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26.2用函数观点看一元二次方程课件


回顾旧知
二次函数的一般式:

y ? ax ? bx ? c (a≠0)
2

x y x ______是自变量,____是____的函数。
当 y = 0 时,

ax? bx + c = 0 +

ax? bx + c = 0 +
这是什么方程? 一元二次方程与二 次函数有什么关系?

九年级上册 中我们学习了 “一元二次方程”

教学目标
【知识与能力】
总结出二次函数与x轴交点的个数与一 元二次方程的根的个数之间的关系,表述 何时方程有两个不等的实根、两个相等的 实数和没有实根。 会利用二次函数的图象求一元二次方程 的近似解。

【过程与方法】
经历探索二次函数与一元二次方程的关系 的过程,体会方程与函数之间的联系。

【情感态度与价值观】
通过观察二次函数图象与 x 轴的交点个数, 讨论一元二次方程的根的情况,进一步体会 数形结合思想。

教学重难点
二次函数与一元二次方程之间的关系。 利用二次函数图像求一元二次方程的实数根。 一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位 置关系的联系,数形结合思想的运用。 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

实际问题
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方 向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考 虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系:h= 20 t – 5 t 2 考虑下列问题: (1)球的飞行高度能否达到 15 m? 若能,需要 多少时间? (2)球的飞行高度能否达到 20 m? 若能,需要 多少时间? (3)球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么? (4)球从飞出到落地要用多少时间?

解:(1)当 h = 15 时, 20 t – 5 t 2 = 15 t 2 - 4 t +3 = 0 t 1 = 1,t 2 = 3

当球飞行 1s 和 3s 时,它的高度为 15m .

15 m
1s 3s

20 m
2s (2)当 h = 20 时, 20 t – 5 t 2 = 20 t 2 - 4 t +4 = 0 t1=t2=2 当球飞行 2s 时,它的高度为 20m .

(3)当 h = 20.5 时, t – 5 t 2 = 20.5 20 t 2 - 4 t +4.1 = 0 因为(-4)2-4×4.1 < 0 ,所以方程无实根。 球的飞行高度达不到 20.5 m.

20.5 m

0m 0s (4)当 h = 0 时, 20 t – 5 t 2 = 0 t 2- 4 t = 0 4s

t 1 = 0,t 2 = 4
当球飞行 0s 和 4s 时,它的高度为 0m ,即 0s时,球从地面飞出,4s 时球落回地面。

二次函数与一元二次方程的关系(1)

已知二次函数,求自变量的值

解一元二次方程的根

探究
下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有,求出交点坐标. y (1) y = 2x2+x-3 (2) y = 4x2 -4x +1
(3) y = x2 – x+ 1 o x

令 y= 0,解一元二次方程的根

y

(1) y = 2x2+x-3 解:当 y = 0 时, 2x2+x-3 = 0 (2x+3)(x-1) = 0 3 x 1 =- ,x 2 = 1 2 x 所以与 x 轴有交点,有两个交点。 二次函数的两点式

o

y =a(x-x1)(x- x 1)

y

(2) y = 4x2 -4x +1
解:当 y = 0 时, 4x2 -4x +1 = 0

o

x

(2x-1)2 = 0 1 x1=x2= 2 所以与 x 轴有一个交点。

y

(3) y = x2 – x+ 1
解:当 y = 0 时, x2 – x+ 1 = 0 因为(-1)2-4×1×1 = -3 < 0

o

x

所以与 x 轴没有交点。

二次函数与一元二次方程的关系(2)

确定二次函数图象与 x 轴的位置关系

解一元二次方程的根

二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点 的三种情况与一元二次方程根的关系 y=ax2+bx+c 的图象与x轴 ax2+bx+c = 0 的根

?有两个交点 ?有一个交点 ?没有交点

?有两个根 0 b2 – 4ac > ?有一个根(两个相同的根) b2 – 4ac = 0 ?没有根 < 0 b2 – 4ac

若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点,则 b2 – 4ac ≥ 0 ________________ 。

△ = b2 – 4ac
y △<0 △=0

△>0

o

x

课堂小结
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点 的三种情况与一元二次方程根的关系:
二次函数 一元二次方程 一元二次方程 2+bx+c的图 y=ax ax2+bx+c= 0根的判 ax2+bx+c= 0的根 象和x轴交点 别式Δ=b2-4ac 有两个交点 只有一个交点 没有交点 有两个不相 等的实数根 有两个相等的 实数根

b2 – 4ac > 0 b2 – 4ac = 0

没有实数根

b2 – 4ac < 0

随堂练习
1.不与x轴相交的抛物线是( D )
A. y = 2x2 – 3 C. y= -x2 – 3x B. y=-2 x2 + 3 D. y=-2(x+1)2 -3

2.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0,当 a>0,c<0时,图象 与x轴交点情况是( C) A. 无交点 C. 有两个交点 B. 只有一个交点 D. 不能确定

3. 如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两

1 个相等的实数根,则m=___,此时抛物线 y=x2-
1 2x+m与x轴有__个交点.
4.已知抛物线 y=x2 – 8x + c的顶点在 x轴上,

16 则 c =__.
5.若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则方 程 x2 + bx+ c =0 的根的情况是_____. b2-4ac < 0

6.抛物线 y=2x2-3x-5 与y轴交于点____, (0,-5) 与x轴交于点

(5/2,0) (-1,0)

.

7.一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1-2 ,
x2=5/3,那么二次函数 y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐

(-2,0) (5/3,0) 标是________.

8.已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关 于x的方程ax2 + bx + c-3 = 0根的情况是( A ) A. 有两个不相等的实数根

B. 有两个异号的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 y 3 . -1 o 1.3 x

x=-1

9.根据下列表格的对应值:

x
y=ax2+bx+c

3.23
-0.06

3.24
-0.02

3.25
0.03

3.26
0.09

判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x 的范围是( C )

A. 3< x < 3.23
C. 3.24 <x< 3.25

B. 3.23 < x < 3.24
D. 3.25 <x< 3.26

10. 已知抛物线 y1 ? 2x 2 ? 8x ? k ? 8 和直线 y2 ? mx? 1相交于点P(3,4m)。 (1)求这两个函数的关系式;

(2)当x取何值时,抛物线与直线相交,并求
交点坐标。

解:(1)因为点P(3,4m)在直线 y2 ? mx? 1 上,所以 4m ? 3m ? 1 ,解得m=1 所以 y1 ? x ? 1 ,P(3,4)。因为点P(3,4) y1 ? 2x 2 ? 8x ? k 上,所以有4=18- ?8 在抛物线 24+k+8 解得 k=2 2 所以 y1 ? 2 x ? 8x ? 10 ? y ? x ?1 ? (2)依题意,得 ? y ? 2 x ? 8 x ? 10 x ? 3 ? x ? 1 .5 解这个方程组,得 ? ? ? y ? 4 ? y ? 2.5 ? 所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3, 4),(1.5,2.5)。
2
1 2 1 2

习题答案
1. (1)略. (2)1,3.
2. (1)x1 = 1,x2 = 2;(2)x1 = x2 = -3 ; (3)没有实数根; (4)x1 = -1,x2 = 1 . 2 3. (1)略. (2)10m. 4. x = 1

知识巩固:
1.抛物线y=2x2-3x-5 与y轴交于点____,与 (0,-5) x轴交于点 (5/2,0) (-1,0) .

2.一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是 x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10 (-2,0) (5/3,0) 与x轴的交点坐标是_____.
归纳:一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为 x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标 是(x1,0),(x2,0)

3.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由 图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 -3.3 x1=1.3 ,x2=___ y
3
-1
o

.
1.3

A X=-1

思考:已知抛物线y=x2 + mx +m – 2 求证: 无论 m取何值,抛物线总与x轴有两个交点.

x

冲击中考:
1.若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则 无解 方程 x2 + bx+ c =0 的根的情况是_____.

2.直线 y=2x+1 与抛物线 y= x2 + 4x +3 无 有____个交点.

5、已知二次函数y=x2-mx-m2 (1)求证:对于任意实数m,该二次函数的图像与x轴 总有公共点; (2)该二次函数的图像与x轴有两个公共点A、B,且A 点坐标为(1、0),求B点坐标。
(1)证明 : 令y ? 0, 得2 x ? m x ? m ? 0
2 2

? ? ? (?m) ? 4 ? 2 m ? 9m ? 0
2 2 2

? 不论m取何值, 抛物线与x轴总有公共点 .
(2) ? A(1,0)在抛物线y ? 2 x ? m x ? m 上
2 2

? 0 ? 2 ?1 ? m ?1 ? m
2 2

2

即 m ? m ? 2 ? 0, (m ? 2)(m ? 1) ? 0 ? m1 ? ?2, m2 ? 1   B点坐标为 ?2,0) ? (

?


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