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2016年全国高中数学联赛吉林省预赛试题word


准考证号

2016 年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛
暨 2016 年吉林省高中数学联赛试题
(2016 年 5 月 22 日 星期日 上午 8:30---11:00) 题号 得分 一 二 三(13) 三(14) 三(15) 三(16) 总 分

性别

评卷人 复核人 考生注意:本试卷共计 4 页,16 道题,满分 150 分 得分

一、选择题(本题共 6 个小题,每小题 5 分,满分 30 分)
本题共有 6 个小题,每小题均给出(A) 、 (B) 、 (C) 、 (D)四个结论,其中有且仅有一个 是正确的,请将正确答案的代表字母填在题后的括号内.每小题选对得 5 分;不选、选错或多 选一律得 0 分.

姓名

(密封装订线内不要答题)

1.设集合 M ? { y | y ? x 2 , x ?[1 , 4]}, N ? {x | y ? log2 (1 ? x)} ,则 M ? (CR N ) ? [ ( A ) {x |1 ? x ? 2} ( C ) {x |1 ? x ? 2} ( B ) {x |1 ? x ? 4} ( D )? [
3 ( D ) (1, ) 2

1

]

2.函数 f ( x) ? e x ? 2 x ? 3 的零点所在的一个区间是
学校

]

( A ) (?1, 0) 3.设 x ? (?

1 ( B ) (0, ) 2

1 ( C ) ( ,1) 2

3? ? 3 ?? ? , ) 且 cos ? ? x ? ? ? ,则 cos 2 x 的值是 4 4 5 ?4 ?

[ (D)
7 25

]

市(区、县) _________________________

7 24 24 (B)? (C ) 25 25 25 4. ?ABC 中, “ A ? B ? C ”是“ cos 2 A ? cos 2 B ? cos 2C ”的

( A)?

[

]

( A )既不充分也不必要条件 ( C )必要不充分条件
5.已知椭圆 E :

( B )充分必要条件 ( D )充分不必要条件

x2 y2 ? ? 1 ,对于任意实数 k ,下列直线被椭圆 E 所截弦长与 l : y ? kx ? 1 被椭圆 E m 4

所截得的弦长不可能 相等的是 ... ( A ) kx ? y ? k ? 0 ( C ) kx ? y ? k ? 0 ( B ) kx ? y ? 1 ? 0 ( D ) kx ? y ? 2 ? 0

[

]

2016 年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试题第 1 页(共 4 页) 1

6.一个有限项的数列满足:任何 3 个连续项之和都是负数,且任何 4 个连续项之和都 是正数,则此数列项数的最大值为 ( A)7
得分

[ (C )5 (D)4

]

( B)6

二、填空题(本题共 6 个小题,每小题 5 分,满分 30 分) 请将答案写在题中横线上,各小题只要求直接写出结果.

7.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体
的体积为______________________.

? x ? y ? 1 ? 0, ? 8.设实数 x, y 满足条件 ? y ? 1 ? 0, ? x ? y ? 1 ? 0, ?

那么 2 x ? y 的最大值为________________.

9.在公差不为 0 的等差数列 ?an ? 中, a4 ? 10 ,且 a3 , a6 , a10 成等比数列.则数列 ?an ? 的 通项公式为___________________. 10.英语竞赛后,小明、小乐和小强各获得一枚奖牌,其中一人得金牌,一人得银牌, 一人得铜牌。老师猜测:“小明得金牌,小乐不得金牌,小强得的不是铜牌。”结果老 师只猜对了一个,由此推断:得金牌、银牌、铜牌的依次是__________________. 11.学校 5 月 1 号至 5 月 3 号拟 安排 6 位领导值班,要求每人值班 1 天,每天安排 2 人. 若 6 位领导中的甲不能值 2 号,乙不能值 3 号,则不同的安排值班的方法共有_______种.

??? ? ??? ? 12.给定平面上四点 O, A, B, C ,满足 OA ? 4, OB ? 3, OC ? 2, OB ? OC ? 3 ,则 ?ABC 面积
最大值为_____________.

2016 全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试题第 2 页(共 4 页) 2

得分

三、解答题
(本题共 4 道大题,其中 13 题 15 分,14、15、16 题每题 25 分,满分 90 分)

13.在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, b ? 1 ,且 cos C ? (2a ? c) cos B ? 0 . (Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积的最大值.

14.设 f ( x) ? A( x2 ? 2x)e x ? e x ? 1,若对任意的 x ? 0 ,有 f ( x) ? 0 成立,求实数 A 的取值范围.

2016 年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试题第 3 页(共 4 页)

3

15.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右顶点为 C ,A 为第一象限内的椭圆周 8 2

上任意一点,点 A 关于原点的对称点为 B ,过点 A 作 x 轴的垂线交
BC 于 D ,比较 | AC | 2 与 | CD | ? | CB | 的大小,并给出证明.

16.一次竞赛共有 n 道判断题,统计 8 个考生的答题情况发现:对 任意两道题,恰有两个考生答“T,T” ;恰有两个考生答“F,F” ; 恰有两个考生答“T,F” ;恰有两个考生答“ F,T” .求 n 的最大 值.

2016 年全国高中数学联赛 (吉林赛区) 预赛试题第 4 页 (共 4 页)

4

(密封装订线内不要答题)


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