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数学必修一指数与指数幂的运算教案


3.3.1 指数与指数幂的运算(一)
学习目标: 了解指数函数模型背景及实用性必要性,了解根式的概念及表示方法. 理解 根式的概念 学习重点:掌握 n 次方根的求解. 学习难点:理解根式的概念,了解指数函数模型的应用背景 学习过程: 一、复习准备: 1、提问:正方形面积公式?正方体的体积公式?( a 2 、 a 3 ) 2、回顾初中根式的概念:如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做 a 的平方 根;如果一个数的立方等于 a,那么这个数叫做 a 的立方根. → 记法: a ,
3

a

二. 学习新课: 1. 学习指数函数模型应用背景: ① 探究下面实例,了解指数指数概念提出的背景,体会引入指数函数的必要性. 实例 1.某市人口平均年增长率为 1.25℅,1990 年人口数为 a 万,则 x 年后人 口数为多少万? 实例 2. 给一张报纸,先实验最多可折多少次(8 次) 计算:若报纸长 50cm,宽 34cm,厚 0.01mm,进行对折 x 次后,问对折后的面 积与厚度? ② 书 P52 问题 1. 国务院发展研究中心在 2000 年分析, 我国未来 20 年 GDP (国 内生产总值)年平均增长率达 7.3℅, 则 x 年后 GDP 为 2000 年的多少倍? 书 P52 问题 2. 生物死亡后,体内碳 14 每过 5730 年衰减一半(半衰期) ,则 死亡 t 年后体内碳 14 的含量 P 与死亡时碳 14 的关系为 P ? ( ) 5730 . 探究该式意 义? ③小结:实践中存在着许多指数函数的应用模型,如人口问题、银行存款、生物 变化、自然科学. 2. 学习根式的概念及运算: ① 复习实例蕴含的概念: (?2)2 ? 4 , ?2 就叫 4 的平方根; 33 ? 27 ,3 就叫 27 的立 方根. ( 探究: ?3)4 ? 81 , ?3 就叫做 81 的?次方根, 依此类推,若 xn ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根. ② 定义 n 次方根:一般地,若 xn ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.( n th root ),其 中 n ? 1 , n ? ?? 简记: n a . 例如: 23 ? 8 ,则 3 8 ? 2 ③ 讨论:当 n 为奇数时, n 次方根情况如何?, 例如: 3 27 ? 3 , 3 ?27 ? ?3 , 记: x ? n a 当 n 为偶数时, 正数的 n 次方根情况? 例如: (?3)4 ? 81 , 81 的 4 次方根就是
?3 , 记: ? n a
1 2
t

强调:负数没有偶次方根,0 的任何次方根都是 0, 即. n 0 ? 0 ④ 练习: b4 ? a ,则 a 的 4 次方根为 ; b3 ? a , 则 a 的 3 次方根为

.

⑤ 定义根式:像 n a 的式子就叫做根式(radical), 这里 n 叫做根指数(radical exponent), a 叫做被开方数(radicand). ⑥ 计算 ( 2 3)2 、 3 43 、 n ( ?2) n → 探究: ( n a ) n 、 n a n 的意义及结果? (特殊 到一般) 结 论 : ( n a )n ? a . 当 n 是 奇 数 时 ,
n
n

an ? a ; 当 n 是 偶 数 时 ,

?a (a ? 0 ) a n ?| a |? ? ??a (a ? 0)

3、例题讲解 (P5O 例题 1) :求下列各式的值
(1)
3

( ?8)3

(2)

?( 12 0 )

(3)

4

(?3 ?

4

)

(4)

a(? b

2

)

三、巩固练习: 1. 计算或化简: 5 ?32 ; 3 a 6 (推广: a mp ? n a m , a ? 0).
np

2、 化简: 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 3、求值化简: 四、小结:
3

; 2 3 ? 3 1.5 ? 6 12
6

( ? a )3 ;

4

( ? 7 4) ;

( 3? ? 6) ;

2

( a ? b) 2 ( a ? b )

1.根式的概念:若 n>1 且 n ? N * ,则 x是a的n次方根,n为奇数时,x= n a ,

n 为偶数时, x ? ? n a ;
?a (a ? 0) 2.掌握两个公式: n为奇数时,( n a )n , n为偶数时,n a n ?| a |? ? ??a (a ? 0) 五、 作业:书 P59 、 1 题.

3.3.2 指数与指数幂的运算(二)
学习目标: 使学生正确理解分数指数幂的概念,掌握根式与分数指数幂的互化,掌握有 理数指数幂的运算. 学习重点:有理数指数幂的运算. 学习难点:有理数指数幂的运算.无理数指数幂的意义. 学习过程: 一、复习准备: 1. 提问:什么叫根式? →根式运算性质: ( n a ) n =?、 n a n =?、 a mp =? 2. 计算下列各式的值: ( 2 ?b )2 ; ( 3 ?5)3 ; 2 34 , 5 a10 , 3 7 9 二、学习新课:
np

1. 教学分数指数幂概念及运算性质:
10

2

2

① 引例:a>0 时, 5 a10 ? 5 (a 2 )5 ? a2 ? a 5 → a ??. ② 定义分数指数幂:
n 规定 a ? am (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) ; a m n
? m n



3

a12 ? ? ;

3

a 2 ? (a 3 ) 3 ? a 3

3

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

2 ③ 练习: A.将下列根式写成分数指数幂形式:n a m (a ? 0, m, n ? N ?n ? 1) ; 35 ;3 5 4

27 ; 5 ; 6 ; a . B. 求值 ④ 讨论:0 的正分数指数幂? 0 的负分数指数幂? ⑤ 指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理 数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 指数幂的运算性质: a ? 0, b ? 0, r , s ? Q a r · a r ? a r ? s ; (a r ) s ? a rs ; (ab) r ? a r a s . 2. 例题: (1)(P51,例 2) 、

2 3

2 5

?

4 3

?

5 2

解:① 8 ? (2 ) ? 2 ② 25
? 1 2

2 3

2 3 3

3?

2 3

? 22 ? 4
1 2?( ? ) 2

? (5 )
2

?

1 2

?5

? 5?1 ?

1 5

1 ③ ( )?5 ? (2?1 )?5 ? 2?1?( ?5) ? 32 2
16 ? 3 2 4?( ? 3 ) 2 27 ④ ( ) 4 ? ( ) 4 ? ( ) ?3 ? 81 3 3 8

(2)(P51,例 3)用分数指数幂的形式表或下列各式( a >0) 、 解: a . a ? a ? a ? a
3 3 1 2 3? 1 2

?a
2 3

7 2 8 3

a ?
2
a3

3

a ?a ?a ? a
2 2
1 3

2 3

2?

? a
41 32 2 3

a ? a ? a ? a ? (a ) ? a 3、无理指数幂的教学 3 2 的结果?→定义:无理指数幂.(结合教材 P58 利用逼近的思想理解无理指 数幂意义) ) 无理数指数幂 a ? (a ? 0, ?是无理数 是一个确定的实数.实数指数幂的运算性 质? 三、巩固练习: 1、练习:书 P54 1、2、3 题.
2

4 3

2、求值: 27 3 ;

16 3 ;

?

4

3 ( ) ?3 ; 5

(

25 ? 3 ) 49

2

2

1

1

1

1

5

1

3

3、化简: (3a 3 b 2 )(?8a 2 b 3 ) ? (?6a 6 b 6 ) ; (m 4 n 8 )16
1 (2n ?1 ) 2 ? ( ) 2 n ?1 2 4. 计算: 的结果 4n8?2

a10 1 n ?3 5. 若 a3 ? 3, a10 ? 384, 求a3 ? [( ) 7 ] 的值 a3

四. 小结: 1.分数指数是根式的另一种写法. 2.无理数指数幂表示一个确定的实数. 3.掌握好分数指数幂的运算性质,其与整数指数幂的运算性质是一致的. 五、作业:书 P59 2、4 题.

3.3.3 指数与指数幂的运算(三)
学习目标: n 次方根的求解,会用分数指数幂表示根式, 掌握根式与分数指数幂的运 算. 学习重点:掌握根式与指数幂的运算. 学习难点:准确运用性质进行计算. 学习过程: 一、提问: 1. 提问:什么叫做根式? 运算性质? 2. 提问:分数指数幂如何定义?运算性质? 3. 基础习题练习: (口答下列基础题) ① n为 时, n x n ?| x |? ?...........
? ? ( x ? 0) ( x ? 0)

.

6 4 81 ; 6 (?2) 2 ; 15 ? 32 ; 4 x 8 ; 6 a 2 b 4 16 ; ② 求下列各式的值: 3 2 6 ; 二、学习典型例题: 例 1. 52,例 4)计算下列各式(式中字母都是正数) (P

(1) (2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 )
1

2

1

1

1

1

5

(2) (m 4 n 8 )8 例 2. 52 例 5)计算下列各式 (P (1) ( 3 25 ? 125) ? 4 25

?

3

(2)

a2 a.3 a2
1 ? 1

( a >0)

例 3..已知 a 2 ? a 2 =3,求下列各式的值: (1) a ? a ?1 ; (2) a 2 ? a ?2 ; (3)
3 a2 1 a2

?a ?a

? ?

3 2 1 2



三、巩固练习: 1. 化简: ( x ? y ) ? ( x ? y ) . 2. 已知 f ( x) ? ? x , x1 ? x2 ? 0 ,试求
1 ? 2
1 2 1 2 1 4 1 4

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 的值

3. 用根式表示 (m 4 n 3 ) , 其中 m, n ? 0 .
1 ? 1 3 ? 3

4. 已知 x+x-1=3,求下列各式的值: (1) x 2 ? x 2 , (2) x 2 ? x 2 .
3

2

5. 求值: 25 2 ; 27 3 ;

(

36 2 ) ; 49

3

(

25 ? 2 ) ; 4

3

4

3

81 ? 9 2 ; 2 3 ? 3 1.5 ? 6 12

6. 已知 x ? a ?3 ? b?2 , 求 4 x 2 ? 2a ?3 x ? a ?6 的值.
1 1 7.从盛满 1 升纯酒精的容器中倒出 升,然后用水填满,再倒出 升,又用水 3 3 填满,这样进行 5 次,则容器中剩下的纯酒精的升数为多少?

四、小结: 1.熟练掌握有理指数幂的运算法则,化简的基础. 2.含有根式的式子化简,一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算. 五,作业 化简: (1) ( 9) 3 ( 3 102 ) 2 ? 1002
5

?

2

9

(2) 3 ? 2 2 ? 3 ? 2 2 (3)
a a

a a


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