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高中数学选修2-1知识点+例题+习题(师)


高中数学选修 2-1 复习

第一章:命题与逻辑结构

知识点: 1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句. 2、 “若 p ,则 q ”形式的命题中的 p 称为命题的条件, q 称为命题的结论. 3、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,则这两

个命题称为互逆 命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若 p ,则 q ” ,它的逆命题为“若 q ,则 p ”. 4、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,则这两个 命题称为互否命题.中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若 p ,则 q ” ,则它的否命题为“若 ?p ,则 ?q ”. 5、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,则这两个 命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若 p ,则 q ” ,则它的否命题为“若 ?q ,则 ?p ”. 6、四种命题的真假性: 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 四种命题的真假性之间的关系:

?1? 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ? 2 ? 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.

7、若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件. 若 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件(充分必要条件) . 8、用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p ? q . 当 p 、 q 都是真命题时, p ? q 是真命题;当 p 、 q 两个命题中有一个命题是假命题时, p ? q 是假命题. 用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p ? q . 当 p 、 q 两个命题中有一个命题是真命题时, p ? q 是真命题;当 p 、 q 两个命题都是假命题时, p ? q 是假命题. 对一个命题 p 全盘否定,得到一个新命题,记作 ?p . 若 p 是真命题,则 ?p 必是假命题;若 p 是假命题,则 ?p 必是真命题. 9、短语“对所有的” 、 “对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用“ ? ”表示. 含有全称量词的命题称为全称命题. 全称命题“对 ? 中任意一个 x ,有 p ? x ? 成立” ,记作“ ?x ?? , p ? x ? ” . 短语“存在一个” 、 “至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“ ? ”表示. 含有存在量词的命题称为特称命题. 特称命题“存在 ? 中的一个 x ,使 p ? x ? 成立” ,记作“ ?x ?? , p ? x ? ” . 考点:1、充要条件的判定 2、命题之间的关系 典型例题: ★1.下面四个条件中,使 a ? b 成立的充分而不必要的条件是 A. a ? b ? 1 B. a ? b ? 1 C. a ? b
2 2

10、全称命题 p : ?x ?? , p ? x ? ,它的否定 ?p : ?x ?? , ?p ? x ? .全称命题的否定是特称命题.

D. a ? b
3

3

1

★2.已知命题 P: ? n∈N,2n>1000,则 ? P 为 A. ? n∈N,2n≤1000 B. ? n∈N,2n>1000 C. ? n∈N,2n≤1000 ★3. " x ? 1"是 "| x |? 1" 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件

D. ? n∈N,2n<1000

D.既不充分又不必要条件

【基础训练 A 组】 一、选择题 1.下列语句中是命题的是(

) B. sin 45 ? 1
0

A.周期函数的和是周期函数吗? 解析:B 可以判断真假的陈述句

C. x ? 2 x ? 1 ? 0
2

D.梯形是不是平面图形呢?

2 2.在命题“若抛物线 y ? ax ? bx ? c 的开口向下,则 x | ax ? bx ? c ? 0 ? ? ”的逆命题、否命题、逆否命
2

?

?

题中结论成立的是( )A.都真 B.都假 解析:D 原命题是真命题,所以逆否命题也为真命题 3 .有下述说法:① a ? b ? 0 是 a ? b 的充要条件 .
2 2

C.否命题真 ②a ?b?0是

D.逆否命题真

1 1 ? 的充要条件 . ③ a ? b ? 0 是 a b
C. 2 个 D. 3 个

a3 ? b3 的充要条件.则其中正确的说法有(
2 2

)A. 0 个

B. 1 个

解析:A ① a ? b ? 0 ? a ? b ,仅仅是充分条件 ③ a ? b ? 0 ? a ? b ,仅仅是充分条件
3 3

②a ?b ?0?

1 1 ? ,仅仅是充分条件; a b

4.下列说法中正确的是(
2 2


2 2

A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 B.“ a ? b ”与“ a ? c ? b ? c ”不等价 C. “ a ? b ? 0 ,则 a, b 全为 0 ”的逆否命题是“若 a, b 全不为 0 , 则 a ? b ? 0 ” D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真 解析:D 否命题和逆命题是互为逆否命题,有着一致的真假性
2 5.若 A : a ? R, a ? 1 , B : x 的二次方程 x ? (a ? 1) x ? a ? 2 ? 0 的一个根大于零,

另一根小于零,则 A 是 B 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 解析:A

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

A : a ? R, a ? 1 ? a ? 2 ? 0 ,充分,反之不行


2 6.已知条件 p : x ? 1 ? 2 ,条件 q : 5 x ? 6 ? x ,则 ?p 是 ?q 的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2 2 解析:A ?p : x ? 1 ? 2, ?3 ? x ? 1 , ?q : 5 x ? 6 ? x , x ? 5 x ? 6 ? 0, x ? 3, 或x ? 2 ?p ? ?q ,充分不必要

条件

2

二、填空题 1.命题: “若 a ? b 不为零,则 a, b 都不为零”的逆否命题是 解析:若 a, b 至少有一个为零,则 a ? b 为零 2. A : x1 , x2 是方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两实数根; B : x1 ? x2 ? ?
2



解析: 充分条件 A ? B 3.用“充分、必要、充要”填空: ① p ? q 为真命题是 p ? q 为真命题的_____________________条件; ② ?p 为假命题是 p ? q 为真命题的_____________________条件;

b ,则 A 是 B 的 a

条件。

③ A : x ? 2 ? 3 , B : x 2 ? 4 x ? 15 ? 0 , 则 A 是 B 的___________条件。 解析:必要条件;充分条件;充分条件, A : ?1 ? x ? 5, B : 2 ? 19 ? x ? 2 ? 19, A ? B 4.命题“ ax ? 2ax ? 3 ? 0 不成立”是真命题,则实数 a 的取值范围是_______。
2

解析: [?3,0]

ax2 ? 2ax ? 3 ? 0 恒成立,当 a ? 0 时, ?3 ? 0 成立;当 a ? 0 时,

?a ? 0 得 ?3 ? a ? 0 ;??3 ? a ? 0 ? 2 ?? ? 4a ? 12a ? 0
5. “a? b Z ? ”是“ x ? ax ? b ? 0 有且仅有整数解”的__________条件。
2

解析:必要条件 左到右来看: “过不去” ,但是“回得来” 三、解答题 1.对于下述命题 p ,写出“ ?p ”形式的命题,并判断“ p ”与“ ?p ”的真假: (1) p : 91? ( A ? B) (其中全集 U ? N , A ? ? x | x是质数? , B ? ? x | x是正奇数? ).
*

(2) p : 有一个素数是偶数;. (3) p : 任意正整数都是质数或合数; (4) p : 三角形有且仅有一个外接圆. 解:解: (1) ?p : 91? A, 或91? B ; p 真, ?p 假; (2) ?p : 每一个素数都不是偶数; p 真, ?p 假; (3) ?p : 存在一个正整数不是质数且不是合数; p 假, ?p 真; (4) ?p : 存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆。 2.已知命题 p : 4 ? x ? 6, q : x ? 2 x ? 1 ? a ? 0(a ? 0), 若非 p 是 q 的充分不必要条件,求 a 的取值范围。
2 2

解: ?p : 4 ? x ? 6, x ? 10, 或x ? ?2, A ? ? x | x ? 10, 或x ? ?2?

3

q : x 2 ? 2 x ? 1 ? a 2 ? 0,x ? 1 ? a, 或x ? 1 ? a, 记B ? ? x | x ? 1 ? a, 或x ? 1 ? a?

而 ?p ? q,? A

?1 ? a ? ?2 ? B ,即 ?1 ? a ? 10 ,? 0 ? a ? 3 。 ?a ? 0 ?

3.若 a ? b ? c ,求证: a, b, c 不可能都是奇数。
2 2 2

证明:假设 a, b, c 都是奇数,则 a , b , c 都是奇数得 a ? b 为偶数,而 c 为奇数,即 a ? b ? c ,与
2 2 2

2

2

2

2

2

2

a 2 ? b2 ? c 2矛盾

所以假设不成立,原命题成立
2

4.求证:关于 x 的一元二次不等式 ax ? ax ? 1 ? 0 对于一切实数 x 都成立的充要条件是 0 ? a ? 4 证明: ax ? ax ? 1 ? 0(a ? 0) 恒成立 ? ?
2

?a ? 0
2 ? ? ? a ? 4a ? 0

?0?a?4

【综合训练 B 组】 一、选择题 1.若命题“ p ? q ”为假,且“ ?p ”为假,则( A. p 或 q 为假 B. q 假 C. q 真 ) D.不能判断 q 的真假

解析:B “ ?p ”为假,则 p 为真,而 p ? q (且)为假,得 q 为假 2.下列命题中的真命题是( A. 3 是有理数 解析:B B. 2
2

) 是实数 C. e 是有理数 D. ? x | x是小数?

R

2 2 属于无理数指数幂,结果是个实数; 3 和 e 都是无理数; ? x | x是小数? ? R
②“全等三角形的面积相等”的否命题;

3.有下列四个命题: ①“若 x ? y ? 0 , 则 x, y 互为相反数”的逆命题;
2

③“若 q ? 1 ,则 x ? 2 x ? q ? 0 有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题; 其中真命题为( )A.①② B.②③ C.①③ D.③④ 解析:C 若 x ? y ? 0 , 则 x, y 互为相反数,为真命题,则逆否命题也为真; “全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等相等” 为假命题; 若 q ? 1 ? 4 ? 4q ? 0, 即 ? ? 4 ? 4q ? 0 ,则 x ? 2 x ? q ? 0 有实根,为真命题
2

4.设 a ? R ,则 a ? 1 是 A.充分但不必要条件

1 ? 1 的( a

) D.既不充分也不必要条件

B.必要但不充分条件 C.充要条件

4

解析:A

a ?1?
2 2

1 “过得去” ;但是“回不来” ,即充分条件 ?1, a


5.命题: “若 a ? b ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0 ”的逆否命题是( A. 若 a ? b ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0
2 2

a ? 0, b ? 0 a ? 0, b ? 0 a ? 0, b ? 0 a ? 0, b ? 0 其中之一 的否定是 另外三个
)

B. 若 a ? b ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0
2 2

C. 若 a ? 0, 且b ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0
2 2

D. 若 a ? 0, 或b ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0
2 2

解析:D

a ? b ? 0 的否定为 a, b 至少有一个不为 0

6.若 a, b ? R ,使 a ? b ? 1 成立的一个充分不必要条件是( A. a ? b ? 1 B. a ? 1

C. a ? 0.5, 且b ? 0.5 D. b ? ?1

解析:D 当 a ? 1, b ? 0 时,都满足选项 A, B ,但是不能得出 a ? b ? 1 当 a ? 0.5, b ? 0.5 时,都满足选项 C ,但是不能得出 a ? b ? 1 二、填空题 1.有下列四个命题: ①、命题“若 xy ? 1 ,则 x , y 互为倒数”的逆命题; 题;
2

②、命题“面积相等的三角形全等”的否命 ④、命题“若 A ? B ? B ,

③、命题“若 m ? 1 ,则 x ? 2 x ? m ? 0 有实根”的逆否命题;

则 A ? B ”的逆否命题。 其中是真命题的是 解析:①,②,③ A ? B ? B ,应该得出 B ? A

(填上你认为正确的命题的序号) 。 ______条件,r 是

2. 已知 p, q 都是 r 的必要条件,s 是 r 的充分条件, q 是 s 的充分条件, 则s是q的

q的

条件, p 是 s 的

条件.

解析:充要,充要,必要

q ? s ? r ? q , q ? s ; r ? q ? s ? r , r ? q ;s ? r ? p
0

3. “△ ABC 中,若 ?C ? 90 ,则 ?A, ?B 都是锐角”的否命题为 解析:若 ?C ? 90 ,则 ?A, ?B 不都是锐角
0



条件和结论都否定

4. 已知 ? 、? 是不同的两个平面, 直线 a ? ? , 直线b ? ? , 命题 p : a与b 无公共点; 命题 q : ? // ? , 则

p是q 的

条件。解析:必要

q? p

从 p 到 q ,过不去,回得来

5

5.若“ x ? ? 2,5? 或 x ? ? x | x ? 1或x ? 4? ”是假命题,则 x 的范围是___________。 解析: ?1, 2 ?

? x ? 2, 或x ? 5 x ? ? 2,5? 和 x ? ? x | x ? 1或x ? 4? 都是假命题,则 ? ?1 ? x ? 4

三、解答题 1.判断下列命题的真假: (1)已知 a, b, c, d ? R, 若 a ? c, 或b ? d , 则a ? b ? c ? d . (3)若 m ? 1, 则方程 x ? 2 x ? m ? 0 无实数根。
2

(2) ?x ? N , x ? x
3

2

(4)存在一个三角形没有外接圆。 (2)为假命题,反例: x ? 0, x ? x 不成立
3 2

解: (1)为假命题,反例: 1 ? 4,或5 ? 2,而1 ? 5 ? 4 ? 2 (3)为真命题,因为 m ? 1 ?? ? 4 ? 4m ? 0 ? 无实数根 (4)为假命题,因为每个三角形都有唯一的外接圆。

2.已知命题 p : x ? x ? 6, q : x ? Z 且“ p且q ”与“非 q ”同时为假命题,求 x 的值。
2

解:非 q 为假命题,则 q 为真命题; p且q 为假命题,则 p 为假命题,即

? x2 ? x ? 6 ? 0 ? , ?2 ? x ? 3, x ? Z x 2 ? x ? 6, 且x ? Z ,得 ? 2 ? ?x ? x ? 6 ? 0
2 2

? x ? ?1, 0,1, 或2

3.已知方程 x ? (2k ? 1) x ? k ? 0 ,求使方程有两个大于 1 的实数根的充要条件。 解:令 f ( x) ? x ? (2k ? 1) x ? k ,方程有两个大于 1 的实数根
2 2

?? ? (2k ? 1) 2 ? 4k 2 ? 0 ? 1 ? 2k ? 1 即0 ? k ? ? ?? ?1 4 2 ? ? ? f (1) ? 0
2

所以其充要条件为 0 ? k ?

1 4

4.已知下列三个方程: x ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0, x ? (a ? 1) x ? a ? 0, x ? 2ax ? 2a ? 0 至少有一个方程有
2 2 2

实数根,求实数 a 的取值范围。 解 : 假 设 三 个 方 程 : x ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0, x ? (a ?) x ? a ? 0, x ? 2ax ? 2a ? 0 都 没 有 实 数 根 , 则
2 2 2 2

1 ? 3 ? ?a? ? 2 2 ??1 ? (4a) 2 ? 4(?4a ? 3) ? 0 ? ? 1 3 ? 2 2 ,即 ?a ? , 或a ? ?1 ,得 ? ? a ? ?1 ?? 2 ? (a ? 1) ? 4a ? 0 3 2 ? ? 2 ? ? (2 a ) ? 4( ? 2 a ) ? 0 ? 1 ??2 ? a ? 0 ? ?

3 ? a ? ? , 或a ? ?1 。 2
6

选修 2-1

第二章:圆锥曲线

知识点: 1、平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹称为椭圆.这两个定点 称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

范围

?a ? x ? a 且 ?b ? y ? b
?1 ? ?a, 0 ? 、 ? 2 ? a, 0 ?

?b ? x ? b 且 ?a ? y ? a
?1 ? 0, ?a ? 、 ? 2 ? 0, a ? ?1 ? ?b, 0 ? 、 ? 2 ? b, 0 ?
长轴的长 ? 2a

顶点

?1 ? 0, ?b ? 、 ? 2 ? 0, b ?
短轴的长 ? 2b

轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

F1 ? ?c, 0 ? 、 F2 ? c, 0 ?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?
关于 x 轴、 y 轴、原点对称

e?

c b2 ? 1 ? 2 ? 0 ? e ? 1? a a

4、平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之差的绝对值等于常数(小于 F1 F2 )的点的轨迹称为双曲线.这 两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距. 5、双曲线的几何性质: 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

7

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

x ? ?a 或 x ? a , y ? R
?1 ? ?a, 0 ? 、 ? 2 ? a, 0 ?
虚轴的长 ? 2b

y ? ?a 或 y ? a , x ? R
?1 ? 0, ?a ? 、 ? 2 ? 0, a ?
实轴的长 ? 2a

F1 ? ?c, 0 ? 、 F2 ? c, 0 ?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?
关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

e?

c b2 ? 1 ? 2 ? e ? 1? a a

b a x y?? x a b 8、平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点 F 称为抛物线的焦点, 定直线 l 称为抛物线的准线. 9 、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 ? 、 ? 两点的线段 ?? ,称为抛物线的“通径” ,即
渐近线方程

y??

?? ? 2 p .
10、抛物线的几何性质:

y 2 ? 2 px
标准方程

y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

图形

顶点

? 0, 0 ?
x轴
? p ? F ? ,0? ?2 ? ? p ? F ? ? ,0? ? 2 ? p? ? F ? 0, ? 2? ?

对称轴

y轴
p? ? F ? 0, ? ? 2? ?

焦点

8

准线方程

x??

p 2

x?

p 2

y??

p 2

y?

p 2

离心率

e ?1

范围

x?0

x?0

y?0

y?0

考点:1、圆锥曲线方程的求解 2、直线与圆锥曲线综合性问题 3、圆锥曲线的离心率问题 典型例题: ★★1.设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A, B 两点,左焦点在以 AB 为直径的圆内,则该双曲线的离 心率的取值范围为 A. (0, 2) B. (1, 2) C. (

2 ,1) 2

D. ( 2 , ?? )

★★★2.设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 。点 P( a, b) 满足 | PF2 |?| F1 F2 | . a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆的离心率 e ; (Ⅱ) 设直线 PF2 与椭圆相交于 A, B 两点, 若直线 PF2 与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 16 相交于 M, N 两点,
2 2

且 | MN |?

5 | AB | ,求椭圆的方程。 8

[基础训练 A 组] 一、 选择题 1.已知椭圆 A. 2

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ,则 P 到另一焦点距离为( 25 16
B. 3 C. 5 D. 7



解析:D 点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为 2a ? 10,10 ? 3 ? 7

9

2.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18 ,焦距为 6 ,则椭圆的方程为( A.



x2 y2 ? ?1 9 16

B.

x2 y2 ? ?1 25 16

C.

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 25 16 16 25

D.以上都不对

解析:C

2a ? 2b ? 18, a ? b ? 9, 2c ? 6, c ? 3, c 2 ? a 2 ? b2 ? 9, a ? b ? 1

得 a ? 5, b ? 4 ,?

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 25 16 16 25


3.动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( A.双曲线 解析:D B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线

PM ? PN ? 2, 而MN ? 2 ,? P 在线段 MN 的延长线上


4.设双曲线的半焦距为 c ,两条准线间的距离为 d ,且 c ? d ,那么双曲线的离心率 e 等于( A. 2 B. 3 C. 2 D. 3

解析:C

2a 2 c2 ? c, c 2 ? 2a 2 , e2 ? 2 ? 2, e ? 2 c a
2

5.抛物线 y ? 10 x 的焦点到准线的距离是( A.



5 2

B. 5

C.

15 2

D. 10

解析:B

2 p ? 10, p ? 5 ,而焦点到准线的距离是 p
2

6.若抛物线 y ? 8 x 上一点 P 到其焦点的距离为 9 ,则点 P 的坐标为( A. (7, ? 14) B. (14, ? 14) C. (7, ?2 14) D. (?7, ?2 14)

) 。

解析:C 点 P 到其焦点的距离等于点 P 到其准线 x ? ?2 的距离,得 xP ? 7, y p ? ?2 14 二、填空题 1.若椭圆 x ? my ? 1 的离心率为
2 2

3 ,则它的长半轴长为_______________. 2

解析: 1, 或2

x2 y 2 ? ? 1, a ? 1 ; 当 m ? 1时, 1 1 m y 2 x2 a 2 ? b2 3 1 1 ? ? 1, e2 ? ? 1 ? m ? , m ? , a 2 ? ? 4, a ? 2 2 1 1 a 4 4 m m
10

当 0 ? m ? 1 时,

2.双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 ,这双曲线的方程为_______________。

解析:

x2 y 2 ? ? ?1 20 5

设双曲线的方程为 x ? 4 y ? ? , (? ? 0) ,焦距 2c ? 10, c ? 25
2 2 2

当 ? ? 0 时,

x2

?

?

y2

?

? 1, ? ?

?
4

? 25, ? ? 20 ;当 ? ? 0 时,

y2 ?

?
4

?

x2 ? ? 1, ?? ? (? ) ? 25, ? ? ?20 ?? 4

4
x2 y2 3.若曲线 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 4 ? k 1? k
解析: (??, ?4) ? (1, ??)
2



(4 ? k )(1 ? k ) ? 0,(k ? 4)(k ? 1) ? 0, k ? 1, 或k ? ?4

4.抛物线 y ? 6 x 的准线方程为_____.解析: x ? ? 5.椭圆 5 x ? ky ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,那么 k ?
2 2

3 2


2 p ? 6, p ? 3, x ? ?

p 3 ?? 2 2

解析: 1

焦点在 y 轴上,则

y 2 x2 5 ? ? 1, c 2 ? ? 1 ? 4, k ? 1 5 1 k k

三、解答题 1. k 为何值时,直线 y ? kx ? 2 和曲线 2 x ? 3 y ? 6 有两个公共点?有一个公共点?
2 2

没有公共点? 解:由 ?

? y ? kx ? 2 ?2 x ? 3 y ? 6
2 2

,得 2 x ? 3(kx ? 2) ? 6 ,即 (2 ? 3k ) x ? 12kx ? 6 ? 0
2 2 2 2

? ? 144k 2 ? 24(2 ? 3k 2 ) ? 72k 2 ? 48

当 ? ? 72k ? 48 ? 0 ,即 k ?
2

6 6 , 或k ? ? 时,直线和曲线有 3 3

两个公共点;

当 ? ? 72k ? 48 ? 0 ,即 k ?
2

6 6 , 或k ? ? 时,直线和曲线有一个公共点; 3 3

当 ? ? 72k ? 48 ? 0 ,即 ?
2
2

6 6 ?k? 时,直线和曲线没有公共点。 3 3

2.在抛物线 y ? 4 x 上求一点,使这点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短。 解:设点 P(t , 4t ) ,距离为 d , d ?
2

4t ? 4t 2 ? 5 17

4t 2 ? 4t ? 5 1 1 ? 当 t ? 时, d 取得最小值,此时 P( ,1) 为所 2 2 17
11

求的点。 3.双曲线与椭圆有共同的焦点 F1 (0, ?5), F2 (0,5) ,点 P(3,4) 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求渐 近线与椭圆的方程。 解:由共同的焦点 F1 (0, ?5), F2 (0,5) ,可设椭圆方程为

y2 x2 ? ?1; a 2 a 2 ? 25

双曲线方程为

y2 x2 16 9 ? ? 1 ,点 P(3, 4) 在椭圆上, 2 ? 2 ? 1, a 2 ? 40 2 2 b 25 ? b a a ? 25
b 25 ? b
2

双曲线的过点 P(3, 4) 的渐近线为 y ?

x ,即 4 ?

b 25 ? b
2

? 3, b 2 ? 16

所以椭圆方程为

y 2 x2 y 2 x2 ? ? 1 ;双曲线方程为 ? ?1 40 15 16 9
x2 y 2 ? ? 1(b ? 0) 上变化,则 x 2 ? 2 y 的最大值为多少? 4 b2
2 2 2

4.若动点 P( x, y ) 在曲线

解:设点 P(2cos ? , b sin ? ) , x ? 2 y ? 4cos ? ? 2b sin ? ? ?4sin ? ? 2b sin ? ? 4 令 T ? x ? 2 y,sin ? ? t , (?1 ? t ? 1) , T ? ?4t ? 2bt ? 4,(b ? 0) ,对称轴 t ?
2 2

b 4



b b ? 1,即b ? 4 时, Tmax ? T |t ?1 ? 2b ;当 0 ? ? 1,即0 ? b ? 4 时, 4 4
Tmax ? T | ? b ?4 4
2

t?

b 4

? ( x 2 ? 2 y ) max

? b2 ? ? 4, 0 ? b ? 4 ?? 4 ?2b, b ? 4 ?

[综合训练 B 组] 一、选择题 1.如果 x ? ky ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是(
2 2



A. ?0,???

B. ?0,2 ?

C. ?1,?? ?

D. ?0,1?

解析:D 焦点在 y 轴上,则

y 2 x2 2 ? ? 1, ? 2 ? 0 ? k ? 1 2 2 k k


x2 y2 ? ? 1 的顶点为顶点,离心率为 2 的双曲线方程( 2.以椭圆 25 16

12

A.

x2 y2 ? ?1 16 48

B.

x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 C. ? ? 1或 ? ?1 9 27 16 48 9 27
x2 y 2 ? ? 1; 16 48

D.以上都不对

解析:C 当顶点为 (?4,0) 时, a ? 4, c ? 8, b ? 4 3,

当顶点为 (0, ?3) 时, a ? 3, c ? 6, b ? 3 3,

y 2 x2 ? ?1 9 27

3.过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ , F1 是另一焦点,若∠ PF1Q ?

?
2

,则双曲线的离心率

e 等于(

)A. 2 ? 1

B. 2

C. 2 ? 1

D. 2 ? 2

解析:C Δ PF1 F2 是等腰直角三角形, PF2 ? F1 F2 ? 2c, PF1 ? 2 2c

PF1 ? PF2 ? 2a, 2 2c ? 2c ? 2a, e ?

c 1 ? ? 2 ?1 a 2 ?1

x2 y2 4. F1 , F2 是椭圆 ? ? 1 的两个焦点, A 为椭圆上一点,且∠ AF1 F2 ? 45 0 ,则Δ AF1 F2 的面积为 9 7
( )A. 7 B.

7 4

C.

7 2

D.

7 5 2

解析:C

F1 F2 ? 2 2, AF1 ? AF2 ? 6, AF2 ? 6 ? AF1

AF2 2 ? AF12 ? F1F2 2 ? 2 AF1 ? F1F2 cos 450 ? AF12 ? 4 AF1 ? 8

1 7 2 7 7 ? (6 ? AF1 )2 ? AF12 ? 4 AF1 ? 8, AF1 ? , S ? ? ? 2 2 ? 2 2 2 2 2
5.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 9 ? 0 的圆心的抛物线的方程是(
2 2



A. y ? 3 x 或 y ? ?3x
2

2

B. y ? 3 x
2

2

C. y ? ?9 x 或 y ? 3 x
2

2

D. y ? ?3x 或 y ? 9 x
2 2

解析:D 圆心为 (1, ?3) ,设 x ? 2 py, p ? ? , x ? ?
2

1 6

1 9 y ; 设 y 2 ? 2 px, p ? , y 2 ? 9 x 3 2


2 6.设 AB 为过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点的弦,则 AB 的最小值为(

A.

p 2

B. p

C. 2 p

D.无法确定

13

解析:C 垂直于对称轴的通径时最短,即当 x ? 二、填空题 1.椭圆

p , y ? ? p, AB min ? 2 p 2

x2 y2 1 ? ? 1的离心率为 ,则 k 的值为______________。 k ?8 9 2

解析: 4, 或 ?

5 4
2

当 k ? 8 ? 9 时, e ?
2

c2 k ? 8 ? 9 1 ? ? ,k ? 4; a2 k ?8 4

c2 9 ? k ? 8 1 5 当 k ? 8 ? 9 时, e ? 2 ? ? ,k ? ? a 9 4 4
2.双曲线 8kx ? ky ? 8 的一个焦点为 (0,3) ,则 k 的值为______________。
2 2

解析: ?1

焦点在 y 轴上,则

y2 x2 8 1 ? ? 1, ? ? (? ) ? 9, k ? ?1 8 1 k k ? ? k k

3.若直线 x ? y ? 2 与抛物线 y ? 4 x 交于 A 、 B 两点,则线段 AB 的中点坐标是______。
2

解析: (4, 2)

? y2 ? 4x 2 , x ? 8 x ? 4 ? 0, x1 ? x2 ? 8, y1 ? y2 ? x1 ? x2 ? 4 ? 4 ? ?y ? x ? 2

中点坐标为 (

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) ? (4, 2) 2 2

2 4.对于抛物线 y ? 4 x 上任意一点 Q ,点 P(a,0) 都满足 PQ ? a ,则 a 的取值范围是____。

解析: ? ??, 2 ?

设 Q(

t2 t2 , t ) ,由 PQ ? a 得 ( ? a)2 ? t 2 ? a 2 , t 2 (t 2 ? 16 ? 8a) ? 0, 4 4

t 2 ? 16 ? 8a ? 0, t 2 ? 8a ? 16 恒成立,则 8a ? 16 ? 0, a ? 2
5.若双曲线

x2 y2 3 x ,则双曲线的焦点坐标是_________. ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 2 4 m
渐近线方程为 y ? ?

解析: ( ? 7, 0)

m x ,得 m ? 3, c ? 7 ,且焦点在 x 轴上 2

x2 y 2 6 . 设 AB 是 椭 圆 2 ? 2 ? 1 的 不 垂 直 于 对 称 轴 的 弦 , M 为 AB 的 中 点 , O 为 坐 标 原 点 , 则 a b
k AB ? kOM ? ____________。
14

解析: ?

b2 a2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则中点 M (

y ?y x1 ? x2 y1 ? y2 , ) ,得 k AB ? 2 1 , x2 ? x1 2 2

kOM ?

y 2 ? y12 y2 ? y1 2 2 2 2 2 2 , k AB ? kOM ? 2 2 , b x1 ? a y1 ? a b , 2 x2 ? x1 x2 ? x1

b 2 x2 2 ? a 2 y2 2 ? a 2b 2 , 得 b2 ( x2 2 ? x12 ) ? a 2 ( y2 2 ? y12 ) ? 0, 即
三、解答题 1.已知定点 A(?2, 3) , F 是椭圆 小值。 解:显然椭圆

y2 2 ? y12 b2 ? ? x2 2 ? x12 a2

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,在椭圆上求一点 M ,使 AM ? 2 MF 取得最 16 12

x2 y2 1 ? ? 1 的 a ? 4, c ? 2, e ? ,记点 M 到右准线的距离为 MN 16 12 2



1 ? e ? , MN ? 2 MF ,即 AM ? 2 MF ? AM ? MN MN 2

MF

当 A, M , N 同时在垂直于右准线的一条直线上时, AM ? 2 MF 取得最小值, 此时 M y ? Ay ?

3 ,代入到

x2 y2 ? ? 1 得 M x ? ?2 3 16 12

而点 M 在第一象限,? M (2 3, 3) 2. k 代表实数,讨论方程 kx ? 2 y ? 8 ? 0 所表示的曲线
2 2

y 2 x2 解:当 k ? 0 时,曲线 ? ? 1 为焦点在 y 轴的双曲线; 4 ?8 k
当 k ? 0 时,曲线 2 y ? 8 ? 0 为两条平行的垂直于 y 轴的直线;
2

当 0 ? k ? 2 时,曲线

x2 y2 ? ? 1 为焦点在 x 轴的椭圆; 8 4 k
2

当 k ? 2 时,曲线 x ? y ? 4 为一个圆;
2

15

y 2 x2 当 k ? 2 时,曲线 ? ? 1 为焦点在 y 轴的椭圆。 8 4 k
3.双曲线与椭圆

x2 y2 ? ? 1 有相同焦点,且经过点 ( 15, 4) ,求其方程。 27 36

解:椭圆

y 2 x2 y2 x2 ? ? 1 的焦点为 (0, ?3), c ? 3 ,设双曲线方程为 2 ? ?1 36 27 a 9 ? a2

过点 ( 15, 4) ,则

16 15 ? ? 1 ,得 a 2 ? 4, 或36 ,而 a 2 ? 9 , 2 2 a 9?a
y 2 x2 ? ? 1。 4 5

? a 2 ? 4 ,双曲线方程为

4.已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y ? 2 x ? 1 截得的弦长为 15 ,求抛物线的方程。

解:设抛物线的方程为 y ? 2 px ,则 ?
2

? y 2 ? 2 px ? y ? 2x ?1

, 消去 y 得

4 x 2 ? (2 p ? 4) x ? 1 ? 0, x1 ? x2 ?

p?2 1 , x1 x2 ? 2 4
p?2 2 1 ) ? 4 ? ? 15 , 2 4

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 5 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 (


p2 ? p ? 3, p 2 ? 4 p ? 12 ? 0, p ? ?2, 或6 4

? y 2 ? ?4 x,或y 2 ? 12 x

16

选修 2-1 知识点: 1、空间向量的概念:

第三章:空间向量

?1? 在空间,具有大小和方向的量称为空间向量. ? 2 ? 向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.
,记作 ?? . ? 3? 向量 ?? 的大小称为向量的模(或长度)

??? ?

????

? 4 ? 模(或长度)为 0 的向量称为零向量;模为1的向量称为单位向量. ? 5 ? 与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为 a 的相反向量,记作 ?a . ? 6 ? 方向相同且模相等的向量称为相等向量.
2、空间向量的加法和减法:

?

?

?

?1? 求两个向量和的运算称为向量的加法,它遵循平行四边形法
则.即:在空间以同一点 ? 为起点的两个已知向量 a 、b 为邻边作 平行四边形 ??C? ,则以 ? 起点的对角线 ?C 就是 a 与 b 的和, 这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法则.

?

?

????

?

?

? 2 ? 求两个向量差的运算称为向量的减法,它遵循三角形法则.即:
在空间任取一点 ? ,作 ?? ? a , ?? ? b ,则 ?? ? a ? b . 3、 实数 ? 与空间向量 a 的乘积 ? a 是一个向量, 称为向量的数乘运 算. 当 ? ? 0 时, 当 ? ? 0 时, 当 ? ? 0 时, 记为 0 . ?a 与 a 方向相同; ?a 与 a 方向相反; ?a 为零向量, ?a 的长度是 a 的长度的 ? 倍. 4、设 ? , ? 为实数, a , b 是空间任意两个向量,则数乘运算满足分配律及结合律. 分配律: ? a ? b ? ? a ? ? b ;结合律: ? ? ? a ? ? ? ?? ? a . 5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量称为共线向量或平行向量,并规定 零向量与任何向量都共线. 6 、向量共线的充要条件:对于空间任意两个向量 a , b b ? 0 , a // b 的充要条件是存在实数 ? ,使

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? ? a ? ?b .

17

7、平行于同一个平面的向量称为共面向量. 8 、 向 量 共 面 定 理 : 空 间 一 点 ? 位 于 平 面 ??C 内 的 充 要 条 件 是 存 在 有 序 实 数 对 x , y , 使

???? ???? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ? ? ?x ? ? ? y ? C;或对空间任一定点 ? ,有 ?? ? ?? ? x ?? ? y ?C ;或若四点 ? , ? , ? , C 共
面,则 ?? ? x?? ? y ?? ? z ?C ? x ? y ? z ? 1? . 9、已知两个非零向量 a 和 b ,在空间任取一点 ? ,作 ?? ? a , ?? ? b ,则 ???? 称为向量 a , b 的 夹角,记作 ? a , b ? .两个向量夹角的取值范围是: ? a , b ? ? ? 0, ? ? . 10、对于两个非零向量 a 和 b ,若 ? a , b ? ?

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2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? s a ,? b称 为 a , b 的 数 量 积 , 记 作 a ?b . 即 11 、 已 知 两 个 非 零 向 量 a 和 b , 则 a b c o ?
? ? ? ? ? ? a? b ? a b c o s? a, .零向量与任何向量的数量积为 b ? 0.
12、 a ? b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos ? a , b ? 的乘积. 13 若 a , b 为非零向量, e 为单位向量,则有 ?1? e ? a ? a ? e ? a cos? a , e ? ;

,则向量 a , b 互相垂直,记作 a ? b .

?

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? ? ? ? ?a b a与b同向 ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ,a ?a ? a , a ? a ?a ; ? 2 ? a ? b ? a ? b ? 0 ; ? 3? a ? b ? ? ? ? ? ? ? ? a b a与b反向 ? ?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? a ?b ? ? ? 4 ? cos? a, b ? ? ? ? ; ? 5 ? a ? b ? a b . a b
14 量数乘积的运算律: ?1? a ? b ? b ? a ; ? 2 ? ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ? b ;

? ?

? ?

?

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? 3? ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c .
? ? ?
15、空间向量基本定理:若三个向量 a , b , c 不共面,则对空间任一向量 p ,存在实数组 ? x, y , z? ,使 得 p ? xa ? yb ? zc . 16、三个向量 a , b , c 不共面,则所有空间向量组成的集合是

? ?

? ?

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?

?

?

?

? ? ? ? ? ? p ? xa ? yb ? zc , x, y, z ? R? .这个集合可看作是由向量 a , b , c 生成的, ?p ?
?
? ? ? ? , b , c ? 称为空间的一个基底, a , b , c 称为基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一 ?a ?

?

18

个基底. 17、设 e1 ,e2 ,e3 为有公共起点 ? 的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位正交基底) ,以 e1 ,e2 ,e3

??

?? ?

??

??

?? ?

??

e2 , e3 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系 ?xyz . 的公共起点 ? 为原点, 分别以 e1 , 则
对于空间任意一个向量 p ,一定可以把它平移,使它的起点与原点 ? 重合,得到向量 ?? ? p .存在有序 实数组 ? x, y , z? ,使得 p ? xe1 ? ye2 ? ze3 .把 x , y , z 称作向量 p 在单位正交基底 e1 , e2 , e3 下的 坐标,记作 p ? ? x, y, z ? .此时,向量 p 的坐标是点 ? 在空间直角坐标系 ?xyz 中的坐标 ? x, y , z ? . 18、设 a ? ? x1 , y1 , z1 ? , b ? ? x2 , y2 , z2 ? ,则 ?1? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ? .

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? 2 ? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ? . ? 3? ? a ? ? ? x1 , ? y1 , ? z1 ? . ? 4 ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 . ? 5 ? 若 a 、 b 为非零向量,则 a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ? 0 . ? 6 ? 若 b ? 0 ,则 a // b ? a ? ?b ? x1 ? ? x2 , y1 ? ? y2 , z1 ? ? z2 .
? ? ? a ? a ? a ? x12 ? y12 ? z12 . ? ? xx ?y y ?zz a ?b ? ? ? 8 ? cos? a , b ? ? ? ? ? 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 . a b x1 ? y1 ? z1 ? x2 ? y2 ? z2

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?7?

? 9 ? ? ? x1 , y1 , z1 ? , ? ? ? x2 , y2 , z2 ? ,则 d?? ? ?? ? ? x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2 ? ? z2 ? z1 ?2 .
19、在空间中,取一定点 ? 作为基点,那么空间中任意一点 ? 的位置可以用向量 ?? 来表示.向量 ?? 称 为点 ? 的位置向量. 20、空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 ? 以及一个定方向确定.点 ? 是直线 l 上一点,向 量 a 表示直线 l 的方向向量,则对于直线 l 上的任意一点 ? ,有 ?? ? ta ,这样点 ? 和向量 a 不仅可以确 定直线 l 的位置,还可以具体表示出直线 l 上的任意一点. 21、空间中平面 ? 的位置可以由 ? 内的两条相交直线来确定.设这两条相交直线相交于点 ? ,它们的方 向向量分别为 a ,b .? 为平面 ? 上任意一点,存在有序实数对 ? x, y ? ,使得 ?? ? xa ? yb ,这样点 ? 与 向量 a , b 就确定了平面 ? 的位置.

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19

22、直线 l 垂直 ? ,取直线 l 的方向向量 a ,则向量 a 称为平面 ? 的法向量. 23、若空间不重合两条直线 a , b 的方向向量分别为 a , b ,则 a // b ? a // b ?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? a ? ?b ? ? ? R ? , a ? b ? a ? b ? a ? b ? 0 . ? ? ? 24、若直线 a 的方向向量为 a ,平面 ? 的法向量为 n ,且 a ? ? ,则 a // ? ? a // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? n ? a ? n ? 0 , a ? ? ? a ? ? ? a // n ? a ? ?n . ? ? ? ? 25、若空间不重合的两个平面 ? , ? 的法向量分别为 a , b ,则 ? // ? ? a // b ?

? ? ? ? ? ? a ? ?b , ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 .
26、设异面直线 a , b 的夹角为 ? ,方向向量为 a , b ,其夹角为 ? ,则有

?

?

? ? a ?b cos ? ? cos ? ? ? ? . a b
27 、设直线 l 的方向向量为 l ,平面 ? 的法向量为 n , l 与 ? 所成的角为 ? , l 与 n 的夹角为 ? ,则有

?

?

?

?

? ? l ?n sin ? ? cos ? ? ? ? . l n
28、设 n1 , n2 是二面角 ? ? l ? ? 的两个面 ? , ? 的法向量,则向量 n1 , n2 的夹角(或其补角)就是二

??

?? ?

??

?? ?

?? ?? ? n1 ? n2 面角的平面角的大小.若二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 ? ,则 cos ? ? ?? ?? ? . n1 n2 ???? ??? ? 29、点 ? 与点 ? 之间的距离可以转化为两点对应向量 ?? 的模 ?? 计算. ? 30 、 在 直 线 l 上 找 一 点 ? , 过 定 点 ? 且 垂 直 于 直 线 l 的 向 量 为 n , 则 定 点 ? 到 直 线 l 的 距 离 为 ??? ? ? ?? ? n ??? ? ??? ? ? d ? ?? cos???, n? ? ? . n ? 31、点 ? 是平面 ? 外一点, ? 是平面 ? 内的一定点, n 为平面 ? 的一个法向量,则点 ? 到平面 ? 的距离 ??? ? ? ?? ? n ??? ? ??? ? ? 为 d ? ?? cos???, n? ? ? . n
考点:1、利用空间向量证明线线平行、线线垂直 2、利用空间向量证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直 3、利用空间向量证明线线角、线面角、面面角问题 典型例题: ★★1.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为 。

20

★★★2.在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形, ∠ ACB= 90? ,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,E G∥AC.AB=2EF. (Ⅰ)若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE; (Ⅱ)若AC=BC=2AE,求二面角A-BF-C的大小.

★ ★ ★ 3. 如 图 , 在 五 棱 锥 P — ABCDE 中 , PA ? 平 面 ABCDE , AB//CD , AC//ED , AE//BC ,

?ABC ? 45?, AB ? 2 2 , BC ? 2 AE ? 4 ,三角形 PAB 是等腰三角形。
(Ⅰ)求证:平面 PCD ? 平面 PAC; (Ⅱ)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小; (Ⅲ)求四棱锥 P—ACDE 的体积。

[基础训练 A 组] 一、选择题 1.下列各组向量中不平行的是(



? ? a ? ( 1 , 2 , ? 2 ), b ? (?2,?4,4) A.

? ? c ? ( 1 , 0 , 0 ), d ? (?3,0,0) B.
? ? g ? ( ? 2 , 3 , 5 ), h ? (16,24,40) D.

? ? e ? ( 2 , 3 , 0 ), f ? (0,0,0) C.
解析:D

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b ? ?2a ? a // b; d ? ?3c ? d // c; 而零向量与任何向量都平行


2.已知点 A(?3,1, ?4) ,则点 A 关于 x 轴对称的点的坐标为( A. (?3,?1,4) B. (?3,?1,?4) C. (3,1,4) D. (3,?1,?4)

解析:A 关于某轴对称,则某坐标不变,其余全部改变

8 ? ? ? ? 3.若向量 a ? (1, ? ,2), b ? (2,?1,2) ,且 a 与 b 的夹角余弦为 9 ,则 ? 等于(



21

A. 2 解析:C

B. ? 2

2 C. ? 2 或 55

2 D. 2 或 55 ?

? ? ? ? a? b 6?? 8 2 cos ? a, b ?? ? ? ? ? , ? ? ?2, 或 55 a b 3 ?2 ? 5 9
) D.等边三角形

4.若 A (1,?2,1) ,B (4,2,3) ,C (6,?1,4) ,则△ABC 的形状是( A.不等边锐角三角形 解析:A B.直角三角形 C.钝角三角形

??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? AB ? (3, 4, 2), AC ? (5,1,3), BC ? (2, ?3,1) , AB?AC ? 0 ,得 A 为锐角;

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CA? CB ? 0 ,得 C 为锐角; BA?BC ? 0 ,得 B 为锐角;所以为锐角三角形 ? AB ( x , 5 ? x , 2 x ? 1 ) ( 1 , x ? 2 , 2 ? x ) 5.若 A ,B ,当 取最小值时, x 的值等于( )
A. 19 解析:C

8 B. 7 ?

8 C. 7

19 D. 14

??? ? ??? ? AB ? (1 ? x, 2 x ? 3, ?3x ? 3), AB ? (1 ? x)2 ? (2 x ? 3) 2 ? (?3x ? 3) 2
? 14 x 2 ? 32 x ? 19 ,当 x ?
? 8 时, A B 取最小值 7

6.空间四边形 OABC 中, OB ? OC ,

?AOB ? ?AOC ?

?

??? ? ??? ? 3 ,则 cos < OA, BC >的值是(



1 A. 2

2 B. 2

1 C.- 2

D. 0

??? ? ???? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? OA OC cos ? OA OB cos ??? ? ??? ? OA?BC OA?(OC ? OB ) 3? ??? 3 ?0 ? 解析:D cos ? OA, BC ?? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA BC OA BC OA BC
二、填空题

? ? ? ? ? ? a ? ( 4 , 2 , ? 4 ), b ? ( 6 , ? 3 , 2 ) (2 a ? 3 b ) ? ( a ? 2 b ) ? __________________。 1.若向量 ,则
解析: ?212

? ? ? ? 2a ? 3b ? (?10,13, ?14) , a ? 2b ? (16, ?4, 0)

? ? ? ? ? ? ? ? a ? 2 i ? j ? k , b ? 4 i ? 9 j ? k , ,则这两个向量的位置关系是___________。 2.若向量
解析: .垂直

? ? ? ? ? ? a ? (2, ?1,1), b ? (4,9,1), a? b?0?a ?b

22

? ? ? ? ? ? a ? ( 2 , ? 1 , 3 ), b ? (?4,2, x) ,若 a ? b ,则 x ? ______;若 a // b 则 x ? ______。 3.已知向量 10 10 ? ? ? ? 解析: , ?6 若 a ? b ,则 ?8 ? 2 ? 3x ? 0, x ? ;若 a // b ,则 2 : (?4) ? (?1) : 2 ? 3: x, x ? ?6 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4.已知向量 a ? mi ? 5 j ? k , b ? 3i ? j ? rk , 若 a // b 则实数 m ? ______, r ? _______。

? 1 ? m 5 ?1 1 a ? (m,5, ?1), b ? (3,1, r ), ? ? , m ? 15, r ? ? 5 3 1 r 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5.若 (a ? 3b ) ? (7a ? 5b ) ,且 ( a ? 4b ) ? (7a ? 5b ) ,则 a 与 b 的夹角为____________。
解析: 15, ?

b ? 15b ? 0, 7a ? 33a? b ? 20b ? 0, 得49a ? b ? 35b , 49a ? 35a ? b 解析: 0 7 a ? 16a ?

?2

? ?

?2

?2

? ?

?2

? ?

?2

?2

? ?

? ? ? 35 ? 2 a 35 ? ? a? b ? b , ? ? , cos ? a, b ?? 49 b 49

35 ? 2 ? ? b a? b 49 35 ? ? ? ? ? ? 49 a b a b

? b ? ?1 a

A(0, 2,
6 .若

19 5 5 ? ) B(1, ?1, ) C (?2,1, ) 8 , 8 , 8 是平面 ? 内的三点,设平面 ? 的法向量 a ? ( x, y, z ) ,则

x : y : z ? ________________。
解析: 2 : 3: (?4)

??? ? ? ??? ? ? ? ???? 7 ???? 7 ? AB ? (1, ?3, ? ), AC ? (?2, ?1, ? ), ? ?AB ? 0, ? ?AC ? 0, 4 4
2 ? x? y ? 2 4 ? 3 , x : y : z ? y : y : (? y ) ? 2 : 3 : ( ?4) ? 3 3 ?z ? ? 4 y ? 3 ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? O A ? a , O B ? b , O C ? c M , N OA , BC OABC a 7.已知空间四边形 ,点 分别为 的中点,且 ,用 , b , c 表 ? ? ???? ? ???? ???? ? 1 ? ? 1? 1 ? ? ? 示 MN ,则 MN =_______________。解析: (b ? c ? a) MN ? ON ? OM ? (b ? c) ? a 2 2 2
8.已知正方体 解析:

ABCD ? A1 B1C1D1

的棱长是 1 ,则直线

DA1

与 AC 间的距离为



3 3

???? ???? ? A(0, 0, 0), C (1,1, 0), D(0,1, 0), A1 (0, 0,1), AC ? (1,1, 0), DA1 ? (0, ?1,1)

设 MN ? ( x, y, z ), MN ? AC , MN ? DA1 , x ? y ? 0, ? y ? z ? 0, 令y ? t 则 MN ? (?t , t , t ) ,而另可设 M (m, m, 0), N (0, a, b), MN ? (?m, a ? m, b)

???? ?

???? ?

???? ???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

23

? ? m ? ?t ? ? 1 ???? 1 1 1 ???? 1 1 1 3 ? a ? m ? t , N (0, 2 t , t ), 2 t ? t ? 1, t ? MN ? ( ? , , ), MN ? ? ? ? , ? 3 3 3 3 9 9 9 3 ?b ? t ?
空间向量与立体几何解答题精选(选修 2--1) 1 .已知四棱锥 P ? ABCD的底面为直角梯形, AB // DC ,

?DAB ? 90 , PA ? 底 面 ABCD, 且
?

P A ? A D? D C?

1 2,

AB ? 1, M 是 PB 的中点。
(Ⅰ)证明:面 PAD ? 面 PCD ; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小。 证明:以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为

1 A(0, 0, 0), B(0, 2, 0), C (1,1, 0), D(1, 0, 0), P(0, 0,1), M (0,1, ) 2 .
(Ⅰ)证明:因 AP ? (0,0,1), DC ? (0,1,0), 故 AP ? DC ? 0, 所以AP ? DC. 由题设知 AD ? DC ,且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线,由此得 DC ? 面 PAD .又 DC 在面

PCD 上,故面 PAD ⊥面 PCD .
(Ⅱ)解:因 AC ? (1,1,0), PB ? (0,2,?1),

故 | AC |? 2 , | PB |? 5 , AC ? PB ? 2, 所以 cos ? AC, PB ?? AC ? PB | AC | ? | PB | ? 10 . 5

(Ⅲ)解:在 MC 上取一点 N ( x, y, z ) ,则存在 ? ? R, 使 NC ? ? MC,

1 1 NC ? (1 ? x,1 ? y,? z ), MC ? (1,0,? ),? x ? 1 ? ? , y ? 1, z ? ?.. 2 2 ???? ???? ? 1 4 AN ? MC, 只需 AN ?MC ? 0即x ? z ? 0, 解得? ? . 2 5 要使

24

4 1 2 可知当? ? 时, N点坐标为( ,1, ), 能使 AN ? MC ? 0. 5 5 5 1 2 1 2 此时, AN ? ( ,1, ), BN ? ( ,?1, ), 有BN ? MC ? 0 5 5 5 5
由AN ? MC ? 0, BN ? MC ? 0得AN ? MC, BN ? MC.所以?ANB 为
所求二面角的平面角.

???? 30 ???? 30 ???? ???? 4 ?| AN |? ,| BN |? , AN ?BN ? ? . 5 5 5 ???? ???? ???? ???? AN ?BN 2 ? cos( AN , BN ) ? ???? ???? ? ? . 3 | AN | ? | BN | 2 故所求的二面角为 arccos( ? ). 3
2.如图,在四棱锥 V ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形, 平面 VAD ? 底面 ABCD . (Ⅰ)证明: AB ? 平面 VAD ; (Ⅱ)求面 VAD 与面 DB 所成的二面角的大小. 证明:以 D 为坐标原点,建立如图所示的坐标图系. (Ⅰ)证明:不防设作 A(1, 0, 0) ,

则 B(1,1, 0) ,

1 3 V ( ,0, ) 2 2 ,

1 3 AB ? (0,1,0), VA ? ( ,0,? ) 2 2
由 AB ? VA ? 0, 得 AB ? VA ,又 AB ?AD ,因而 AB 与平面 VAD 内两条相交直线 VA , AD 都垂直. ∴

AB ? 平面 VAD .
1 3 E ( ,0, ) 4 , (Ⅱ)解:设 E 为 DV 中点,则 4

25

3 3 3 3 1 3 EA ? ( ,0,? ), EB ? ( ,1,? ), DV ? ( ,0, ). 4 4 4 4 2 2
由 EB ? DV ? 0, 得EB ? DV , 又EA ? DV . 因此, ?AEB 是所求二面角的平面角,

cos(EA, EB) ?

EA ? EB | EA | ? | EB |

?

21 , 7
21 . 7

解得所求二面角的大小为

arccos

3.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, 侧棱 PA ? 底面 ABCD , AB ? 3 , BC ? 1 , PA ? 2 ,

V D A B C

E 为 PD 的中点.
(Ⅰ)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅱ)在侧面 PAB 内找一点 N ,使 NE ? 面 PAC , 并求出点 N 到 AB 和 AP 的距离. 解: (Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A, B, C, D, P, E 的坐标为 A(0,0,0) 、

B ( 3, 0, 0) 、 C ( 3,1, 0) 、 D(0,1,0) 、

1 E (0, ,1) P(0,0, 2) 、 2 ,
从而 AC ? ( 3 ,1,0), PB ? ( 3 ,0,?2). 设 AC与PB 的夹角为 ? ,则

cos? ?

AC ? PB | AC | ? | PB |

?

3 2 7

?

3 7 , 14

3 7 ∴ AC 与 PB 所成角的余弦值为 14 .
26

(Ⅱ)由于 N 点在侧面 PAB 内,故可设 N 点坐标为 ( x,0, z) ,则

1 NE ? (? x, ,1 ? z ) 2 ,由 NE ? 面 PAC 可得,
? ? NE ? AP ? 0, ? ? ? NE ? AC ? 0. 1 ? (? x, ,1 ? z ) ? (0,0,2) ? 0, ? z ? 1 ? 0, ? ? ? 2 即? 化简得? 1 1 ? 3 x ? ? 0. ?(? x, ,1 ? z ) ? ( 3 ,1,0) ? 0. ? 2 ? ? 2 ?



? 3 ?x ? ? 6 ?z ? 1 ?

3 3 ,0,1) 1, 即 N 点的坐标为 6 ,从而 N 点到 AB 和 AP 的距离分别为 6 . (
4.如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面

AEC1 F

所截面而得到的,其中

AB ? 4, BC ? 2, CC1 ? 3, BE ? 1
(Ⅰ)求 BF 的长; (Ⅱ)求点 C 到平面

.

AEC1 F

的距离.

解: (I)建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0) , B(2, 4,0)

A(2, 0, 0), C (0, 4, 0), E (2, 4,1), C1 (0, 4,3)


设 F (0,0, z ) .

AEC1 F

为平行四边形,

?由AEC1 F为平行四边形, ?由AF ? EC1得, (?2,0, z ) ? (?2,0,2), ? z ? 2. ? F (0,0,2). ? EF ? (?2,?4,2). 于是 | BF |? 2 6 , 即BF的长为2 6 .
(II)设 n1 为平面

AEC1 F

的法向量,

27

显然n1不垂直于平面ADF , 故可设n1 ? ( x, y,1)

? ?n1 ? AE ? 0, ?0 ? x ? 4 ? y ? 1 ? 0 由? 得? ?? 2 ? x ? 0 ? y ? 2 ? 0 ? n ? AF ? 0 , ? 1
? x ? 1, ?4 y ? 1 ? 0, ? 即? ?? 1 ?? 2 x ? 2 ? 0, ? y ? ? . 4 ?

又CC1 ? (0,0,3), 设CC1与n1 的夹角为 ? ,则
cos? ? CC1 ? n1 | CC1 | ? | n1 | ? 3 3? 1? 1 ?1 16 ? 4 33 . 33

∴ C 到平面

AEC1 F

的距离为

d ?| CC1 | cos? ? 3 ?
5.如图,在长方体

4 33 4 33 ? . 33 11
,中,

ABCD ? A1 B1C1D1

AD ? AA1 ? 1, AB ? 2

,点 E 在棱 AD 上移动.(1)证明:

D1 E ? A1 D



(2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面

ACD1

的距离;

? D ? EC ? D (3) AE 等于何值时,二面角 1 的大小为 4 .

解:以 D 为坐标原点,直线

DA, DC , DD1

分别为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系,设 AE ? x ,则

A1 (1, 0,1), D1 (0, 0,1), E (1, x, 0), A(1, 0, 0), C (0, 2, 0)
(1) 因为DA1 , D1 E ? (1,0,1), (1, x,?1) ? 0, 所以DA1 ? D1 E.

28

(2)因为 E 为 AB 的中点,则 E (1,1, 0) ,从而 D1 E ? (1,1,?1), AC ? (?1,2,0) ,

AD1 ? (?1,0,1) ,设平面 ACD1 的法向量为 n ? (a, b, c) ,则

? ?n ? AC ? 0, ? ? ?n ? AD1 ? 0,

?? a ? 2b ? 0 ?a ? 2b ? ? ? a ? c ? 0 ,得 ?a ? c ,从而 n ? (2,1,2) ,所以点 E 到平面 ACD1 的距离为 也即 ?
h? | D1 E ? n | |n| ? 2 ?1? 2 1 ? . 3 3
的法向量 n ? ( a, b, c) ,∴ CE ? (1, x ? 2,0), D1C ? (0,2,?1), DD1 ? (0,0,1),

(3)设平面

D1 EC



? ?n ? D1C ? 0, ?2b ? c ? 0 ?? ? ? ?a ? b( x ? 2) ? 0. ?n ? CE ? 0,

令 b ? 1,? c ? 2, a ? 2 ? x ,

∴ n ? (2 ? x,1,2).

cos
依题意

?
4

?

| n ? DD1 | | n | ? | DD1 |

?

2 2 2 ? ? . 2 2 2 ( x ? 2) ? 5

∴ x1 ? 2 ? 3 (不合,舍去) , x2 ? 2 ? 3 .

? D ? EC ? D ∴ AE ? 2 ? 3 时,二面角 1 的大小为 4 .
6.如图, 在三棱柱

ABC ? A1 B1C1

中, AB ? 侧面

BB1C1C

,E 为棱

CC1

上异于

C , C1

的一点,

EA ? EB1



已知

AB ? 2, BB1 ? 2, BC ? 1, ?BCC1 ?
EB1

?
3 ,求:

(Ⅰ)异面直线 AB 与 (Ⅱ)二面角

的距离; 的平面角的正切值.

A ? EB1 ? A1

解: (I)以 B 为原点, BB1 、 BA 分别为 y, z 轴建立空间直角坐标系.

由于,

AB ? 2, BB1 ? 2, BC ? 1, ?BCC1 ?

?
3

29

在三棱柱

ABC ? A1 B1C1

中有

3 1 3 3 C ( , ? , 0 ), C ( , ,0) 1 B(0, 0, 0), A(0, 0, 2), B1 (0, 2, 0) 2 2 2 2 ,
E(


3 , a,0),由EA ? EB1 , 得 EA ? EB1 ? 0,即 2
3 3 , ? a, 2 ) ? ( ? ,2 ? a,0) 2 2

0 ? (?

?

3 3 ? a(a ? 2) ? a 2 ? 2a ? , 4 4

1 3 1 3 3 1 得(a ? )( a ? ) ? 0, 即a ? 或a ? (舍去), 故E ( , ,0) 2 2 2 2 2 2 3 1 3 3 3 3 BE ? EB1 ? ( , ,0) ? (? ? ? 0) ? ? ? ? 0, 即BE ? EB1 . 2 2 2 2 4 4
又 AB ? 侧面

BB1C1C

,故 AB ? BE . 因此 BE 是异面直线

AB, EB1

的公垂线,

| BE |?


3 1 ? ?1 AB, EB1 4 4 ,故异面直线 的距离为 1 .

A ? EB1 ? A1 (II)由已知有 EA ? EB1 , B1 A1 ? EB1 , 故二面角 的平面角 ? 的大小为向量 B1 A1与EA 的夹
角.

因B1 A1 ? BA ? (0,0, 2 ), EA ? (? 故 cos? ? 即 tan? ? EA ? B1 A1 | EA || B1 A1 | 2 . 2 ? 2 3 ,

3 1 ,? , 2 ), 2 2

7.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PD ? 底面 ABCD , E 是 AB 上

一点, PF ? EC . 已知

PD ? 2 , CD ? 2, AE ?

1 , 2

求(Ⅰ)异面直线 PD 与 EC 的距离; (Ⅱ)二面角 E ? PC ? D 的大小.

30

解: (Ⅰ)以 D 为原点, DA 、 DC 、 DP 分别为

x, y, z 轴建立空间直角坐标系.
由已知可得 D(0, 0, 0), P(0, 0, 2), C (0, 2, 0) 设 A( x,0,0)( x ? 0), 则B( x,2,0),

1 1 3 E ( x, ,0), PE ? ( x, ,? 2 ), CE ? ( x,? ,0). 2 2 2
x2 ?


由 PE ? CE得 PE ? CE ? 0 ,

3 3 3 1 3 3 DE ? CE ? ( , ,0) ? ( ,? ,0) ? 0得DE ? CE ? 0, 故x ? . 2 2 2 2 4 2 由 ,

又 PD ? DE ,故 DE 是异面直线 PD 与 CE 的公垂线,易得 | DE |? 1 ,故异面直线

PD , CE 的距离为 1.
(Ⅱ)作 DG ? PC ,可设 G(0, y, z ) .由 DG ? PC ? 0 得 (0, y, z ) ? (0,2,? 2 ) ? 0 即z ?

2 y, 故可取DG ? (0,1, 2 ), 作 EF ? PC 于 F ,设 F (0, m, n) ,

EF ? (?


3 1 , m ? , n). 2 2 3 1 , m ? , n) ? (0,2,? 2 ) ? 0,即2m ? 1 ? 2n ? 0 2 2 , 2 2 3 1 2 m ? 2 , 故m ? 1, n ? , EF ? (? , , ). 2 2 2 2 2

EF ? PC ? 0得(?


又由 F 在 PC 上得

n??

因 EF ? PC , DG ? PC , 故 E ? PC ? D 的平面角 ? 的大小为向量 EF与DG 的夹角.

cos? ?


DG ? EF | DG || EF |

?

2 ? ,? ? , 2 4

? . 即二面角 E ? PC ? D 的大小为 4

31

32


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