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双曲线及标准方程


双曲线及其标准方程 练习
一、选择题(每小题四个选项中,只有一项符合题目要求) 1.已知点 F1 (?4,0) 和 F2 (4,0) ,曲线上的动点 P 到 F1 、 F2 的距离之差为 6,则 曲线 方程为( ) A.

x2 y2 ? ?1 9 7
y2 x2 ? ? 1( y ? 0) 9 7

B.
<

br />C.

x2 y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ?1 9 7 9 7
x2 y2 ? ? 1( x ? 0) 9 7

D.

2. “ab<0”是“方程 ax2 ? by2 ? c 表示双曲线”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3. 动圆与两圆 x ? y ? 1 和 x ? y ? 8x ? 12 ? 0 都相切, 则动圆圆心的轨迹为 ( )
2 2 2 2

A.抛物线 B.圆 C.双曲线的一支 D.椭圆 4.P 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 上的一点,F 为一个焦点,以 PF 为直径的圆与圆 a2 b2

x 2 ? y 2 ? a 2 的位置关系是( )
A.内切 B.内切或外切 C.外切 D.相离或相交 5.双曲线 x ? y ? 1 的左焦点为 F,点 P 为左支的下半支上任一点(非顶点) ,则直
2 2

线 PF 的斜率的范围是( ) A. (-∞,0]∪[1,+∞)
1

B. (-∞,0)∪(1,+∞) C. (-∞,-1)∪[1,+∞) D. (-∞,-1)∪(1,+∞) 6.若椭圆

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? n ? 0) 和双曲线 ? ? 1(a ? b ? 0) 有相同的焦点 m n a b

F1 、 F2 ,P 是两曲线的一个公共 点,则 | PF1 | ? | PF2 | 的值是( )
A.m -a C. m ? a
2 2

B.

1 (m ? a) 2

D. m ? a

二、填空题 7.双曲线 2 x 2 ? y 2 ? m 的一个焦点是 (0, 3 ) , 则 m 的值是________ _。

8.过双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点且垂直于 x 轴的弦的长度为_______。 a2 b2

三、解答题 9.已知双曲线过点 A(-2,4) 、B(4,4) ,它的一个焦点是 F1 (1,0) ,求它的另一个焦 点 F2 的轨 迹方程。

10.已知 直线 y=ax+1 与双曲线 3x ? y ? 1相交于 A、B 两点,是否存在这样的实数
2 2

a,使得 A、B 关于直线 y=2x 对称?如果存在,求出 a 的值,如果不存在,说明理由。

11.A、B、C 是我方三个炮兵阵地,A 在 B 的正东相距 6km,C 在 B 的北偏西 30°相 距 4km,P 为敌炮兵 阵地,某时刻 A 发现敌炮阵地的某种信号,4 秒种后,B、C 才同时发 现这一信号,该信号的传播速度 为每秒 1km, A 若炮击 P 地,求炮击的 方位角。

答案与提示 一、1.D 2.A 3.C
2

4.B 5.B 6.A 二、7.-2 8.

2b 2 a

三、9.提示:易知 | AF 1 |?| BF 1 |? 5 由双曲线定义知 || AF 1 | ? | AF 2 ||?|| BF 1 | ? | BF 2 || 即 | 5? | AF2 ||?| 5? | BF2 || ① 5? | AF2 |? 5? | BF2 | 即 | AF2 |?| BF2 |

此时点 F2 的轨迹为线段 AB 的中垂线,其方程为 x=1(y≠0) ② 5? | AF2 |? ?(5? | BF2 |) 即 | AF2 | ? | BF2 |? 10

此时点 F2 的轨迹为以 A、B 为焦点,长轴长为 10 的椭圆,其方程为

( x ? 1) 2 ( y ? 4) 2 ? ? 1 (y≠0) 25 16
10.不存在 11.提示:以 AB 的中点为原点,正东、正北方向分别为 x 轴、y 轴建立直角坐标系, 则 A(3,0) ,B(-3,0) , c(?5,2 3) ,依题意|PB|-|PA|=4 ∴ P 点在以 A、B 为焦点的双曲线的右支上,其中 c=3,2a=4,则 b ? 5 ,方程为
2

x2 y2 ? ? 1( x ? 2) 4 5
又|PB|=|PC| ∴P 在线段 BC 的垂直平分线 x ? 3 y ? 7 ? 0 上

? x2 y2 ?x ? 8 ? 1( x ? 2) ? ? 联立 ? 4 解得 ? 5 ?y ? 5 3 ?x ? 3 y ? 7 ? 0 ?
又 k PA ? tan? ? 3 ∴α =60°

∴ P(8,5 3)

∴P 点在 A 点东偏北 60°处,即 A 炮击 P 地时,炮击的方位角为北偏东 30°

3


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