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河南省洛阳市2015届高三上学期期中考试数学理试题


2014-2015 学年河南省洛阳市高三(上) 期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的) 2 1. 设集合 M={x|x ﹣2x<0},N={x||x|<1}则 M∩ N=( ) A. (﹣1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(0,2) 考点:交集及其运算. 专题:计算题. 分析:根据题意, 由一元二次不等式的解法可得集合 M, 由绝对值不等式的解法可得集合 N, 进而有交集的意义可得答案. 2 解答: 解:集合 M={x|x ﹣2x<0}={x|0<x<2}, N={x||x|<1}={x|﹣1<x<1}, 则 M∩ N={x|0<x<1}=(0,1) , 故选 B. 点评:本题考查集合的交集运算,关键是求出集合 M、N. 2. 已知(1+ ) =a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位) ,则 a+b= A.﹣4 B.4 C.﹣7 D.7 考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:根据复数相等,求出 a,b 的值,然后利用复数的 几何意义即可得到结论. 解答: 解:由(1+ ) =a+bi 得 1+ ﹣4=a+bi, 即﹣3﹣4i=a+bi, 则 a=﹣3,b=﹣4, 解得 a=1,b=2, 则 a+b=﹣3﹣4=﹣7, 故选:C 点评:本题主要考查复数的基本运算,利用复数相等求出 a,b 是解决本题的关键,比较基 础. 3. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a6=18﹣a7,则 S12=( ) A. 18 B.54 C.72 D.108 考点:等差数列的前 n 项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式求解. 解答: 解:∵ 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,
2 2

a6=18﹣a7, ∴ S12= (a1+a12)

=6(a6+a7) =6×18 =108. 故选:D. 点评:本题考查等差数列的前 12 项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等差数 列的性质的合理运用. 4. 已知双曲线 ﹣ =1 的实轴长、虚轴长、焦距依次成等比数列,则其离心率为( )

A.

B.

C.

D.

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:由实轴长、虚轴长、焦距成等比数列可得 b =ac 再结合 b =c ﹣a 可得 c ﹣a =ac 即 2 e ﹣e﹣1=0 则可求出 e 解答: 解:∵ 双曲线 ∴ (2b) =(2a)?(2c) 2 ∴ b =ac 2 2 2 又∵ b =c ﹣a 2 2 ∴ c ﹣a =ac 2 ∴ e ﹣e﹣1=0 ∴ e= 又在双曲线中 e>1 ∴ e= 故选 A. 点评:此题主要考查了求双曲线的离心率.关键是要利用题中的条件建立 a,b,c 的关系式 再结合 c =a +b 和两边同除 ab 即得到关于 e 的方程求解即可,但要注意双曲线中 e>1,椭 圆中 0<e<1 这一隐含条件! 5. 已知向量 向量 =(2,0) ,向量 ) B.[ , ] C.[ , ] D.[ , ] =(2,2) ,向量 =( cosα, sinα) ,则向量 与
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



=1 的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列

的夹角范围为( ]

A. [0,

考点:数量积表示两个向量的夹角. 专题:计算题;数形结合. 分析:利用 CA 是常数,判断出 A 的轨迹为圆,作出 A 的轨迹;数形结合求出两个向量的 夹角范围. 解答: 解:| |= ,∴ A 点在以 C 为圆心, 为半径的圆上,

当 OA 与圆相切时对应的位置是 OA 与 OB 所成的角最大和最小的位置 OC 与 x 轴所成的角为 ;与切线所成的为 ;最大值为

所以两个向量所成的最小值为 故选 D

点评:本题考查圆的定义、数形结合求两个向量的夹角范围. 6.执行如图所示的程序框图,若输出的 S 是 127,则条件① 可以为( )

A. n≤5 B.n≤6 C.n≤7 D.n≤8 考点:程序框图. 分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用 n 是累加 2 的值到 S 并输出 S. 解答: 解:循环前,S=1,n=1

第一次循环:S=1+2=3,n=1+1=2,继续循环; 2 第二次循环:S=3+2 =7,n=2+1=3,继续循环; 3 第三次循环:S=7+2 =15,n=3+1=4,继续循环; 4 第四次循环:S=15+2 =31,n=4+1=5,继续循环; 5 第五次循环:S=31+2 =63,n=5+1=6,继续循环; 6 第六次循环:S=63+2 =127,n=6+1=7,停止循环,输出 S=127. 故选 B. 点评:算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序 填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:① 分支的条件② 循环的条件③ 变量的赋值④ 变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的 含义而导致错误.
x

7. 已知 p: ≤2 ≤ ,q:﹣ ≤x+ ≤﹣2,则 p 是 q 的(



A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:首先对 p,q 两个命题进行整理,得到关于 x 的范围,把两个条件对应的范围进行比 较,得到前者的范围小于后者的范围,即属于前者一定属于后者,但是属于后者不一定属于 前者,得到结论. 解答: 解:p: ≤2 ≤ ,即为﹣2≤x≤﹣1,q:﹣ ≤x+ ≤﹣2,即为﹣2≤x≤﹣ ∴ 属于前者一定属于后者,但是属于后者不一定属于前者, ∴ 前者是后者的充分不必要条件, 故选:A 点评:本题考查必要条件, 充分条件与充要条件的判断, 本题解题的关键是对于所给的条件 进行整理,得到两个条件对应的集合的范围的大小,本题是一个基础题 ]内任取的一个实数,则使得 y≤sinx 的取值的概率是( C. D.
x

8.已知 x、y 都是区间[0, A. B.



考点:几何概型;定积分. 专题:概率与统计. 分析:根据几何概型的概率公式,结合积分的应用求出对应的面积即可得到结论. 解答: 解:此题为几何概型,事件 A 的度量为函数 y=sinx 的图象在 成的图形的面积, 内与 x 轴围



,则事件 A 的概率为



故选 A 点评:本题主要考查几何概型的概率计算以及利用积分求面积, 要求熟练掌握几何概型的求 解方法.

9.

的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为(



A.﹣40 B.﹣20 C.20 D.40 考点:二项式系数的性质. 专题:计算题. 分析:给 x 赋值 1 求出各项系数和,列出方程求出 a;将问题转化为二项式的系数和;利用 二项展开式的通项公式求出通项,求出特定项的系数. 解答: 解:令二项式中的 x 为 1 得到展开式的各项系数和为 1+a ∴ 1+a=2 ∴ a=1 ∴ = ∴ 展开式中常数项为 ∵ 的 的系数和
r 5﹣r

=

展开式的通项为 Tr+1=(﹣1) 2

C5 x

r 5﹣2r

令 5﹣2r=1 得 r=2;令 5﹣2r=﹣1 得 r=3 2 3 展开式中常数项为 8C5 ﹣4C5 =40 故选 D 点评:本题考查求系数和问题常用赋值法、 考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式 的特定项问题.

10. 若 f(x)=2cos(ωx+φ)+m,对任意实数 t 都有 f(t+ 则实数 m 的值等于( ) A.±1 B.﹣3 或 1 C.±3 考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题:计算题. 分析:通过 f(t+

)=f(﹣t) ,且 f(

)=﹣1

D.﹣1 或 3

)=f(﹣t) ,判断函数的对称轴,就是函数取得最值的 x 值,结合 f(



=﹣1,即可求出 m 的值.

解答: 解:因为 f(x)=2cos(ωx+φ)+m,对任意实数 t 都有 f(t+

)=f(﹣t) ,

所以函数的对称轴是 x=

,就是函数取得最值,又 f(

)=﹣1,

所以﹣1=±2+m,所以 m=1 或﹣3. 故选 B. 点评:本题是基础题,考查三角函数的对称轴的应用,不求解析式,直接判断字母的值的方 法,考查学生灵活解答问题的能力. 2 11. 过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点, 点 O 是原点, 若|AF|=3, 则△ AOF 的面积为( ) A. B. C. D.2

考点:抛物线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:利用抛物线的定义,求出 A 的坐标,再计算△ AOF 的面积. 解答: 解:抛物线 y =4x 的准线 l:x=﹣1. ∵ |AF|=3, ∴ 点 A 到准线 l:x=﹣1 的距离为 3 ∴ 1+xA=3 ∴ xA=2, ∴ yA=±2 , ∴ △ AOF 的面积为 = .
2

故选:B. 点评:本题考查抛物线的定义,考查三角形的面积的计算,确定 A 的坐标是解题的关键. 12. 设 f(x)是定义在 R 上的函数,其导函数为 f′ (x) ,若 f(x)+f′ (x)>1,f(0) x x =2015,则不等式 e f(x)>e +2014(其中 e 为自然对数的底数)的解集为( ) A. (2014,+∞) B. (﹣∞,0)∪ (2014,+∞) C. (﹣∞,0)∪ (0,+∞) D. (0,+∞) 考点:函数单调性的性质. 专题:导数的综合应用. x x 分析:构造函数 g(x)=e f(x)﹣e , (x∈R) ,研究 g(x)的单调性,结合原函数的性质 和函数值即可求解. x x 解答: 解:设 g(x)=e f(x)﹣e , (x∈R) , x x x x 则 g(x)=e f(x)+e f′ (x)﹣e =e [f(x)+f′ (x)﹣1], ∵ f(x)+f′ (x)>1,∴ f(x)+f′ (x)﹣1>0,∴ g′ (x)>0, ∴ y=g(x)在定义域上单调递增, x x ∵ e f(x)>e +2014,∴ g(x)>2014, 0 0 又∵ g(0)=e f(0)﹣e =2015﹣1=2014, ∴ g(x)>g(0) ,∴ x>0 故选:D.

点评:本题考查函数单调性与奇偶性的结合, 结合已知条件构造函数, 然后用导数判断函数 的单调性是解题的关键,属于中档题. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40.则 a5+a7= 160 . 考点:等比数列的性质. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析:设出等比数列的首项和公比,由已知列方程组求出首项和公比,即可求出 a5+a7. 解答: 解:设等比数列的公比为 q, ∵ a2+a4=20,a3+a5=40, 3 2 4 ∴ a1q+a1q =20,a1q +a1q =40, 解得 a1=q=2 n﹣1 n ∴ an=a1q =2 , ∴ a5+a7=160, 故答案为:160. 点评:本题考查的知识点是等比数列的前 n 项和, 等比数列的通项公式, 其中根据已知构造 关于首项和公比的方程组,是解答的关键.

14. (2014?嘉定区三模)若实数 x,y 满足

如果目标函数 z=x﹣y 的最小值为

﹣1,则实数 m=

5 .

考点:简单线性规划. 专题:计算题. 分析:画出不等式组表示的平面区域, 根据目标函数的解析式形式, 分析取得最优解的点的 坐标,然后根据分析列出一个含参数 m 的方程组,消参后即可得到 m 的取值 解答: 解:画出 x,y 满足的可行域如下图: 可得直线 y=2x﹣1 与直线 x+y=m 的交点使目标函数 z=x﹣y 取得最小值, 由 可得,

代入 x﹣y=﹣1 得 ∴ m=5 故答案为:5

点评:如果约束条件中含有参数, 先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域, 分析取得 最优解是哪两条直线的交点,然后得到一个含有参数的方程(组) ,代入另一条直线方程, 消去 x,y 后,即可求出参数的值. 15. 如图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这 个多面体的体积为 .

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题. 分析:三视图复原的几何体是四棱锥,利用几何体的数据求解几何体的体积即可. 解答: 解:由题意可知三视图复原的几何体是底面为边长为 2 的正方形, 一条侧棱垂直底面正方形的顶点的四棱锥,并且棱锥的高为 2, 所以几何体的体积为: 故答案为: . = .

点评:本题考查三视图与几何体的直观图的关系,考查空间想象能力与计算能力.

16. 函数 f(x)=

的最大值与最小值之积等于 ﹣



考点:函数的最值及其几何意义. 专题:计算题;不等式的解法及应用. 分析:分类讨论,利用基本不等式,求出函数 f(x)= 得出结论. 解答: 解:f(x)= x=0 时,f(0)=0, x≠0 时,f(x)= , = , 的最大值与最小值,即可

x>0 时,x+ ≥2, ∴ 0<f(x)≤ , x<0 时,x+ ≤﹣2, ∴ ﹣ ≤f(x)<0, 综上,∴ ﹣ ≤f(x)≤ ,

∴ 函数 f(x)=

的最大值与最小值之积等于﹣ .

故答案为:﹣ .

点评:本题考查函数的最值及其几何意义, 考查基本不等式, 考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 2 17. (12 分) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且∠ A 满足: 2cos A﹣2 ﹣1. (Ⅰ )若 a=2 ,c=2,求△ ABC 的面积; (Ⅱ )求 的值.

sinAcosA=

考点: 余弦定理;三角函数中的恒等变换应用;正弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ )已知等式左边利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简,再利用两角和与差的 正弦函数公式变形,利用特殊角的三角函数值求出 A 的度数,进而得到 sinA 的值,再由 a 与 c 的值,利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC 面积; (Ⅱ )原式分子分母利用正弦定理变形,再利用两角和与差的余弦函数公式化简,约分即可 得到结果. 2 解答: 解: (Ⅰ )∵ 2cos A﹣2 sinAcosA=﹣1, ∴ 1+cos2A﹣ sin2A=1﹣2 ( sin2A﹣ cos2A) =1﹣2sin (2A﹣ ) =﹣1, 即 sin (2A﹣ )

=1, ∵ A 为三角形内角,即 0<A<π, ∴ 2A﹣ ∴ 2A﹣ ∈(﹣ = , ) , ,

,即 A=

在△ ABC 中,由余弦定理得:cosA= 解得:b=4 或 b=﹣2(舍去) , ∴ S△ABC= bcsinA= ×4×2× (Ⅱ )已知等式 利用正弦定理 = = =2 ; , =2R,

=

= ,

变形得: = = =

=

=2.

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,以及特殊角的三角函数值,熟练 掌握定理及公式是解本题的关键. 18. (12 分)某旅行社为 3 个旅游团提供甲、乙、丙、丁共 4 条旅游线路,每个旅游团任选 其中一条. (1)求恰有 2 条线路没有被选择的概率; (2)设选择甲旅行线路的旅游团数为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望. 考点:离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题:概率与统计. 分析: (Ⅰ )利用等可能事件概率计算公式能求出恰有两条线路没有被选择的概率. (Ⅱ )设选择甲线路旅游团数为 ξ,则 ξ=0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出 ξ 的分布列和数学期望. 解答: (Ⅰ )恰有两条线路没有被选择的概率为: P= = .

(Ⅱ )设选择甲线路旅游团数为 ξ,则 ξ=0,1,2,3, P(ξ=0)= = ,P(ξ=1)= = ,

P(ξ=2)= ∴ ξ 的分布列为: ξ P ∴ 期望 Eξ=0×

=

,P(ξ=3)=

=



0

1

2

3

+1×

+2×

+3×

= .

点评:本题考查概率的求法, 考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法, 解题时要认 真审题,是中档题.

19. (12 分)如图,在直三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中,AB⊥ AC,AB=AC=2,AA1=4,点 D 是 BC 的中点. (1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值; (2)求平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值.

考点:与二面角有关的立体几何综合题;异面直线及其所成的角. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (1)以{ }为单位正交基底建立空间直角坐标系 A﹣xyz,利用向

量法能求出异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值. (2)分别求出平面 ABA1 的法向量和平面 ADC1 的法向量,利用向量法能求出平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的余弦值, 再由三角函数知识能求出平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的 正弦值. 解答: 解: (1)以{ }为单位正交基底建立空间直角坐标系 A﹣xyz,

则由题意知 A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(0,2,0) , A1(0,0,4) ,D(1,1,0) ,C1(0,2,4) , ∴ , =(1,﹣1,﹣4) ,

∴ cos<

>=

=

=



∴ 异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为 (2) 设平面 ADC1 的法向量为 ∵



是平面 ABA1 的一个法向量, , ,



,取 z=1,得 y=﹣2,x=2,

∴ 平面 ADC1 的法向量为 设平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角为 θ, ∴ cosθ=|cos< ∴ sinθ= >|=| = . |= ,



∴ 平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值为



点评:本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法, 考查平面与平面所成角的正弦值的求 法,解题时要注意向量法的合理运用.

20. (12 分)椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离

为 . (Ⅰ )求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ )若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直 径的圆过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ )利用两点间的距离公式可得 c,再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出 a, b;

(Ⅱ )把直线 l 的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系,再利用以 AB 为直径的圆过 椭圆的右顶点 D,可得 kAD?kBD=﹣1,即可得出 m 与 k 的关系,从而得出答案. 解答: 解: (Ⅰ )∵ 左焦点(﹣c,0)到点 P(2,1)的距离为 解得 c=1. 又 ,解得 a=2,∴ b =a ﹣c =3.
2 2 2

,∴



∴ 所求椭圆 C 的方程为:



(Ⅱ )设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由
2 2 2 2 2

得(3+4k )x +8mkx+4(m ﹣3)=0,
2

2

2

2

△ =64m k ﹣16(3+4k ) (m ﹣3)>0,化为 3+4k >m . ∴ , .

y1y2=(kx1+m) (kx2+m)=

=



∵ 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0) ,kAD?kBD=﹣1,∴



∴ y1y2+x1x2﹣2(x1+x2)+4=0,∴ 化为 7m +16mk+4k =0,解得 m1=﹣2k,
2 2 2 2





,且满足 3+4k ﹣m >0. 当 m=﹣2k 时,l:y=k(x﹣2) ,直线过定点(2,0)与已知矛盾; 当 m=﹣ 时,l:y=k ,直线过定点 . .

综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为

点评:本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、 直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到 根与系数的关系、圆的性质、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能 力和计算能力,属于难题.

21. (12 分)已知函数 f(x)= x ﹣ ex +e (x﹣1) (其中 e 为自然对数的底数) ,记 f(x) 的导函数为 f′ ( x) . (1)求函数 y=f(x)的单调区间; (2)求证:当 x>0 时,不等式 f′ (x)≥1+lnx 恒成立. 考点:利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)利用导数判断函数的单调性,求出单调区间; 2 x (2)当 x>0 时,令 h(x)=1+lnx+ex ﹣x﹣e x,求出导数 h′ (x) ,当 x=1 时,h′ (x)=0, x 由(1)得,e ﹣ex≥0,讨论当 x>1 时,当 0<x<1 时,导数的符号,从而得到 h(x)的最 大值,即可得证. 解答: (1)解: )∵ f(x)= x ﹣ ex +e (x﹣1) , ∴ f′ (x)=﹣ex +x+e (x﹣1)+e =x(e +1﹣ex) , x 令 y=e +1﹣ex,则 y′ =ex﹣e,y′ >0,得 x>1,y′ <0,得 x<1,则 x=1 取极小,也是最小, x 则 y≥1.即 e +1﹣ex>0 恒成立, 则 g′ (x)>0 得 x>0;g′ (x)<0 得 x<0. 故 g(x)的增区间为(0,+∞) ,减区间为(﹣∞,0) . 2 x (2)证明:当 x>0 时,1+lnx﹣f′ (x)=1+lnx+ex ﹣x﹣e x, 2 x 令 h(x)=1+lnx+ex ﹣x﹣e x, h′ (x)= +2ex﹣1﹣e x﹣e , 当 x=1 时,h′ (x)=0,由(1)得,e ﹣ex≥0, 当 x>1 时,h′ (x)<0,当 0<x<1 时,h′ (x)>0, 故 x=1 为极大值,也为最大值,且为 h(1)=0. 故当 x>0 时,h(x)≤h(1) ,即有 h(x)≤0, 故当 x>0 时,1+lnx﹣f′ (x)≤0,即 f′ (x)≥1+lnx. 点评:本题考查导数的应用:求单调区间、求极值,求最值,考查构造函数证明不等式恒成 立问题,转化为求函数的最值问题,应用导数求解,本题属于中档题. 下面的三个选作题,考生选择一个题作答【选修 4—1】几何证明选讲 22. (10 分) 如图,四边形 ABCD 内接于⊙ O,BD 是⊙ O 的直径,AE⊥ CD 于点 E,DA 平分 ∠ BDE. (1)证明:AE 是⊙ O 的切线; (2)如果 AB=2 ,AE= ,求 CD.
x x x 2 x x x 2 3 x

2

3

x

考点:与圆有关的比例线段. 专题:几何证明. 分析: (1)首先通过连接半径,进一步证明∠ DAE+∠ OAD=90°,得到结论. (2)利用第一步的结论,找到△ ADE∽ △ BDA 的条件,进一步利用勾股定理求的结果

解答: (1)证明:连结 OA,在△ ADE 中,AE⊥ CD 于点 E, ∴ ∠ DAE+∠ ADE=90° ∵ DA 平分∠ BDC. ∴ ∠ ADE=∠ BDA ∵ OA=OD ∴ ∠ BDA=∠ OAD ∴ ∠ OAD=∠ ADE ∴ ∠ DAE+∠ OAD=90° 即:AE 是⊙ O 的切线 (2)在△ ADE 和△ BDA 中, ∵ BD 是⊙ O 的直径 ∴ ∠ BAD=90° 由(1)得:∠ DAE=∠ ABD 又∵ ∠ BAD=∠ AED

∵ AB=2 求得:BD=4,AD=2 ∴ ∠ BDA=∠ ADE=∠ BDC=60° 进一步求得:CD=2 故答案为: (1)略 (2)CD=2

点评:本题考查的知识点:证明切线的方法:连半径,证垂直.三角形相似的判定,勾股定 理的应用. 【选修 4—4】坐标系参数方程

23.已知直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,在极坐标系(与直角坐标系

xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半径为极轴)中,曲线 C 的极坐标 方程为 ρ=4cosθ. (1)分别将直线 l 和曲线 C 的方程化为直角坐标系下的普通方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于 P、Q 两点,求|PQ|. 考点:参数方程化成普通方程;点的极坐标和直角坐标的互化. 专题:选作题;坐标系和参数方程. 分析: (1)消去参数,可得直线 l 的普通方程,圆 ρ=4cosθ,等式两边同时乘以 ρ,可得 曲线 C 的方程化为直角坐标系下的普通方程; (2)求出圆心和半径,再求出圆心到直线的距离,即可求|PQ|.

解答: 解: (1) 直线 l 的参数方程为

(t 为参数) , 普通方程为 y=

x+2

﹣2 ; 2 2 2 2 2 圆 ρ=4cosθ,等式两边同时乘以 ρ 得到 ρ =4ρcosθ,即 x +y =4x,即(x﹣2) +y =4; 2 2 2 2 (2)x +y =4x,即(x﹣2) +y =4,表示以(2,0)为圆心,半径等于 2 的圆. 圆心到直线的距离为 =1, ∴ |PQ|=2 =2 .

点评:本题考查参数方程化成普通方程、 极坐标方程化为直角坐标方程, 考查直线与圆的位 置关系,比较基础. 【选修 4—5】不等式选讲 24.设函数 f(x)= + 的最大值为 M.

(Ⅰ )求实数 M 的值; (Ⅱ )求关于 x 的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M 的解集. 考点:二维形式的柯西不等式;绝对值不等式. 专题:不等式的解法及应用.

分析: (Ⅰ )根据函数 f(x) = + = ? + ≤ ? =3, 求得实数 M 的

值. (Ⅱ )关于 x 的不等式即|x﹣1|+|x+2|≤3,由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥3,可得|x﹣ 1|+|x+2|=3.根据绝对值的意义可得 x 的范围. 解答: 解: (Ⅰ )函数 f(x) = 当且仅当 + = = ? + ≤ ? =3,

,即 x=4 时,取等号,故实数 M=3.

(Ⅱ )关于 x 的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M,即|x﹣1|+|x+2|≤3. 由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|(x﹣1)﹣(x+2)|=3, ∴ |x﹣1|+|x+2|=3. 根据绝对值的意义可得,当且仅当﹣2≤x≤1 时,|x﹣1|+|x+2|=3, 故不等式的解集为[﹣2,1]. 点评:本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用,绝对值的意义,绝对值三角不等式,属 于基础题.


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