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必修4


必修 4 任意角和弧度制、任意角的三角函数各题型与练习
题型一 角的概念辨析 例 1 下列各命题正确的是( ) A.0°~90°的角是第一象限角 C.锐角都是第一象限角 题型二 终边相同的角 例 2 与-457°角终边相等的角的集合是( A. ? ? | ? ? k ? 360? ? 457?,k ? Z C. ? ? | ? ? k ? 360? ? 263?,k ? Z 例3 B.第一象限角都是锐角 D.小于 90°的角都是锐角 ) B. ? ? | ? ? k ? 360? ? 97?,k ? Z D. ? ? | ? ? k ? 360? ? 263?,k ? Z ) D. ? + ? =2kπ (k∈Z)

? ?

? ?

如果角 ? 与 ? 终边相同,则有( B. ? + ? =0

A. ? - ? =π

C. ? - ? =2kπ (k∈Z)

? 所在象限问题 2 例 4 已知角 ? 是第二象限角,求角 2 ? 是第几象限角
题型三 已知角 ? 所在象限,求角 2 ? 、

例5

若 ? 是第一象限角,则

? 是第几象限角? 2

题型四 弧度制的概念问题 例 6 下列诸命题中,假命题是( ) A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 1 1 B.一度的角是周角的 ,一弧度的角是周角的 360 2? C.1 弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位 D.不论是用角度制还是弧度制度量角,它们均与圆的半径长短有关 题型五 角度与弧度互化问题 例 7 (1)将 112°30′化为弧度 (2)将 ?
5? rad 化为度 12

题型六 与弧长、扇形面积有关问题 例8 已知扇形的周长是 6cm,面积是 2cm2,试求扇形的中心角的弧度数

题型七 例9

用弧度表示终边相同角的问题

将-1485°表示成 2k? ? ? , k ? Z 的形式,且 0 ? ? ? 2?

1

题型八 例 10

由两角终边的位置确定两角的关系 若角 ? 、 ? 的终边互为反向延长线,则 ? 与 ? 之间的关系一定是( B. ? =180°+ ? D. ? = k·360°+180°+ ? (k∈Z) )

A. ? =- ? C. ? =k·360°+ ? (k∈Z) 题型九 分类讨论 例11 ? 是第二象限角,则

? 是第几象限角? 3

题型十 函数思想 例12 扇形的周长 C 一定时,它的圆心角 ? 取何值才能使该扇形面积 S 最大?最大值是多少?

题型十一 实际应用题 例13 经过 5 小时 25 分钟,时钟的分针和时针各转多少度?

题型十二 数学与应用 例14 一条铁路在转弯处成圆弧形,圆弧的半径为 2km,一列火车用每小时 30km 的速度通过,10s 间 转过多少弧度?

题型十三 例15

三角函数的定义及应用
10 x ,求 sin ? , tan? 10

已知角 ? 终边上一点 P(x,3) (x≠0) ,且 cos? ?

题型十四 例 16

三角函数值在各象限的符号
37? 37? sin 4 ? sin ;③ ;④ sin 1 ? cos 1 .其中为负值的 12 12 cos 4

下列各三角函数值:①sin1125°;② tan C.3 D.4

个数是( ) A.1 B.2

2

一、选择题 1.sin(-270° )=( A.-1

) B.0 1 C.2 D.1

2.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角弧度数为( π 2π A.3 B. 3 C. 3 D. 2

)

3.将表的分针拨慢 10 分钟,则分针转过的角的弧度数是( π π π A.3 B.6 C.-3

) π D.-6 )

2π? ? 2π 4.已知角 α 的终边上一点的坐标为?sin 3 ,cos 3 ?,则角 α 的最小正值为( ? ? 5π 2π 5π 11π A. 6 B. 3 C. 3 D. 6

? π π? 5.已知 θ∈?-2,2?且 sin θ+cos θ=a,其中 a∈(0,1),则关于 tan θ 的值,以下四个答案中,可能正 ? ? 确的是( ) 1 1 1 A.-3 B.3 或3 C.-3 D.-3 或-3

6.如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从 A 出发在圆上按逆时针方向转一周,点 P 所旋转过 的弧 AP 的长为 l,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l)的图象大致为( )

二、填空题
? ? ? ? ? kπ π 7.设集合 M=?α?α= 2 -3,k∈Z ?,N={α|-π<α<π},则 M∩N=________. ? ? ? ? ?

8. 在直角坐标系中, O 是原点, A( 3, 1), 将点 A 绕 O 逆时针旋转 90° 到 B 点, 则 B 点坐标为________. 9.已知点 P(sin α-cos α,tan α)在第一象限,且 α∈[0,2π],则 α 的取值范围是________.

三、解答题 π 10.已知 α=3. (1)写出所有与 α 终边相同的角; (2)写出在(-4π,2π)内与 α 终边相同的角;
3

β (3)若角 β 与 α 终边相同,则2是第几象限的角??

11.已知|cos θ|=-cos θ,且 tan θ<0,试判断

sin?cos θ? 的符号. cos?sin θ?

提升 α α α 1.设 α 角属于第二象限,且|cos |=-cos ,则 角属于( ) 2 2 2 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 π π α π 解析:选 C.2kπ+ <α<2kπ+π (k∈Z),kπ+ < <kπ+ (k∈Z). 2 4 2 2 α α 当 k=2n(n∈Z)时, 终边在第一象限;当 k=2n+1(n∈Z)时, 终边在第三象限. 2 2 α α α α 而|cos |=-cos ?cos ≤0,∴ 终边在第三象限. 2 2 2 2 π 2.已知角 α 的终边过点(-3cos θ,4cos θ),其中 θ∈( ,π),则 cos α=________. 2 -3cos θ 3 π 解析:∵θ∈( ,π),∴cos θ<0,r=5|cos θ|=-5cos θ,∴cos α= = . 2 -5cos θ 5 3.(1)求函数 y= 2cos x-1的定义域; (2)求满足 tan x=-1 的角 x 的集合. 解:(1)如图,∵2cos x-1≥0, 1 ∴cos x≥ . 2 π π ∴函数定义域为[2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z). 3 3 (2)在单位圆过点 A(1,0)的切线上取 AT=-1,连结 OT,OT 所在直线与单位圆交于 P1、P2,则 OP1 或 OP2 是角 α 3π 7π 的终边,则 α 的取值集合是{α|α= +2kπ 或 α= +2kπ,k∈Z}.如图. 4 4 1 1 4.已知 =- ,且 lg(cos α)有意义. |sin α| sin α (1)试判断角 α 所在的象限; 3 (2)若角 α 的终边与单位圆相交于点 M( ,m),求 m 的值及 sin α 的值. 5 1 1 解:(1)由 =- 可知 sin α<0, |sin α| sin α ∴α 是第三或第四象限角或 y 轴的负半轴上的角. 由 lg(cos α)有意义可知 cos α>0,∴α 是第一或第四象限角或 x 轴的正半轴上的角. 综上可知角 α 是第四象限的角. 3 (2)∵点 M( ,m)在单位圆上, 5
4

3 4 4 4 ∴( )2+m2=1,解得 m=± .又 α 是第四象限角,故 m<0,从而 m=- .由正弦函数的定义可知 sin α=- . 5 5 5 5

5


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