供, FOA-FAB=mAω2rA. B球做圆周运动的向心力由AB段轻杆的拉力提供, FAB=mBω2rB. 而rA∶rB=1∶2,mA=mB.

联立各式解得 FOA∶FAB=3∶2.
答案:3∶2

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题型研练
题型一ti xing yi皮带传动类问题的分析

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【例1】如图所示为一皮带传动装置,右轮的半径为r,a是它边 缘上的一点,左侧是一轮轴,大轮的半径为4r,小轮的半径为 2r,b点在小轮上,到小轮中心的距离为r,c点和d点分别位于小 轮和大轮的边缘上,若在转动过程中,皮带不打滑,则( ) A.a点与b点的线速度大小相等 B.a点与b点的角速度大小相等

C.a点与c点的线速度大小相等
D.a点与d点的向心加速度大小 相等

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解析:vc=2rω,vb=rω,所以vc=2vb.又va=vc,所以va=2vb,故A 错;va=rωa,vb=rωb,由va=2vb,得ω a=2ωb,故B错;a?c是皮带连接的 两轮边缘上的点,线速度大小相等,故C对;设a点线速度为v,c点 线速度也为v,对c点,v=2r ω,对d点vd=4rω=2v,

v2 (2v) 2 v 2 ana ? , and ? ? , r 4r r
故a点与d点的向心加速度大小相等,故D对.
答案:CD

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方法总结:相关联物体的圆周运动问题,抓住以下两点: (1)固定在一起共轴转动的物体上各点的角速度相等. (2)不打滑的摩擦传动?皮带轮传动的两轮边缘上各点的线速 度大小相等.

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创新预测1 如图4-3-7为一皮带传动装置.左轮半径为4r, 右轮半径为r,a、b分别是左、右轮边缘上的点,c点到左 轮圆心的距离为2r,若传动过程中皮带不打滑,则( )

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A.a、b点的向心加速度大小相等 B.a、b点的角速度大小之比为4∶1 C.a、c点的线速度大小相等

D.b、c点的向心加速度之比为8∶1
答案:D

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解析:a、b两点分别是左、右轮边缘上的点,线速度相等, v2 由于半径不相等,根据公式 知,A错误.a、b两点 a= r 半径之比为4∶1,由公式v=ωr得,角速度大小之比为 1∶4,B错误.同一圆轮上角速度相等,a、c两点的半 径不同,线速度大小不相等,C错误.a、c两点的角速度 大小相等,线速度之比等于半径之比,为2∶1,a、b两

点线速度相等,则b、c两点的线速度之比为2∶1,半径 v2 a= 之比为1∶2,根据公式 知,b、c两点的向心加 r 速度之比为8∶1,D正确.

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题型二ti xing er,竖直面内的圆周运动问题

【例2】图4

-3-8“翻滚过山车”的物理原理可以用如图4-3-8所示装 置演示.光滑斜槽轨道AD与半径为R=0.1 m的竖直圆轨道 (圆心为O)相连,AD与圆O相切于D点,B为轨道的最低点, ∠DOB=37°.质量为m=0.1 kg的小球从距D点L=1.3 m处 由静止开始下滑,然后冲上光滑的圆形轨道(取g=10 m/s2,

sin37°=0.6,cos37°=0.8).求:

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(1)小球在光滑斜槽轨道上运动的加速度的大小; (2)小球通过B点时对轨道的压力的大小; (3)试分析小球能否通过竖直圆轨道的最高点C,并说明 理由. 答案:(1)6 m/s2 (2)17 N (3)能通过最高点C

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解析:(1)在光滑斜槽上由牛顿第二定律得: mgsin37°=ma. 故a=gsin37°=6 m/s2.

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方法总结:解答竖直面内的圆周运动问题时,首先要搞清是绳 模型还是杆模型,在最高点绳模型小球的最小速度是 而杆模型小球在最高点的最小速度为零.

gr ;

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创新预测2(2009· 诸城模拟)如图所示,半径为R?内径很小的光 滑半圆管道竖直放置,质量为m的小球以某一速度进入管内, 小球通过最高点P时,对管壁的压力为0.5mg,求: (1)小球从管口飞出时的速率; (2)小球落地点到P点的水平距离.

gR 3 答案:(1) : 或 gR 2 2

(2) 2R或 6R

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题型三ti xing san圆周运动中的临界问题

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【例3】图如图所示,用细绳一端系着质量为M=0.6 kg的物体A 静止在水平转盘上,细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊 着质量为m=0.3 kg的小球B,A的重心到O点的距离为0.2 m.若A 与转盘间的最大静摩擦力为Ff=2 N,为使小球B保持静止,求转 盘绕中心O旋转的角速度ω 的取值范围.(g取10 m/s2)

答案:2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s.

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解析:要使B静止,A必须相对于转盘静止——具有与转盘相同 的角速度,A需要的向心力由绳的拉力和静摩擦力合成.角速度 取最大值时,A有离心趋势,静摩擦力指向圆心O;角速度取最小 值时,A有向心运动的趋势,静摩擦力背离圆心O. 对于B∶FT=mg. 对于A∶FT+Ff=Mrω .1
2

或FT-Ff=Mrω .2 2
ω1=6.5 rad/s,ω2=2.9 rad/s. 所以2.9 rad/s≤ω ≤6.5 rad/s.

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方法总结:解决此类问题关键是找出临界条件,如此题中小球B 保持静止的临界情况是恰好不滑动,且还要注意滑动的方向.

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创新预测3 如图所示,在光滑的圆锥顶用长为l的细绳悬挂一 质量为m的小球.圆锥体固定在水平面上不动,其轴线沿竖直 方向,母线与轴线之间的夹角为30°.物体以速率v绕圆锥体轴 线做水平匀速圆周运动.

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(1)当

v1 ? gl / 6 时,求绳对小球的拉力.

(2)当 v ? 3gl / 2 时,求绳对小球的拉力. 2 答案:(1)1.03mg (2)2mg

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解析:如图所示,小球在锥面上运动,若支持力F2=0,小球只受重 力mg和绳的拉力F1作用,合力沿水平面指向轴线.根据牛顿第 二定律有:

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(1)因为v1<v0,所以小球与锥面接触并产生弹力F2,此时小球受 力如图所示. 根据牛顿第二定律有:

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(2)因为v2>v0,所以小球与锥面脱离接触,设绳与竖直方向的夹 角为α ,此时小球受力如图所示.根据牛顿第二定律有:

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高效作业 一?选择题

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1.(2009· 上蔡一中高三月考)备受关注的京沪高速铁路项目已 通过最后的论证审批,即将开工建设.由于高速铁路的速度快, 对轨道?轨基的抗震动?抗冲击力的要求高.火车转弯可以看 成是做匀速圆周运动,火车速度提高会使外轨受损.为解决火 车高速转弯时不使外轨受损这一难题,你认为以下措施可行的 是( )

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A.减小内外轨的高度差 C.减小弯道半径

B.增加内外轨的高度差 D.增大弯道半径

答案:BD

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2.图4-3-15为甲?乙两球做匀速圆周运动时向心加速度随半径 变化的关系图线,甲图线为双曲线的一支,乙图线为直线.由图 象可以知道( )

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A.甲球运动时,线速度的大小保持不变 B.甲球运动时,角速度的大小保持不变 C.乙球运动时,线速度的大小保持不变 D.乙球运动时,角速度的大小保持不变 答案:AD

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3.(2008· 广东理科基础)汽车甲和汽车乙质量相等,以相等的速 率沿同一水平弯道做匀速圆周运动,甲车在乙车的外侧,两车 沿半径方向受到的摩擦力分别为Ff甲和Ff乙.以下说法正确的是 ( ) A.Ff甲小于Ff乙 B.Ff甲等于Ff乙

C.Ff甲大于Ff乙
D.Ff甲和Ff乙大小均与汽车速率无关 答案:A

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4.质量为m的小球,用长为l的细线悬挂在O点,在O点的正 下方l,2处有一光滑的钉子P,把小球拉到与钉子P等高的位 置,摆线被钉子挡住.如图4-3-16,让小球从静止释放, 当小球第一次经过最低点时( A.小球运动的线速度突然减小 B.小球的角速度突然减小 )

C.小球的向心加速度突然减小
D.悬线的拉力突然增大 答案:BC

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5.有一种大型游戏器械,它是一个圆筒形大型容器,筒壁 竖直,游客进入容器后靠筒壁站立,当圆筒开始转动后, 迅速加快到一定程度时,突然地板塌落,游客发现自己没 有落下去,这是因为( )

A.游客处于超重状态
B.游客处于失重状态 C.游客受到的摩擦力等于重力 D.筒壁对游客的支持力等于重力 答案:C

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解析:筒壁对人的支持力提供向心力,速度达到一定程度 时,支持力很大,则最大静摩擦力很大(大于重力),此时 竖直方向人处于静止状态,所以答案选C.

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6.如图4-3-17所示是磁带录音机的磁带盒示意图,A、B 为缠绕磁带的两个轮子,半径均为r,在放音结束时,磁 带全部绕到了B轮上,磁带的外缘半径为R,且R=3r,现 在进行倒带,使磁带绕到A轮上;倒带时A轮是主动轮,

其角速度是恒定的,B轮是从动轮,经测定磁带全部绕到
A轮上需要的时间为t,则从开始倒带到A、B两轮的角速 度相等所需要的时间应是( )

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t A.等于 2 t C.小于 2
答案:B

B.大于 D.无法确定

t 2

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解析:两轮角速度相等时,磁带外缘半径相等,AB轮上磁带长度 相等,设此时边缘线速度为v,在达到此状态之前,A轮上磁带外 缘线速度大小一直小于v,所以需要的时间t'>

t ,选择B. 2

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7.在高速公路的拐弯处,路面造得外高内低,即当车向右拐弯 时,司机左侧的路面比右侧要高一些,路面与水平面间的夹角 为θ ,设拐弯路段是半径为R的圆弧,要使车速为v时车轮与路 面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于0,θ 应等于( )

v2 A.arcsin Rg 1 2v 2 C. arcsin 2 Rg
答案:B

v2 B.arctan Rg v2 D.arccot Rg

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解析:如图所示,要使摩擦力为零,必使汽车所受重力与路面对 它的支持力的合力提供向心力,

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8.如图所示,水平的木板B托着木块A一起在竖直平面内做匀速 圆周运动,从水平位置a沿逆时针方向运动到最高点b的过程 中( )

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A.B对A的支持力越来越大 B.B对A的支持力越来越小 C.B对A的摩擦力越来越小 D.B对A的摩擦力越来越大 答案:BC

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解析:在水平位置a处,A做匀速圆周运动的向心力由B对它的静 摩擦力提供,F静=mrω2,支持力FN=mg.在最高点b处,A做匀速圆 周运动的向心力由B对它的支持力和重力的合力提供,mgFN=mrω2,F静=0,因而B对A的摩擦力越来越小,B对A的支持力越 来越小.故选项B?C正确

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9.(2009· 聊城质检)如图所示,竖直圆环内侧凹槽光滑,aOd为其 水平直径,两个相同的均可视为质点的小球A和B,从a点以相同 速率v0同时分别向上?向下沿圆环凹槽运动,且运动中始终未 脱离圆环,则A?B两球第一次相遇( )

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A.可能在c点,相遇时两球的速率vA<vB<v0 B.可能在b点,相遇时两球的速率vA>vB>v0 C.可能在d点,相遇时两球的速率vA=vB=v0 D.可能在c点,相遇时两球的速率vA=vB<v0

答案:D

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解析:在竖直圆环上的运动要受重力的影响,A球先减速后加 速,B球先加速后减速,所以沿各自半圆运动的平均速度 vB ? vA , 故相遇点可能在c处,又因两小球可视为质点,则初始位置和相 遇位置可认为两小球均在同一位置,根据机械能守恒得 ?mv02=mgh+?mvA2=mgh+?mvB2,所以vA2=vB2=v02-2gh,得 vA=vB<v0,故只有选项D正确.

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10.如图所示,水平转盘上的A?B?C三处有三块可视为质点的由 同一种材料做成的正方体物块,B?C处物块的质量相等且为 m,A处物块的质量为2m,点A?B与轴O的距离相等且为r,点C到 轴O的距离为2r,转盘以某一角速度匀速转动时,A?B?C处的物 块都没有发生滑动现象,下列说法中正确的是( )

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A.C处物块的向心加速度最大 B.A处物块受到的静摩擦力最小 C.当转速继续增大时,最后滑动起来的是A处的物块 D.当转速增大时,最先滑动起来的是C处的物块 答案:AD

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解析:物块的向心加速度a=ω2r,C处物块的轨道半径最大,向心 加速度最大,A正确;物块受到的静摩擦力Ff=mω2r,所以有 FfA=FfC=2FfB,B错误;当转速增大时最先滑动的是C,A?B同时滑 动,C错误,D正确.

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二?非选择题 11.如图所示,在同一竖直平面内有A?B两物体,A物体从a点起 以角速度ω 沿顺时针方向做半径为R的匀速圆周运动,同时B 物体从圆心处自由下落.若要AB两物体在d点相遇,求角速度ω 需满足的条件.

3 2g 答案: ? (n ? )? :? (n ? 0,1, 2,?) 4 R

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12.(2009· 广东卷)如图所示,一个竖直放置的圆锥筒可绕其中 心OO'转动,筒内壁粗糙,筒口半径和筒高分别为R和H,筒内壁A 点的高度为筒高的一半.内壁上有一质量为m的小物块.求:(1) 当筒不转时,物块静止在筒壁A点时受到的摩擦力和支持力的 大小; (2)当物块在A点随筒做匀速转动,且其受到的摩擦力为零时,筒

转动的角速度.

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答案:(1) :

mgH H 2 ? R2

2 gH (2) R H 2 ? R2 mgR
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解析:(1)当筒不转动时,物块静止在筒壁A点时受到重力?摩擦 力和支持力三力作用而平衡,由平衡条件,摩擦力的大小

H ?R 支持力的大小 F ? mgcos? ? N
2 2

Ff ? mgsin? ?

mgH

.

mgR H ?R
2 2

.

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(2)当物块在A点随筒做匀速转动,且其所受到的摩擦力为零时, 物块在筒壁A点时受到重力和支持力作用,它们的合力提供向 心力,设筒转动的角速度为ω 有

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13.如图所示,竖直平面内有一光滑圆弧轨道,其半径为R,平台 与轨道的最高点等高,一小球从平台边缘的A处水平射出,恰能 沿圆弧轨道上的P点的切线方向进入轨道内侧,轨道半径OP与 竖直线的夹角为45°,试求:

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(1)小球从平台上的A点射出时的速度v0; (2)小球从平台上射出点A到圆轨道入射点P之间的距离l; (3)小球能否沿轨道通过圆弧的最高点?请说明理由.

10 答案:(1) (2 ? 2) gR : (2)( 5 ? )R 2 (3)能 理由见解析

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