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2013年全国高中数学联赛天津赛区预赛


中 等

数 学

年 全 国 高 中 数学 联 赛 天 津 赛 区 预 赛
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文献标识码

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文 章编 号

:





选择 题 每小 题

分 共
,



)

已知

且 ?





%

设函数 ⑴ 考 虑 命题


;


⑷为
)

的 最 大值 为

⑷ 为 奇 函 数 命题 偶 函 数 则 以 下 结 论 正 确 的是
(

§

素 之 和是
` 彳


,




,

的 某个 非 空 子 集 中 所 有 元
“ ”

的 倍 数 称该子集 为 忐 忑子集
,






(


口 格 丈 女证
,


在 平面
,

庙 是定 点 且 均 不在 平 面



上 动点
,

该 忐 忑子 集 的 个 数 是 在 么 仙匸 中 已 知
,

,



则之





用 度 数作 答

上 且

则点

的 轨迹 为

解答 题 每 小 题

分 共
,



,

)

在 正 三棱 柱



为边

椭圆
双 曲线

(

抛 物线
以 上均

巾点

`

(





,

已知

至 裔 过




证明 仙 则

平面
,



:

⑵当

取 何值 时 叫 丄
,

苜隹 二角 形

角形

以 上 石 不对



是 曲线 设 上 的 三个 不 同 点 从 厂 分别 为 边 肊 从
,

在平 面直角 坐标 系 中

的和为

,



肋 的 中点 证明

△ 膨 的 外 接 圆 经过 原 点






设 今
°













'

证明
的 两 条互 相 垂 直 的 切 线

若曲 线
交 于点
,


备件
'

并 说 明 等 号成立 的

则点
,

的 坐标 不可 能 是

(

)

,

,

若不 等 式 的 子 集 则 实数
,
,

的解 集是 区 间





,

的 取 值范 围 为

(

)

⑷的 定 义 域 为

,

,



二、

填 空 题 每小 题

分 共
,
,





)









,







是摘 圆
,

上 的动点 已 知 点


是奇 函 数

,

不是 偶 函 数



的 最大值 为



满足



的点



,



轨迹 是 以






为顶

年第




点 为



为 轴线的
°
,

个 圆锥面 母线 与 轴线 的 夹角
还 需 落在平面
,

由 此得 到



现在 点

上 从而 其
,

,




时 原 不 等 式成 为
的数

轨 迹是 圆 锥 面与 平 面
曲 线 中 的 任何


的 交 线 可 能 是三 种 圆 锥



其解 集 中 不 含 任何 小 于 或 等 于 时 总有 故当 忘
:

由 题意 知 淀

庙 它
,

)

若 记边 故

的中点为

则葙





由 此得 到


,

記沛
,

这表 明

,

丄仙

综上


,

因此 厶

是等 腰 三 角 形




由于

'



?





同理


,



于是 %
,

从而

,

$
,


`





注意 到


为 楠 圆 的 右焦 点 楠 圆 的 右 准 线 为
,

为点



,

的距 离

过点
注意 到 函 数
,


,

的垂线

手 的 图 像在

;

处的

线




其中


再过点 分别 为 垂 足 故




的垂



切 线 斜率 为
其中
因此
,
,





处 的 切 线 互相 垂 直

即为点

到 右 准 线 的 距离 等 于
,

,



此 当点
,

的 纵 坐标 为



,

的 最 大值 为

不妨 设



注意 到
则固 定

,

时 必定 当
, ,

尽量 大时此式 才可取
也应 尽量大 因 此 不



,

,



最大 值 同 样 固 定
;



,

妨设

于 是 两 条 切 线 的 交点 为
,

均非负 且 一
,





可见 点
,

的 横 纵 坐 标 均 为 冗 的 奇 数倍 且

,



两者 之 差 是



的 整 数 倍 四 个 选 项 中 只 有选 项

时 上式 等 号 成 立

`



所求

大值 为

不符 合 这




特征
注意到
,

时 原不 等 式 成 为
,

故当






,

其解 集 中 不 含 任 何大 于或 等 于 时总 有 故当

的数
°

中 等

数 学

而当



,

为 整 数 且总 为 偶 数 此
, ,

设点

,





,





,

则边



,





,

相应 地

'




从而
,

的 中 垂 线 泥 的 中 垂线 方程 分 别 为








若某 个 真 子 集 是 忐 忑 子 集 则 其补 集 也 是 忐 子集 故 只 需 考 虑 元 素 个 数 小 于 或 等 于 的 志 好 此 只 有 个 元索 的 紅 子 集 共 有 个 恰 个 恰 有 个 元 素 的 忐 忑 子集 共 有 个 有 个 元 素 的 志 子集 共 有 对 于 元子 集 由 于 其 中 的 个 元 衆 被 除 的 余 数必 有 两 个 相 同 讨 论 知 只 有
;

】,




,

!

;






便得 到

如 观 两线 賴 中

;







,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

是全 对 称 的 注 意 到 交点 坐 标 关 于 所 以 它 也在 垂 上 的中 线 的 距离 相 等 从 而 该点到
,











,

,





这 四 种可 能 的 余数 组 合
从而



四 点共 圆

个元索 的 忐 忑 子 集 的 个 数 共 有
忑子集 故 忐忑子集 的 顿为
'

证法





又 缝也
°









,

上 严 格 递 增 于 是 等 号成 立 当
, ,

且仅当 证法

不 等 式 左 边 可 整理 为

°


,


(

证法



,

使得

°





取边
,

!

义 的 中点
平面





,

,

从而






平面 历 则
忍 及
丨 丨

则 由 ⑴知
!


五 乃

故平 面 碼 平面 因此 平面 妨设 底棱长为 不
,

,

侧 棱长 为











从 而 原 不 等 式 得证
,

由叫




:

… 剛 偉



)



证法

因为





:




,

!

上单调

递 减 所以
,

由 定 积 分 的 几 何意 义 知


不 妨 设点
不与



提供



之 中 的任何





重合

上 式 两 边 分 别 化 简 就 得 到 原不 等 式 丁 龙云
(

)


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