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甘肃省天水市2015届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)


甘肃省天水市 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项) 1. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣2x﹣3≥0},B={x|﹣2≤x<2},则 A∩B=() A.[﹣2,﹣1] B.[﹣1,2) C.[﹣1,1] D.[1,2) 2. (5 分)下列说法错误的是() 2 2 A.若命题 p:?x∈R,x ﹣x+1=0,则¬p:?x∈R,x ﹣x+1≠0 B. “sinθ= ”是“θ=30°”的充分不必要条件 C. 命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是:“若 a≠0,则 ab≠0” 2 D.已知 p:?x∈R,cosx=1,q:?x∈R,x ﹣x+1>0,则“p∧¬q”为假命题
2

3. (5 分)已知函数 f(x)= A.f(x)是偶函数 C. f(x)是周期函数
3

,则下列结论正确的是() B. f(x)在 f(x)上是增函数 D.f(x)的值域为[﹣1,+∞)

4. (5 分)直线 y=4x 与曲线 y=x 在第一象限内围成的封闭图形的面积为() A.2 B. 4 C. 2 D.4

5. (5 分)已知非零向量 , 满足,且| |=| |, (2 + )? =0,则 , 的夹角为() A.30° B.60°
x

C.120°

D.150°

6. (5 分)函数 f(x)=2 |log0.5x|﹣1 的零点个数为() A.1 B. 2 C. 3 7. (5 分)若函数 f(x)=x +ax+ A.[﹣1,0] B.[﹣1,∞]
2

D.4

是增函数,则 a 的取值范围是() C.[0,3] D.[3,+∞] ,平移得到图象

8. (5 分)将函数 f(x)=2sin(2x﹣θ)﹣3 的图象 F 按向量 = F′,若 F′的一条对称轴是直线 A. B. ,则 θ 的一个可能取值是() C. D.

9. (5 分)若实数 x,y 满足

,则 y 是 x 的函数的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

10. (5 分)若函数 小值等于 3π,则正数 ω 的值为() A. B. C.

,又 f(α)=f(β)=2,且|α﹣β|的最 D.

11. (5 分)若实数 a∈(1,2) ,则使得函数 个区间是() A.(1,+∞)

单调递减的一

B.(0,a﹣1)
3 2

C.(0,1)

D.(a﹣1,1)

12. (5 分)当 x∈[﹣2,1]时,不等式 ax ﹣x +4x+3≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是() A.[﹣5,﹣3] B.[﹣6,﹣ ] C.[﹣6,﹣2] D.[﹣4,﹣3]

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x+2)= =. 14. (5 分)设 0<θ< ,向量 =(sin2θ,cosθ) , =(cosθ,1) ,若 ∥ ,则 tanθ=. ,若 f(1)=﹣5,则 f(5)

15. (5 分)若函数 y=x ﹣3x﹣4 的定义域为[0,m],值域为[﹣

2

,﹣4],则 m 的取值范围是.

16. (5 分) 已知菱形 ABCD 的边长为 2, ∠BAD=120°, 点 E, F 分别在边 BC, DC 上, BC=3BE, DC=λDF,若 ? =1,则 λ 的值为.

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 3 2 17. (10 分)已知函数 f(x)=x +bx ﹣ax 在 x=1 处有极小值﹣1. (1)求 a,b 的值;

(2)求出函数 f(x)的单调区间.
2

18. (12 分)已知函数 f(x)=cosx?sin(x+ (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在[﹣ ,

)﹣

cos x+

,x∈R.

]上的最小值和最大值.

19. (12 分)函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(0)=0,当 x>0 时,f(x)=log (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)解不等式 f(x ﹣1)>﹣2. 20. (12 分) 如图△ ABC 中, 已知点 D 在 BC 边上, 满足 BD= . (Ⅰ)求 AD 的长; (Ⅱ)求 cosC. =0. sin∠BAC=
2

x.

?

, AB=3



21. (12 分)已知向量 =(m,cos2x) , =(sin2x,n) ,函数 f(x)= ? ,且 y=f(x)的图 象过点( , )和点( ,﹣2) .

(Ⅰ)求 m,n 的值; (Ⅱ)将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后得到函数 y=g(x)的图象,若 y=g (x)图象上的最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1,求 y=g(x)的单调递增区间. 22. (12 分)已知函数 f(x)=xe (Ⅰ)求函数 f(x)的极值;
﹣2x

(x∈R) . 对称.求证:当 x> 时,

(Ⅱ)若函数 y=h(x)的图象与函数 y=f(x)的图象关于直线 f(x)>h(x) . (Ⅲ)如果 x1≠x2,且 f(x1)=f(x2) ,证明:x1+x2>1.

甘肃省天水市 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷 (理 科)

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项) 2 1. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣2x﹣3≥0},B={x|﹣2≤x<2},则 A∩B=() A.[﹣2,﹣1] B.[﹣1,2) C.[﹣1,1] D.[1,2) 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算即可得到结论. 2 解答: 解:A={x|x ﹣2x﹣3≥0}={x|x≥3 或 x≤﹣1},B={x|﹣2≤x<2}, 则 A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}, 故选:A 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2. (5 分)下列说法错误的是() A.若命题 p:?x∈R,x ﹣x+1=0,则¬p:?x∈R,x ﹣x+1≠0 B. “sinθ= ”是“θ=30°”的充分不必要条件 C. 命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是:“若 a≠0,则 ab≠0” D.已知 p:?x∈R,cosx=1,q:?x∈R,x ﹣x+1>0,则“p∧¬q”为假命题 考点: 特称命题;命题的否定. 分析: 利用特称命题的否定是全称命题判断 A 的正误;利用充要条件判断 B 的正误;否命 题的真假判断 C 的正误;复合命题的真假判断 D 的正误; 解答: 解:对于 A,命题 p:?x∈R,x ﹣x+1=0,则¬p:?x∈R,x ﹣x+1≠0,满足特称命题 的否定是全称命题,所以 A 正确. 对于 B, “sinθ= ”则 θ 不一定是 30°, 而“θ=30°”则 sinθ= ,所以是必要不充分条件,B 不正确; 对于 C,“若 a=0,则 ab=0”的否命题是:“若 a≠0,则 ab≠0”判断正确. 对于 D,p:?x∈R,cosx=1,q:?x∈R,x ﹣x+1>0,则“p∧¬q”一假就假,所以为假命题,D 正确. 错误命题是 B. 故选 B. 点评: 本题考查命题的真假的判断充要条件的应用,基本知识的考查.
2 2 2 2 2 2

3. (5 分)已知函数 f(x)= A.f(x)是偶函数 C. f(x)是周期函数 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用.

,则下列结论正确的是() B. f(x)在 f(x)上是增函数 D.f(x)的值域为[﹣1,+∞)

分析: 由函数在 y 轴左侧是余弦函数,右侧是二次函数的部分可知函数不具有周期性和单 调性,函数不是偶函数,然后求解其值域得答案. 解答: 解:由解析式可知,当 x≤0 时,f(x)=cosx,为周期函数, 2 当 x>0 时,f(x)=x +1,是二次函数的一部分, ∴函数不是偶函数,不具有周期性,不是单调函数, 对于 D,当 x≤0 时,值域为[﹣1,1], 当 x>0 时,值域为(1,+∞) , ∴函数的值域为[﹣1,+∞) . 故选:D. 点评: 本题考查了函数奇偶性、单调性和周期性的性质,考查了函数值域的求法,是基础 题. 4. (5 分)直线 y=4x 与曲线 y=x 在第一象限内围成的封闭图形的面积为() A.2 B. 4 C. 2 D.4 考点: 定积分. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先根据题意画出区域,然后依据图形得到积分上限为 2,积分下限为 0 的积分,从而 利用定积分表示出曲边梯形的面积,最后用定积分的定义求出所求即可. 解答: 解:先根据题意画出图形,得到积分上限为 2,积分下限为 0, 曲线 y=x 与直线 y=4x 在第一象限所围成的图形的面积是∫ 而∫ (4x﹣x )dx=(2x ﹣ x )|
3 2 4 3 3

(4x﹣x )dx,

3

=8﹣4=4,

∴曲边梯形的面积是 4, 故选:D.

点评: 考查学生会求出原函数的能力,以及会利用定积分求图形面积的能力,同时考查了 数形结合的思想,属于基础题.

5. (5 分)已知非零向量 , 满足,且| |=| |, (2 + )? =0,则 , 的夹角为() A.30° B.60° C.120° D.150°

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 运用向量的数量积的定义和性质:向量的平方即为模的平方,计算再由夹角的范围, 即可得到. 解答: 解:由于| |=| |,且(2 + )? =0, 则2 + =0, >+| | =0
2

即有 2| |?| |?cos< 即有 cos< 则由 0°≤< 则<

>=﹣ , >≤180°, >=120°.

故选 C. 点评: 本题考查平面向量的数量积的定义和性质:向量的平方即为模的平方,考查运算能 力,属于基础题. 6. (5 分)函数 f(x)=2 |log0.5x|﹣1 的零点个数为() A.1 B. 2 C. 3
x

D.4

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 通过令 f(x)=0,将方程的解转化为函数图象的交点问题,从而判断函数的零点个 数. 解答: 解:函数 f(x)=2 |log0.5x|﹣1,令 f(x)=0, 在同一坐标系中作出 y=( ) .与 y=|log0.5x|,如图, 由图可得零点的个数为 2. 故选 B.
x x

点评: 本题考查函数的零点,函数的图象的作法,考查数形结合与转化思想.
2

7. (5 分)若函数 f(x)=x +ax+ A.[﹣1,0] B.[﹣1,∞]

是增函数,则 a 的取值范围是() C.[0,3] D.[3,+∞]

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 由函数 在( ,+∞)上是增函数,可得 ﹣2x 在( ,+∞)上恒成立,构造函数求出 ≥0 ﹣

在( ,+∞)上恒成立,进而可转化为 a≥

2x 在( ,+∞)上的最值,可得 a 的取值范围. 解答: 解:∵ 故 即 a≥ 在( ,+∞)上是增函数, ≥0 在( ,+∞)上恒成立, ﹣2x 在( ,+∞)上恒成立, ﹣2x, ﹣2,

令 h(x)= 则 h′(x)=﹣

当 x∈( ,+∞)时,h′(x)<0,则 h(x)为减函数. ∴h(x)<h( )=3 ∴a≥3. 故选:D. 点评: 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性,恒成立问题,是导数的综合应用, 难度中档.

8. (5 分)将函数 f(x)=2sin(2x﹣θ)﹣3 的图象 F 按向量 = F′,若 F′的一条对称轴是直线 A. B. ,则 θ 的一个可能取值是() C. D.

,平移得到图象

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的对称性. 专题: 计算题. 分析: 按照“左加右减上加下减”的原则,求出图象 F′的解析式,在对称轴 x= 最值,可求 θ. 解答: 解:图象 F′是由图象 F 先向右平移 所以,图象 F′的函数解析式是 y=2sin[2(x﹣ 个单位,再向上平移 3 个单位而得到. )﹣θ]=2sin(2x﹣ ﹣θ) 处函数取得

∵F′的一条对称轴是直线 ∴2× ﹣ ﹣θ=kπ+ ,k∈Z

,∴x=

时函数取最值,

当 k=0 时,θ= 故选 B 点评: 本题考查图象平移变化、三角函数的性质,易错点在于,左右平移是针对于 x 而言, 而非整个相位.

9. (5 分)若实数 x,y 满足

,则 y 是 x 的函数的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 计算题. 分析: 先化简函数的解析式,函数中含有绝对值,故可先去绝对值讨论,结合指数函数的 单调性及定义域、对称性,即可选出答案. 解答: 解:∵|x﹣1|﹣ln =0, ∴f(x)=( )
|x﹣1|

其定义域为 R,当 x≥1 时,f(x)=( )

x﹣1

,因为 0< <1,故在[1,+∞)

上为减函数, 又因为 f(x)的图象关于 x=1 轴对称, 对照选项,只有 B 正确. 故选 B. 点评: 本题主要考查指数函数的图象问题,考查分类讨论的数学思想和识图能力,属于基 础题. 10. (5 分)若函数 小值等于 3π,则正数 ω 的值为() A. B. C. ,又 f(α)=f(β)=2,且|α﹣β|的最 D.

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质.

分析: 依题意可知,f(x)=sinωx+ 求得 ω 的值. 解答: 解:∵f(x)=sinωx+ =2sin(ωx+ ) ,

cosωx 的最小正周期为 3π,由周期公式 T=

即可

cosωx

∴f(x)=sinωx+

cosωx 的最小正周期为 T=



又 f(α)=f(β)=2,且|α﹣β|的最小值等于 3π ∴f(x)=sinωx+ cosωx 的最小正周期为 3π, ∴ =3π,

∴ω= . 故选 B. 点评: 本题考查两角和与差的正弦函数,考查辅助角公式的应用及周期的求法,属于中档 题. 11. (5 分)若实数 a∈(1,2) ,则使得函数 个区间是() A.(1,+∞)

单调递减的一

B.(0,a﹣1)

C.(0,1)

D.(a﹣1,1)

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: 先求出函数的导数,令导数小于 0,求出单调区间,再比对四个选项得出正确答案. 解答: 解: =

由函数的解析式知,x>0,令 f'(x)<0 得[x﹣(a﹣1)](x﹣1)<0 又∵a∈(1,2) ,∴a﹣1∈(0,1) ∴a﹣1<x<1 故选 D 点评: 本题考查利用层数研究函数的单调性,求解本题关键是正确得出函数的导函数,以 及根据函数的定义域将所得的不等式转化如 x>0,令 f'(x)<0 得[x﹣(a﹣1)](x﹣1)<0, 12. (5 分)当 x∈[﹣2,1]时,不等式 ax ﹣x +4x+3≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是() A.[﹣5,﹣3] B.[﹣6,﹣ ] C.[﹣6,﹣2] D.[﹣4,﹣3]
3 2

考点: 函数恒成立问题;其他不等式的解法. 专题: 综合题;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: 分 x=0,0<x≤1,﹣2≤x<0 三种情况进行讨论,分离出参数 a 后转化为函数求最值 即可,利用导数即可求得函数最值,注意最后要对 a 取交集. 3 2 解答: 解:当 x=0 时,不等式 ax ﹣x +4x+3≥0 对任意 a∈R 恒成立;

当 0<x≤1 时,ax ﹣x +4x+3≥0 可化为 a≥

3

2



令 f(x)=

,则 f′(x)=

=﹣

(*) ,

当 0<x≤1 时,f′(x)>0,f(x)在(0,1]上单调递增, f(x)max=f(1)=﹣6,∴a≥﹣6; 当﹣2≤x<0 时,ax ﹣x +4x+3≥0 可化为 a≤
3 2



由(*)式可知,当﹣2≤x<﹣1 时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当﹣1<x<0 时,f′(x)> 0,f(x)单调递增, f(x)min=f(﹣1)=﹣2,∴a≤﹣2; 综上所述,实数 a 的取值范围是﹣6≤a≤﹣2,即实数 a 的取值范围是[﹣6,﹣2]. 故选:C. 点评: 本题考查利用导数研究函数的最值,考查转化思想、分类与整合思想,按照自变量 讨论,最后要对参数范围取交集;若按照参数讨论则取并集. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x+2)= =﹣5. 考点: 函数的周期性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据条件可得函数是周期为 4 的周期函数,然后利用函数的周期性即可得到结论. 解答: 解:∵f(x+2)= , , ,若 f(1)=﹣5,则 f(5)

∴f(x)≠0,且 f(x+4)=f(x+2+2)=

即函数的周期为 4. ∵f(1)=﹣5, ∴f(5)=f(1+4)=f(1)=﹣5. 故答案为:﹣5; 点评: 本题主要考查函数值的计算,利用条件推出函数的周期性是解决本题的关键,要求 熟练掌握函数周期性的应用.

14. (5 分)设 0<θ<

,向量 =(sin2θ,cosθ) , =(cosθ,1) ,若 ∥ ,则 tanθ= .

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出. 解答: 解:∵ ∥ ,向量 =(sin2θ,cosθ) , =(cosθ,1) ,

∴sin2θ﹣cos θ=0, 2 ∴2sinθcosθ=cos θ, ∵0<θ< ∴2tanθ=1, ∴tanθ= . 故答案为: . 点评: 本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式,属于基础题. 15. (5 分)若函数 y=x ﹣3x﹣4 的定义域为[0,m],值域为[﹣ [ ,3].
2

2

,∴cosθ≠0.

,﹣4],则 m 的取值范围是

考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 根据函数的函数值 f( )=﹣
2

,f(0)=﹣4,结合函数的图象即可求解
2

解答: 解:∵f(x)=x ﹣3x﹣4=(x﹣ ) ﹣ ∴f( )=﹣ ,又 f(0)=﹣4,



故由二次函数图象可知: m 的值最小为 ; 最大为 3. m 的取值范围是: ≤m≤3. 故答案[ ,3]

点评: 本题考查了二次函数的性质,特别是利用抛物线的对称特点进行解题,属于基础题. 16. (5 分) 已知菱形 ABCD 的边长为 2, ∠BAD=120°, 点 E, F 分别在边 BC, DC 上, BC=3BE, DC=λDF,若 考点: 专题: 分析: 解答: ∴ = = + ? =1,则 λ 的值为 2.

平面向量数量积的运算. 平面向量及应用. 根据向量的基本定理,结合数量积的运算公式,建立方程即可得到结论. 解:∵BC=3BE,DC=λDF, , = = + = , + , = + = + = + ,

∵菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120°, ∴| ∵ ∴( 即 ×4+ 整理得 |=| ? + |=2, =1, )?( ×4﹣2(1+ , + )= )=1, + +(1+ ) ? =1, ? =2×2×cos120°=﹣2,

解得 λ=2, 故答案为:2. 点评: 本题主要考查向量的基本定理的应用,以及数量积的计算,要求熟练掌握相应的计 算公式. 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 3 2 17. (10 分)已知函数 f(x)=x +bx ﹣ax 在 x=1 处有极小值﹣1. (1)求 a,b 的值; (2)求出函数 f(x)的单调区间. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 3 2 分析: (1)已知函数 f(x)=x +bx ﹣ax 在 x=1 处有极小值﹣1,即 f(1)=﹣1,f′(1) =0,所以先求导函数,再代入列方程组,即可解得 a、b 的值; (2)分别解不等式 f′(x)>0 和 f′(x)<0,即可得函数 f(x)的单调增区间与单调递减区 间. 2 3 2 解答: 解: (1)∵f′(x)=3x +2bx﹣a,函数 f(x)=x +bx ﹣ax 在 x=1 处有极小值﹣1, ∴f(1)=﹣1,f′(1)=0 ∴1+b﹣a=﹣1,3+2b﹣a=0

解得 a=1,b=﹣1 ∴f(x)=x ﹣x ﹣x 2 (2)∵f′(x)=3x ﹣2x﹣1 ∴由 f′(x)=3x ﹣2x﹣1>0 得 x∈(﹣∞,﹣ )∪(1,+∞) 由 f′(x)=3x ﹣2x﹣1<0 得 x∈(﹣ ,1) ∴函数 f(x)的单调增区间为: (﹣∞,﹣ ) , (1,+∞) ,减区间为: (﹣ ,1) . 点评: 本题考查导数在求函数极值中的应用,利用导数求函数的单调区间,属于中档题.
2 2 2 3 2

18. (12 分)已知函数 f(x)=cosx?sin(x+ (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在[﹣ ,

)﹣

cos x+

,x∈R.

]上的最小值和最大值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)化简得 f(x)= (2)由 f(x)在[﹣ , ]上的最小值和最大值. ,从而可求 f(x)的最小正周期; ,所以可求

解答: 解: (1)∵ = = = = ; .

∴f(x)的最小正周期为 (2) 当 当 2x﹣ = ,即 ,即有 x=

时,f(x)取最小值 时,f(x)取最大值 .



点评: 本题主要考察三角函数中的恒等变换应用以及三角函数的周期性及其求法,属于中 档题. 19. (12 分)函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(0)=0,当 x>0 时,f(x)=log (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)解不等式 f(x ﹣1)>﹣2. 考点: 函数奇偶性的性质;函数解析式的求解及常用方法;绝对值不等式的解法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)由已知可以设 x<0,然后利用函数的奇偶性转化到﹣x>0,利用已知求出 x <0 时的解析式即可.用﹣x 代换 x,然后写出整个定义域上的函数的解析式. (Ⅱ)根据 f(x)= 在(﹣∞,0]上为增函数,结合奇偶性得出 f(x)在(0,
2

x.

+∞)上为减函数,将 f(a﹣1)<﹣1=f(1)转化成绝对值不等式|a﹣1|>1,解之即得. 解答: 解: (Ⅰ)∵当 x>0 时,f(x)=log x, 当 x<0 时,则﹣x>0, ∴f(﹣x)= ∵函数是偶函数, ∴f(﹣x)=f(x) . ∴f(x)= 又 f(0)=0, ,x<0



∴f(x)=



(Ⅱ)∵f(4)=
2

,函数 f(x)是偶函数,

∴不等式转化为 f(|x ﹣1|)>f(4) 又∵f(x)在(0,+∞)上是减函数, ∴|x ﹣1|<4, 解得: . ∴不等式的解集为( ) . 点评: 本题考查绝对值不等式的解法,函数的奇偶性,函数的解析式的求法,分段函数的 概念,奇偶性与单调性的综合应用.本题要做出整体代换, 20. (12 分) 如图△ ABC 中, 已知点 D 在 BC 边上, 满足 BD= .
2

?

=0. sin∠BAC=

, AB=3



(Ⅰ)求 AD 的长; (Ⅱ)求 cosC.

考点: 余弦定理的应用;正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (I)通过向量的数量积,判断垂直关系,求出 cos∠BAD 的值,在△ ABD 中,由余 弦定理求 AD 的长; (Ⅱ)在△ ABD 中,由正弦定理,求出 sin∠ADB,通过三角形是直角三角形,即可求 cosC. 解答: 解: (Ⅰ)∵ ∴AD⊥AC, ∴ ∵sin∠BAC= ∴ , …. (2 分)
2 2 2

?

=0,



在△ ABD 中,由余弦定理可知 BD =AB +AD ﹣2AB?ADcos∠BAD, 2 即 AD ﹣8AD+15=0, 解之得 AD=5 或 AD=3 …. (6 分) 由于 AB>AD, ∴AD=3…..(7 分) (Ⅱ)在△ ABD 中,由正弦定理可知 又由 可知 ∴ , = , , , ,

∵∠ADB=∠DAC+∠C,∠DAC= ∴ .…(12 分)

点评: 本题考查解三角形,余弦定理以及正弦定理的应用,考查计算能力.

21. (12 分)已知向量 =(m,cos2x) , =(sin2x,n) ,函数 f(x)= ? ,且 y=f(x)的图 象过点( , )和点( ,﹣2) .

(Ⅰ)求 m,n 的值; (Ⅱ)将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后得到函数 y=g(x)的图象,若 y=g (x)图象上的最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1,求 y=g(x)的单调递增区间. 考点: 平面向量数量积的运算;正弦函数的单调性;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: (Ⅰ)由题意可得 函数 f(x)=msin2x+ncos2x,再由 y=f(x)的图象过点( 和点( ,﹣2) ,解方程组求得 m、n 的值. ) ,根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得 ,可 , )

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 f(x)=2sin(2x+ g(x)=2sin(2x+2φ+

)的图象,再由函数 g(x)的一个最高点在 y 轴上,求得 φ=

得 g(x)=2cos2x.令 2kπ﹣π≤2x≤2kπ,k∈Z,求得 x 的范围,可得 g(x)的增区间. 解答: 解: (Ⅰ)由题意可得 函数 f(x)= ? =msin2x+ncos2x,

再由 y=f(x)的图象过点(



)和点(

,﹣2) ,可得



解得 m=

,n=1. sin2x+cos2x=2( sin2x+ cos2x)=2sin(2x+ ) .

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 f(x)=

将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后, 得到函数 g(x)=2sin[2(x+φ)+ ]=2sin(2x+2φ+ )的图象,显然函数 g(x)最高点的

纵坐标为 2. y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1, 故函数 g(x)的一个最高点在 y 轴上, ∴2φ+ =2kπ+ ,k∈Z,结合 0<φ<π,可得 φ= )=2cos2x. ≤x≤kπ, ,kπ],k∈Z. ,

故 g(x)=2sin(2x+

令 2kπ﹣π≤2x≤2kπ,k∈Z,求得 kπ﹣ 故 y=g(x)的单调递增区间是[kπ﹣

点评: 本题主要考查两个向量的数量积公式,三角恒等变换,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 变换规律,余弦函数的单调性,体现了转化的数学思想,属于中档题. 22. (12 分)已知函数 f(x)=xe (Ⅰ)求函数 f(x)的极值;
﹣2x

(x∈R) .

(Ⅱ)若函数 y=h(x)的图象与函数 y=f(x)的图象关于直线 f(x)>h(x) . (Ⅲ)如果 x1≠x2,且 f(x1)=f(x2) ,证明:x1+x2>1.

对称.求证:当 x> 时,

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数在某点取得极值的条件. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求导函数,由导数的正负,可得函数的单调区间,从而可求函数的极值; (Ⅱ)构造函数 F(x)=f(x)﹣h(x) ,证明函数 F(x)在( ,+∞)上是增函数,即可证 得结论; (Ⅲ)由(Ⅰ)知函数在(﹣∞, )上是增函数,在( ,+∞)上是减函数,f(x1)=f(x2) , 不妨设 x1< ,x2> ,由(Ⅱ)可得 f(x2)>h(x2)=f(1﹣x2) ,利用 f(x) (﹣∞, ) 上是增函数,即可得出结论. 解答: (Ⅰ)解:求导函数,f′(x)=(1﹣2x)e
﹣2x

,令 f′(x)=0,解得 x=

由 f′(x)>0,可得 x< ;由 f′(x)<0,可得 x> , ∴函数在(﹣∞, )上是增函数,在( ,+∞)上是减函数 ∴函数在 x= 时取得极大值 f( )= ;
2x﹣2

(Ⅱ)证明:由题意,h(x)=f(1﹣x)=(1﹣x)e , ﹣2x 2x﹣2 令 F(x)=f(x)﹣h(x) ,即 F(x)=xe ﹣(1﹣x)e , ﹣ ﹣ 4x 2 2x ∴F′(x)=(2x﹣1) (e ﹣1)e , 当 x> 时,2x﹣1>0,∴e
4x﹣2

﹣1>0,∵e >0,∴F′(x)>0,

﹣x

∴函数 F(x)在( ,+∞)上是增函数 ∵F( )=0,∴x> 时,F(x)>F( )=0 ∴当 x> 时,f(x)>h(x) ; (Ⅲ)证明:由(Ⅰ)知函数在(﹣∞, )上是增函数,在( ,+∞)上是减函数,f(x1) =f(x2) , ∴不妨设 x1< ,x2> , 由(Ⅱ)可得 f(x2)>h(x2)=f(1﹣x2) , ∵f(x1)=f(x2) , ∴f(x1)>f(1﹣x2) ,

∵x1< ,1﹣x2< ,f(x) (﹣∞, )上是增函数, ∴x1>1﹣x2, ∴x1+x2>1. 点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,考查不等式的证明,构造函 数,确定函数的单调性是关键.


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