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一般数列的求和方法


一般数列的求和方法 对于等差数列和等比数列而言, 我们采用倒序相加法和错位相减法来求他们 的前 项和, 而对于一般地数列我们可以从求等差数列和等比数列的前 项和的方 法受到启发,得到下面的几种方法,这些方法是我们求一般数列的通法,只要大 家能够理解这些方法的适用范围, 并且根据这些方法对新出现的数列都可以化为 下面的形式,那么数列的求和问题就不会太难。现将这些方法总结如下: 一 公式法 对这些比较简单常见的数列,我们可以记下他们的前 项和,在题目里我们 可以直接利用它们。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 例 1 求 的和。 解: 由等差数列的求和公式 得 二 分组结合法(裂项法) 若数列 的通项公式为 ,其中 、 中一个是等差数列,另一个是等比数列, 求和时一般利用分组结合法。 例 2 求数列 的前 项的和。 解:因为 所以 三 拆项相消法 若一个数列的每一项都可以化为两项之差, 并且前一项的减数恰与后一项的 被减数相同,求和时中间项互相抵消,这种数列求和的方法就是裂项相消法。 例 3,求 。 解:因为 所以 常见的拆项公式有: (1) (2) (3) (4) (5) 四 错位相减法 若数列 的通项公式 ,其中 、 中一个是等差数列,一个是等比数列求和时 一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比, 然后再将所得 新和式与原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和。这种方法叫错位相减法。 例 4 求数列 的前 项的和。 解: 两式相减,得 所以 五 倒序相加法 如等差数列的前 项和的求法就是采用这种办法,即先倒序书写这个数列, 然后再把原数列和倒写后的数列对应项相加可以求得原数列的前 项和。 例 5 求证: 证明: 设 ………………………….. ① 把①式右边倒转过来得 (反序) 又由 可得 …………..…….. ② ①+②得(反序相加) ∴ 六 数学归纳法 在 06 年的高考题中,出现了求数列 的通项公式,其中要先求出该数列 前 项和,然后根据其前 项和来求其通项公式。在求前 项和时没有用到前面我 们所提到的几种方法,而是根据归纳 猜想 验证即数学归纳法来得到的。 例 6 (06 年全国高考理科 22 题) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn-1,n =1,2,3,…. (Ⅰ)求 a1,a2; (Ⅱ) {an}的通项公式。 解:(Ⅰ)当 n=1 时,x2-a1x-a1=0 有一根为 S1-1=a1-1, 于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得 a1=12. 当 n=2 时,x2-a2x-a2=0 有一根为 S2-1=a2-12, 于是(a2-12)2-a2(a2-12)-a2=0,解得 a1=16. (Ⅱ)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0, 即 Sn2-2Sn+1-anSn=0. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,代入上式得 Sn-1Sn-2Sn+1=0① 由(Ⅰ)知 S1=a1=12,S2=a1+a2=12+16=23. 由①可得 S3=34. 由此猜想 Sn=nn+1,n=1,2,3,…. 下面用数学归纳法证明这个结论. (i)n=1 时已知结论成立. (ii)假设 n=k 时结论成立,即 Sk=kk+1, 当 n=k+1 时,由①得 Sk+1=12-Sk,即 Sk+1=k+1k+2, 故 n=k+1 时结论也成立. 综上,由(i)、(ii)可知 Sn=nn+1 对所有正整数 n 都成立. 于是当 n≥

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