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高中数学总复习题组法教学案编写体例


高中数学总复习题组法教学案编写体例

第 6 单元

基本初等函数Ⅱ 三角函数) 基本初等函数Ⅱ(三角函数)

§6.1 角的概念推广与任意角的三角函数

新课标要求 1、 任意角的概念:

角可以看成___________________________; 2、 正角、负角、零角

按___________方向旋转形成的角叫正角; 按___________方向旋转形成的角叫负角。 一条射线没有做任何旋转形成的角叫________。 3、象限角: 当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与________重合,那么角的 _______在第几象限,就说这个角是第几象限角,如果终边在________ 上,就认为这个角不属于任何象限。 4、 终边相同的角

所有与 α 终边相同的角,连同 α 在内,可以用式子__________来表示。 5、弧度制: (1)1° 的角 周角的__________为 1° 的角。 (2)1 弧度的角 ____________叫1 弧度的角。 (3)正角的弧度数为_________,负角的弧度数为__________,零角

的弧度数为_________. (4)扇形弧长与面积。 一扇形半径为 R,弧长为 l ,则 l =__________,面积 S=____________. 6、任意角三角函数的定义:设 α 是一个任意角, α 的终边与单位圆的 交 点 为 P ( x, y ) , 它 与 原 点 的 距 离
r = OP = x 2 + y 2 = 1 , 那 么

sin α =_________,cos α =_________,tan α =________。 推广:设 α 是一个任意角, α 的终边上任意一点 P(x, y ) ,它与原点的距 离 r = OP = x 2 + y 2 > 0 , 那 么 sin α =_________,cos α =_________ , tan α =________。

重点难点聚焦 任意角三角函数的定义,是本节的重点,也是本节的难点,通过 任意角三角函数的定义,可以研究三角函数的定义域、符号、值域等 问题。 高考分析及预策 在高考中,任意三角函数的定义,多以选择、填空题出现,主要考 察任意角三角函数定义及其相关概念,占 4-5 分,有时也可以在解答 题中作为给出三角函数值的条件,例如 08 年高考江苏卷,在复习时要 紧紧抓住任意角三角函数的定义及相关概念。 题组设计

再现型题组
⒈以下有四个命题:①小于 90° 的角是锐角;②第一象限的角一定不是负角;③锐 角是第一象限的角;④第二象限的角一定大于第一象限的角。其中,正确命题的

个数是( A.0 B.1

) C.2 D.3 ) D.

⒉ (2007 年高考北京卷)已知 cos θ ? tan θ < 0 ,那么角 θ 是( A.第一或第二象限角 第一或第四象限角 B.第二或第三象限角

C.第三或第四象限角

⒊ tan α = ? tan α ,则 α 的取值范围是__________。 ⒋ sin 2 cos 3 tan 4 的值___________。 A.小于 0 巩固型题组 ⒌若角 α 的终边落在直线 x + y = 0 上,求 sin α + cos α 的值。 ⒍ 求下列函数的定义域。
⑴ y = tan x ? cos x ⑵ y = lg sin x + 9 ? x 2 ⒎如果 α 是第二象限的角,那么- α ,2 α 的终边落在何处。

B.大于 0

C.等于 0

D.不存在

提高型题组

6 θ ⑴若角 θ 的终边与 π 角的终边相同, 求在 (0,2π ) 内终边与 的终边相同的角。 7 3

⑵写出终边在直线 y = 3 x 上的集合。 9.已知一扇形的中心角是 α ,所在圆的半径是 R 。 ⑴若 α = 60°, R = 10cm ,求扇形的弧长及该弧所在的扇形的面积。 ⑵若扇形的周长是一定值 C (C > 0) 。当 α 为多少弧度时,该扇形有最大面

积? 10.角 α 的终边上一点 P(4t ,?3t ), t ≠ 0 , ,求 sin α + cos α 的值。 反馈型题组 11.下列终边相同的一组角是( )

A. kπ + C. kπ +

π
π
2

与 k ? 90°, ( R ∈ Z ) 与 2kπ ± , ( R ∈ Z )
6

B. (2k + 1)π 与 (4k ± 1)π , (k ∈ Z ) D.
kπ π 与 kπ + , ( R ∈ Z ) 3 3

π

6

12.2 弧度的圆的角所对的弦长为 2, 这个圆的角所夹的扇形面积的数值 是( A.
1 sin 1

) 。 B.
1 sin 2 1

C.

1 1 ? cos 2

D. tan 1 ) 。

13.函数 y = A. {3,?1}

sin x cos x tan x + + 的值域是( sin x cos x tan x

B. {3,?3,1}

C. {3,?3,0}

D. {? 3,0,1} )

14.如果点 P(sin θ cos θ ,2 cos θ ) 位于第三象限,那么角 θ 所在象限是( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

15.在直角坐标系中,O 是原点,A( 3 ,1) ,将点 A 绕 O 逆时针旋转到 450° 到
B 点,则 B 的坐标为_________.

16.已知 sin θ > 0 ,且 sin θ ≠ 1 ,函数 y = (sin θ ) x ?6 x +5 的最大值为 16,求 θ 值。
2

(题组设计―――贾新)

§6.2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 新课标要求 1. 同角三角函数基本关系式: 平方关系______________,商数关系_______________. 2. 诱导公式: ⑴ α 相关角的表示: ①终边与角 α 的终边关于_________对称的角可以表示为 π + α 。 ② 终 边 与 角 α 的 终 边 关 于 _________ 对 称 的 角 可 以 表 示 为 ? α ( 或
2π ? α ) 。

③终边与角 α 的终边关于_________对称的角可以表示为 π ? α 。 ④终边与角 α 的终边关于_________对称的角可以表示为 ? α 。
2

π

⑵诱导公式: ①公式一
sin(α + k ? 2π ) = ____________ cos(α + k ? 2π ) = ___________

tan(α + k ? 2π ) = ____________ 其中 k ∈ Z 。

②公式二
sin(π + α ) = ____________ tan(π + α ) = ____________ cos(π + α ) = _____________

③公式三
sin(?α ) = ____________ tan(?α ) = ___________ cos(?α ) = ______________

④公式四

sin(π ? α ) = ____________ tan(π ? α ) = ____________

cos(π ? α ) = ____________

⑤公式五
sin(

π
2

? α ) = ____________ ? α ) = ____________

cos(

π
2

? α ) = ____________

tan(

π
2

⑥公式六
sin(

π
2

+ α ) = ____________ + α ) = ____________

cos(

π
2

+ α ) = _____________

tan(

π
2

掌握技巧:奇变偶不变,符号看象限。 重点难点聚焦 同角三角函数基本关系式主要用于求值、化简、证明,因此,要 牢固掌握并能灵活运用,在应用平方关系时,往往需要选择正负号。 诱导公式在应用时,一定要弄清楚符号的变化,善于发现角之间的关 系。 高考分析及预策 多以小题出现,但会在大题中体现,复习时应熟记公式,抓住公式 的运用。 题组设计 再现型题组
⒈ sin(π + α ) = ?
1 ,则 sin α = ( 2

).
3 2

A.

1 2

B. ?

1 2

C

3 2

D. ?

2.(2007 高考全国卷 I) sin 210° 等于(

).

A.

3 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D. ?

1 2 5 ,则 sin α = ( 12

3. (2007 高考全国卷 I) α 是第四象限角, tan α = ? A.
1 5

).

B. ?

1 5

C.
7 5

5 13

D. ?

5 13

4.已知 sin(π + α ) = , α 是第四象限角, 且 那么 cos(α ? 2π ) 的值是 ( A.
4 5

) .

B. ?

4 5

C. ±

4 5

D.

3 5

巩固型题组
3 sin(π ? α ) cos(2π ? α ) tan(?α + π ) tan(?α ? π ) 2 5.已知 f (α ) = , sin( ?α ? π )
⑴化简 f (α ) ;
3 1 ⑵若 α 是第三象限角,且 cos(α ? π ) = ,求 f (α ) 的值; 2 5

⑶α = ?

31 π ,求 f (α ) 的值。 3 3 5 π 2 ,求 cos( π + α ) ? sin 2 (α ? ) + sin( π ? α ) 。 3 6 6 3

6.已知 cos( ? α ) =
6

π

提高型题组 7.已知 sin(θ + kπ ) = ?2 cos(θ + kπ ), k ∈ Z ,

4 sin θ ? 2 cos θ ; 5 cos θ + 3 sin θ



1 2 ⑵ sin 2 θ + cos 2 θ . 4 5

8. 已 知 θ ∈ (0, π ) , 且 sin θ , cos θ 是 方 程 5 x 2 ? x ?
sin 3 θ + cos 3 θ , tan θ + 1 的值。 tan θ

12 =0 的 两 根 , 求 5

反馈型题组

9.若 cos(?800°) = t ,则 tan(?440°) = ( A.

). D.

1? t2 1+ t

B. ?

1? t2 t

C.

1+ t2 t

1? t2 t
).

10.已知 sin α ? cos α = A.
3 2

1 π π ,且 < α < ,则 cos α ? sin α 的值是( 8 4 2

B.

3 4

C. ?

3 2

D. ± ). D. ?

3 2

11. sin(? A.
1 2

19 π ) 的值等于( 6

B. ?

1 2

C.

3 2

3 2

12.若 sin(π + A) = 13. sin(π + sin( 14.化简

1 3 ,则 cos( π ? A) = _________________. 2 2

π
6

) ? sin(2π +

π
6

) ? sin(3π +

π
6

) ? ? ? sin(2008π +

π
6

) 的值等于___________.

π
2

+ α ) ? cos(3π ? α ) ? tan(π + α ) cos(

π
2

。 ? α ) ? cos(?α ? π )

(题组设计―――贾新)

两角和与差的正弦、 §6.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 新课标要求 1. 两角和与差的三角函数
sin(α ± β ) = _____________ tan(α ± β ) = _____________ cos(α ± β ) = _____________

2. 两角和与差的三角函数公式其内涵是揭示不同角的三角函数的运算 规律;对公式要会“正用、逆用、变形”运用,如
tan α ± tan β = tan(α ± β )(1 m tan α tan β ) ; 掌 握 角 的 变 化 规 律 , 如 2α = (α + β ) + (α ? β ), β = (α + β ) ? α 等等。

3. 提斜公式: a sin α + b cos α = a 2 + b 2 sin(α + ? ) ,其中 ? 为辅助角,多为 特殊角。 4. 倍角公式(倍角与半角的相互性)
sin 2α = ______________, co s 2α = __________=________=__________ ta n 2α = ______________.

5. 积化和差公式与和差化积公式(掌握好公式推导)
sin α cos β = ____________________, cos α sin β = __________________ cos α cos β = ____________________, sin α sin β = __________________ sin α + sin β = ____________________, sin α ? sin β = _________________ cos α + cos β = ____________________, cos α ? cos β = _______________.

重点难点聚焦 本节是高考的重要内容,多与三角函数与性质进行结合,先进行 三角变换再考查图象与性质,也多与解三角形结合。 高考分析及预策 从近几年高考特别是 07、08 两年全国各地高考题来看,很多考查提 斜公式变换,然后与三角函数图象与性质进行结合。因此再复习时, 应抓住最基本的变换以及必要的技巧方法。 题组设计 再现型题组
⒈ (2006 年高考陕西卷) cos 43° cos 77° + sin 43° cos 167° 的值为___________.

⒉ 若 sin(α ? β ) cos α ? cos(α ? β ) sin α = m ,且 β 为第三象限角,则 cos β 的值为 ( ) B. ? 1 ? m 2 C.

A. 1 ? m 2 3.如果 tan(α + β ) = A.
10 11

m2 ?1

D. ? m 2 ? 1 )

3 π 1 π , tan( β ? ) = ,那么 tan(α + ) 的值等于( 4 4 2 4 2 5

B.

2 11

C.

D. 2

4. sin 15° + cos 15° = _____________.

巩固型题组 5.(2006 高考福建题)已知 α ∈ ( , π ), sin α = ,则 tan(α + ) 等于(
2 4

π

3 5

π



A.

1 7

B. 7

C. ?

1 7

D. ? 7
cos 2α sin(α ?

6.(2007 高考海南、宁夏卷)若 ( A. ? )
7 2

π
4

=? )

2 ,则 cos α + sin α 的值为 2

B. ?
π

1 2

C.
3 5

1 2

D.

7 2

7.设 α ∈ (0, ) ,若 sin α = ,则 2 cos(α + ) 等于(
2 4

π



A.

7 5

B.

1 5

C. ?

7 5

D. ?

1 5

8. (1 + tan 17°)(1 + tan 18°)(1 + tan 27°)(1 + tan 28°) = _______________
9.已知 sin α =
4 π 5 π , α ∈ ( , π ), cos β = ? , β ∈ (π , ) ,求 cos(α + β ), cos(α ? β ) 的值。 5 2 13 2

提高型题组
10.已知 sin( 11.求值:

π
4

+ α ) sin(

π
4

?α) =

1 π , α ∈ ( , π ) ,求 sin 4α 。 6 2

sin 50°(1 + 3 tan 10°) ? cos 20° cos 80° 1 ? cos 20°

12.化简:

(1 + sin θ + cos θ ) ? (sin 2 + 2 cos θ

θ

? cos ) 2 2 (0 < θ < π )

θ

反馈型题组 13.(2007 高考陕西卷)已知 sin α = A. ?
1 5 5 ,则 sin 4 α ? cos 4 α 的值为( 5



B. ?

3 5

C.

1 5

D.

3 5

14.若点 P(cos α , sin α ) 在直线 y = ?2 x 上,则 sin 2α + 2 cos 2α 的值是( A. ?
14 5



B. ?

7 5

C. ? 2

D.

4 5

x ?1 π 2 15.若 f ( x) = 2 tan x + , 则 f ( ) 的值为( x x 12 sin cos 2 2 2 sin 2



A. ?

4 3 3

B. ? 4 3

C. 4 3

D. 8
3 ,则此三 4

16.设 ?ABC 中, tan A + tan B + 3 = 3 tan A tan B ,且 sin A ? cos A = 角形为_______________.(填形状) 17. 如 果 tan α , tan β

是 方 程 x 2 ? 3x ? 3 = 0 的 两 根 , 则

sin(α + β ) = ____________. sin(α ? β )

18.(2006 高考安徽卷)已知 π < α < π , tan α + ⑴求 tan α 的值; ⑵求
5 sin 2

3 4

1 10 =? , tan α 3

α
2

+ 8 sin

α
2

cos

α
2

+ 11 cos 2

α
2

?8

2 sin(α ?

π
2

的值。

) 3 4 5 π 3 π , 其中 < α < π,0 < β < ,求 13 4 4 4

19. 已 知 cos( ? α ) = ,sin( π + β ) =
4 sin(α + β ) 的值。

π

3 5

(题组设计―――贾新)

§6.4

三角函数的图象 新课标要求

1. 用“五点法”作正、余弦函数的图象。 五点法”作正、余弦函数的图象 用“五点法”作图实质上是选取函数的一个周期,将其四等分,分 别找到图象的最高点、最低点及“平衡点” ,由这五个点大致确定函数 图象的位置与形状。 2. 五点法做 y = A sin(ωx + ? ), ? > 0 的图象 令 x ' = ωx + ? 转化为 y = sin x ' ,作图象用五点法,通过列表、描点后作 出图象。 的图象关系。 3. 函数 y = A sin(ωx + ? ) 的图象与函数 y = sin x 的图象关系。 振幅变换: y = A sin x( A > 0, A ≠ 1) 的图象,可以看作是 y = sin x 上所有点 的纵坐标都伸长 ( A > 1) 或缩短 (0 < A < 1) 到原来的 A 倍(横坐标不变)而

得到的。 周期变换: y = sin ωx(ω > 0, ω ≠ 1) 的图象,可以看作上 y = sin x 的图象上 各点的横坐标都缩短 (ω > 1) 或伸长 (0 < ω < 1) 到原来的
1

ω

倍, (纵坐标不


变) 而得到的, 由于 y = sin x 的周期为 2π , y = sin ωx(ω > 0) 的周期为 故

ω



相位变换: y = sin( x + ? )(? ≠ 0) 的图象,可以看作是把 y = sin x 的图象上 的各点向左 (? > 0) 或向右 (? < 0) 平移 ? 个单位而得到的。 由于 y = sin x 的图象得到 y = A sin(ωx + ? ) 的图象主要有下列两种方法。 ① y = sin x (相位变换) → _______(周期变换) → ________(振幅变换)
→ _________;

② y = sin x (周期变换) → ________(相位变换) → ________(振幅变换)
→ _________.

说明:前一种方法第一步相位变换是向左( ? > 0 )或向右( ? < 0 )平 移 ? 个单位,而后一种方法第二步相位变换是向左( ? > 0 )或向右 ( ? < 0 )平移 5、
? 个单位,要严格区分。 ω

常用方法技巧

⑴“五点法”作 y = A sin(ωx + ? ) 的图象时,五点的横坐标总由 ωx + ? =
π 3π 0、 、π、 、π 来确定。 2 2 2

⑵由图象的一部分确定的解析式,要善于抓住特殊量和特殊点。 ⑶函数图象是函数性质的直观体现,很多问题利用数形结合思想更为 简洁。 重点难点聚焦 本节的重点和难点是三角函数的图象变换,对于三角函数以及其

它函数的图象变换,重要的是掌握好对单变量进行变换。 高考分析及预策 图象是高考的重点内容,几乎每年的高考题都会涉及到图象的题目, 多与三角函数的同角关系式以及两角和与差的三角函数进行结合考 察,也多与三角函数的性质结合考察,图象为数形结合提供了必要地 基础,预计 2009 年高考不会有大的改变。 题组设计

再现型题组
⒈函数 y = 1 ? x + sin x 在 (0,2π ) 上是( A、单调增函数 )

B、单调减函数

C、 (0, π ) 上是单调增函数, (π ,2π ) 上是单调减函数 D、 (0, π ) 上是单调减函数, (π ,2π ) 上是单调增函数 ⒉ 把函数 y = 3 cos x ? sin x 的图象向右平移 m 个单位,所得图象关于 y 轴对称, 则 m 的最小值是( A、 )
3

π
6

B、

π

C、

2π 3

D、

5π 6

⒊把函数 y = cos x 的图象上的所有点的坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原
来的两倍,然后把图象向左平移 ( ) B、y = ?2 sin 2 x C、y = 2 cos(2 x +

π
4

个单位,则所得图形表示的函数的解析式为

A、y = 2 sin 2 x

π
4

)

x π D、y = 2 cos( + ) 2 4

巩固型题组 ⒋ 在 [0,2π ] 上满足 sin x ≥ 的 x 的取值范围是(
1 2


5π ? ,π ? ?6 ?

π A、 ?0, ? ? ?
? 6?

B、 ? , ?
?6

π 5π ?
6 ? ?

C、 ? , ? ?6 3? ? ?

π π

D、 ? ?

⒌函数 y = sin(2 x + π ) 的图象的一条对称轴为(
A、 x = ?

5 2


4π 5

π
2

B、 x = ?

π
4

C、 x =

π
8

D、 x =

⒍ 函数 f ( x) = cos(2 x + ? ) 的图象是关于点 ( ,0) 中心对称的充要条件是
3

π




5π + kπ , k ∈ Z 6 2π + kπ , k ∈ Z 3

A、 ? =

B、 ? = ? D、 ? =

π
6

+ 2kπ , k ∈ Z

C、 ? = ?

4π + 2kπ , k ∈ Z 3

提高型题组
⒎使函数 y = f (x) 图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标缩小到原来的 再将其图象沿 x 轴向左平移 (I)求 f (x) 的表达式; (II)求 y = f (x) 的单调递减区间. ⒏已知函数 f ( x) = A sin ωx + B cos ωx (其中 A、B、ω是常数,且ω > 0 )的最小正
周期为 2,且当 x = 1 时, f (x) 取得最大值 2. 3 1 ,然后 2

π
6

个单位,得到的曲线与 y = sin 2 x 相同.

(I)求函数 f (x) 的表达式;
? 21 23 ? (II)在闭区间 ? , ? 上是否存在 f ( x) 的对称轴?如果存在,求出其对称轴方 ?4 4?
程;如果不存在,说明理由.

反馈型题组 9.已知 f ( x) = sin( x + ), g ( x) = cos( x ? ) ,则 f ( x) 与 g ( x) 图象之间的关系是
2 2
( )

π

π

A、关于 x =

π
4

对称

B、关于 x 轴对称

C、关于 y 轴对称

D、关于原点对称

10.函数 y = sin( x + A、原点对称

π
3

) 的图象关于(



B、 y 轴对称

C、直线 x = ?

π
3

对称

D、直线 x = )

π
6

对称

11.方程 sin 2 x = sin x 在区间( 0,2π )内的解的个数是( A、1 12.把函数 y = B、2 C、3 D、4

2 (cos 3 x ? sin 3 x) 的图象适当变换就可以得到 y = sin(?3 x) 的图象, 2

这种变换可以是(



A、沿 x 轴方向向右平移 C、沿 x 轴方向向右平移

π
4

B、沿 x 轴方向向左平移

π
4

π
12

D、沿 x 轴方向向左平移

π
12

13.已知函数 y = A sin(ωx + ? ) + m 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 直线 x =

π
2



π
3

是其图象的一条对称轴,则下列各式中符合条件的解析式是(



A、 y = 4 sin(4 x + C、 y = 2 sin(4 x +

π
4

) )+2

B、 y = 2 sin(2 x + D、 y = 2 sin(4 x +

π
3

)+2

π
3

π
6

)+2

14.函数 y = 2 sin(2 x + ? ) 的图象与 x 轴负半轴的第一个 (最近原点) 交点为 (?

π
4

,0 ) ,

则 ? = _________; 15.把函数 y = cos( x +
4π ) 的图象向右平移 ? 的绝对值个单位, 所得图象关于 3

y 轴对称,则 ? 的最小正值是_________;

16.将函数 y = f ( x) sin x( x ∈ R) 的图象向右平移 个单位后, 再作关于 x 轴的对
4

π

称变换,得到函数 y = 1 ? 2 sin 2 x 的图象,则 f (x) 可以是___________________; 17.已知函数 y = 1 3 cos 2 x + sin x cos x + 1 , x ∈ R 2 2

(I)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合;

(II)该函数的图象可由 y = sin x( x ∈ R ) 的图象经过怎样的平移和伸缩变换

得到?

(题组设计―――贾新)

§6.5 三角函数的性质 新课标要求 1、三角函数的定义域、值域及周期如表: 函数 图象
y = sin x
y = cos x
y = ta n x

定义域 值域 周期 2、三角函数的奇偶性和单调性如表: 函数 图象 奇偶性 单调性 对称轴 对称中心
3、 三角函数的奇偶性的判别主要依据定义,即看 f ( x) 与 f (? x) 的关系,但同时也 应注意三角函数的定义域在数轴上关于原点对称,是函数具有奇偶性的必 要但不充分条件,所以判定函数奇偶性时,应首先判定函数的定义域在数 轴上是否关于原点对称。当函数的定义域关于原点对称时,运用奇偶性定 义判断即可。 4、 函数 y = A sin(ω x + ? )( A > 0, ω > 0) 的单调区间的确定基本思路是把 ω x + ? 看作一个整体, 比如: 2kπ ? 由 得区间即为增区间,由 2kπ + 得区间即为减区间。
y = sin x
y = cos x
y = ta n x

π
2

≤ ω x + ? ≤ 2kπ +

π
2

(k ∈ Z ) 解出 x 的范围所

π
2

≤ ω x + ? ≤ 2k π +

3π (k ∈ Z ) 解出 x 的范围所 2

若函数 y = A sin(ω x + ? )中,A > 0, ω < 0 ,可用诱导公式将 ω 变为大于零。
5、 (1) 常用方法技巧 求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组) 。 三角函数的最小正周期的求法由三种:①由定义出发去探求;②根据图 形去判断;③化成 y = A sin(ω x + ? ) ,或 y = A tan(ω x + ? ) 等类型后,用

(2)

基本结论 T =



ω

, 或T =

π 来确定。 ω

(3)

求三角函数式值域常用方法有: “同一”变形法(即将三角函数式化成 一个角、一种函数的一次式) 、判别式法和还原法等。

重点难点聚焦 本节的重点和难点是三角函数的性质,特别是单调性和周期性以 及最值是重中之重,要特别引起重视。 高考分析及预策 这一块内容高考考察多以小题出现,比较灵活,难度不大。也多 与大题进行结合,通过三角变换后,得到求最值、单调性及周期的基 本型 y = A sin(ω x + ? ) 进行求解,预计 2009 年还会这样进行考察。

题组设计 再现型题组
x π ⒈ 函数 y = 3sin( + ) 的周期是__________,振幅是_________,初相是________,单 2 3

调增区间是_____________________________. ⒉ 若函数 f ( x) ? sin x 是周期为 π 的奇函数,则 f ( x) 可以是( A、 sin x B、 cos x C、 sin 2x D、 cos 2x )

3.(2007 年高考题江苏卷)函数 f ( x) = sin x ? 3 cos x ( x ∈ [ ?π , 0]) 的单调递增区间 是( )
? 5π π ? B、 ? ? ,? ? 6? ? 6 ? π ? C、 ? ? , 0 ? ? 3 ? ? π ? D、 ? ? , 0 ? ? 6 ?

5π ? ? A、 ? ?π , ? ? 6 ? ?

巩固型题组 ⒋ (2007 年高考题江苏卷)下列函数中,周期是 的是(
2

π



A、 y = sin

x 2

B、 y = sin 2 x

C、 y = cos

x 4

D、 y = cos 4 x

5.函数 y = sin x ? 2sin x 的值域是( A、 [ ?3,1] B、 [?1,3]

) C、 [0, 3] D、 [ ?3, 0] ⒍ )

? π π? 6.函数 y = log 2 (1 + sin x) + log 2 (1 ? sin x) ,当 x ∈ ? ? , ? 时的值域为( ? 6 4?

A、 [ ?1, 0]

B、 (?1, 0]

C、 [0,1) )

D、 [ 0,1]

7.函数 f ( x) = cos 2 x + sin( A、非奇非偶函数

π
2

+ x) 是(

B、仅有最小值的奇函数 D、既有最大值又有最小值

C 、仅有最大值的偶函数

8.关于 x 的函数 f ( x) = sin( x + ? ) 有以下命题: ①对任意的 ? , f ( x) 都是非奇非偶函数; ②不存在 ? ,使 f ( x) 既是奇函数又是偶函数; ③存在 ? ,使 f ( x) 是奇函数; ④对任意的 ? , f ( x) 都不是偶函数. 其中一个假命题的序号是_________,因为当 ? =________时,该命题的结论不成 立。 9.关于函数 f ( x) = cos(2 x ? ) + cos(2 x + ), 有下列命题: 3 6 ① y = f ( x) 的最大值为 2 ; ② y = f ( x) 是以 π 为最小正周期的周期函数; ③ y = f ( x) 在区间 (
, ) 上单调递减; 24 24

π

π

π 13π

④将函数 y = 2 cos 2 x 的图象向左平移

π
24

个单位后,将与已知函数的图象重合.

其中正确的命题的序号是___________.(注:把你认为正确地命题的序号都填上).

提高型题组 10.求函数 y =
lg(2sin x ? 1) + ? tan x ? 1 的定义域. x π cos( + ) 2 8

11.求函数 y = sin 2 x + 3 sin x cos x ? 1 的最值,并求取得最值时的 x 的值.
) 3 的最小正周期. 12.求函数 y = π cos 2 x + cos(2 x + ) 3 sin 2 x + sin(2 x +

π

反馈型题组
13.设 a 为常数,且 a < 0 , 0 ≤ x ≤ 2π ,则函数 f ( x) = cos 2 x ? 2a sin x ? 1 的最小值 是( ) B、 2a ? 1 C、 ?2a ? 1 D、 a 2 )

A、 2a + 1

14.已知函数 f ( x) = sin( x + ? ) + cos( x + ? ) 为奇函数,则 ? 的一个取值为( A、 0 B、 ?

π
4

C、

π
2

D、 π

15.若函数 f ( x) = a 2 sin 2 x + (a ? 2) cos 2 x 的图象关于直线 x = ? 于( ) B、 1 或 ?1 C、 1 或 ?2

π
8

对称, a 的值等 则

A、 2 或 ? 2

D、 ? 1 或 2

16.将函数 y = f ( x) sin x 的图象向右平移

π
4

个单位后,再作关于 x 轴的对称变换, )

得到函数 y = 1 ? 2sin 2 x 的图象,则 f ( x) 可以是( A、 sin x B、 cos x C、 2 sin x

D、 2 cos x

17.函数 y = sin x + 3 cos x 的最小正周期是________________; 18.直线 y = a 与曲线 y = sin x + 3 cos x 在 x ∈ (0, 2π ) 内有两个不同的交点,则实数

a 的取值范围是____________________;
19.设 x ∈ R ,函数 f ( x) = cos 2 (ω x + ? ) ?
1 π (ω > 0, 0 < ? < ) ,已知 f ( x) 的最小正 2 2

π 1 周期为 π ,且 f ( ) = . 8 4
(I)求 ω 和 ? 的值; (II)求 f ( x) 的单调增区间. 20.已知函数 f ( x) = 2 cos x sin( x +

π
3

) ? 3 sin 2 x + sin x cos x

(I)求函数 f ( x) 的最小正周期; (II)求函数 f ( x) 的最大值及最小值; (III)写出 f ( x) 的单调递减区间.

(题组设计―――贾新)

三角函数化简、 §6.6 三角函数化简、求值与证明 新课标要求 1. 化简实际上是一种不指定答案的恒等变形,化简题一定要尽量化成 最简形式,常用的化简方法有降次、消元、去根号、去分母等。 2. 三角函数的求值问题可以分为如下四类 ⑴求定角的三角函数值,要求熟悉特殊角的三角函数。 ⑵已知某一角的某一三角函数值,求该角的其余的三角函数值,要求 熟悉同角三角函数的关系式。 ⑶求含非特殊角的三角函数式的值,要求能熟练地运用所学三角公式, 通过一系列变换达到求值目的。 ⑷在一定附加条件下求三角函数式的值,要求除灵活运用所学公式外, 还要善于巧妙用上附加条件。 3. 三角函数式的恒等证明实质式通过恒等变形,消除等式两端形式上 的差异,是一种有目标的化简变形,常用“化繁为简”或“等价转 化”的手法。 4. 三角函数的条件变形,其关键在于如何让题设中附加条件服务于解 题所应达到的目标,在具体解题中,常用分析法去探求题设条件与 欲达目标简的内在联系,通常可以从二者的形式或结构上去寻找出 它们的异同点,然后通过“化异为同”“求同存异”的变换来达到 、 解题目的。常用技巧、方法有“切、弦互化”“角度拆分、重组” 、 、

“降次、消元”等,常用“平衡”的观点和“方程的思想”来处理 问题。 重点难点聚焦 掌握公式之间的内在联系,把握各个公式的结构特征,善于对 公式进行变通,掌握各个公式的推导过程,是理解和运用公式的首要 环节。三角函数的化简、求值和证明的难点在于众多三角公式的灵活 运用和解题突破口的合理选择。 高考分析及预策 三角函数的化简、求值和证明往往放在大题中进行考察,从 2007、 2008 两年各省市高考题来看,多与求周期、最值及单调区间结合,首 先要进行化简,然后在求解。

题组设计 再现型题组
⒈ A.
3 5

如果 cos 2 x = B.
4 5

2 ,那么 sin 4 x + cos 4 x = ( 5
16 25



C.

D.

17 25

2.化简 2 + cos 2 ? sin 2 1 的结果是( A. ? cos 1 B. cos1 C. 3 cos 1

) D. ? 3 cos1 )

3. tan 70° cos 10°( 3 tan 20° ? 1) 等于( A.1 4.已知 A.
8 9

B.2

C.-1

D.-2
1 ,则 sin 2a 的值是( 3

sin a + cos a =



B. ?

8 9

C.

17 9

D. ?

17 9

巩固型题组
5.若 sin x tan x < 0, 那么 1 + sin( A. 2cosx B.

5π + 2 x) 等于( 2



2 sin x

C. ? 2 sin x

D. ? 2cosx )

6.设 α , β 为锐角,且 sin x = A.
3 π 4

5 3 10 , cos β = ? ,则 α + β 的值为( 5 10

B.

5 π 4

C.

7 π 4

D.

5 7 π或 π 4 4

7. (1 + tan 1°)(1 + tan 2°) ? ? ? (1 + tan 45°) = ____________________。

8. sin α = , α ∈ ( , π ), tan(π ? β ) = ,则 tan(α ? 2β ) = ___________________。
2

3 5

π

1 2

9.求证:

2 sin x ? cos x 1 + cos x = (sin x + cos x ? 1)(sin x ? cos x + 1) sin x

提高型题组 10. ⑴已知 α , β 为锐角, cos α = , tan(α ? β ) = ? ,求 cos β 的值。
⑵求值:
2 sin 50° + cos 10°(1 + 3 tan 10°) 1 + cos 10° 4 5 1 3

11.已知 0 < α < 值。 12.求证:

π
4

,0 < β <

π
4

, 且 3 sin β = sin(2α + β ),4 tan

α
2

= 1 ? tan 2

α
2

, α +β 的 求

sin(2α + β ) sin β ? 2 cos(α + β ) = sin α sin α

反馈型题组 13.设锐角 α , β 满足 cos β =
A.
1 10 , tan β = 2, 则 α + β =( 7 π 4



π
4

B.

3 π 4

C.

5 π 4

D.

14. tan 10° tan 20° + 3 (tan 10° + tan 20°) 的值等于( A.
3 3



B.1

C. 3

D.

6

15.已知 cos 78° 约等于 0.20,那么 sin 66° 约等于( A.0.92 B.0.85 C.0.88 D.0.95



16.已知 sin x + cos x = A. ?
12 5

7 (0 < x < π ), 则 tan x 的值为( 13 5 12 12 5 B. ? C. D. ? 或 ? 12 5 5 12



17.化简: tan(

cos 2 α ?

π
4

1 2

? α ) sin (
2

π
4

+α)

= ______________________.

18.已知 tan(

π
4

+ θ ) = 3 ,则 sin 2θ ? 2 cos 2 θ 的值为____________________.

19.求值: [2 sin 50° + sin 10°(1 + 3 tan 10°}] ? 2 sin 2 80° 。 20.已知 0 < α <

π
2

, cos α ? sin α = ?

5 sin 2α ? cos 2α + 1 ,求 的值。 5 1 ? tan α

(题组设计―――贾新)

§6.7

解三角形

新课标要求 1. 三角形中常见理论 设三角形 ABC 中,边 a, b, c 所对的角分别为 A、B、C

① A+ B+C =π ,
tan A+ B C = cot 2 2

A+ B+C π A+ B C A+ B C = , sin = cos , cos = sin 2 2 2 2 2 2

②任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. ③正弦定理:
a b c = = = 2 R ( R 为 ?ABC 外接圆半径) sin A sin B sin C

④余弦定理: a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A , b 2 = _________________,
c 2 = ___________________. cos A = _______________________,
cos B = _________________, cos C = _______________________.

⑤面积公式
S ?ABC =
1 1 底 × 高= ab sin C =_______=_________= 2 2

p( p ? a)( p ? b)( p ? c)



abc 1 = rp(其中 p = (a + b + c)、R、r分别为?ABC 的外接圆、 内切圆半径) 4R 2

⑥边角之间的不等关系
A > B ? a > b ? sin A > sin B

2、正余弦定理适用的题型 ⑴余弦定理适用的题型 ①已知三边,求三个角;②已知两边和它们

的夹角,求第三边和其它两角。 ⑵正弦定理适用的题型 ①已知两角和任一边,求其它两边和一角; ②已知两边和其中一边的对角,这时解三角形会产生多解的情况,举 例说明已知 a、b和A时, 解的情况如下: i A 为锐角( a与b sin A 的关系) ____________________________________________________________ __________________________________________________________

ii A 为钝角( a与b 的关系) ————————————————————————————— 重点难点聚焦 通过运用正、余弦定理来解三角形是这一节的重点,而这两个定 理的作用就是进行边角互化,实现边角同一,从而解三角形。对于选 则边化角,还是角化边是难点,要对条件进行分析。 高考分析及预策 高考是解三角形多与三角函数、向量结合考察,三角形作为载体可 以很好的把三角函数和向量结合起来,解三角形是三角变换的延续和 应用,用到三角变换的基本方法,在历年高考中这部分均有题目,预 计 2009 年对三角形中边角关系的考察以选择题和填空题的形式出现, 也有可能有难度较小的解答题。 题组设计

再现型题组
⒈在 ?ABC 中, A = 60°, a = 4 3 , b = 4 2 , 则B等于 (



A、 45°或135°

B、 135°

C、 45°

D、以上答案都不对 )

⒉ ?ABC 中, a = 2b cos C ,则这个三角形一定是(

A、等腰三角形 C、等腰直角三角形

B、直角三角形 D、等腰或直角三角形

3.在 ?ABC 中,已知 3b = 2 3a sin B ,且 cos B = cos C ,则 ?ABC 的形状是 __________;
4. 在 ?ABC 中, B = 60°,
AB 4 = ,则 sin C =__________. BC 3

巩固型题组

5.(2005 年高考江西卷) 在 ?ABC 中,设命题 p :

a b c = = , sin B sin C sin A

命题 q : ?ABC 是等边三角形.那么命题 p 是命题 q 的( A、充分不必要条件 C、充分必要条件 B、必要不充分条件



D、既不充分也不必要条件

6. 在 ?ABC 中, AB = 3, BC = 13, AC = 4 ,则边 AC 上的高为
A、
3 2 2

B、

3 3 2

C、

3 2

D、 3 3 3 ,则角 A 等于( 2

7.已知 ?ABC 中, b = 2, c = 3 ,三角形面积 S =



A、 30°

B、 60°

C、 30°或150°
1 3

D、 60°或120°

8. (2007 年高考北京卷) 在 ?ABC 中,若 tan A = , C = 150°, BC = 1, 则
AB =_________;

9. (2006 年高考全国卷 II) 已知 ?ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列, 且 AB = 1, BC = 4 ,则 BC 边上的中线 AD 的长为________; 10.已知 ?ABC 的三个内角的大小成等差数列, tan A tan C = 2 + 3 ,求角
A、B、C 的大小. 又知顶点 C 对边 c 上的高等于 4 3 ,求三角形各边 a、b、c 的
长。

提高型题组 11. ?ABC 中 , a 、 b 、 c 分 别 为 角 A 、 B 、 C 的 对 边 , 已 知
tgA + tgB = 3tgAtgB ? 3 , c =
7 3 3 , 又 ?ABC 的面积为 S ?ABC = , 求 a + b 的值。 2 2

12.在 ?ABC 中,若 反馈型题组

tan A 2c ? b b 3 +1 = , = ,求角 A、B、C。 tan B b c 2

13. ?ABC 中下列三式 AB ? AC > 0, BA ? BC > 0, CA ? CB > 0 中能够成立的不等

uuu uuur r

uuu uuu r r

uuu uuu r r

式个数( A.至多 1 个

) B.有且仅有 1 个 C.至多 2 个 D.至少 2 个 )

14.在 ?ABC 中, = 80, b = 100, A = 45° , a 则此三角形解的情况是 ( A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解

15.三角形 ABC 中, AB = 3, AC = 1, ∠B = 30° ,则此三角形 ABC 的面积为 ( A.
3 2

) B.
3 4

C.

3 或 3 2

D.

3 3 或 4 2

16.在 ?ABC 中, ∠B = 60° ,最大边与最小边之比为 ( 3 + 1) : 2 ,则最大角 为( A. 45° ) B. 60° C. 75° D. 90°

17.如图,在 ?ABC 中,已知 ∠A : ∠B = 1 : 2, ∠C 的平分线 CD 把三角形面积 分成 3 : 2 两部分,则 cos ∠A = ( A.
1 2



B. ?

1 2

C.

3 4

D.0
7 ,则这个三角形是( 12

18.在 ?ABC 中,若 sin A + cos A = A.钝角三角形



B.直角三角形
3 5

C.锐角三角形

D.等边三角形

19. ?ABC 中,若 cos C = , sin A =

5 , 则 cos B = _______________。 13 1 20.已知 ?ABC 中, (sin A + 1)(cos A + 1) = ,则 A=__________________. 2

21.已知 a、b、c 是 ?ABC 中 ∠A, ∠B, ∠C 的对边, S 是 ?ABC 的面积,若
a = 4, b = 5, S = 5 3 ,求 C 的长度。

22.(2008 高考全国卷 II)在 ?ABC 中, cos B = ? ⑴求 sin A 的值;

5 4 , cos C = ,求 13 5

⑵ ?ABC 的面积 S =

33 ,求 BC 的长。 2

(题组设计―――贾新)

第六章 基本初等函数Ⅱ(三角函数)45 分钟单元综合检测题 一、 选择题(6道选择题) ⒈集合 M = ? x x = sin
? ? nπ ? ? nπ ? , n ∈ Z ? , N = ? x x = co s ,n∈ Z? 3 2 ? ? ?

则集合 M ∩ N = ( A、 {?1, 0,1}

) C、 {0}
α
2 = ? cos

B、 {0,1}

D、 ?
α
2

⒉设 α 时第二象限角, cos A、第一象限角

,则 是(
2

α



B、第二象限角

C、第三象限角 D、第四象限角 )

⒊在 ?ABC 中,若 lgsinA-lgcosB-lgsinC=lg2,则 ?ABC 是(

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形 ⒋函数 y = 3 cos 2 x + sin x cos x ? A、
π
4 3 的周期是( 2



B、

π
2

C、 π

D、 2π
π π π

⒌若函数 f ( x) = 3sin(ω x + ? ) 对任意 x 都有 f ( x + ) = f ( ? x) ,则 f ( ) 等于
6 6 6

( A、3

) B、 ?3 C、0 D、 ?3或3

⒍定义在 R 上的偶函数 f ( x) ,满足 f ( x + 2) = f ( x) ,且 f ( x) 在 [?3, ?2] 上是 减函数,又 α , β 是锐角三角形的两个内角,则( A、 f (sin α ) < f (sin β ) C、 f (sin α ) > f (cos β ) )

B、 f (cos α ) < f (cos β ) D、 f (sin α ) < f (cos β )

二、 填空题(4道填空题)
⒎已知 sin(

π

3 ? α ) = , 则 cos 2α = ______________; 2 5
cos B b =? , 则角 B 的大 cos C 2a + c

⒏在 ?ABC , a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且

小为_____________;
⒐(2008 年高考上海卷)函数 f ( x) = 3 sin x + sin(

π
2

+ x) 的最大值是_________;

⒑ (2008 年 高 考 四 川 卷 ) 设 0 ≤ α < 2π , 若 sin α > 3 cos α , 则 α 的 取 值 范 围 是 ___________.

三、 解答题(2~3道解答题) ⒒已知 cos α = ? , α ∈ ( , π ), tan(π ? β ) =
2 4 5

π

1 2

求: tan(α ? 2β ) 的值. ⒓在 ?ABC 中,角 A, B, C 分别为 a, b, c ,且 cos A = , ⑴求 sin 2
B+C + cos 2 A 的值; 2

1 3

⑵若 a = 3 ,求 bc 的最大值. 13.(2008 年高考安徽卷) 已知函数 f ( x) = cos(2 x ? ) + 2 sin( x ? ) sin( x + ).
3 4 4

π

π

π

⑴求函数 f ( x) 的最小正周期和图象的对称轴方程; ⑵求函数 f ( x) 在区间 [?
, ] 上的值域. 12 2

π π

基本初等函数Ⅱ 三角函数) 第 6 单元 基本初等函数Ⅱ(三角函数)解答部分 §6.1 角的概念推广与任意角的三角函数

再现型题组
⒈ 【提示或答案 提示或答案】B 提示或答案 【基础知识聚焦 基础知识聚焦】角及相关概念的考察 基础知识聚焦 ⒉ 【提示或答案】C. 提示或答案 提示或答案 【基础知识聚焦 知识聚焦】三角函数符号 知识聚焦

⒊ 【提示或答案 (kπ ? , kπ ], k ∈ Z 提示或答案】 提示或答案
2

π

【基础知识聚焦 知识聚焦】三角函数符号 知识聚焦 4. 【提示或答案 提示或答案】A 提示或答案 【基础知识聚焦 知识聚焦】三角函数符号 知识聚焦

巩固型题组
5.【解法一 解法一】分类讨论 解法一 ①角 α 的终边在第二象限 ②角 α 的终边在第二象限
sin α = 2 2 , cos α = ? 2 2
2 2 , cos α = 2 2

则 sin α + cos α = 0 ; 则 sin α + cos α = 0 .

sin α = ?

【解法二 解法二】也可以按照课本上三角函数的定义,求出终边与单位圆的交点。 解法二 【点评】两种解法实质是一样的,利用三角形相似可以很清楚地看出,解法一 不用求交点,只需在直线上任取异于原点的点就可;解法二需要求出与单位圆的 交点。 【变式与拓展】已知 sin α = 标.
2 2 , cos α = ? 求角 α 的终边与单位圆的交点的坐 2 2

6. ⑴要使函数有意义

tan α cos α ≥ 0 ? α 的终边在第一或第二象限,或

终边在 x 轴上 ? 函数的定义域为[2kπ ,2kπ +

π
2

) ∪ (2kπ +

π
2

,kπ + π ], k ∈ Z . 2

π ? ?sin 2 x > 0 ?kπ < x < kπ + , k ∈ Z ⑵要使函数有意义 ? ?? 2 2 ?9 ? x ≥ 0 ?? 3 ≤ x ≤ 3 ?
解得: 函数定义域为[?3,? ) ∪ (0,3] 2
【点评】三角函数的定义域问题同函数的定义与问题一样,需要注意:偶次 根式的被开方数,对数的真数,分式的分母等问题,转化出来以后利用三角函数 的图象或三角函数线解三角不等式. 【变式与拓展】求函数 y =

π

1 tan x. cos x

的定义域.

7.由 2kπ + π < α < 2kπ +

3π 3π , k ∈ z 得 ? 2kπ ? < ?α < 2kπ ? π , k ∈ z 2 2

∴ ?α 终边落在第二象限.
由 2kπ + π < α < 2kπ +

3π , k ∈ z 得 4kπ + 2π < 2α < 4kπ + 3π , k ∈ z 2

∴ 2α 终边落在第一、二象限及 y 轴正半轴上.

【点评】终边相同的角的确定,转化为周期的整数倍. 【变式与拓展】如果 α 是第二象限的角,那么

α
2

的终边落在何处?

提高型题组 8.⑴Q 角 θ 的终边与 π 角的终边相同
6 ∴ θ = 2kπ + π , k ∈ Z 7 6 7



θ
3

=

2kπ 2 + π,k ∈ Z 3 7

令 k = 0,1,2 得: 在 (0,2π ) 内终边与

θ

2 20 34 = π, π, π 3 7 21 21

θ

2 20 34 的终边相同的角为 π , π , π 3 7 21 21

? ? π ⑵ ?θ θ = kπ + , k ∈ Z ? 3 ? ?
【点评】终边相同的角的集合与终边在过原点的一条直线上的角的集合的表 示与运用,从正整数中取出符合条件的 k 值.

9. ⑴ α =

π
3

, R = 10 , S =

1 1 1 π 50 lR = αR 2 = × × 100 = π 2 2 2 3 3

⑵【解法一 解法一】设该扇形半径为 R ,弧长为 l 解法一

则 l + 2 R = c, ∴ l = c ? 2R,

1 1 1 1 2 c2 2 S = lR = (c ? 2 R) R = ? R + cR = ?( R ? c) + 2 2 2 4 16

当 R = 时,该扇形的面积有最大值,此时 α =

c 4

c l c? 2 = c = 2 (弧度) R 4

【解法二 解法二】在求最值时可以应用基本不等式或导数. 解法二
c2 l + 2 R = c, ∴ c = l + 2 R ≥ 2 2lR , ∴ lR ≤ 8 S= 1 c2 c lR ≤ (当且仅当 l = 2 R即R = 时取等号) 2 16 4

【点评】扇形的面积多与最值联系在一起,解法一采用的是消元的思想转化 为二次函数求最值;解法二注意到了两个数的和为定值,并且是求最值,所以考 虑到了基本不等式的方法.

10. 【解法一 r = OP = 5 t 解法一】 解法一 ①当 t > 0 时 ②当 t < 0 时
sin α = sin α =

由三角函数的定义

sin α =

? 3t 4t , cos α = 5t 5t
2 5 2 5

? 3t 3 4t 4 = ? , cos α = = 5t 5 5t 5 ? 3t 3 4t 4 = , cos α = =? ? 5t 5 ? 5t 5

2 sin α + cos α = ? 2 sin α + cos α =

【解法二 也可以按照课本上三角函数的定义,求出终边与单位圆的交点。 解法二】 解法二 【点评】两种解法实质是一样的,利用三角形相似可以很清楚地看出,解法一不 用求交点,只须在直线上任取异于原点的点就可;解法二需要求出与单位圆的交 点。

课堂小结 这一节主要是概念,在复习时应紧紧抓住定义,要会用定义解题, 特别是三角函数的定义。 反馈型题组
11.B

12.B 13.A 14.B 15. (?1, 3 ) 16.令 u = x 2 ? 6 x + 5 则 u = x 2 ? 6 x + 5 = ( x ? 3) 2 ? 4

当 x = 3 时 u = x 2 ? 6 x + 5 有最小值-4 又 0 < sin θ < 1
∴ (sin θ ) ?4 = 16 ∴ y = (sin θ ) u 在 x = 3 时 u 有最小值, y = (sin θ ) u 有最大值. ∴ sin θ =

1 2

∴ θ = 2kπ +

π
6

, 或 θ = 2kπ +

5π ,k ∈ Z 6

§6.2 周角三角函数的基本关系式及诱导公式 再现型题组
⒈ 【提示或答案 提示或答案】A 提示或答案 【基础知识聚焦 基础知识聚焦】诱导公式的运用 基础知识聚焦 ⒉ 【提示或答案 提示或答案】D. 提示或答案 【基础知识聚焦 知识聚焦】诱导公式的运用 知识聚焦 3. 【提示或答案 提示或答案】D. 提示或答案 【基础知识聚焦 知识聚焦】同角三角函数关系式 知识聚焦 4. 提示或答案 【提示或答案 提示或答案】A 【基础知识聚焦 知识聚焦】诱导公式的运用及同角三角函数关系式 知识聚焦

巩固型题组 5.⑴ f (α ) =
sin α ? cos α ? cot α ? (? tan α ) = cos α ? sin α 3π 1 1 ) = 得 sin α = ? 2 5 5 又 α 为第三象限角

⑵由 cos(α ?

∴ cos α = ?

2 6 5

∴ f (α ) = cos α = ?

2 6 5
∴ f (α ) = cos(? 31π 31π π π 1 ) = cos = cos(10π + ) = cos = 3 3 3 3 2

⑶α = ?

31π 3

【点评】在运用诱导公式时,特别注意符号的确定,在转化时可以先化为正 角,再利用公式一( 2kπ + α , k ∈ Z )化到 0 到 2π 之间. sin(2π ? α ) cos(π + α ) cos( 【变式与拓展】化简 11π ?α) 2 2 9π cos(π ? α ) sin(3π ? α ) sin( ?π ? α ) sin( +α) 2 + α ) cos(

π

6.
5 π 2 cos( π + α ) ? sin 2 (α ? ) + sin( π ? α ) 6 6 3 5 π 2 = ? cos[π ? ( π + α )] ? [1 ? cos 2 (α ? )] + sin[π ? ( π ? α )] 6 6 3 = ? cos(

π
6

? α ) ?1+

1 π 3 2 2 π π + sin( + α ) = ? ? + cos[ ? ( + α )] = ? 3 3 3 3 2 3 3

【点评】通过看角发现角之间的关系,再运用诱导公式,角之间的互补、互 余关系,半角、倍角的关系等。 π 1 2π + 2α ) = _________________. 【变式与拓展】若 sin( ? α ) = , 则 cos( 6 3 3

提高型题组 7. 解法一 【解法一 解法一】由 sin(θ + kπ ) = ?2 cos(θ + kπ ), k ∈ Z , 得 tan(θ + kπ ) = ?2
∴ tan θ = ?2



4 sin θ ? 2 cos θ 4 tan θ ? 2 ? 10 = = = 10 5 cos θ + 3 sin θ 5 + 3 tan θ ?1

1 2 2 1 2 sin θ + cos 2 θ tan 2 θ + 1 2 2 5 5 = 7 ⑵ sin θ + cos 2 θ = 4 2 =4 2 2 4 5 25 sin θ + cos θ tan θ + 1
【 解 法 二 】 也 可 以 对 k 进 行 分 类 讨 论 , 得 到 sin θ , cos θ 的 关 系 , 再 利 用

sin 2 θ + cos 2 θ = 1 ,解出 sin θ , cos θ .
【点评】对于 sin θ , cos θ 之间的商数关系出现 tan θ 很容易忽略,还应该掌握含 有 sin θ , cos θ 的齐次式的处理技巧.

1 sin 2α ? cos 2 α 【变式与拓展】已知 tan( + α ) = , 求 . 4 2 1 + cos 2α

π

1 ? sin θ + cos θ = ? 5 8. 由题意 ? ? ?sin θ cos θ = ? 12 ? 25 ? sin 3 θ + cos 3 θ = (sin θ + cos θ )(sin 2 θ ? sin θ cos θ + cos 2 θ ) 1 1 1 24 1 = ? [(sin θ + cos θ ) 2 ? 2 sin θ cos θ ] = ? ( + ) = 5 5 25 25 5
tan θ + 1 sin θ cos θ 1 25 = + = =? tan θ cos θ sin θ sin θ cos θ 12

【点评】对于 sin θ + cos θ, θ - cos θ, θ cos θ 三者之间的联系通过平方 sin sin

联系起来,在开方时注意符号。
【变式与拓展】已知 0 < α < π ,sin α ? cos α = 17 , 求 tan α . 13

课堂小结 同角三角函数的基本关系式体现的是同角之间,因此运用时必须把 握好角相同,诱导公式实现了角之间的转化;公式较多,要灵活运用 公式。 反馈型题组
9.B 10.C 11.A 12. ?
1 2

1 13. ( ) 2008 2

14.原式=

cos α ? (? cos α ) ? tan α =1 sin α ? (? cos α )

两角和与差的正弦、 §6.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

再现型题组
⒈ 【提示或答案 ? 提示或答案】 提示或答案
1 2

【基础知识聚焦 基础知识聚焦】两角和与差的三角函数 基础知识聚焦 ⒉ 【提示或答案 提示或答案】B 提示或答案 【基础知识聚焦 知识聚焦】两角和与差的三角函数与同角三角函数基本关系式 知识聚焦 3. 【提示或答案 提示或答案】B 提示或答案 【基础知识聚焦 知识聚焦】两角和与差的正切、角的活用 知识聚焦 4. 提示或答案 ? 【提示或答案 提示或答案】
6 2

【基础知识聚焦 知识聚焦】提斜公式 知识聚焦

巩固型题组
π 3 5.Q α ∈ ( , π ),sin α = 2 5
∴ cos α = ? 4 5 ∴ tan α = sin α 3 =? cos α 4

1 + tan α ∴ tan(α + ) = = 4 1 ? tan α

π

3 4 =1 3 7 1+ 4 1?

选B

【点评】首先要考虑角之间的关系,通过角之间的联系与区别,得到解决问题的 方法,利用两角和与差的三角函数与同角三角函数之间的关系式解决.

π 3 π 【变式与拓展】已知 α ∈ ( , π ),sin α = ,求 cos α- ) ( . 2 5 4

6. 由

cos 2α

sin(α ? ) 4

π

=?

2 得 2

cos 2 α ? sin 2 α 2 (sin α ? cos α ) 2 =? 2 2

=?

2 2



(cos α ? sin α )(sin α + cos α ) 2 (sin α ? cos α ) 2

∴ sin α + cos α =

1 2

【点评】首先要考虑角之间的关系,通过角之间的联系与区别,得到解决问题的 方法,利用两角和与差的三角函数与同角三角函数之间的关系式解决,本题中二倍 角公式的三种形式要进行选择.

) 15 4 【变式与拓展】已知 α 为第二象限角,且 sin α = ,求 的值. 4 sin 2α + cos 2α + 1

sin(α +

π

π 3 4 7.由α ∈ (0, ),sinα = 得 cos α = 2 5 5
选B

∴ 2 cos(α +

π
4

) = cos α ? sin α =

1 5

【点评】首先要考虑角之间的关系,通过角之间的联系与区别,得到解决问题的 方法,此题中有 α 角和 开.

π
4

这一特殊角,因此考虑到利用两角和与差得余弦公式展

8. (1 + tan17°)(1 + tan 28°) = 1 + tan17° tan 28° + tan17° + tan 28° = 1 + tan17° tan 28° + tan(17° + 28°)(1 ? tan17° tan 28°) = 2
同样 (1 + tan18°)(1 + tan 27°) = 2 所以填 4

【点评】首先要考虑角之间的关系,通过角之间的联系与区别,得到解决问题的 方法,此题中有 17°, 28° 它们的和为 45° 特殊角,还有公式的变形运用.

9.Q sin α =
Q cos β = ?

4 π 3 , α ∈ (0, ) ∴ cos α = ? 5 2 5 5 3π 12 , β ∈ (π , ) ∴ sin β = ? 13 2 13

63 65 33 ∴ cos(α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β = ? 65 ∴ cos(α + β ) = cos α cos β ? sin α sin β =

【点评】首先要考虑角之间的关系,通过角之间的联系与区别,得到解决问题的 方法,单角 α 与复角 α + β , α ? β .

提高型题组 10.【解法一 Q sin( + α ) ? sin( ? α ) = ∴ sin( + α )sin[ ? ( + α )] = 解法一】 解法一
4 4 4 2 4

π

π

1 6

π

π

π

1 6

1 1 π 1 ∴ sin 2( + α ) = 4 4 6 2 4 6 π 1 1 ∴ sin( + 2α ) = ∴ cos 2α = 2 3 3 π 2 2 ∴ 又α ∈ ,π) π < 2α < 2π ∴ sin 2α = ? ( 2 3 4 2 ∴ sin 4α = 2 sin 2α cos 2α = ? 9 ∴ sin( + α ) cos( +α) =
【解法二 解法二】也可以把Q sin( 解法二

π

π

π
4

+ α ),sin(

π
4

? α ) 展开,出现二倍角得余弦.

【点评】角之间的联系与区别非常关键,解题是要紧紧抓住角之间的关系, 从而体现出解体思路.

11.原式=
sin 50°(1 + 3 sin10° 3 sin10° + cos10° ) ? cos 20° sin 50° ? cos 20° cos10° cos10° = cos80° 1 ? cos 20° cos 80° 1 ? (1 ? 2 sin 2 10°) 2sin(10° + 30°) 2 sin 40° ? cos 20° sin 50° ? cos 20° cos10° cos10° = 2 cos 80° sin10° cos 80° 2sin 2 10°)

=

sin 50°

2 sin 80° 2sin 40° cos 40° ? cos 20° ? cos 20° cos10° cos10° = = 2 cos 80° sin10° 2 cos80° sin10° 2 1 ? cos 20° 1 ? (1 ? 2 sin10°) = = = 2 2 cos 80° sin10° 2 sin10° sin10° 【点评】提斜公式以及倍角公式是高考的重点考察内容,应该熟练掌握公式及公 式的运用,方法的得到还是通过角之间的关系.

【变式与拓展】求值: 12.原式
[sin θ + 1 + (2 cos 2

1 + cos 20° ? sin10°(cot 5° ? tan 5°) . 2sin 20°

θ
2

=

? 1)](sin

θ

? cos ) 2 2

θ

2 + 2(2 cos 2 (2sin

θ
2

? 1)

θ
2

=

cos

θ

+ 2 cos 2 )(sin ? cos ) 2 2 2 2 2 cos

θ

θ

θ

θ

2 cos (sin + 2 cos )(sin ? cos ) 2 2 2 2 2 = θ 2 cos 2 = sin 2

θ

θ

θ

2

θ

θ

θ

2

? cos 2

θ

2

= ? cos θ

【点评】通过角之间的联系与区别找到解题的关键,从而体现出解题思路.,高考 考察的重点放在公式的变换能力上,而公式的变换主要是通过角分析出来的.

课堂小结 两角和与差的三角函数公式,其内涵是“揭示同名不同角的三角 函数的运算规律” ,在运用公式时,要注意公式成立的的条件,熟练掌 握公式的的正用、逆用、变形运用,注意和、差、倍的相对性,通过 角之间的关系,合理选择运用公式。 反馈型题组 13.B 14.C 15.B 16.等边三角形或直角三角形 17. ?
3 2 1 10 = ? 得3 tan 2 α + 10 tan α + 3 = 0 tan α 3

18.⑴由 tan α +

解得 tan α = ?3, 或 tan α = ?
Q 3π < α < π ∴ tan α > ?1 4

1 3 ∴ tan α = ? 1 3

⑵原式=

5 + 4sin α + 6 cos α ? 8
2

? 2 cos α
4 tan α + 3 ? 2



4sin α + 6 ?

1 + cos α ?3 2 ? 2 cos α



4sin α + 3cos α ? 2 cos α



1 4 ? (? ) + 3 5 2 3 = =? 6 ? 2

19.Q < α <
4 ∴ sin(

π

3π π π π 3π 3π , 0 < β < ∴ ? < < 0, < +β <π 4 4 2 4 4 4

π

4 3π 12 ? α ) = ? , cos( + β ) = ? 4 5 4 13

π 3π π 又( -α)-( +β )=- ? (α + β ) 4 4 2 π 3π π cos[ -α)-( ( +β )] = cos[- ? (α + β )] = ? sin(α + β ) 4 4 2
= cos(

π
4

? α ) cos(

3π π 3π + β ) + sin( ? α )sin( + β ) 4 4 4

=

3 12 4 5 56 ? (? ) + (? ) ? = ? 5 13 5 13 65 56 65

∴ sin(α + β ) =

§6.4 三角函数的图象

再现型题组

⒈ 【提示或答案 提示或答案】B 提示或答案 【基础知识聚焦 基础知识聚焦】函数单调性――导数 基础知识聚焦 ⒉ 【提示或答案 提示或答案】D 提示或答案 【基础知识聚焦 知识聚焦】图象平移变换,奇偶性 知识聚焦 3. 【提示或答案 提示或答案】B 提示或答案 【基础知识聚焦 知识聚焦】图象变换――平移,伸缩变换 知识聚焦

巩固型题组 4. sin x ≥ 利用正弦函数的图象或三角函数线:选 B
【点评】三角函数图象或三角函数线是解三角不等式的有利工具。 【变式与拓展】求使 tan x ≥
3 成立的 x 的取值集合. 3
1 2

5. 函数 y = A sin(ωx + ? ) 图象的对称轴为 ωx + ? = kπ + , k ∈ Z
2

π

选A

【 点 评 】 函 数 y = A sin(ωx + ? ) 图 象 的 对 称 轴 、 对 称 中 心 与 函 数
y = A cos(ωx + ? ) 图象的对称轴、对称中心分别为最值点和零点。

【变式与拓展】 (2007 年高考福建卷)已知函数 f ( x) = sin(ωx + ? )(ω > 0) 的最 小正周期为 π ,则该函数图象( A、关于点( C、关于点( ) B、关于直线 x = D、关于直线 x =

π
3

,0 )对称 ,0 )对称

π
4

对称 对称 选C

π
4

π
3

6. 函数 y = A cos(ωx + ? ) 图象的对称中心为 ωx + ? = kπ +

π
2

,k ∈ Z

【 点 评 】 函 数 y = A sin(ωx + ? ) 图 象 的 对 称 轴 、 对 称 中 心 与 函 数
y = A cos(ωx + ? ) 图象的对称轴、对称中心分别为最值点和零点。

提高型题组 7.⑴ y = sin 2 x 的图象沿 x 轴向右平移 个单位得: y = sin 2( x ? ) 即
6 6

π

π

y = sin(2 x ? y = sin( x ?

π
3

) ,再将每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的 2 倍得

π
3

) .∴ f ( x) = sin( x ?

π
3

)

⑵由 2kπ ?

π
2

≤ x?

π
3

≤ 2k π +

π
2

,k ∈ Z

解得 2kπ ?

π
6

≤ x ≤ 2kπ +

11π ,k ∈ Z 6

∴ 函数 y = f ( x) 的单调递减区间是 [2kπ ?

π
6

, 2kπ +

11π ], k ∈ Z 6

【点评】图象变换应紧紧抓住单变量变化这一关键点。

8.⑴ f ( x) = A2 + B 2 sin(ω x + ? )(其中?为辅助角) 由题意 :
π


ω

=2, ω=π ∴

又 A2 + B 2 = 2,∴ A2 + B 2 = 4

又 A sin + B cos
3

π
3

= 2,∴

3 1 A+ B = 2 2 2

解得: A = 3, B = 1
∴ f ( x) = 3 sin π x + cos π x = 2sin(π x +

π
6

) 1 3

⑵由 π x + 由

π
6

= kπ + , k ∈ Z 得: x = k + , k ∈ Z
2

π

21 1 23 59 65 ≤k+ ≤ 得 ≤k≤ 4 3 4 12 12

又k ∈ Z ∴k = 5

1 16 ? 21 23 ? 在闭区间 ? , ? 上存在 f (x) 的对称轴 x = 5 + = . 3 3 ?4 4?

【点评】2007、2008 两年高考题中大部分省市对于三角函数的考察,都基本是这 一套路:先进行三角函数的化简,而在化简时多运用“提斜公式”化为一个角的 一种三角函数,再进行性质的考察. 【变式与拓展】(2008 年高考山东卷)已知函数 f ( x) = 3 sin(ωx + ? ) ? cos(ωx + ? )
(0 < ? < π , ω > 0) 为偶函数,且函数 y = f (x) 图象的两相邻对称轴间的距离为

π
2

.

⑴求 f ( ) 的值;⑵将函数 y = f (x) 的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象 8 6 上各点的横坐标伸长导原来的 4 倍, 纵坐标不变, 得到函数 y = g (x) 的图象, g (x) 求 的单调递减区间。

π

π

课堂小结 图象变换是考察的重点,掌握好图象变换不管是平移,还是伸缩 只是对单变量进行变换,具有很好的识图的能力是解决由图象求解析 式关键。 反馈型题组
9.A 10.D 11.C 12.C 13.D 14. 15.

π π
2

3 16. 2 cos x

17. ⑴ y = =

1 3 1 1 + cos 2 x 3 sin x cos x + 1 = ? + sin 2 x + 1 cos 2 x + 2 2 2 2 4

3 1 5 1 3 1 5 1 π 5 sin 2 x + cos 2 x + = ( sin 2 x + cos 2 x) + = = sin(2 x + ) + 4 4 4 2 2 2 4 2 6 4

当 sin(2 x +

π
6

) = 1即2 x +

π
6

=2kπ +

π
2

, k ∈ Z 时,函数 y 有最大值.

此时,解得 x=kπ +

π
6

,k ∈ Z

? π ? ∴ 当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合为 ? x x=kπ + , k ∈ Z ? . 6 ? ?
⑵ y = sin x 的图象沿 x 轴向左平移

π
6

个单位得: y = sin( x +

π
6

) ,再将每一点的纵坐

标保持不变,横坐标缩小到原来的 持不变,纵坐标缩小到原来的

1 π 得: y = sin(2 x + ) ,再将每一点的横坐标保 2 6

1 1 π 5 得: y = sin(2 x + ) ,再将图象沿 y 轴向上平移 2 2 6 4

个单位得: y =

1 π 5 sin(2 x + ) + . 2 6 4

§6.5 三角函数的性质

再现型题组
⒈ 【提示或答案 提示或答案】4 π ;3; 提示或答案

π

5 π ; [4kπ ? π ,4kπ + ], k ∈ Z 3 3 3

【基础知识聚焦 基础知识聚焦】三角函数的性质 基础知识聚焦 ⒉ 【提示或答案 提示或答案】B 提示或答案 【基础知识聚焦 知识聚焦】三角函数的性质――周期性 知识聚焦 3. 【提示或答案 提示或答案】D 提示或答案 【基础知识聚焦 基础知识聚焦】三角函数的性质――单调性 基础知识聚焦

巩固型题组 4.D
【点评】函数 y = A sin(ωx + ? ) 与函数 y = A tan(ωx + ? ) 的周期公式

5.B
【点评】三角函数值域,正、余弦的有界性,去掉绝对值。 1 1 6.A y = log 2 (1 ? sin 2 α ) 或 y = log 2 ( + cos 2 x) 2 2 【点评】对数函数与三角函数组成的复合函数的值域问题,先确定内层函数的 取值范围,再确定整个函数的值域。

7.D 【点评】诱导公式,可以化为二次函数型求值域。 8.① ? = 0 ,奇函数或④ ? =

π
2

,偶函数。

【点评】三角函数奇偶性的确定与诱导公式的运用。 9.①②③ f ( x) 可以化为 f ( x) = 2 sin(2 x +
5 1 π ) 或 f ( x) = 2 cos(2 x ? π ) 12 12

【点评】通过看角之间关系――含有特殊角――展开―――提斜公式,化为一个 角的一种三角函数。

提高型题组 10.
5 ? 1 ? ? ?2kπ < x < 2kπ + 6 π ?sin x > 2 ?2 sin x ? 1 > 0 ? ? ? π π π π ? ? ?kπ ? < x ≤ kπ + ? 2kπ + < x ≤ 2kπ + ?? tan x ? 1 ≥ 0 ? ?tan x ≤ 1 23 4 6 4 ? ? ? x π x π π ?cos( + ) ≠ 0 ?cos( + ) ≠ 0 ? x π 2 8 2 8 ? ? ? 2 + 8 ≠ kπ + 2 ? 3 5 或 2kπ + π < x < 2kπ + π , k ∈ Z 4 6

【点评】三角函数定义域问题同其它函数定义域一样,需要考虑:偶次根式, 分式,对数式,然后转化为三角不等式,利用图象或三角函数线解。 1 ? 2 sin(2 x ? cos x

π

【变式与拓展】求 f ( x) =

) 4 的定义域.

11. y = sin 2 x + 3 sin x cos x ? 1
= =
1 ? cos 2 x 3 + sin 2 x ? 1 2 2 3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2

= sin(2 x ? ① sin(2 x ?

π π

1 )? 。 6 2 ) = 1 时取得最大值 1 ; 2

6

② 当 sin(2 x ?
x = kπ ?

π
6

) =1 时,取得最小值 ?

3 π π , 此 时 , 2 x ? = 2kπ ? , k ∈ Z , 即 2 6 2

π
6

,k ∈ Z 。

【点评】三角函数式化简,角之间的关系――半角,倍角―――见平方降幂―― 提斜公式,化为确定性质的基本型。 【 变 式 与 拓 展 】 已 知 函 数 f ( x) = 3 sin(2 x ?

π
6

) + 2 sin 2 ( x ?

π
12

)( x ∈ R ) .⑴ 求 函 数

f (x) 的最小正周期;⑵求使函数 f (x) 取得最大值的 x 的集合.

1 3 sin 2 x + sin 2 x + cos 2 x 2 2 12. y = 11 3 cos 2 x + cos 2 x ? sin 2 x 2 2 3 sin 2 x + 2 = 3 cos 2 x ? 2 3 cos 2 x 2 3 cos 2 x 2

) 6 = tan(2 x + π ) = π 6 3 cos(2 x + ) 6
最小正周期 T =

3 sin(2 x +

π

π
2



【点评】三角函数式化简,角之间的关系――特殊角展开――提斜公式,化为确 定性质的基本型。 【变式与拓展】已知 cos( x ?

π
4

)=

⑴求 sin x 的值;⑵求 sin(2 x +

π

2 π 3π ,x∈( , ) 10 2 4
) 的值.

3

课堂小结 三角函数的性质是高考的重点,不管小题还是大题,都会涉及到, 要掌握好三角函数公式的运用,还有必要地技巧与方法,特别是对函 数式化简以后,提斜公式的运用。 反馈型题组

13.B 14.B 15.C 16.D.逆推回去,把 y = 1 ? 2 sin 2 x 变为 y = A sin(ωx + ? ) 的形式。 17. π 18. (?2, 3 ) ∪ ( 3 ,2)
1 1 1 19. f ( x) = [1 ? cos 2(ωx + ? )] ? = cos 2(ωx + ? ) 2 2 2

①由题意:

2π =π 2ω

∴ω = 1

π 1 又 f( )= 8 4
∴ cos(

1 π 1 ∴ cos 2( + ? ) = 2 8 4 1 2

π
4

+ 2? ) =

∴ 2? +

π
4

= 2kπ ±

π
3

,k ∈ Z

又0 < ? < ② f ( x) =

π
2

∴? =

π
6


2kπ ≤ 2 x +

1 π cos(2 x + ) 2 6

π
6

≤ 2kπ

kπ ?

7 2 π ≤ x ≤ kπ ? , k ∈ Z 12 12

∴ f ( x) 的单调递增区间是 [kπ ?

7 π π , kπ ? ], k ∈ Z 。 12 12

1 3 3 1 20. f ( x) = 2 cos x( sin x + cos x) ? (1 ? cos 2 x) + sin 2 x 2 2 2 2 1 3 3 1 = sin 2 x + 3 cos 2 x ? + cos 2 x + sin 2 x 2 2 2 2

= sin 2 x + 3 cos 2 x = 2 sin(2 x +

π
3

) 2π =π ; 2

①最小正周期 T = ②当 sin(2 x +

π
3

) = 1 时,即 2 x +

π
3

= 2kπ +

π
2

,即 x = kπ +

π
12

(k ∈ Z ) 时, f (x) 有最

大值 2; 当 sin(2 x + 值? 2。 ③由 2kπ ?

π
3

) = ?1 ,即 2 x +

π
3

= 2kπ ?

π
2

,即 x = kπ ?

5π (k ∈ Z ) 时, f (x) 有最小 12

π
2

≤ 2x +

π
3

≤ 2kπ +

π
2



解得: kπ ?

5π π ≤ x ≤ kπ + , k ∈ Z 12 12 5π π , kπ + ], k ∈ Z 。 12 12

∴ f ( x) 的单调递增区间是 [kπ ?

三角函数化简、求值、 §6.6 三角函数化简、求值、证明

再现型题组
⒈ 【提示或答案】D 提示或答案 提示或答 【基础知识聚焦 基础知识聚焦】倍角公式的运用,4 次的处理方法 基础知识聚焦 ⒉ 【提示或答案 提示或答案】C 提示或答案 【基础知识聚焦 知识聚焦】倍角公式的运用 知识聚焦 3. 【提示或答案 提示或答案】C 提示或答案 【基础知识聚焦 知识聚焦】两角和与差的正切公式的变形运用 知识聚焦 4. 提示或答案 【提示或答案 提示或答案】B 【基础知识聚焦 sin a + cos a, sin α ? cos α , sin α cos α 三者之间的关系 知识聚焦】 知识聚焦

巩固型题组
5 D 【点评】诱导公式与倍角公式――化为能开方的式子。

6.C
【点评】求角需要――角的范围和角的某种三角函数值。

7. 2 23 【点评】两角和与差的正切公式的变形运用。 1 8. 6 【点评】角的活用――“凑角”. 9. 解法一 【解法一 解法一】 2 sin x cos x 2 sin x cos x 左边 = = 2 2 2 2 sin x ? (cos x ? 1) sin x ? cos 2 x + 2 cos x ? 1 2sin x cos x sin x sin (1 + cos x) x     = = = 2 2 cos x ? 2 cos x 1 ? cos x (1 ? cos x)(1 + cos x) sin ( + cos x) 1 + cos x x1     = = = 右边 sin x 1 ? cos 2 x 【解法二 解法二】也可以变形证明。 解法二 【点评】证明三角恒等式的方法――从一边证向另一边,从两边同时证向同一个 式子,或变形证明。

提高型题组
10. Qα,β 为锐角, 〈α ? β (1) ∴? 〈 2 2 4 1    又 cos α = , tan(α ? β ) = ? 5 3 3 π     sin α = , ? 〈α ? β 0   ∴ 〈 5 2 10 3 10 , cos(α ? β ) = 10 10     cos β = cos [α ? (α ? β )] = cos α cos(α ? β ) + sin α sin(α ? β ) ∴

π

π

    sin(α ? β ) = ? ∴

   =

4 3 10 3 10 9 10 ? + ? (? )= 5 10 5 10 50

【点评】角的活用―――用已知条件中的角表示所要求的角。
2sin 50° + cos10° (1 + 1 + cos10° 3 sin10° ) cos10°

(2)原式=

3 sin10° + cos10° ) 2sin 50° + 2sin(10° + 30° ) cos10°     = = 1 + cos10° 1 + cos10° 2sin 50° + 2sin 40° 2(sin 50° + cos 50° )     = = 2 cos 5° 1 + 2 cos 2 5° ? 1 2sin 50° + cos10°     = 2 2(sin 50° + 45° ) 2sin 95° = =2 cos 5° 2 cos 5°

【点评】从式子的结构特征入手,常用技巧――切化弦,提斜公式,当然要时刻

注意角之间的联系。
11.由 4 tan

α
2

= 1 ? tan 2

α
2



2 tan 2 =1         即 t a n α = 1    α 2 2 1 ? tan 2 2 由 3 sin α = sin (2 α + β ) 得 : 3 sin [ (α + β ) ? α ] = sin [ (α + β ) + α

α

]

整 理 得 : sin (α + β ) co s α ? 3 co s(α + β ) sin α 3           sin (α + β ) co s α + co s(α + β ) sin α =   即 :   2 sin (α + β ) co s α   = 4 co s(α + β ) sin α     tan (α + β ) = 2 tan α ∴     tan (α + β ) = 1 ∴  又0 < α + β <   α + β = ∴

π


π
4

【点评】求角――需要角的范围和角的某种三角函数值,化简整理过程中要时刻 注意角之间的联系。

12.左 =

+ β) sin α sin (α + β ) co s α + co s(α + β ) sin α ? 2 co s(α + β ) sin α   = sin α sin [ (α + β ) ? α ] sin (α + β ) co s α ? co s(α + β ) sin α    = = sin α sin α sin β   = =右 sin α

sin [ (α + β ) + α

] - 2 co s(α

【点评】角的活用,条件与结论之间的角的联系与区别.

课堂小结 掌握公式之间的内在联系,把握各个公式的结构特征,善于对公 式进行变通,掌握各个公式的推导过程,是理解和运用公式的首要环 节。三角函数的化简、求值和证明的难点在于众多三角公式的灵活运

用和解题突破口的合理选择,认真分析所求式子的整体结构,分析各 个三角函数及角的相互关系是灵活运用公式的基础,是恰当寻找解题 思维起点的关键所在。 反馈型题组
13.B 14. B 15. A 16. A 【点评】 sin x+ cos x,sin x- cos x与 sin 2 x之间关系运用 17. 1 4 18. - 5 sin 2θ ? 2 cos 2 θ 【点评】 sin 2 θ+ cos 2 θ ? 3 sin10° ? 19.原式= ? 2 sin 50° + sin10° (1 + ) ? 2 sin 80° ° cos10 ? ? ? 3 sin10° + cos10° ? ° ° °     = ? 2sin 50 + sin10 ? 2 sin 80 ° cos10 ? ?
    = 2sin 50° ? 2 cos10° + sin10° ? 2 sin 40° ? 2     = 2 2(sin 50° cos10° + cos 50° sin10° ) = 2 2 sin 60° = 6

20. < α < 0

π
2

, cos α ? sin α = ?

5 5

4 1 1 ∴ (cos α ? sin α ) 2 =    ∴ 1- cos2α =     cos2α =   ∴ 5 5 5 4 9 3 5 ∴ (sin α+ cos α ) 2 =1+2sin α cos α=1+ =   ∴ sin α+ cos α = 5 5 5 2 sin 2α - cos 2α + 1 2sin α cos α ? (1 ? 2 sin α ) + 1    = 1 ? tan α 1 ? tan α 2 2sin α cos α + 2sin α 2sin α (sin α + cos α ) cos α    = = cos α ? sin α cos α ? sin α cos α 4 3 5 ? 5 5 = ? 12 =    5 5 ? 5

§6.7 解三角形

再现型题组
⒈ 【提示或答案 提示或答案】C 提示或答案 【基础知识聚焦 基础知识聚焦】大边对大角 基础知识聚焦 ⒉ 【提示或答案 提示或答案】A 提示或答案 【基础知识聚焦 知识聚焦】利用正、余弦定理――角化边 知识聚焦 3. 【提示或答案 提示或答案】等腰三角形(等边三角形或顶角为 120 o 的等腰三角形) 提示或答案 【基础知识聚焦 知识聚焦】利用正、余弦定理――边角互化 知识聚焦 4. 【提示或答案 提示或答案】 提示或答案
2 39 13

【基础知识聚焦 知识聚焦】利用正、余弦定理――边角互化 知识聚焦

巩固型题组 5. C
【点评】正弦定理:角化边

6.

3 3 2

【点评】余弦定理求角――利用直角三角形
7.D

【点评】正弦定理与面积的运用.
10 2 【点评】三角形中内角之间的关系.
8.

9.

3 2 【点评】利用正、余弦定理――边角互化,求角,进而求边.

10.由题意:A+C=2B

又 A+B+C= π π 2π ∴B = , A+C = 3 3 tan( A + C ) = ? 3 ∴ tan A + tan C = tan( A + C )(1 ? tan A tan C )

∴ tan A + tan C = 3 + 3 又 tan A tan C = 2 + 3 tan tan ∴ tan A = 1, C = 2 + 3或 tan A = 2 + 3, C = 1 π π 5π 5π π π ∴ A = ,B = ,C = 或A = ,B = ,C = 4 3 12 12 3 4 π π 5π A = ,B = ,C = 时 ①当 4 3 12
a= 4 3 = 4 6,b = 4 3 4 3 4 3 = 8 3, c = + =4 3+4 1 tan A tan B 2

2 2 5π π π ②当 A = ,B = ,C = 时 12 3 4 4 3 4 3 4 3 a= = = 12 2 ? 4 6,b = = 8 3, 5π 1 6+ 2 sin 12 2 4

4 3 4 3 4 3 + = + 4 = 8 3 ?8 tan A tan B 2 + 3 【点评】三角形中内角之间的关系,三角函数公式的灵活运用. c=

提高型题组 11.
tan A + tan B =? 3 由 tan A + tan B = 3 (tan A tan B ? 1)得: 1 ? tan A tan B 即 tan( A + B ) = ? 3又〈 A + B〈 π 0 2π π ∴A+ B = ∴C = 3 3 3 3 1 3 3 又 S ?ABC = ∴ ab sin C = 2 2 2 即: ab = 6 又 c 2 = a 2 + b 2 ? 2 ab cos C



49 1 49 = a 2 + b 2 ? 2ab ? 即a 2 + b 2 ? ab = 4 2 4 49 ∴ ( a + b) 2 = + 18 4 11 ∴a + b = 2
【点评】三角函数公式是解三角形条件的载体,正余弦定理的运用. 【变式与拓展】(2008 年高考辽宁卷)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为

a, b, c .已知 c = 2, C =

π
3

.

⑴若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a, b 的值;⑵若 sin C + sin( B ? A) = 2sin 2 A , 求 ?ABC 的面积。 12.
tan A 2c = ?1 tan B b tan A 2?2 ∴ = ?1 = 2 3 ? 3 tan B 3 +1 tan A 2c ? b sin A cos B 2 sin C ? sin B 由 得: = ? = tan B b cos A sin B sin B 又0 < sin B ≤ 1 ∴ sin A cos B = 2 sin C cos A ? sin B cos A ∴ sin A cos B + sin B cos A = 2 sin C cos A
Q

即: A + B) = 2 sin C cos A sin( ∴ sin C = 2 sin C cos A 1 又0 < sin C ≤ 1∴ cos A = 2 又0 < A < π ∴ A = tan B = 3 2 3 ?3

π

3

= 2+ 3 5π 12

又0 < B < π ∴ B = ∴C = π ?

π
3

?

5π π = 12 4

【点评】正余弦定理的作用――边角互化,实现边角的统一,是一种工具, 三角函数公式才是手段.

【变式与拓展】 (2008 年高考江西卷)在在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C A+ B C A 所对的边长, a = 2 3, tan + tan = 4,sin A sin B = cos 2 . 2 2 2 求 A, B 及 b, c .

课堂小结
解三角形的工具是正、余弦定理,它们的作用是实现边角的互化,让边角统 一起来。三角形是三角函数的重要载体,三角函数的公式、技巧都能很好的在解 三角形中体现。

反馈型题组
13.D 14.B 15.D 16.C 17.C 18.A 19.20.
16 65 3π 4

1 3 由 ab sin C = 5 3得 sin C = 21. 2 2 o o 又0 < C < 180 ∴ C = 60 或120 o

①当 C = 60 o 时c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos 60 o = 16 + 25 ? 2 × 4 × 5 ×

1 = 21 2

∴c = 21
1 ②当 C = 120 o 时c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos 60 o = 16 + 25 ? 2 × 4 × 5 × (? ) = 61 2

∴c = 61
22.(1) Q cos B = ?

5 4 , cos C = 13 5 ∴ sin B = 12 3 ,sin C = 13 5

又0 < B, C < π
又 A = π ? (B + C)

∴ sin A = sin[π ? ( B + C )] = sin( B + C ) = 1 33 ⑵由 bc sin A = 得bc = 65 2 2
a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A = b 2 + c 2 ? 101

12 4 5 3 33 ? + (? ) ? = 13 5 13 5 65

?b = 10 ? 得 13b = 20c 解得 ? 13 ?c = 2 ? 165 ∴ a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A = b 2 + c 2 ? 101 = 4 165 165 ∴a = 即 BC = 2 2
b c = sin B sin C

第六章 基本初等函数Ⅱ(三角函数)45 分钟单元综合检测题
1.C 2.C 3.A 4.C 5.D 6.C 7. ? 8. 9.2 10.(

7 25 2π 3

π 4π
3 , 3

)

4 π 3 3 11.由 cos α = ? , α ∈ ( , π ) ∴ sin α = ∴ tan α = ? 5 2 5 4
又 tan(π ? β ) =

1 1 ∴ tan β = ? 2 2

∴ tan 2 β =

2 tan β 4 =? 2 3 1 ? tan β

∴ tan(α ? 2 β ) =
12.⑴由

tan α ? tan 2 β 7 = 1 + tan α tan 2 β 24

B+C π ? A B+C π?A A = ∴ sin( ) = sin( ) = cos 2 2 2 2 2

sin 2

B+C A 1 + cos A 1 + cos 2 A = cos 2 +2 cos 2 A ? 1 = +2 cos 2 A ? 1 = ? 2 2 2 9

⑵由余弦定理得: a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A
∴ 3 = b 2 + c 2 ? 2bc ? 1 3

2 2 2 ∴ 3 = b 2 + c 2 ? bc ≥ 2bc ? bc = bc (当且仅当 b = c 时取等号) 3 3 3
∴ bc ≤

9 3 2 9 (b = c = )∴ bc的最大值为 . 2 2 2

13 Q f ( x) = cos(2 x ?





2π π π ) + 2 sin( x ? )sin( x + ) 3 4 4

1 cos 2 x + 2 1 = cos 2 x + 2 1 = cos 2 x + 2 = ∴ 周期T=
由 2x ?

3 sin 2 x + (sin x ? cos x)(sin x + cos x) 2 3 sin 2 x + sin 2 x ? cos 2 x 2 3 π sin 2 x ? cos 2 x = sin(2 x ? ) 2 6

2π =π 2

π
6

= kπ +

π
2

(k ∈ Z ), 得:x=

kπ π + (k ∈ Z ) 2 3

∴ 函数图象的对称轴方程为 x=

kπ π + (k ∈ Z ) . 2 3

⑵Q x ∈ [?

π π 5π , ],∴ 2 x ? ∈ [? , ] 12 2 6 3 6 π
6 )在区间[, ]上单调递增,在区间[ , ]上单调递减, 12 3 3 2

π π

Q f ( x) = sin(2 x ?

π π

π π

∴ 当x= 时,f ( x) 取得最大值 1。 3

π

又 Q f (?
∴ 当x=-

π
12

)=?

3 π 1 < f( )= 2 2 2 3 . 2

π
12

时,f ( x)取得最小值-

∴ 函数f ( x)在[-

3 ,1]. , ]上的值域为[12 2 2

π π


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