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函数的四个性质


函数的性质(奇偶性,单调性,周期性,对称性) 定义域优先 一、奇偶性常用性质:
1. f ( x) ? 0 是既奇又偶函数; 2.奇函数若在 x ? 0 处有定义,则必有 f (0) ? 0 ; 3.偶函数满足 f ( x) ? f (?x) ? f ( x ) ; 4.奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于 y 轴对称; 5. f ( x) ? 0 除外的所有函数奇偶

性满足: 奇函数±奇函数=奇函数 奇函数×奇函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 6 . 任 何 函 数 f ( x) 可 以 写 成 一 个 奇 函 数 ? ( x) ? 奇函数±偶函数=非奇非偶 偶函数×偶函数=偶函数

? ( x) ?

f ( x) ? f (? x) 的和。 2

f ( x) ? f (? x) 和一个偶函数 2

二、函数 y ? f ( x) 图象本身的对称性(自身对称) 若 f ( x ? a) ? ? f ( x ? b) , 则 f ( x) 具有周期性; 若 f (a ? x) ? ? f (b ? x) , 则 f ( x) 具有对称性: “内同表示周期性,内反表示对称性” 。
1、 f (a ? x) ? f (b ? x) ? y ? f ( x) 图象关于直线 x ?

(a ? x) ? (b ? x) a ? b 对称 ? 2 2

推论 1: f (a ? x) ? f (a ? x) ? y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 推论 2、 f ( x) ? f (2a ? x) 推论 3、 f (? x) ? f (2a ? x) 2、 f (a ? x) ? f (b ? x) ? 2c

? y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? y ? f ( x) 的图象关于点 (
a?b , c) 对称 2

推论 1、 f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b ? y ? f ( x) 的图象关于点 ( a, b) 对称 推论 2、 f ( x) ? f (2a ? x) ? 2b

? y ? f ( x) 的图象关于点 (a, b) 对称

推论 3、 f (? x) ? f (2a ? x) ? 2b ? y ? f ( x) 的图象关于点 ( a, b) 对称
第1页

三、函数周期性的几个重要结论 1、 f ( x ? T ) ? f ( x) ( T ? 0 ) ? y ? f ( x) 的周期为 T , kT ( k ? Z )也是函数的周期 2、 f ( x ? a) ? f ( x ? b) ? y ? f ( x) 的周期为 T ? b ? a 3、 f ( x ? a) ? ? f ( x) 4、 f ( x ? a) ?

? y ? f ( x) 的周期为 T ? 2a ? y ? f ( x) 的周期为 T ? 2a

1 f ( x) 1 f ( x)

5、 f ( x ? a) ? ?

? y ? f ( x) 的周期为 T ? 2a

6、 f ( x ? a) ?

1 ? f ( x) 1 ? f ( x)

? y ? f ( x) 的周期为 T ? 2a

7、 f ( x ? a) ?

f ( x) ? 1 ? y ? f ( x) 的周期为 T ? 2a f ( x) ? 1 1 ? f ( x) 1 ? f ( x)

8、 f ( x ? a) ?

? y ? f ( x) 的周期为 T ? 4a ? y ? f ( x) 的周期为 T ? 6a

9、 f ( x ? 2a) ? f ( x ? a) ? f ( x)

10、若 p ? 0, f ( px ) ? f ( px ?

p p ) , 则T ? . 2 2

11、 y ? f ( x) 有两条对称轴 x ? a 和 x ? b (b ? a ) ? y ? f ( x) 周期 T ? 2(b ? a) 推论:偶函数 y ? f ( x) 满足 f (a ? x) ? f (a ? x) ? y ? f ( x) 周期 T ? 2 a 12、 y ? f ( x) 有两个对称中心 ( a,0) 和 (b,0) (b ? a ) ? y ? f ( x) 周期 T ? 2(b ? a) 推论:奇函数 y ? f ( x) 满足 f (a ? x) ? f (a ? x) ? y ? f ( x) 周期 T ? 4 a 13、 y ? f ( x) 有一条对称轴 x ? a 和一个对称中心 (b,0) (b ? a ) ? f ( x ) 的 T ? 4(b ? a)

跟踪练习
1、定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,周期为 6,那么方程 f ( x) ? 0 在区间[ ? 6 , 6 ]上的根的 个数可能是 A.0 B.1 C.3 D.5 2、f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,且 f(2)=0,则方程 f(x)=0 在区间(0,6)内 解的个数至少是( )
第2页

A.1

B.4

C.3 C. ? 2

D.2 D. ? 2

3、已知 f ( x) 是 R 上的偶函数, g ( x) 是 R 上的奇函数,且 g (x) = f (x?1) ,那么 f (20 13) ? A.0 4、已知 f ( x) ?2 x ? A.14 B.2

1 ,那么 f (?6)? f (?4)? f (?2)? f (0)? f (2)? f (4)? f (6)? f (8)? x ?1 B.15 C. ? 16 D.16

5、已知 f ( x) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 、f ( x ? 1) 都为奇函数,则 A. f ( x) 为偶函数 B. f ( x) 为奇函数 C. f ( x) = f ( x ? 2) D. f ( x?3) 为奇函数

6、定义在 R 上的函数 f ( x) 对任意的实数 x 都有 f ( x ? 1) ? ? f ( x ? 1) ,则下列结论一 定成立的是 A. f ( x) 的周期为 4 C. f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称 B. f ( x) 的周期为 6 D. f ( x) 的图像关于点(1 , 0) 对称

7、定义在 R 上的函数 f ( x) 满足: f (? x) ? ? f ( x) , f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,当 x ?[ ? 1 , 1]

)? 时, f ( x) ? x 3 ,则 f (2013
A. ? 1 B.0 C.1 D.2

8、定义在 R 上的函数 f ( x) 对任意的实数 x 都有 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,并且 f ( x ? 1) 为

)? 偶函数. 若 f (1) ? 3 ,那么 f (101
A.1 B.2 C.3 9、已知 f(x)(x∈R)为奇函数,f(2)=1,f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(3)等于( 1 A. 2 B.1 3 C. 2 D.2 ) D.4 )

3? 10、若奇函数 f(x)(x∈R)满足 f(3)=1,f(x+3)=f(x)+f(3),则 f? ?2? 等于( A.0 B.1 1 C. 2 1 D.- 2

11、已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( A.f(-25)<f(11)<f(8 0) C.f(11)<f(80)<f(-25) B.f(80)<f(11)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)

)

12、设 f ? x ? 为定义在 R 上的奇函数,满足 f ? x ? 2? ? ? f ? x ? ,当 0 ? x ? 1 时 f ? x ? ? x , 则

f ?7 . 5 ? 等于 A. 0.5

( B. ?0.5 C. 1.5 D. ?1.5



第3页

2 13、设 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,则 f ? ?2? 与 f a ? 2a ? 3

?

?


( a ? R )的大小关系是

? C. f ? ?2? > f ? a
A. f ? x ? ? 0

A. f ? ?2? < f a ? 2a ? 3
2 2

? ? 2a ? 3 ?

B. f ? ?2? ≥ f a ? 2a ? 3
2

?

?



D.与 a 的取值无关 ( ) C. f ? x ? f ? ? x ? ≤0 D. f ? x ? - f ? ? x ? ? 0

14、若函数 f ? x ? 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ?1,则当 x ? 0 时,有 B. f ? x ? ? 0
2

15、已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? a ?1? x ? 2 在区间 ?? ?,4? 上是减函数,则实数 a 的取值范围 是 ( A.a≤-3 B.a≥-3 C.a≤5 D.a≥3
2 ? ??x ?x ( x?0) x ? 1 g ( x ) ? x ? 1 16、已知函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? a ? a ? 0? , , h( x ) ?? 2 , x ?1 ? ? x ?x ( x?0)



则 f ? x ? , g ? x ? , h ? x ? 的奇偶性依次为 A.奇函数,偶函数,奇函数 C.奇函数,奇函数,奇函数
2 2





B.奇函数,奇函数,偶函数 D.奇函数,非奇非偶函数,奇函数

17、已知函数 f ? x ? ? ? x ? ax ? b ? b ? 1? a, b ? R ? 对任意实数 x 都有

f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? 成立,若当 x ???1,1? 时, f ? x ? ? 0 恒成立,则 b 的取值范围是( A. ?1 ? b ? 0 B. b ? 2 C. b ? ?1或b ? 2 D.不能确定
18、已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x ? 3 ,那么
2 2

) )

?

?



A. y ? f ? x ? 在区间 ??1,1? 上是增函数 C. y ? f ? x ? 在区间 ??1,1? 上是减函数 的是 A. f ?1? ? f ? ? ? f ? ?

B. y ? f ? x ? 在区间 ? ??, ?1? 上是增函数 D. y ? f ? x ? 在区间 ? ??, ?1 上是减函数 ( )

?

19、函数 y ? f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 上是增函数,函数 y ? f ? x ? 2? 是偶函数,则下列结论中正确

?5? ?7? ?5? ?7? B. f ? ? ? f ?1? ? f ? ? ?2? ?2? ?2? ?2? ?7? ?5? ?7? ?5? C. f ? ? ? f ? ? ? f ?1? D. f ? ? ? f ?1? ? f ? ? ?2? ?2? ?2? ?2? x 20、设函数 f ? x ? 是 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2 ? 3 ,则 f ? ?2? 等于(
A. ? 1 B.



11 4

C .1

D. ?

11 4

x2 ? x1 ,则 21、设函数 f ( x) 是 R 上的偶函数,且在 ?0,??? 上是减函数,且 x1?x2 ?0,
A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( x1) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D.不能确定

22、 函数 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 的定义域相同, 且对定义域中任何 x 有 f ? ?x ? ? f ? x ? ? 0 ,

g ? ?x ? g ? x ? ? 1 ,若 g ? x ? ? 1 的解集是 ?0? ,则函数 F ? x ? ?
( )
第4页

2 f ? x? ? f ? x? 是 g ? x ? ?1

A.奇函数

B.偶函数

C.既奇又偶函数

D.非奇非偶函数

? x ? sin x , x ? 0 23、已知函数 f ( x ) ? ? x ,若 f (2 ? a 2 ) ? f (a ) ,则实数 a 取值范围是 e ? 1 , x ? 0 ?
A. ( ? ? ,?1 ) ? ( 2,??)
24、已知

B. ( ? 2,1 )

C. ( ? 1, 2 )

D. ( ? ? ,?2 ) ? (1,?? )

f ( x) 是定义在 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意 x 都有 xf ( x?1) ? (1?x) f ( x)

那么 f ( 5 ) =

2

A.0 二、填空题:

B.1

C .2

D.3

24、设 y ? f ? x ? 是 R 上的减函数,则 y ? f 分别为 ;

25、已知 f ? x ? 为偶函数, g ? x ? 是奇函数,且 f ? x ? ?g ? x ? ? x ? x ? 2 ,则 f ? x ? 、 g ? x ?
2

? x ? 3 ? 的单调递减区间为

26、定义在 ? ?1,1? 上的奇函数 f ? x ? ?

x?m ,则常数 m ? x ? nx ? 1
2

,n ?



27、已知 f (x)是定义在实数集上的函数,且 f ( x ? 2) ? f (2005)= .

1 ? f ( x) , 若f (1) ? 2 ? 3, 则 1 ? f ( x)

28 、函数 f ( x ) 定义域为 R ,且对于一切实数 x, y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,试判断 f ( x) 的奇偶性.

29、 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且对任意实数 x 恒满足 f (2 ? x) ? ? f ( x) , 当 x ? [0,2] 时 f ( x) ? 2 x ? x
2

⑴求证: f ( x) 是周期函数; ⑵当 x ? [2,4] 时,求 f ( x) 的解析式;

) ⑶计算: f (0) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2005
1 2 ≤ a ≤1,若函数 f ? x ? ? ax ? 2x ? 1在区间[1,3]上的最大值为 M ? a ? ,最小 3 1 , 1]上的单调性, 并求出 g ? a ? 3

30、已知

值为 N ? a ? ,令 g ? a ? ? M ? a ? ? N ? a ? .

(1) 求 g ? a ? 的函数表达式; (2) 判断函数 g ? a ? 在区间[ 的最小值 .

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