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2017届江苏省扬州中学高三上学期开学考试(8月)数学


江苏省扬州中学高三年级开学考试 数学试题
一、填空题: 1、命题“ ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 5 ? 0 ”的否定是 2、复数 z ? ▲ . 2016.08

1 ? 2i 的虚部是 i





3、设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下

列正确命题的序号 是




m // ? , 则 n // ? ; ②.若 m // n ,
④.若 n ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? . ▲ 条

m? ? ,则n??; ①.若 m // n ,
③.若 m // ? , m // ? ,则 ? // ? ;

4、 设 f ( x) ? x3 ? lg x ? x2 ? 1 , 则对任意实数 a , b , “a ?b ? 0” 是 “ f (a) ? f (b) ? 0 ” 的 件. (填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分又不必要”之一) 5、设函数 f ( x) ?

?

?

? x 2 ? 2 x ? 15 ,集合 A ? ? x y ? f ( x)? , B ?
▲ . A B

? y y ? f ( x)? ,则右图中阴影部分表示的集合为
f ( x) ? 0 的解集是
7、若函数 f ( x ) ?

6、已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ? log2 x ,则不等式 ▲ . ▲ ▲ . .

ax ? 2 的图象关于点(1,1)对称,则实数 a = x ?1

8、记 ?x ? 为不超过 x 的最大整数,则函数 y ? x ? ?x? 的最小正周期为

9、设 P 是函数 y ? x ( x ? 1) 图象上异于原点的动点,且该图象在点 P 处的切线的倾斜角为 ? ,则 ? 的取值 范围是 ▲ .
2

10、关于 x 的不等式 kx ? 2 x ?1 ? 3k ? 0 的解集为空集,则 k 的取值范围





?2 x ( x ? 0) 11、设函数 f ( x) ? ? ,函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的零点个数为 ?log 2 x( x ? 0)
2





12、已知函数 f (n) ? n cos(n? ) ,且 an ? f (n) ? f (n ? 1) ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ?

a100 ?





13、设 A n ? ? , , ,??, ▲ .

?1 3 5 ?2 4 8

2n ? 1 ? ? ? ? n ? N , n ? 2 ? , A n 的所有非空子集中的最小元素的和为 S ,则 S = 2n ?
-1-

14、已知 a, b, c 均为正实数,记 M ? max?

1 a ? ?1 ? b, ? bc, ? c ? ,则 M 的最小值为 a b ? ? ac





二、解答题: 15、已知集合 A ? ?x | ( x ? 6)( x ? 2a ? 5) ? 0? ,集合
2 B ? x|? ?(a ? 2) ? x ? ? ? (2a ? x) ? 0 . ⑴若 a ? 5 ,求集合 A ? B ; 1 ⑵已知 a ? .且“ x ? A ”是“ x ? B ”的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 2

?

?

16、已知 α 为锐角,cos(α+ (1)求 tan(α+ (2)求 sin(2α+ )的值; )的值.

)=



17、如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,E 为侧棱 PA 的中点. (1)求证:PC∥平面 BDE; (2)若 PC⊥PA,PD=AD,求证:平面 BDE⊥平面 PAB.

-2-

18、将 52 名志愿者分成 A,B 两组参加义务植树活动,A 组种植 150 捆白杨树苗,B 组种植 200 捆沙棘树 苗.假定 A,B 两组同时开始种植. (1)根据历年统计,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时 2 小时,种植一捆沙棘树苗用时 1 小时.应如 2 5 何分配 A,B 两组的人数,使植树活动持续时间最短? (2)在按(1)分配的人数种植 1 小时后发现,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为 2 小时,而每 5 名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时 2 小时, 于是从 A 组抽调 6 名志愿者加入 B 组继续种植, 求植树活动 3 所持续的时间.

19、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,A、B 分别是椭圆:

+y2=1 的左、右顶点,P(2,t) (t∈R,且

t≠0)为直线 x=2 上一动点,过点 P 任意引一直线 l 与椭圆交于 C、D,连结 PO,直线 PO 分别和 AC、AD 连线交于 E、F. (1)当直线 l 恰好经过椭圆右焦点和上顶点时,求 t 的值; (2)若 t=﹣1,记直线 AC、AD 的斜率分别为 k1,k2,求证: (3)求证:四边形 AFBE 为平行四边形. + 定值;

20、已知函数 f ( x ) ?

1 2 x , g ( x) ? a ln x . 2

(1)若曲线 y ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? 1 处的切线的方程为 6 x ? 2 y ? 5 ? 0 ,求实数 a 的值; (2)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,若对任意两个不等的正数 x1 , x 2 ,都有 的取值范围;
-3-

h( x1 ) ? h( x2 ) ? 2 恒成立,求实数 a x1 ? x2

(3)若在[1,e]上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ?
'

1 ? g ( x0 ) ? g ' ( x0 ) 成立,求实数 a 的取值范围. f ( x0 )
'

附加题
21、已知点 M(3,?1)绕原点按逆时针旋转 90°后,且在矩阵 对应的变换作用下,得到点 ?a 0? A?? ? ?2 b? N (3,

5),求 a,b 的值.

? 5 3 x? ? 2 cos ? ? ? 2 22、己知在平面直角坐标系 xOy 中,圆 M 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,以 Ox 轴为极 ? y ? 7 ? 2sin ? ? ? 2
轴, O 为极点建立极坐标系,在该极坐标系下,圆 N 是以点 ? 3, (1)求圆 M 及圆 N 在平面直角坐标系 xOy 下的直角坐标方程; (2)求圆 M 上任一点 P 与圆 N 上任一点 Q 之间距离的最小值.

? ?

??

? ? 为圆心,且过点 (2, 2 ) 的圆. 3?

23、甲、乙两人投篮命中的概率为别为 与 ,各自相互独立,现两人做投篮游戏,共比赛 3 局,每局每 人各投一球. (1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率; (2)设 ξ 表示比赛结束后,甲、乙两人进球数的差的绝对值,求 ξ 的概率分布和数学期望 E(ξ) .

24、设二项展开式 Cn ? ( 3 ? 1)2n?1 (n ? N* ) 的整数部分为 An ,小数部分为 Bn .
-4-

(1)计算 C1 B1 , C2 B2 的值; (2)求 C n Bn .

江苏省扬州中学高三年级开学考试 数学答案
一、填空题: 1、 ?x ? R, x ? 2 x ? 5 ? 0
2

2016.8

2、—1 7、1

3、① 8、1

4、充要 9、

5、 [?5, 0) ? (3, 4]

6、 (﹣2,0)∪(2,+∞)

? π ,π ? ?3 2

?

10、 k ? 1

11、2

12、-100

?7 ? ,n ? 2 13、 ? 4 2 n ?1 ? , n ? 3, n ? N * ? 2

14、2

二、解答题:

15、解:⑴当 a ? 5 时, A ? x ( x ? 6)( x ? 15) ? 0 = ?x | x ? 15orx ? 6? ???2分

?

?

B ? ? x (27 ? x)(10 ? x) ? 0? ? ? x 10 ? x ? 27? .??4分
∴ A ? B ? x 15 ? x ? 27 .?6分

?

?

1 ,∴ 2a ? 5 ? 6 ,∴ A ? ? x x ? 6或x ? 2a ? 5? .???8分 2 2 2 又 a ? 2 ? 2a ,∴ B ? x 2a ? x ? a ? 2 .??10 分 ∵“ x ? A ”是“ x ? B ”的必要不充分条件,∴ B ? A , 1 ? 1 ?a ? ∴? ,????12 分 解之得: ? a ? 2 .?????14 分 2 2 ?a 2 ? 2 ? 6 ?
⑵∵ x ?

?

?

16、解(1)∵α 为锐角, ∴0<x< ∴ <α+ , < )= )= , . =

∵cos(α+ ∴sin(α+

则 tan(α+

)=

=2;

-5-

(2)∵cos2(α+ ∴cos(2α+ ∴sin2α= , ∵ ∴ <α+ <α+ < <

)=2cos2(α+

)﹣1=2×(

)2﹣1=﹣ ,

)=﹣sin2α=﹣ ,

,cos(α+ ,

)=



即 0<α< 则 sin(2α+

,则 0<2α< )=sin2αcos

,则 cos2α= , +cos2αsin = × + × = .

17、证明: (1)连结 AC,交 BD 于 O,连结 OE. 因为 ABCD 是平行四边形,所以 OA=OC.… 因为 E 为侧棱 PA 的中点,所以 OE∥PC.… 因为 PC? 平面 BDE,OE? 平面 BDE,所以 PC∥平面 BDE.… (2)因为 E 为 PA 中点,PD=AD,所以 PA⊥DE.… 因为 PC⊥PA,OE∥PC,所以 PA⊥OE. 因为 OE? 平面 BDE,DE? 平面 BDE,OE∩DE=E, 所以 PA⊥平面 BDE.… 因为 PA? 平面 PAB,所以平面 BDE⊥平面 PAB.…

18、解: (1)设 A 组人数为 x ,且 0 ? x ? 52 , x ? N* ,

150 ? 2 5 ? 60 ; 则 A 组活动所需时间 f ( x) ? x x 200 ? 1 2 ? 100 . 52 ? x 52 ? x

B 组活动所需时间 g ( x) ?

令 f ( x) ? g ( x) ,即 60 ? 100 ,解得 x ? 39 . 2 x 52 ? x 所以两组同时开始的植树活动所需时间

-6-

? 60 , x≤19,x ? N*, ?x F ( x) ? ? ? 100 ,x≥20,x ? N* . ? 52 ? x
F (20) ? 25 , 故 F (19) ? F (20) . 而 F (19) ? 60 , 19 8
32 时,使植树活动持续时间最短. 所以当 A、B 两组人数分别为 20,

150 ? 2 ? 20 ?1 5 (2)A 组所需时间为 1+ , ? 3 6 (小时) 20 ? 6 7 200 ? 2 ? 32 ? 1 3 , ? 3 2 (小时) 32 ? 6 3

B 组所需时间为 1 ?

所以植树活动所持续的时间为 3 6 小时. 7

19、 (1)解:由题意:椭圆: 右焦点 E(﹣ 所以 l:y=﹣ ,0) , x+1, .…

+y2=1 上顶点 C(0,1) ,

令 x=2,得 t=1﹣

(2)证明:直线 AC:y=k1(x+2) ,与

联立

得 C:

,同理得 D:

,…

由 C,D,P 三点共线得:kCP=kDP,得

=﹣4(定值) .…

(3)证明:要证四边形 AFBE 为平行四边形,即只需证 E、F 的中点即点 O, 设点 P(2,t) ,则 OP:y= x, 分别与直线 AC:y=k1(x+2)与 AD:y=k2(x+2)联立得: xE= ,xF= ,下证:xE+xF=0,即 + =0

化简得:t(k1+k2)﹣4k1k2=0…

-7-

由(2)知 C:

,D:



由 C,D,P 三点共线得:kCP=kDP,得 t(k1+k2)﹣4k1k2=0, 所以四边形 AFBE 为平行四边形. 20、解: (1)y=f(x)﹣g(x)= x2﹣alnx 的导数为 x﹣ , 曲线 y=f(x)﹣g(x)在 x=1 处的切线斜率为 k=1﹣a, 由切线的方程为 6x﹣2y﹣5=0,可得 1﹣a=3, 解得 a=﹣2; (2)h(x)=f(x)+g(x)= x2+alnx,

对任意两个不等的正数 x1,x2,都有

>2 恒成立,即为

>0, 令 m(x)=h(x)﹣2x,可得 m(x)在(0,+∞)递增, 由 m′(x)=h′(x)﹣2=x+ ﹣2≥0 恒成立, 可得 a≥x(2﹣x)的最大值,由 x(2﹣x)=﹣(x﹣1)2+1 可得最大值 1, 则 a≥1,即 a 的取值范围是[1,+∞) ; (3)不等式 f′(x0)+ 整理得 x0﹣alnx0+ <g(x0)﹣g′(x0)等价于 x0+ <0,设 m(x)=x﹣alnx+ , <alnx0﹣ ,

则由题意可知只需在[1,e]上存在一点 x0,使得 m(x0)<0. 对 m(x)求导数,得 m′(x)=1﹣ ﹣ = = ,

因为 x>0,所以 x+1>0,令 x﹣1﹣a=0,得 x=1+a. ①若 1+a≤1,即 a≤0 时,令 m(1)=2+a<0,解得 a<﹣2. ②若 1<1+a≤e,即 0<a≤e﹣1 时,m(x)在 1+a 处取得最小值, 令 m(1+a)=1+a﹣aln(1+a)+1<0,即 1+a+1<aln(1+a) , 可得 考察式子 <ln(a+1) <lnt,因为 1<t≤e,可得左端大于 1,而右端小于 1,所以不等式不能成立

③当 1+a>e,即 a>e﹣1 时,m(x)在[1,e]上单调递减,只需 m(e)<0,得 a>



-8-

又因为 e﹣1﹣

=

<0,则 a>



综上所述,实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣2)∪(

,+∞) .

附加题:
1、答案 : a=3,b=1. 2、解: (1)⊙M: ( x ?

? 5 3 2 7 3 3 ) ? ( y ? )2 ? 4 , ( 3, ) 对应直角坐系下的点为 ( , ) , 3 2 2 2 2

? 3 2 3 (2, ) 对应直角坐系下的点为 (0, 2) ,∴⊙N: ( x ? ) ? ( y ? )2 ? 1 .……5 分 2 2 2
(2)PQ=MN-3= 4 ? 3 ? 1 . ………………10 分

3、解: (1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个,有以下几种情况: 甲进 1 球,乙进 0 球;甲进 2 球,乙进 1 球;甲进 3 球,乙进 2 球. 比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率: p= + + = .

(2)由已知得 ξ 的可能取值为 0,1,2,3, P(ξ=0) = = , + + = , = , + = , + + + =

P(ξ=1)= P(ξ=3)=

P(ξ=2)=1﹣P(ξ=0)﹣P(ξ=1)﹣P(ξ=3)=1﹣ ∴ξ 的分布列为:
-9-

ξ P Eξ=

0

1

2

3

=1.

4、

- 10 -


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