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平面向量线性运算


第一节

平面向量的基本概念及线性运算

1.向量的有关概念 (1)向量:既有大小又有 方向的量叫做向量,向量的大小 叫做向量的长度(或模). (2)零向量: 长度为0 的向量,其方向是任意的. (3)单位向量:长度等于 1个单位 的向量.

(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量.平行向量又 叫 共线向量.规定:

0 与任一向量平行. (5)相等向量:长度相等且方向 相同 的向量. (6)相反向量:长度相等 且方向 相反 的向量.

2.向量的加法和减法 (1)加法法则:服从三角形法则,平行四边形法则. 运算性质:a+b= b+a ;(a+b)+c=a+(b+c) . (2)减法与 加法 互为逆运算;服从三角形法则.

3.实数与向量的积 (1)实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λa,规定: ①长度:|λa|=|λ||a| ;②方向:当 λ>0 时,λa 与 a 的方 向相同;当 λ<0 时,λa 与 a 的方向相反;当 λ=0 时,λa =0. (2)运算律:设 λ、μ∈R,则:①λ(μa)= (λμ)a +μ)a= λa+μa ;③λ(a+b)= λa+λb . ;②(λ

4.平面向量共线定理 向量 b 与 a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ,

使得b=λa .

→ 与向量CD → 是共线向量,则 A,B,C,D 四点 1.向量AB 在一条直线上,这种说法正确吗?

→ 与向量CD → 是共线向量,则向 [提示] 不正确.若向量AB → 与CD → 所在的直线平行或重合,因此,A,B,C,D 不一 量AB 定共线.

2.a∥b 是 a=λb(λ∈R)的充要条件吗?
[提示] 当 a≠0,b=0 时,a∥bD?/a=λb,但 a=λb?a ∥b, ∴a∥b 是 a=λb(λ∈R)的必要不充分条件,不是充要条 件.

考向 1

平面向量的有关概念

【典例 1】 给出下列四个命题: ①若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b; → =DC → ,则四边形 ABCD 为平行四边形; ②若AB
③若 a 与 b 同向,且 |a |> |b |,则 a>b; ④λ,μ 为实数,若 λa=μb,则 a 与 b 共线. 其中假命题的个数为( A.1 B.2 ) C.3 D.4

[解析]

①不正确.|a |= |b |但 a、b 的方向不确定,故 a,

b 不一定相等; → → ②不正确.因为 AB=DC,A、B、C、D 可能在同一直线 上,所以 ABCD 不一定是四边形. ③不正确.两向量不能比较大小. ④不正确.当 λ=μ=0 时,a 与 b 可以为任意向量,满足 λa=μb,但 a 与 b 不一定共线.

[答案] D

【变式训练 1】 给出下列四个命题: ①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; ②若 a=b,b=c,则 a=c; ③若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b. 其中假命题的个数为( A.1 B.2 ) C.3 D.4

[解析] ①不正确.两个向量起点相同,终点相同,则两 向量相等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点. ②正确.根据向量相等的定义知. ③不正确.若 b=0 时,b 与 a、c 都平行,但 a、c 不一 定平行. ④不正确.a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a,b 同向.
[答案] C

考向 2 【典例 2】

平面向量的线性运算

(1)(2014· 哈尔滨四校联考)如图 441,在△ABC 中,∠A 1→ → → =60° , ∠A 的平分线交 BC 于 D, 若 AB=4, 且AD= AC+λAB 4 (λ∈R),则 AD 的长为( )

图 441 A.2 3 B.3 3 C.4 3 D.5 3

(2)(2014· 杭州二中模拟)设 O 是△ABC 的外心(三角形外 1→ 1 → → 接圆的圆心). 若AO= AB+ AC, 则∠BAC 的度数等于( 3 3 A.30° B.45° C.60° D.90°
[思路点拨] (1)利用 B, D, C 三点共线求 λ 后可计算 AD 的长. (2)利用条件判断 O 是△ABC 的重心, 可求∠BAC 的度数.

)

1 [解析] (1)因为 B,D,C 三点共线,所以有 +λ=1,解 4 3 得 λ= ,如图,过点 D 分别作 AC,AB 的平行线交 AB,AC 4 1 → → 3→ → 于点 M,N,则AN= AC,AM= AB,经计算得 AN=AM=3, 4 4 AD=3 3.

→ +AC → =2AD →. (2)取 BC 的中点 D,连接 AD,则AB → =2AD → ,又∵AD 为 BC 的中线, 由题意得 3AO ∴O 为△ABC 的重心. 又 O 为外心,∴△ABC 为正三角形,∴∠BAC=60° ,故 选 C.
[答案] (1)B (2)C

【规律方法】 在向量线性运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角 形中,运用平行四边形法则、三角形法则,利用三角形中位 线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向 量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.

【变式训练 2】

(2014· 课标全国卷Ⅰ)设 D,E,F 分别 )

→ +FC → =( 为△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则EB → A.BC → C.AD 1→ B. AD 2 1→ D. BC 2

→ +FC → =EC → +CB → +FB → +BC → [解析] 如图,EB

1 → → → → =EC+FB= (AC+AB) 2 1 → → = · 2AD=AD. 2
[答案] C

向量的线性运算

→ 2= 设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外,BC → +AC → |=|AB → -AC → |,则|AM → |=( 16,|AB ) A.8 B.4 C.2 D.1 【尝试解答】 如图所示,以 AB、 AC 为邻边构造平行四边形 ABDC, 且 AD、 BC 相交于一点 M. → +AC → =AD → ,AB → -AC → =CB → ,且 ∵AB
→ +AC → |= |AB → -AC → |, |AB → |= |CB → |,则四边形 ABCD 是矩 ∴ |AD 形. → 2= 16,得 |BC → |= 4, 由BC 1→ 1→ → ∴ |AM|= |AD|= |BC|= 2. 2 2
【答案】 C

2. O 是平面内一定点,A、B、C 是平面内不共线的三个点,动点 P
??? ? ???? ??? ? ??? ? AB AC OP ? OA ? ? ( ??? ? ? ???? ) 满足 AB AC ,λ∈[0,+∞),则点

P 的轨迹一定通过

△ABC 的
??? ? AB ??? ? 解析: AB ???? AC ???? AC

。 (外心,内心,重心,垂心选一) 。



→ 与AC → 方向的单位向量,设它们分 分别表示AB

??? ? ??? ? 别为 AB ' 与 AC ' ,设以它们为两条邻边的平行四边形是一个菱 ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? 形 AB′P′C′, AP ' 平分∠BAC, AP ' =λ( AB ' + AC ' )与 AP '

??? ? ??? ? ??? ? 的方向相同, 也平分∠BAC.由 OP ? OA ? AP 知 P 的轨迹为∠ BAC 的平分线,一定通过△ABC 的内心.

共线向量定理的应用

设两个非零向量 e1 和 e2 不共线. → =e1- e2,BC → =3e1+2e2,CD → =-8e1-2e2,求证: (1)如果AB A、C、D 三点共线. → =e1+ e2,BC → = 2e1-3e2,AF → =3e1-ke2,且 A、C、 (2)如果AB F 三点共线,求 k 的值.
→ =e1-e2,BC → =3e1+2e2, 【解答】 (1)AB → =AB → +BC → =4e1+e2,又CD → =-8e1-2e2 ∴AC → =-2AC → ,∴AC → 与CD → 共线, 所以CD 又∵与有公共点 C,∴A、C、D 三点共线. → =e1+e2,BC → =2e1-3e2,∴AC → =AB → +BC → =3e1-2e2. (2)∵AB ∵A、C、F 三点共线, → ∥AF → ,从而存在实数 λ,使得AC → =λAF →. ∴AC
∴3e1-2e2=3λe1-λke2,又 e1,e2 是不共线的非零向量,

所以实数 k 的值为 2.

例 4 已知 A、B、C 是平面内互异的三点,O 为平面上任意 → =xOA → +yOB → ,求证:A、B、C 三点共线的充要条 一点且OC 件是 x+y=1.
→ =λAB →, 【解析】 若 A、 B、 C 三点共线, 则存在 λ∈R 使得BC → -OB → =λ(OB → -OA → ), ∴OC → =OB → +λ(OB → -OA →) ∴OC → +(1+λ)OB →, =-λOA
? ?x=-λ 则? ? ?y=1+λ

,∴x+y=1.

→ =xOA → +yOB → =xOA → +(1-x)OB →, 若 x+y=1,又OC → -OB → =x(OA → -OB → ),∴BC → =xBA →. ∴OC ∴A、B、C 三点共线.

例 5 已知平面上不共线的四点 O、A、B、C,
??? ? AB ??? ? ??? ? ???? ??? ? 若 OA -4 OB +3 OC =0,则 BC =(

D)
D.3

1 A. 3

1 B. 2

C.2

??? ? ??? ? ???? 【解析】∵ OA -4 OB +3 OC =0 ??? ? ???? ??? ? ???? ∴ OA - OC =4( OB - OC ) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ∴ CA =4 CB ,∴ CB + BA =4 CB ??? ? BA ??? ? ??? ? ??? ? =3.故选 D. ∴ BA =3 CB ,∴ CB

【变式训练 3】 (1)(2013· 南昌模拟)已知向量 a,b 不共 线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果 c∥d,那么( A.k=1 且 c 与 d 同向 C.k=-1 且 c 与 d 同向 )

B.k=1 且 c 与 d 反向 D.k=-1 且 c 与 d 反向

(2)(2013· 青岛模拟)对于非零向量 a、b,“a+b =0”是 “a∥b”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

[解析] (1)∵c∥d, ∴c=λd, 即 ka+b=λ(a-b)=λa-λb,
? ?k=λ, ∴? ? ?-λ=1,

∴k=λ=-1,故选 D.

(2)由 a+b=0 知道 a 与 b 互为相反向量,从而 a∥b,充 分性成立. 由 a∥b 知 a=λb,λ≠-1 时,a+b≠0,∴必要性不成 立.

[答案] (1)D (2)A


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