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2014-2015学年黑龙江省大庆市铁人中学高一(下)4月段考数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年黑龙江省大庆市铁人中学高一(下)4 月段考数 学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.在△ ABC 中,若 A. 直角三角形 C. 钝角三角形 = = ,则△ ABC 是( )

B. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
2 2 2

2. 在△ ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若 a ﹣b ﹣c =﹣ A. B. C.

bc, 则 A 等于 ( D.



3.在△ ABC 中,a= A. 30°

,b= ,B=45°,则 A 等于( ) B. 60° C. 30°或 150° )

D. 60°或 120°

4.在△ ABC 中,∠A=60°,a= ,b=3,则△ ABC 解的情况( A. 无解 B. 有一解 C. 有两解 5.若 ( ) A. 1 个

D. 不能确定

则下列不等式: (1)a+b<a?b; (2)|a|>|b|(3)a<b 中,正确的不等式有

B. 2 个

C. 3 个

D. 0 个 ) D. log35 ) D. 3(1+3
﹣10

6.在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a3a8=9,则 log3a1+log3a10=( A. 1 B. 2 C. 4 7.已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=﹣ ,则{an}的前 10 项和等于( A. ﹣6(1﹣3
﹣10

) B.

C. 3(1﹣3

﹣10





8.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 S7=( ) A. 14 B. 21 C. 28 9.等差数列{an}中,a3=8,a7=20,若数列{ A. 14 B. 15 }的前 n 项和为 C. 16 )

D. 35 ,则 n 的值为( D. 18 )

10.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+ ) ,则 an=(

A. 2+lnn

B. 2+(n﹣1)lnn

C. 2+nlnn )

D. 1+n+lnn

11.已知 a>0,b>0,且 2a+b=1,则 + 的最小值为( A. 7 12.已知不等式 数 n 恒成立,则实数 a 的范围为( ) A. (0,3) B. (1,3) B. 8 C. 9

D. 10 对一切正整

C. (2,4)

D. (3,+∞)

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.在如图图形中,小黑点的个数构成一个数列{an}的前 3 项. (1)a5= ; (2)数列{an}的一个通项公式 an= .

14.在△ ABC 中三边之比 a:b:c=2:3:

,则△ ABC 中最大角=



15. 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边长分别是 a, b, c, 已知 A= D 为 AB 的中点,则 CD= .

, cosB= , 若 BC=10,

16.设 Sn 是公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和,且 a1>0,若 S5=S9,则当 Sn 最大时, n= .

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.已知等差数列{an}为递增数列,其前三项和为﹣3,前三项的积为 8 (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前 n 的和 Sn. 18.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, (1)求 A 的大小; (2)若 , ,求 a. 19.已知△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 (Ⅰ)若 ,求 c; .

,b=1.

(Ⅱ)若 a=2c,求△ ABC 的面积.

20.在数列{an}中,已知 a1=2,an+1=4an﹣3n+1,n∈N . (1)设 bn=an﹣n,求证:数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 21.数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=2,Sn= an﹣1(n∈N ) (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 22.若函数为 f(x)=x ﹣2mx﹣2m﹣1 (1)求 f(x)>0 的解集; (2)若 f(x)>﹣4m﹣2 对满足 0≤x≤1 的所有实数 x 都成立,求 m 的取值范围.
2 *

?

2014-2015 学年黑龙江省大庆市铁人中学高一(下)4 月 段考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.在△ ABC 中,若 A. 直角三角形 C. 钝角三角形 = = ,则△ ABC 是( )

B. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

考点:正弦定理的应用. 专题:计算题. 分析:先根据正弦定理将边的关系变为角的关系, 进而再由两角和与差的正弦公式确定 B=C 得到三角形是等腰三角形. 解答: 解:由 又 ∴ = = = ,得 = . .

,∴ =

.∴sinAcosB=cosAsinB,

sin(A﹣B)=0,A=B.同理 B=C. ∴△ABC 是等边三角形. 故选 B. 点评:本题主要考查正弦定理和两角和与差的正弦公式的应用. 三角函数公式比较多, 要对 公式强化记忆. 2. 在△ ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若 a ﹣b ﹣c =﹣ A. B. C.
2 2 2

bc, 则 A 等于 ( D.



考点:余弦定理. 专题:解三角形. 分析:利用余弦定理即可得出. 2 2 2 解答: 解:∵a ﹣b ﹣c =﹣ bc, 2 2 2 ∴b +c ﹣a = bc. ∴cosA= 又 A∈(0,π) , ∴A= . = ,

故选:A. 点评:本题考查了余弦定理的应用,属于基础题. 3.在△ ABC 中,a= A. 30° ,b= ,B=45°,则 A 等于( ) B. 60° C. 30°或 150°

D. 60°或 120°

考点:正弦定理. 专题:计算题. 分析:根据 B 的度数求出 sinB 的值,再由 a,b 的值,利用正弦定理求出 sinA 的值,然后 根据 A 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数. 解答: 解:由 a= ,b= ,B=45°, 根据正弦定理 得: ,

所以

,又 A∈(0,180°) ,

所以 A 等于 60°或 120°. 故选 D 点评:此题考查了正弦定理, 以及特殊角的三角函数值, 熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 4.在△ ABC 中,∠A=60°,a= ,b=3,则△ ABC 解的情况( A. 无解 B. 有一解 C. 有两解 ) D. 不能确定

考点:正弦定理. 专题:计算题;解三角形. 分析:由 a,b 及 sinA 的值,利用正弦定理即可求出 sinB 的值,求解即可. 解答: 解:由正弦定理得: 即 ,解得 sinB= ,

因为,sinB∈[﹣1,1],故角 B 无解. 即此三角形解的情况是无解. 故选 A. 点评:此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值, 掌握正弦函数的图象与性质, 是一道基础 题.

5.若 ( ) A. 1 个

则下列不等式: (1)a+b<a?b; (2)|a|>|b|(3)a<b 中,正确的不等式有

B. 2 个

C. 3 个

D. 0 个

考点:不等式的基本性质. 专题:不等式的解法及应用. 分析:由 ,可得 b<a<0.利用不等式的性质即可得出.

解答: 解:∵

,∴b<a<0.

则下列不等式: (1)a+b<0<a?b,正确; (2)|a|>|b|,不正确; (3)a<b 不正确. 故正确的不等式只有 1 个. 故选:A. 点评:本题考查了不等式的基本性质,属于基础题. 6.在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a3a8=9,则 log3a1+log3a10=( A. 1 B. 2 C. 4 ) D. log35

考点:等比数列的性质;对数的运算性质. 专题:计算题. 分析:根据等比数列的性质可知 a1a10=a3a8=9,再利用对数的性质即可得到答案. 解答: 解:log3a1+log3a10=log3(a1a10)=2 故选 B. 点评:本题主要考查了等比数列的性质.即若 m、n、p、q∈N*,且 m+n=p+q, 则 aman=apaq. 7.已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=﹣ ,则{an}的前 10 项和等于( A. ﹣6(1﹣3
﹣10

) D. 3(1+3
﹣10

) B.

C. 3(1﹣3

﹣10





考点:等比数列的前 n 项和. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析:由已知可知,数列{an}是以﹣ 为公比的等比数列,结合已知 代入等比数列的求和公式可求 解答: 解:∵3an+1+an=0 ∴ 可求 a1,然后

∴数列{an}是以﹣ 为公比的等比数列 ∵ ∴a1=4
﹣10

由等比数列的求和公式可得,S10=

=3(1﹣3



故选 C 点评:本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题

8.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 S7=( ) A. 14 B. 21 C. 28 考点:等差数列的前 n 项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:利用等差中项可知 a4=4,进而可得结论. 解答: 解:∵a3+a4+a5=12, ∴a4=4, ∴S7=(a1+a7)+(a2+a6)+(a3+a5)+a4 =7a4 =28, 故选:C. 点评:本题考查等差中项的性质,注意解题方法的积累,属于中档题. 9.等差数列{an}中,a3=8,a7=20,若数列{ A. 14 B. 15 }的前 n 项和为 C. 16

D. 35

,则 n 的值为( D. 18



考点:数列的求和;等差数列的性质. 专题:计算题. 分析:根据 a3=8,a7=20 等差数列的通项公式为 3n﹣1,然后根据数列的前 n 项的和 Sn= ( ﹣ +…+ )可得 Sn= 解出 n 即可. ,因为 =

解答: 解:设等差数列的首项为 a,公差为 d, 因为 a3=8,a7=20,所以 a+2d=8,a+6d=20,解得 a=3,a=2.an=3n﹣1; 又因为 = +…+ = ( ﹣ ﹣ ) ) ,

所以 Sn= ( ﹣ + ﹣ + ﹣ = ( ﹣ )=25,解得 n=16

故选 C 点评:考查学生运用等差数列性质解决问题的能力,灵活运用做差方法求数列的和.

10.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+ ) ,则 an=( A. 2+lnn B. 2+(n﹣1)lnn

) D. 1+n+lnn

C. 2+nlnn

考点:数列的概念及简单表示法. 专题:点列、递归数列与数学归纳法.

分析:把递推式整理,先整理对数的真数,通分变成 出正确选项. 解答: 解:∵ , … ∴ = ,

,用迭代法整理出结果,约分后选

故选:A. 点评:数列的通项 an 或前 n 项和 Sn 中的 n 通常是对任意 n∈N 成立, 因此可将其中的 n 换成 n+1 或 n﹣1 等,这种办法通常称迭代或递推.解答本题需了解数列的递推公式,明确递推 公式与通项公式的异同;会根据数列的递推公式写出数列的前几项.

11.已知 a>0,b>0,且 2a+b=1,则 + 的最小值为( A. 7 B. 8 C. 9

) D. 10

考点:基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:利用“乘 1 法”、基本不等式的性质即可得出. 解答: 解:∵a>0,b>0,2a+b=1, ∴ + =(2a+b) ∴ + 的最小值为 9. 故选:C. 点评:本题考查了“乘 1 法”、基本不等式的性质,属于基础题. 12.已知不等式 数 n 恒成立,则实数 a 的范围为( ) A. (0,3) B. (1,3) 考点:数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 对一切正整 =5+ =9,当且仅当 a=b= 时取等号.

C. (2,4)

D. (3,+∞)

分析:由于 由于不等式 恒成立,可得 解答: 解:∵ ∴不等式 化为 由于不等式 恒成立, ∴ log2(a﹣1)+a﹣ , >

,于是原不等式化为



, 对一切正整数 n

log2(a﹣1)+a﹣ ,化简整理利用对数函数的单调性即可得出. , , , 对一切正整数 n

化为 4﹣a>log2(a﹣1) , ∴1<a<3. 故选:B. 点评:本题考查了数列“裂项求和”、恒成立问题的等价转化方法、对数函数的单调性,考查 了推理能力与计算能力,属于中档题. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.在如图图形中,小黑点的个数构成一个数列{an}的前 3 项. (1)a5= 13 ; (2)数列{an}的一个通项公式 an= 3n﹣2 .

考点:归纳推理. 专题:推理和证明. 分析:观察图形特点,从中找出规律,它们的点数分别是;1,4,7,…,总结出其规律, 根据规律求解. 解答: 解:通过观察,得到点的个数分别是: a1=1, a2=4, a3=7, … 可归纳推理为: 数列{an}是一个以 1 为首项,以 3 为公差的等差数列, 故 an=3n﹣2,

当 n=5 时,a5=13, 故答案为:13,3n﹣2 点评:此题主要考查了学生分析问题、 观察总结规律的能力. 关键是通过观察分析得出规律, 数列{an}一个首项是 1,公差是 3 的等差数列. 14.在△ ABC 中三边之比 a:b:c=2:3: ,则△ ABC 中最大角= .

考点:解三角形. 专题:计算题. 分析:根据三边的比,设出三边的长,利用大边对大角的原则,判断出△ ABC 中最大角, 进而利用余弦定理求得 cosC 的值,进而求得 C. 解答: 解:依题意可设 a=2t,b=3t,c= t, 依据大边对大角的原则,判断出 C 为最大角 由余弦定理可知 cosC= ∴C= 故答案为: . =﹣

点评:本题主要考查了余弦定理的应用. 涉及已知三边求三角形的内角的问题, 常用余弦定 理来解决. 15. 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边长分别是 a, b, c, 已知 A= D 为 AB 的中点,则 CD= .

, cosB= , 若 BC=10,

考点:余弦定理. 专题:解三角形. 分析:利用正弦定理可得:b,c,再利用中线长定理即可得出. 解答: 解:如图所示, ∵cosB= ,B∈(0,π) , ∴ sinC=sin(B+ )= = . = .

由正弦定理可得:

=

,∴

=6

,c=

=14.

由中线长定理可得:a +b =2CD +

2

2

2



∴ 解得 CD= 故答案为: . .

=2CD +

2



点评:本题考查了正弦定理、中线长定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 16.设 Sn 是公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和,且 a1>0,若 S5=S9,则当 Sn 最大时, n= 7 . 考点:等差数列的前 n 项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由题意可得 a7+a8=0,判断数列的前 7 项为正数,从第 8 项开始为负数,可得结论. 解答: 解:∵a1>0,若 S5=S9, ∴S9﹣S5=a6+a7+a8+a9=0, ∴2(a7+a8)=0, ∴a7+a8=0, 又 a1>0, ∴该等差数列的前 7 项为正数,从第 8 项开始为负数, 即前 7 项和最大, ∴当 Sn 最大时,n=7 故答案为:7 点评:本题考查等差数列的前 n 项和的最值, 得出数列项的正负变化以及利用等差数列的性 质是解决问题的关键. 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.已知等差数列{an}为递增数列,其前三项和为﹣3,前三项的积为 8 (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前 n 的和 Sn. 考点:等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)设等差数列{an}的公差为 d, (d>0) ,根据条件,建立方程组,解方程组可得 a1、d,进而可得通项公式; (2)利用等差数列的求和公式可得结论. 解答: 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,d>0 ∵等差数列{an}前三项的和为﹣3,前三项的积为 8,











∵d>0,∴a1=﹣4,d=3, ∴an=3n﹣7; (2)∵an=3n﹣7,∴a1=3﹣7=﹣4, ∴Sn= = .

点评:本题考查等差数列的前 n 项和公式和通项公式, 正确运用公式是关键. 考查学生的计 算能力. 18.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, (1)求 A 的大小; (2)若 , ,求 a. .

考点:余弦定理;正弦定理. 专题:三角函数的求值;解三角形. 分析: (1)已知等式利用正弦定理化简,根据 sinB 不为 0 求出 sinA 的值,即可确定出 A 的度数; (2)由 b,c,cosA 的值,利用余弦定理求出 a 的值即可. 解答: 解: (1)由 b= asinB,根据正弦定理得:sinB= sinAsinB, ∵在△ ABC 中,sinB≠0, ∴sinA= ,

∵△ABC 为锐角三角形, ∴A= ; ,c= +1,cosA=
2 2 2

(2)∵b=

, ﹣2× ×( +1)× =4,

∴根据余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA=6+4+2

则 a=2. 点评:此题考查了正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的关 键. 19.已知△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 (Ⅰ)若 ,求 c; ,b=1.

(Ⅱ)若 a=2c,求△ ABC 的面积. 考点:解三角形;正弦定理;余弦定理的应用.

专题:综合题. 分析: (Ⅰ)由 ,利用辅助角公式化简,结合 B 的范围,可得 B,利 用 A,求得 C,结合正弦定理可求 c 的值; (Ⅱ)确定△ ABC 为直角三角形,再求其面积. 解答: 解: (Ⅰ)由已知,∵ ∴sin(B﹣ ∵0<B<π, ∴ 故 B﹣ 由 由 = ,解得 B= . .…(4 分) . ,解得 c= .…(7 分) )= . , …(2 分)

,且 A+B+C=π,得 C= ,即

(Ⅱ)因为 b =a +c ﹣2accosB,a=2c,B= 所以 b =4c +c ﹣4c × ,解得 b=
2 2 2 2 2 2 2

2

2

2



c.…(10 分) ,c= .

由此得 a =b +c ,故△ ABC 为直角三角形,A= 其面积 S= bc= .

…(13 分)

点评:本题考查三角函数的化简, 考查正弦定理、 余弦定理的运用, 考查三角形面积的计算, 确定三角形的边与角是关键. 20.在数列{an}中,已知 a1=2,an+1=4an﹣3n+1,n∈N . (1)设 bn=an﹣n,求证:数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 考点:数列的求和;等比关系的确定. 专题:计算题. 分析: (1)确定数列{bn}是等比数列,则要证明 即可证, (2)首先根据(1)求出数列{bn}的通项公式,然后根据题干条件求得 an=bn+n=4 合等差数列和等比数列的求和公式即可解答. 解答: 解: (1)∵ (5 分)
n﹣1 ?

是个不为 0 的定值,结合题干条件

+n,结



且 b1=a1﹣1=1∴bn 为以 1 为首项,以 4 为公比的等比数列, (7 分) n﹣1 n﹣1 n﹣1 (2)由(1)得 bn=b1q =4 (8 分)∵an=bn+n=4 +n, (9 分) ∴

=

, (12 分)

点评:本题主要考查数列求和和等比关系的确定的知识点, 解答本题的关键是熟练掌握等差 和等比数列的性质和求和公式,本题难度一般. 21.数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=2,Sn= an﹣1(n∈N ) (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 考点:数列的求和;数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)利用递推式、等比数列的通项公式即可得出; (2)bn=nan=2n?3
n﹣1 *

.利用“错位相减法”、等比数列的前 n 项和公式即可得出.
*

解答: 解: (1)∵Sn= an﹣1(n∈N ) , ∴当 n≥2 时,
﹣1

,an=Sn﹣Sn﹣1= an﹣1﹣

,化为 an=3an

. ,解得 a1=2.

当 n=1 时,

∴数列{an}是等比数列,首项为 2,公比为 3. ∴ .
n﹣1

(2)bn=nan=2n?3 . 2 n﹣1 ∴数列{bn}的前 n 项和 Tn=2(1+2×3+3×3 +…+n?3 ) , 2 3 n 3Tn=2(3+2×3 +3×3 +…+n×3 ) , ∴﹣2Tn=2(1+3+3 +…+3
2 n﹣1

﹣n×3 )=

n

=(1﹣2n)×3 ﹣1.

n

∴Tn=



点评:本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、“错位相减法”, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 22.若函数为 f(x)=x ﹣2mx﹣2m﹣1 (1)求 f(x)>0 的解集; (2)若 f(x)>﹣4m﹣2 对满足 0≤x≤1 的所有实数 x 都成立,求 m 的取值范围.
2

考点:二次函数的性质;函数恒成立问题. 专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 2 分析: (1)解 x ﹣2mx﹣2m﹣1=0 得:x=2m+1 或 x=﹣1,结合二次函数的图象和性质, 讨论 2m+1 与﹣1 的大小,可得不等式 f(x)>0 的解集. (2)首先对提议进行转换,考虑二次函数的对称轴和已知区间之间的关系进行分类讨论, 最后求出参数的取值范围. 解答: 解: (1)解 x ﹣2mx﹣2m﹣1=0 得:x=2m+1 或 x=﹣1, 当 2m+1<﹣1,即 m<﹣1 时,不等式 f(x)>0 的解集是: (﹣∞,2m+1)∪(﹣1,+∞) , 当 2m+1=﹣1,即 m=﹣1 时,不等式 f(x)>0 的解集是: (﹣∞,﹣1)∪(﹣1,+∞) , 当 2m+1>﹣1,即 m>﹣1 时,不等式 f(x)>0 的解集是: (﹣∞,﹣1)∪(2m+1,+∞) , (2)若 f(x)>﹣4m﹣2 对满足 0≤x≤1 的所有实数 x 都成立, 即 x ﹣2mx+2m+1>0 对满足 0≤x≤1 的所有实数 x 都成立, 2 设函数 g(x)=x ﹣2mx+2m+1 所以函数是开口方向向上,对称轴为 x=m 的抛物线. 2 由于 g(x)=x ﹣2mx+2m+1 在 0≤x≤1 的所有实数 x 对 g(x)>0 都成立, 所以①当 m<0 时,只需 g(0)>0 成立即可. 即:2m+1>0 解得:m>﹣ 所以:﹣ <m<0 ②当 0≤m≤1 时,只需满足 f(m)>0 即可. 2 2 即:m ﹣2m +2m+1>0 解得:1﹣ ≤m≤1+ 所以:0≤m≤1 ③当 m>1 时,只需满足 f(1)>0 即可. 即:2>0 恒成立 所以:m>1 综上所述:m 的取值范围为:m>﹣ 点评:本题考查的知识点是二次函数的图象和性质, 熟练掌握二次函数的图象和性质是解答 的关键.
2 2


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