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函数的单调性教案


教 案 设 计
课 题: 授课教师:
教 材:

函数的单调性 徐晓琴
人教 A 版必修 1 第一章第三节

一、课型(新授课) 二、课时(第一课时) 三、教学目标 1、知识与技能目标 ① 理解函数单调性的概念 ② 初步掌握判别函数单调性的方法。 2、过程与方法目标 ① 通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义; ② 学会运用函数图象理解和研究函数的性质; ③ 能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性. 3、情感态度与价值观 培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯;让学生经历从具体 到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程。 4、数学思考 本节课在单调性概念的形成过程,培养了学生数形结合,类比推理的数学思想。 四、教学重点与难点 重点:函数单调性概念的形成;以及判断并证明函数的单调性。 难点:引导学生归纳并抽象出函数单调性的定义。 五、教法与教学用具 1、教法上采用问题驱动、引导探究、启发讲授的模式。 2、教学用具:投影仪、计算机. 六、教学过程 (一)创设情景,引入课题 1. 听天气预报音乐,观察海口最高气温折线图,并试着说出你发现了哪些规律?

备选问题: ① 说出气温哪些时段内逐步升高的或下降的? ② 在升高时段内,随时间的增大气温有什么变化? ③ 怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐上升”这一特征? 2. 画出下列函数的图象,观察其变化规律: (1)f(x) = x 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○
-1-

y 2 在区间 ____________ 上,随着 x 的增 ○ 大,f(x)的值随着 ________ . 1 (2)f(x) = -x+2 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ -1 1 x 2 在区间 ____________ 上,随着 x 的增 ○ -1 大,f(x)的值随着 ________ . y (3)f(x) = x2 1 在区间 ____________ 上, ○ 1 f(x)的值随着 x 的增大而 ________ . 2 在区间 ____________ 上,f(x)的值随 ○ -1 1 x -1 着 x 的增大而 ________ . 3、从上面的观察分析,能得出什么结论? 学生回答后教师归纳:从上面的观察分析可以看出:不同的函数,其图象的变 化趋势不同,同一函数在不同区间上变化趋势也不同,函数图象的这种变化规律就是函数性 质的反映,这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性(引出课题) 。 (二)研探新知,讲授新课 2 1、y = x 的图象在 y 轴右侧是上升的,如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢? 学生通过观察、思考、讨论,归纳得出: 2 函数 y = x 在(0,+∞)上图象是上升的,用函数解析式来描述就是:对于(0,+∞) 2 2 上的任意的 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 x1 <x2 . 即函数值随着自变量的增大而增大,具有这 种性质的函数叫增函数。 2.增函数 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1, x2, 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)<f(x2), 那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数. 3、从函数图象上可以看到,y= x2 的图象在 y 轴左侧是下降的,类比增函数的定义,你能 概括出减函数的定义吗? 注意:
1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ○ 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) . ○

4.函数的单调性定义 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间 具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间: 5. 同学们,你能说出学过函数的单调区间吗?请举例说明。 (三)例题讲解,探索新知 1. 证明 f(x)=x2 在(0,+∞)上是增函数? 证明:略 2. 请根据例 1 用归纳的方法抽象出判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: ① 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ② 作差 f(x1)-f(x2); ③变形(通常是因式分解和配方) ; ④定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ;
-2-

⑤下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . (四)课堂练习,巩固新知 练习 1 利用定义证明函数 f(x)=3x+2 在 R 上单调递增。 练习 2 物理学中的玻意耳定律 P=

k (k 为正常数)告诉我们,对于一定量的气体, V

当其体积 V 减少时,压强 P 将增大。试用函数的单调性证明之。 分析:按题意,只要证明函数 P=

k 在区间(0,+∞)上是减函数即可。 V

证明:略 (五)归纳总结,布置作业 1、教师提出下列问题让学生思考: ① 通过增(减)函数概念的形成过程,你学习到了什么? <知识> ② 怎样判断并证明函数单调性?(图象、定义) ; <方法> ③ 探究过程中你学到了哪些思想方法?如数形结合,等价转换,类比等。 <思想> 师生共同就上述问题进行讨论、交流,发表自己的意见 ④ 书面作业:课本第 38 页 习题 2.3 第 2,3,5 题。 思考题:证明函数 y ? x ? 七、板书设计 略 八、教学后记 略

1 在(0,+∞)上的单调性,并运用描点法画出草图。 x

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