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2015-4-15 2.4函数的奇偶性与周期性(2)


例1: 设函数f ( x) ? ( x ? 1)( x ? a)为偶函数, 则a ? _____ .
( x ? 1)(x ? a) 变式 : 设函数f ( x) ? 为奇函数, x 则a ? _____.
设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数 a= ________.

例 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+ 2)= f(x),当 2≤x≤3 时, f(x)= x2,则 f(105.5)= __________.

如果T是函数y=f(x)的周期,则

kT(k∈Z,k≠0)也是函数y=f(x)的周期,
即f(x+kT)=f(x);

函数的周期性
例 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+ 2)= f(x),当 2≤x≤3 时, f(x)= x2,则 f(105.5)= __________.

变式 1:已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,并且 1 f(x+2)=- .当 2≤x≤3 时,f(x)=x, f?x? 则 f(105.5)=__________.

f(x+a)=-f(x) 1 f(x+a)=
f (x)

f(x+a)=-

1 f (x)

f(x+a)=f(x-a)

关于周期函数的常用结论:
(1)若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有: ①f(x+a)=-f(x),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一 个周期; ②f(x+a)= 个周期; ③f(x+a)=1 ,则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的 f (x) 1 ,则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一 f (x)

一个周期;

【变式 2】

(1)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x-4),

当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2; 当-1≤x<3 时,f(x)=x. 则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 015)等于 ___________

问题:若函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x-2), 试分析该函数具有何种几何性质?
问题:若函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2-x), 试分析该函数具有何种几何性质? 例2: (1)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数, 且f(x+2)=f(x-2),则f(2016)=_____ (2).(2011· 杭州模拟)已知函数y=f(x)是定 义在R上的奇函数,且f(x+2)=f(2-x),则 f(2016)=______

对称性与周期函数的关系
(1)若函数f(x)关于直线x=a和直线x=b对称,则函数f(x)必为

周期函数,2|a-b|是它的一个周期;
(2)若函数f(x)关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)必为 周期函数,2|a-b|是它的一个周期; (3)若函数f(x)关于点(a,0)和直线x=b对称,则函数f(x)必为 周期函数,4|a-b|是它的一个周期.

练习: 定义在 R 上的函数 f(x)不是常数函数,满足 f(x-1)=f(x+1),f(1+x)=f(1-x),则函数 f(x)( ) A.是奇函数也是周期函数 B.是偶函数也是周期函数 C.是奇函数但不是周期函数 D.是偶函数但不是周期函数

例3.已知函数f(x)是偶函数,且满足f(x+1)= f(x-1) 当x∈(0,1)时,f(x)=x+1,

求函数f(x)在(1,2)上的解析式。

?

函数性质的综合应用

例 已知函数 f(x)为偶函数,且关于直线 x=1 对 称,当 x∈[1,2]时,f(x)=2-x. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)求 x∈[-1,1]时,函数 f(x)的表达式; (3)求 x∈[2k-1,2k+1],k∈Z 时,函数 f(x)的表达 式; 1 (4)解不等式 f(x)< . 2

[解答] (1)∵函数 f(x)关于直线 x=1 对称, ∴f(x)=f(2-x), 又 f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x), ∴f(-x)=f(2-x),用 x 代替-x,得 f(x)=f(2+x), ∴函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数. (2)若 x∈[-1,0],则 x+2∈[1,2], ∴f(x+2)=2-(x+2)=-x, 又 f(x+2)=f(x),∴f(x)=-x, 又令 x∈(0,1],-x∈[-1,0),∴f(-x)=x, ? ?x,0<x≤1, 又 f(-x)=f(x),∴f(x)=x,∴f(x)=? ? ?-x,-1≤x≤0. 1 1 1 ∵f(x)在[0,1]为增函数,∴|x|< ,解得- <x< , 2 2 2 ? ? ? 1 1 ? ? ∴原不等式的解集为 x 2k-2<x<2k+2,k∈Z? . ? ? ?

(3)令 x∈[2k-1,2k+1], k∈Z, 则 x-2k∈[-1,1], k∈Z, ? ?x-2k,2k<x≤2k+1, ∴f(x-2k)=? k∈Z, ? - x + 2 k , 2 k - 1 ≤ x ≤ 2 k , ? 又 f(x)=f(x-2k), ? ?x-2k,2k<x≤2k+1, 因此 f(x)=? k∈Z. ? ?-x+2k,2k-1≤x≤2k,
(4)当 x∈[-1,1]时,f(x)为偶函数,∴f(x)=f(|x|), ?1? 1 ?1? ∵f?2?= ,∴不等式可化为 f(|x|)<f?2?, ? ? 2 ? ? 1 1 1 ∵f(x)在[0,1]为增函数,∴|x|< ,解得- <x< , 2 2 2 ? ? ? 1 1 ∴原不等式的解集为?x?2k-2<x<2k+2,k∈Z? . ? ? ?

如果T是函数y=f(x)的周期,则

①kT(k∈Z,k≠0)也是函数y=f(x)的周期,
即f(x+kT)=f(x); ②若已知区间[m,n](m<n)上的图象,则可画出 区间[m+kT,n+kT](k∈Z,k≠0)上的图象.

3.已知f(x)是R上的偶函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则 f(7)=( ) (A)-2 (B)2 (C)-98 (D)98

7.(2011· 台州模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,其 最小正周期为3,且x∈( f(2 011)=_____. ,0)时,f(x)=log 3 2(-3x+1),则

?

2

8.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增 函数,则f(-25)、f(11)、f(80)的大小关系为______. 【解题提示】确定f(x)的周期,把f(-25)、f(11)、f(80)转化到区间 [0,2]上比较.

1


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