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《建筑力学》全集


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一、《建筑力学》的任务 设计出既经济合理又安全可靠的结构 二、《建筑力学》研究的对象 静力学:构件、结构——外力 材料:构件——内力 结力:平面构件(杆系结构)——外力 三、《建筑力学》研究内容 1、静力学:研究物体外力作用写的平衡规律

对梁来说,要设计出合理的截面尺寸和配筋,则是以梁的内力为依据,则内力又是由外力产生, 外力都有哪些呢?外力大小如何? 这是属于静力学所研究的内容。
梁 柱
P

P

图1-1

图1-2

2、材力研究单个杆件: a. 强度:构件在外力作用下不出现断裂现象。 b. 刚度:构件在外力作用下不出现过大变形。 c. 稳定性:不发生突然改变而丧失稳定。 3、结力研究体系: a. 强度:由于荷载、温度、支座下陷引起的结构各部分的内力,计算其大小。 b. 刚度:由荷载、温度、支座下陷引起的结构各部分的位移计算。 c. 稳定性:结构的几何组成。

位移

图1-3

P

P

不稳定 图1-4

稳定

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1-1 力和平衡的概念
一、力的概念。 1、定义 2、三要素:①大小。②方向。③作用点。 3、单位:国际单位制 N、KN。 二、刚体和平衡的概念。 1、刚体: 2、平衡: 三、力系、等效力系、平衡力系。 1、力系: a、汇交力系 b、力偶系 c、平面力系。(一般) 2、等效力系: a、受力等效——力可传递性。 M2 b、变形等效。 M1 3、平衡力系: M3 a、汇交力系:Σ X=0,Σ Y=0 b、力偶系:Σ M=0 c、一般力系:Σ X=0,Σ Y=0,Σ M=0。

P 3

P 1
P 1 P 2 m P 3

P 2

1-2、静力学公理
公理1:二力平衡公理 一个刚体受到两个力的作用,这两个力大小相等,方向相反,作用在一条直线上,这个刚体则平衡.(因 为一对平衡力使物体的运动效果为零).讲例 公理2:加减力系平衡公理 一个刚体上增加或减去若干对"平衡力",则刚体保持其原有运动状态. 推理:力的可传递性.(注:不适用于求内力) 证明: 刚体原作用F1,如沿F1作用线加一对平衡力(F2,F3),使F1=F2=-F3,此F1与F3 可视为一对平衡力系.据公理2减去F3与F1,则相当于F1从A点移至B点.
F3

B F 1 A F 2

F2 A F3 图1-7

R F1

图1-6

公理3:力的平行四边形法则(略讲) 推理:"三力汇交平衡" 一个物体受到三个力的作用而处于平衡,则这三个力的作用线必交于一点. 证明: 刚体受F1,F2,F3作用而平衡,F1与F2可传递到交于A点,R是其合力,F必定通过A点 并与R在一条直线上且相等.(形成一对平衡力). 公理4:作用力与反作用力.中学讲过,略讲

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1-3、约束与约束力
一、约束反力 1、约束:限制别的物体朝某一个方向运动的物体。如柱是梁的约束。 2、约束反力:由约束来给予被约束物体的作用力,称为约束反力,简称为反力。 3、如何分析约束反力。 (1)根据物体运动的趋势决定是否有约束反力(存在性)。 (2)约束反力的方向与物体运动趋势方向相反(方向性)。 (3)约束反力的作用点就在约束物和被约束物的接触点(作用点)。

T A A N

T

(a) 图1-8

(b)

在(a)图中,对球体来看:球体虽在A处与墙体有接触,但球体没有运动趋势,所以没有 (运动)反力。在(b)图中,球体与墙在A点不仅有接触点,球体同时还有向左的运动趋势。 二、约束的几种基本类型和约束的性质。 1、柔体约束:方向:指向:背离被约束物体。(拉力) 方位:在约束轴线方位。 表示:T。 2、光滑接触面:方向:指向:指向被约束物体。(压力) 方位:沿接触面的法线方位。 表示:N。 3、园柱铰链:方向:指向:假设。 方位:不定,故可用在 x,y 轴分力表示。 4、链杆约束:方向:指向:假设 方位:沿链杆轴线方位。 三、支座和支座力 1、支座:建筑物中支承构件的约束。 2、支座反力:支座对构件的作用力叫支座反力。 3、支座的类型: (1)、固定铰支座:受力特性与圆柱铰链相同,形成不同。


简图 简支梁

受力图

图1-13

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(2)、可动铰支座:受力特性与链杆约束相同,形式不同。
受力图 简支梁
图1-14

简图

(3)、固定端支座: 方向: 指向:假设。 方位:不定。

悬臂梁

简图

受力图

图1-15

1-4、受力图
一、画受力图步骤 1、确定研究对象。 2、取出研究对象。 3、在研究对象上画出所受到的全部主动力。 4、分清约束类型,在研究对象上画出所有约束反力。 讲例题 二、画受力图注意的几个问题。 1、分析系统各构件受力图,应先找出二力杆分析,再分析其它。 2、如果研究对象是物体系统时,系统内任何相联系的物体之间的相互作用力都不能画出。 3、作用力方位一经确定,不能再随意假设。 说明:以上内容通过教科书例题讲解。另外增加例题。 例:指出并改正图中示力图的错误。

A C G B NB 图1-16 A C G

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1-5、荷载
1、分类 按作用时间:恒载 活载 偶然荷载 按作用范围:集中荷载 分布荷载 按作用性质:静力荷载 动力荷载 按作用时间:固定荷载 移动荷载 2、简化、计算。 (1)截面梁自重的计算
q

h b l

l 图1-17

已知:截面尺寸 h,b;梁单位体积重γ (KN/m ) 求:线荷载 q. 解:此梁总重:Q=b.h.l. γ (KN) Q b.h.l.? 沿梁轴每米长的自重:q= = =b.h. γ (KN/m) l l (2)均布荷载化为均布线荷载。



1 b=

.49

l=5.97 图1-18

l=5.97

已知:板均布面荷载:q’(KN/m2);板宽 b;板跨度L(m) 求:q(KN/m) 解:板上受到的全部荷载:Q=q’.b.L(KN) 沿板跨度方向均匀分布的线荷载:q=
Q q ' .b.l = =b.q’(KN) L l

例如:①图中板自重11KN;②防水层的均布面荷载为:q’=300N/m2;③水泥沙浆找平层厚0.0 2m,γ =20KN/m3;④雪载:q’4=300N/m2. 求:将全部荷载化成沿板长的均布线荷载。 11 ? 1000 解:q1’= =1237N/m2; 1.49 ? 5.97 q2’=300N/m2; (1.49 ? 5.97 ? 0.02) ? 20 ? 1000 q3’= =400N/m2 1.49 ? 5.97

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q4’=300N/m2 (总)q’=q1’+q2’+q3’+q4’=1237+300+400+300=2237N/m2 线载:q=
q ' (b.l ) 2237 ? (1.49 ? 5.97 ) = =3333N/m2。 5.97 l

2-1、平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、用图解法求合力。 作法: 1、平行四边形法则。 2、各力首尾相连。 注:合力大小和方向与各力相加的次序无关。 讲例题

F1 F4

F2 F2 F3 图2-1

R1

F3 R2 F4 R

二、平面汇交力系平衡的几何条件: 必要和充分条件是该力系的力多边形自行闭合。即R=0 说明:汇交力系中,未知力数超过两个就不能作出唯一的闭合多边形,故平面力系汇交用图解法 只能求出不超过两个未知力的问题。 讲书例题

2-2、力在坐标轴上的投影、合力矩定理
一、力在坐标轴上的投影 1、如何投影:自加两端向 x,y 轴作垂线,则在轴上两垂线的线段,称为力在该轴上的投影。 2、符号规定:力在坐标轴上的投影是代数量,有正负之分,当力投影与坐标轴一致时,投影为 正,反之为负。如:Fx=cosα .F,即:A‘B‘段 FY=sinα .F,即:A”B”段 讲例题。
y B" A" B A y

a

3、如果FXFY已知,则合力F的大小和方向也 可确定,据几何关系: F= F
X 2

A 图2-2

B'

x

? FY

2

;tgα =|

FY | FX

其中:α ——F 与 x 轴的夹角(锐角) F 的方向由 FX 和 FY 的正负确定。

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二、合力投影定理: 1、用平行四边形法求出平面汇交力系 P1、P2、P3 的合力 R。 2、P1X=ab;P2X=bc; p3x=-dc; RX=ab P1X+P2X+P3X=ab+bc-dc=ad=RX 即:P1X+p2X+P3X=RX;同理:P1y+P2y+P3y=Ry 由此,得出合力投影定理: 合力在两坐标轴上的投影等于各个分力在同一 坐标轴 上投影的代数和: 即:RX=P1X+P2X+3X=∑X PY=P1Y+P2Y+P3Y=∑y ∑X——各力在 X 轴上投影的代数和; ∑Y——各力在 Y 轴上投影的代数和。 2——3 平面汇交力系的合成与平衡的解析法 三、合成: 大小:R= (? Rx ) 2 ? (? x 2 ? ? y 2 ) = ? x 2 ? ? y 2 方向:tgα =|

y

P P3 R

P

b a d 图2-3 c

x

FY | FX

α —— R 与 X 轴的夹角

合力所在象限由∑y、∑x 的正负号确定。 讲书中例题。 四、平衡条件 R=0,即:∑x=0;∑y=0 则:∑x=0 ∑y=0 五、平衡条件的应用: 讲书中例题

3—1、力对点之矩
一、力矩 1、什么叫力矩:一力 p 使物体饶某点 O 转动,O 点叫矩心,力 作用线到 O 点的垂直距离 d 叫力臂,力 p 的大小与力臂 d 的乘积

p的
叫力
d A M0(P)=-Pd 图3-1 P

p 对矩心 O 点之矩,简称力矩,以 M0( p )表示,数学表达式
M0( p )= ? pd 2、力矩的正负:逆时针为正,顺时针为负。 力矩是代数量。

为:

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3、力矩的单位:N.m,KN.m 讲例题。
a O d 图3-2 M (P)=-Pd Py p Px

3—2、合力矩定理
一、合力矩定理。 如图: M0( P )=-Pd=-P.a.sinα 又:将 p 用两分力 PX,PY 代替, M0( P X)=0;M0( P Y)=-a.P.sinaα 即:M0( P )= M0( P X)+ M0( P Y) 由此得:合力对力系作用平面内某一点的力矩等于各分力对同一点力矩的代数和。 讲例题

3—3 力偶及其基本性质
一、力偶和力偶矩 力偶:大小相等,方向相反,但不作用在一条直线上的两个相互平行的力叫力偶。 1、力偶矩:为了描述力偶对刚体的作用,我们引入了一个物理量——力偶矩。它等于力偶中的一个 力与其力偶臂的乘积。即:M= ? p ? d (d——两力间垂直距离)
P O x P 图3-4 d

P B d A P' 图3-3

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2、正负规定:逆时针为正,顺时针为负。 3、单位:N.M KN.M 4、力偶的性质: (1)、不能用一个力代替力偶的作用(即:它没有合力,不能用一个力代替,不能与一个力平 衡) (2)、力偶在任意轴上的投影为零。 (3)、力偶对所在平面上任意一点之矩恒等于力偶矩,而与矩心的位置无关。 如图:已知:力偶 M ? p ? d O 在 M 所在平面内任意一点, M 对 O 点之矩为:

M 0 ? —PX+P(X+d)
=-Px+Px+Pd =Pd

3—4 平面力偶系的合成与平衡
一、合成

d1 P 1
,

P 1
, P 3

P 2 d P 1 P 3 R, A B

R

m1=P 1 d1
P 2 d2
, P 1 , P 2

m 2=P 2 d2 , P 2

P2

,

d2 P2

m3=P 3 d3 图3-5

设 p1 ? p2 ? p3,则R ? p1 ? p2 ? p3

M ? R ? d ? ( p1 ? p2 ? p3 )d ? p1d1 ? p2 d 2 ? p3 d 3
= m1 ? m2 ? m3 ? ? m 结论:平面力偶系可合成为一个合力偶,其力偶矩等于各分力偶矩的代数和。 讲例题

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二、平面力偶系的平衡条件: 平面内所有力偶矩的代数和等于零。 即: ? m ? 0 注:力偶和;力偶矩是两个不同的概念。力偶是力使物体饶矩心转动效应的度量,其大小和转向与 矩心位置有关;力偶矩是力偶使物体转动效应的度量,力偶矩的大小与矩心的位置无关。 三、平衡条件的应用:讲书中例题。

3—5、力的平移法则
一、平移法则: 1、问题的提出:力平行移动后,和原来作用不等效,如何才能保持等效呢 2、力平移原理:
o

P 2

P

P

p2

p1
P

P

P

o

P

3

P

A

p3

R

P

M=Pd

P 1

P

m 3

P

M1

m

o

(1)在A点作用一力P (2)据加减平衡力系原理,在O点加一对平衡力 p ?,p??, 使

p? // p??, 且p? ? p?? ? p, O点到p距离为d
( 3 )力 p, p ?, p ?? 组成的力系与原来作用于A点的力 p 等效。 ( 4 )力系 p, p ?, p ?? 组成两个基本单元,一是力 p ? ,一是 p 和 p ?? 组成的力偶,其力偶矩为
M ? p?d

因此,作用于A点的力P可用作用于O点的力 p ? 和力偶矩 M ? F ? d 来代替。 定理:作用在物体上的力P,可以平行移到同一物体上的任一点O,但必须同时附加一个力 偶,其力偶矩等于原力P对于新作用点O的矩。 反之,一个力和一个力偶可以合成一个力。

4 —1

平面一般力系向作用面内任意一点简化

一、主矢、主矩 1、简化原理 据“力平移法则”,可将平面一般力系中的各力平行与自身的作用线移到同一点O,从而把原 力系分解成平面力系汇交力系和平面力偶系,以达到简化。

m

1

2

R

o d

R

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2、简化内容: (1)将作用与物体上的一般力系 p1 , p2 ?? pn 向任一点O平移,得到一个汇交力系和一个对 应的力偶系。 (2)其合力R通过简化中心,并等于力系中原有各力的矢量和: ? R ? p1 x ? p 2 x ? ?? p n x ? ? x
? R y ? p1 y ? p 2 y ? ?? p n? y ? ? y R ? ? ( R ?x) 2 ? ( R ?y ) 2 ?

?x ??y
2

2

tg ? =

?y ?x

θ 是 R’和 X 轴夹角,R’称主矢,其指向由 RX’和 RY’的正负确定。

3、将各附加力偶合为一个合力偶。

M 0 ? M 0 ( p1 ) ? M 0 ( p2 ) ? ??? M 0 ( pn ) ? ? M 0 ( p)
R’—主矢;M0’—主矩; 注:R’并非原力系的合力,而只是作用在简化中心的平面汇交力系的合力,其大小和方向与简化 中心无关;M0’的大小和转向与简化中心有关,所以主矩必须明确简化中心。 二、合力。
? M ? F ? d又 ? 力的平移定理

? M0 ?d ? R?

即可确定出R的位置(作用点R方向)

讲例题 三、合力矩定理: 平面一般力系的合力对平面任一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。 证明: ? ? 由 R ? d ? M 0 , 而R ? d ? M 0 ( R ), M 0 ? ? M 0 ( F ) 则: M 0 (R) ? ? M 0 (F ) 四、简化结果的讨论 1.R =0,M 0 . ' ? 0 故原力系等效于一个力偶,合力偶矩为 M '0 ; 2.R ' ? 0 ,M '0 ? 0 主矢 R ' 就是原力系的合力,简化中心正好选在原力系的合力作用线上;汇交力系。
o

o M0

o

M0

R

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' 3.R ' ? 0, M 0 ?0

主矩、主矢可进一步合成为一个力 R,R 为原力系的合力。
' 4.R ' ? 0, M 0 ?0

显然原力系处于平衡。 五、平衡条件: R ' ? 0 ,即: M '0 ? 0

? x ? 0, ? y ? 0, ?m

0

?0



?x ? 0 ?y ?0 ?m ? 0
0

只要是未知力不超过三个的一般力系,都可以用此方程求解。

4—2 平面一般力系的平衡方程及其应用
一、平衡方程的三种形式 ?x ? 0 1、基本形式 ? y ? 0
0

P A B x

?m ? 0 ?m ? 0 2、二矩式: ? m ? 0 ?x ? 0
A B

若平面上有一点 A,满足 x 轴不于 A,B 连线垂直,则这个力系就不能简化为力偶,此力系 可能平衡,也可能有一个通过 A 点的合力 R。 若平面上有另一点 B ,且满足 ? mB ?P? ? 0, 则这个力可能平衡,也可能有一个通过 A,B 两点的 合力 R。 合力既要通过 A 点又要通过 B 点,那么只有在 A,B 的连线上。 3、三矩式:若 A,B,C 不共线。 ? mA ? 0 则: ? m B ? 0

?m

C

?0

这时,力偶不存在,也不可能有通过三个点,A,B,C 的力存在。

5-1 变形固体及其基本假设
一、变形固体 a、弹性变形 b 、塑性变形

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二、基本假设: 1、连续性:组成固体的粒子之间毫无空间。 2、均匀性:组成固体的粒子之间密集度相同。 3、各向同性:在固体的体积内各点力学性质完全相同。 4、小变形

5-2 杆件变性的基本(假设)形式
P
P P

一、四种基本形式: 1、轴拉(压): 2、剪切: 3、扭转: 4、弯曲:

P
m m
P

P

5-3 材力的任务
一、任务: 1、强度:材料或构件抵抗抗破坏的能力。如: 2、 刚度:材料或构件抵抗变形的能力。 3、稳定性:保持原有平衡状态的能力。
P P

f

max

图5-6

6-1 轴拉(压)时的内力,应力
一、轴向拉(压)的概念 力作用在杆的轴线上。

P

P

P

P

图6-1

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二、内力,截面法,轴力,轴力图 P 1、内力:外力作用而构件分子间的互相牵制力。 2、截面法,轴力,轴力图 N (1)向伸长:说明截面有拉力 (2)截面仍然垂直杆轴:说明内力均匀分布。 (3)轴力正负规定:拉(背离截面)为正,压(指向截面)为负。 (4)轴力图:直观反映内力变化规律。 三、轴向拉(压)应力 1、轴拉(压)横截面上的应力 (1) 应力:截面某点内力所分布的密集程度 (2) 单位:P a , MPa , GPa (1Pa ? 1 N (3) 应力:正应力——ζ 剪应力——η
m
2

P P

,1MPa ? 106 Pa,1GP ? 109 Pa,1MPa ? 1 N

m2



d d d 图6-3
Q p

B

轴力 NB

剪力

dQ ,两边同时积分:N=ζ A dA dQ 平衡于截面的应力:η = ;两边同时积分:Q=η A dA N (4) 拉(压)杆横街面上的应力:ζ = ; A N——轴力 A——面积 2、 轴向拉(压)杆斜截面上的应力。

垂直于截面的应力:ζ =

? ——从 x 轴标起,逆时针往 n 轴旋转为正,反之为负。
说明:斜截面与横截面虽说分布轴力密集程度不一样,但轴力的大小应该一样。

则: ?? ?

N? N ? cos? A? A

A P
图6-5 k

即: p? ? ? ? cos?

A
图6-6

P

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? ? ? p? ? cos? ? ? ? cos2 ?
? ? ? p? ? sin ? ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? sin 2?
1 2

? ? ——斜截面上的正应力(拉应力为正,压应力为负)

? ? ——斜截面上的剪应力(顺时针为正,逆时针为负)
3、最大应力。 当 ? ? 0? 时,? max ? ?(材料易从横截面拉断 ) 当 ? ? 45 ? 时, ? max ?

?
2

(材料易剪切破坏)

6—2、轴拉(压)杆的变形及虎克定律
一 、变形
P a
1

P

a

图6-7

(1)纵向变形: ?? ? ? 1 ? ? (2)横向变形: ?a ? a1 ? a
?? L 二、 纵向变形及虎克定律 pL pL N ? L ? ? 虎克定律 实验: ??? ,引入比例系数: ?? ? A EA EA

纵向线应变 ? ?

tga
o

E

a
图6-8

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式中:N—轴力;A—截面积; E—材料弹性模量; ?? —变形; ? —原长; EA—抗拉、压刚度 ?? N ? ?; ? ?代入 虎克定律的另一种形式:将 ? A 得: ? ? E ? A 注:虎克定律适用条件:杆截面应力不超过比例极限。 三 、 横纵向变形及泊松比 1、 横向变形: ? ? ?
?a a1 ? a ?? l1 ? l ? ? ;纵向变形: ? ? a a ? l

拉伸时: ? ? 为负, ? 为正;压缩时: ? ? 为正, ? 为负。 2、 实验所得: ? ?

?? ? 泊松比 ?

3、 横纵向应变的关系 ? ? ? ? ??

6—3 材料在拉伸、压缩时的力学性质
一 、概述 1、学性质主要研究: a、强度 b、变形 2、塑性材料——如低碳钢 3、脆性材料——如铸铁、混凝土、木材等 二、在拉伸时的力学性质: 1、试件取样: 试长件:l=10d 短试件:l=5d 2、拉伸图 应力——应变图

d l 标距

P B A o D

E F

l 拉伸图

强度极限 屈服极限 弹性极限 比例极限
p

b s e

E B G F

A

tga
O O1 g

E

应力—应变图

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说明:1、O1G//(OB);2、OO1——属塑性变形;3、01g——为弹性变形。 3、变形发展的四个阶段: (1)弹性阶段:(O——B)材料完全处于弹性阶段,最高应力在 B 点,称弹性极限(ζ e)。其 中 OA 段表示应力与应变成正比。A 点是其段最高值,称 为比例极限(ζ p),在 O——A 段标 ? 出 tgα = =E。因为ζ e 与ζ p s 数据相近。可近似 为弹性范围内材料服从虎克定理。 ? (2)屈服阶段:(B——D)材料暂时失去了抵抗外力的能力。此段最低应力 值叫屈服极限(ζ
s)。钢材的最大工作应力不得达到ζ s

(3)强化阶段:(D——E)材料抵抗外力的能力又开始增加。此段最大应力叫强度极限ζ (4)颈缩阶段:(E——F)材料某截面突然变细,出现“颈缩”现象。荷载急剧下降。 总结四个阶段: ? Ⅰ、弹性阶段:虎克定理ζ =Eε 成立,测出 tgα = =E ? Ⅱ、屈服阶段:材料抵抗变形能力暂时消失。 Ⅲ、强化阶段:材料抵抗变形的能力增加。 Ⅳ、颈缩阶段:材料抵抗弯形的能力完全消失。 4、塑性指标: (1)延伸率: ? ?
?1 ? ? ? 100 % ?

b

如果 ? ? 5%, 属塑性材料。

? ? 5%, 属脆性材料。
(2)截面收缩率: ? ?
A ? A1 ? 100% A

?愈大说明材料塑性越好 。
5、冷作硬化:将屈服极限提高到了 G 点,此工艺可提高钢材的抗拉强度,但并不提高钢材抗压强 度,故对受压筋不需冷拉。 三、铸铁的拉伸试验。

A

o

a

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1、近似视为ζ =Eε 在 OA 段成立; 2、只有ζ b 四、低碳钢压缩时力学性质: 1、强度极限无法测定。 2、 ?、E、? P、? S 与拉伸相同。 五、铸铁压缩试验。 1、没有屈服极限,只有强度极限。 2、在低应力区(0——A),近似符合 ? ? E ? ? 3、强度极限高出拉伸 4—5 倍。 六、塑性材料力脆性材料的比较(自学内容) 七、许用应力与安全系数:

?0 ?? ? = K

0 ? ?塑性材料? ? ? S,K ? 1.4 ? 1.7? ? ? ? ? 0 ? ?脆性材料? ? ? b,K ? 2.5 ? 3 ? ? 0

6-4 轴向拉(压)杆强度计算
一、强度条件: N ? max ? ? ?? ? A 二、强度三类问题: 1、强度校核: ? max ?
N ? ?? ? A

2、选择截面尺寸:A ?

?? ?

N

如果:槽钢、角钢查附表确定面积, A实 ? A理 3、确定最大外载: 说明:最大外载有两种确定形式:1、N=P 2、P 必须据题意,通过间接途径求得,如:

7—1、圆轴扭转时内力
一、扭转 1、力的特点、外力偶矩计算、扭矩和扭矩图 a. 力的特点:力偶的作用平面垂直于杆轴线 b. 外力偶矩计算 M k =9549N k /n (N·M) Mk=7024N p /n (N·M)

Mk Mk

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c. 扭矩、扭矩图 右手螺旋法: 拇指背离为正,反之为负

2、扭转变形分析: 看图:

(1)图周线间距不变; (2)各纵向平行线都倾斜了同一微小的角度 ? ,矩形成了平行四边形。 说明:(1)横截面没有正压力, (2)两截面发生错动 υ 是剪力变,则必 ? 有存在,并∑垂直于半径 ? x= ? y 大小相等,方向相反,互相垂直
1
Tx

γ

2

Ty '

Ty

1

Tx '

2

证明: ? y·A= ? y’·A ,形成一对力,据力偶平衡:上下面必有一对力与其平衡 3、应力公式推导: 三个方面:a、变形几何关系; b、物理关系 ;c、平衡关系 a、变形几何关系 看图 d x · ? ? =ρ d ?

? ? ——剪切角 ? ? = ? ·d ? /dx

d ? ——扭转角

说明: ? ? 垂直于半径 b、物理关系: 实验所得: ? ? = G· ? ? G——剪切弹性模量 由前式 : G=E/(1+ ? ' / ? )

? ' ——横向线应变

? ·(d ? /dx)·G= ? ?

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说明: ? ? 与 ? 成正比,并是一次函数, ? ? 垂直于半径 c、静力平衡关系: 微面积 d A 上的剪力: ? ? ·d A ,此剪力产生的微扭矩 d Mn = ? ? ·d A ’· ? 整个截面:Mn = =

?d
A

Mn

? ? ? ? ? ? ?dA
A

? ? ? G ? ? ? (d? / dx)d
A

A

? Gd? / dx? ? d A
1
Tx

2

Mn

dA

=G ? (d? / dx) ? I ? 即: Mn= I ? · ? ? / ? 上式写成: ? ? = ? ? Mn/Iρ Iρ = ? D4/32 Iρ = ? (D4-d4)/32 η (最大) ?
ρ

γ

2

—— 代入上式得 实圆:

Ty '

Ty

1

Tx '

2

Wn=Iρ /R= ?D 3 /16 Wn= ? (D4-d4)/16D
Mn

——横截面任一点剪应力
r

max=Mn·R/Iρ

=Mn/Wn
t

4、强度条件:

?

max=(Mn/Wn) ? [

?]

5、薄壁圆环: Mk=Mn Mn=2 ?r 2 t? 强度条件: 得 ? ? M n / 2?r 2t
2

?

max=Mmax/2 ?r

t ? [? ]

6、圆扭转的变形计算 由前式 :d ? =(Mn/GIρ )dx 两边积分

d ? ——相距为 dx 两横截面的相对转角

? = ? d ? = ? (M n / GI ? )d x =MnL/GIρ
l

l

0

7—2 轴扭转时的强度计算

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一、扭转时横截面上的 ? max 1、实心同轴及空心轴

? max ? M n / W?
Mn——扭矩(N·m)(KN·m) W ? ——扭转截面系数(m3) 二、强度条件: ? max ? M n / W? ? [ ? ] 三、强度“三类问题”; 1、强度校核: ? max ? M n / W? ? [ ? ] 2、选择截面尺寸: W ? ? M n /[? ] a、实心轴 W ? ? ?D3 / 16 , D ? 3 (16M N / ? [? ]) b、空心轴:W ? = ?D 3 (1- ? 4 )/16 D ? 3 (16 M N / ? (1 ? ? 4 )[? ]) 3、许用荷载: [M ? ] ? [ ? ]W ? 。再确定外载 讲例题

7—3、圆轴扭转时的刚度计算
一、同轴扭转时的变形:

? ? M n L / GI ?
式中:Mn——某截面扭矩 (N·m) (KN·m) l——同轴长(m) G——剪切弹性模量 Pa MPa GPa Iρ ——极惯性矩。(m4) GIρ ——截面抗扭刚度 二、刚度条件: 单位长度扭转角: ? / l ? M n vl / GI ? l ? M n / GI ? ? M n 1800 / GI ? ? 即: ? ? ? / l ? M n 1800 / GI ? ? ? [? / l ] ? [? ] [ ? ]——许用单位长度扭转角,——查规范 (弧度/米)

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讲例题!

8—1、静矩
一、静矩、形心 图形 A 对 Z 轴的静矩:Sz= ? yd A ? Ay c 图形 A 对 y 轴的静矩: Sy= ? zd A ? AZ c 据合力矩定理
y y z dA

形心: yc=Sz/A= ? yd A / A ? ? Ai y i / ? A i Zc=Sy/A= ? zd A / A ? ? Ai z i / ? A i

o

z

Sz ,Sy 的用途: 1 求形心。2 校核弯曲构件的剪应力强度 Sz ,Sy 的性质:1 可正,可负,可为零 。2 单位:m3,mm3,cm3 3 对不同的坐标有不同的静矩

组合截面图形的静矩计算: Sz= ? Ai yi 讲例题 二、组合图形形心的确定 Sy= ? Ai yi
z

50
求形心: 解;A1=300 ? 30 =9 ? 103 m m2 A2=50 ? 270 = 13.5 ? 103 mm2 A1,A2 形心到 Z 轴的距离 yc1 =15 yc2=165 Sz= ? Ai yi =A1yc1+A2yc2 =30 ? 300 ? 15 +50 ? 270(270/ 2 ? 30) ? 2.36?106 mm3 yc=Sz/A=2.36 ?106 mm3 /(9 ?103 ? 13.5 ?103 ) =105mm

C1 A 2 165 C C2 A1 300

270

30

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故: Zc=0

yc=105

注; 坐标轴的选择不影响形心的位置

8—2、惯性矩、惯性积、惯性半径
一、惯性矩 定义: y2dA——dA 面积对 z 轴的惯性矩 z2dA ——dA 面积对 y 轴的惯性矩
y z dA

?y ?z

2

d A ——截面对 z 轴的惯性矩:Iz d A ——截面对 y 轴的惯性矩:Iy
o

y

2

z

二、计算 (1) 矩形: a 截面对形心轴的 Iz,Iy 解:dA=bdy Iz= ? y d A = ?
2 A

y

h/2

dz dy z b

dA

y

?h / 2

y bd y =b[y /3]
DA=hdz

2

3

h/2 ?h / 2

=bh /12
dA b dz

3

dy x

Iy= ? z 2d A = ?
A

b/2

?b / 2

3 /2 z 2 hdA= h[z3/3] b ? b / 2 =hb /12

B 截面对 z,y 轴的 Iz,Iy 解:dA=bdy
h Iz= ? y 2 d A = ? y 2 bd y =b[y3/3] 0 =bh3/3
A

h

0

3 Iy= ? z 2d A = ? z 2 hdz = h[z3/3] b 0 =hb /3
A

b

0

(2)圆形截面: Iz,Iy 解:Iz=Iy= ?
d /2

?d / 2

y 2 dA == ?

d /2

?d / 2

y 2 ? 2 ? (d / 2) 2 ? y 2 d y = ?d 4 / 64

y dA dy y

dA= dy ? 2 ? (d / 2) 2 ? y 2 性质:1、惯性矩恒为正 2、同一截面图形对不同坐标轴有不同的惯性矩 圆形;Iz=Iy= ?d 4 / 64 环形:Iz=Iy= ?d 4 (1 ? ? 4 ) / 64 ( ? ? d / D )
d/2

z

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对其形心的惯性矩 ,其它图形查附录 (3)组合图形 Iz= ? I zi ; Iy= ? I yi 三、极惯性矩。 定义: I ? = ? ? 2d A
A
y

其中: ? =y +z
2

2

2

z

dA

? = ? ? 2d A = ? ( y 2 ? z 2 )d A
A A

y

= ? y 2 d A + ? z 2d A =Iz+Iy
A A

o

z

圆截面: I ? = ?D 4 / 32 环截面: I ? = ?D 4 (1 ? d 4 / D 4 ) / 32 四、惯性半径 在压杆稳定计算中,将惯性矩表示成:Iz=(iz)2·A 或 Iz= I z / A 1、矩形截面的: Iz= I z / A = bh3 / 12bh =h/( 12 ) iy= I y / A = bh3 / 12bh =b/( 12 ) 2、圆形截面: i= I / A =D/4 五、惯性积 定义;

?

A

yz z d A ——整个截面上微面积 dA 与它到 y,z 轴距离的乘积的总和称为截面对 y,z 轴
A

Iz,,y= ? y zd A

y dA y

1、惯性积可为正、负、零 2、如果图形有一对称轴,则 Iz,,y=0

c

z

y c

y z c

yc dA zc zc y

六、平行移轴定理: 平行移轴定理的引出: 一般情况下简单图形对任意轴的惯 性矩用积分法是比较容易的,但对组合图形用积分法就比较困 难,所以介绍平行移轴定理就可以利用 简单图形的已知结果求复杂对任意轴的惯性矩。

o

z

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推导: 已知:Izc ,Iyc 求:Iz , Iy ∵ z=zc+b, y=yc+a ∴Iz= ? y 2 d A =
A

? ( y ? a) d
2 A c A

A

=
A

? (y
A

2 c

? 2 yc a ? a 2 )d A

= ? y c2 d A +2a ? y c d A +a2 ? d A
A

其中 :

?

A

yc d A =Szc=0

?

A

y c d A =Izc

2

8—3、形心主惯性轴和形心主惯性矩的概念
1、主惯性轴:如 y、z 轴旋转到某个 ? ? ? 0 时 I y0 z 0 ? 0 ,则 z0,y0 称为主惯性轴,简称主轴(总可以找到这样一个轴) 2、主惯性矩:截面对 z0 、y0(主轴)的惯性矩叫主惯性矩,简 称主惯性矩。 3、形心主轴:如果截面 0 点选在形心上,通过形心的主轴称为 形心主轴 4、形心主惯性矩:图形对形心主轴的惯性矩。
y y 0 z 0

o

z

9—1 弯曲变形的概念
一、弯曲与平面弯曲 1、弯曲:直杆在垂直于杆轴的外力作用下,杆的轴线变为曲线,这种变形叫弯曲。 2、梁:以弯曲为主变形的构件称为梁。其特点:a、形状:轴线是直的,横截面至少有一个对称 轴。 b、荷载:荷载与梁轴垂直并作用在梁的纵向对称面内 3、平面弯曲:梁变形后,梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的这种弯曲称为平面弯曲 二、梁的支座,支反力 a、可动铰支座

A

A

yA

x

b、固定铰支座

A

A

A

yA
x A

c、固定端支座 三、梁的三种形式 a、简支梁

A

A MA y

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b、外伸梁 c、悬臂梁

9—2 梁的弯曲内力—— ? 、M

一、梁的内力 求:Qm ,Mm 由

? x =0 ? y =0; ? y =0
? m =0

—Qm+RA=0

Qm=RA
C A m

P B

?m

0

=0; —RA+Mm=0, Mm=RA·C
R a

a

b

Qm——剪力 Mm——弯曲 梁平面弯曲时截面产生两种内力 : 剪力 Q 和弯矩 M

Rb Qm Mm Mm ' Q m' p

R

a

Rb

二、Q,M 正负号的规定
Q+
Q-

(+)

Q+

(-)

Q-

剪力:顺时针为正,逆时针为负
受拉
MM+ M+

上 凹
受拉

下凹

M-

弯矩:下受拉为正,上受拉为负 三、任意截面 Q,M 的计算 讲 P155 例 5—1 结论:要正确区别运算符号和性质符号 例5—2 结论:取外力较少部分作研究对象 例5—3 结论:在支座和集中力处左右截面上剪力不相同,而弯矩相同;在集中力偶处左右 截面上的剪力相同,而弯矩不同 四、 讨论: 1、要正确区别性质符号和运算符号。所谓正,负 Q,M 是指性质符号而言 2、Qx= ? 左 ·y 或 Qx= ? 右 ·y, Mx= ? 左 ·M 或 Mx= ? 右 ·M

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3、可用“简便方法”计算截面内力 六、求剪力和弯矩的基本规律 (1)求指定截面上的内力时,既可取梁的左段为脱离体,也可取右段为脱离体,两者计算结果一致 (方向,转向相反)。一般取外力比较简单的一段进行分析 (2)梁内任一截面上的剪力 Q 的大小,等于这截面左边(或右边)的与截面平行的各外力的代数 和。若考虑左段为脱离体时,在此段梁上所有与 y 轴同向的外力使该截面产生正剪力,而所有与 y 轴反向的外力使该截面产生负剪力;若考虑右段为脱离体时,在此段梁所有与 y 轴同向的外力 使该截面产生负剪力,而所有与 y 轴反向的外力使该截面产生正剪力。

9—3、用 M,Q,q 间微分关系绘内力图
q(x)
Q(x) + dQ(x)

M(x)

A dx

B

Q(x)

M(x) + d M(x)

dx

一.M,Q,q 的微分关系 图

梁上作用任意荷载 q(x):(1)取出梁中一微段 dx(dx 上认为荷载是均匀的);(2)设截面内 力:Q(x),M(x)。利用

? y =0。则:

Q(x)+q(x)dx—[Q(x)+dQ(x)]=0 dQ(x)=q(x)dx 即 dQ(x)/dx=q(x) 剪力对 x 的一阶导数等于荷载

?M

0

=0

M(x)—[M(x)+dM(x)]+Q(x)dx+q(x)dxdx/2=0 即; dM(x)/dx=Q(x) 弯矩对 x 的一次导等于剪力 (1) q(x)=0 (无线荷载) dQ(x)/dx=q(x)=0 说明剪力方程是常数。只有常数导数才为零,所以此时剪力图是一条水 平线。

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dM(x)/dx=Q(x) 而剪力是常数,说明原弯矩方程是 x 的一次函数,所以弯矩图是一 条斜直线 (2) q(x)=常数(有线载) dQ(x)/dx=q(x)=常数 说明剪力方程是 x 的一次函数,所以剪力图是一条斜直线。 即 dM(x)/dx=Q(x) 而剪力又是 x 的一次函数,说明原弯矩方程是 x 的二次函数。所以弯矩 图是二次抛物线。 M 极植 在 Q(x)=0 处。由于 dM(x)/dx=Q(x)=0 处有极植 例题 三角荷载简化及内力图
q dx p 0

q=q0x/l (相似比) 在 dx 段上的荷载(集中力)
B

A x l d

?p =qdx=q0xdx/l

合力 p : p= ? ?p = ? (q0 x / l )d x =(q0/l) ? xd x =q0l2/l2=q0l/2 (三角形面积)
0 0 0

l

l

l

合力 p 的位置: 以 A 点为矩心 据合力矩定理 :
q 0

p·d= ? x(qd x )
0

l

d=(1/p)· ? x(qd x ) =(1/p) ? x(q0 xd x / l ) =2l/3
0 0
A B

l

l

解:(1)求支座力 由 ? M B =0,和

?M

A

=0 解得

l

RA=ql/6

RB=ql/3

(2) 列 Q,M 方程式 Q(x)=q0l/6 +q0(x)x =q0l/6 +q0x2/2l (0<x<l) M(x )=q0lx/6—q0x3/6l= q0lx/6 —q0x3/6l (0 ? x ? l) 令 Q(x)=0, 得 x=l/ 3 (取正植) Mmax=q0l2/(9 3 )

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画剪力图和弯矩图的一般规律: 1 在集中力作用处,剪力图发生突变,突变力的大小等于该集中力的大小。弯矩图在此处形成夹 角,没有突变 2 在集中力偶作用处,弯矩图发生突变,突变值等于集中力偶矩的大小,剪力图在此处没有变 化。 3 在梁端点的铰支座上,剪力等于该支座的约束反力。如果在端点铰支座上没有集中力偶的作 用,则铰支座处的弯矩等于零 4 最大弯矩的位置:梁上如有均布荷载作用,一般在 Q=0 的截面处有最大弯矩。当有集中荷 载作用时,最大弯矩往往发生在某一个集中荷载作用的截面处。悬臂梁的固定端及外伸梁的支座处往 往发生最大负弯矩。在集中力偶作用处,也往往会有最大弯矩。 5 最大剪力及其位置:一般发生在梁的支座处或集中力作用处的截面的一侧。 6 如果在结构对称的梁上作用着对称荷载,则该梁具有对称的弯矩图和反对称的剪力图

9—4、叠加法绘制弯矩图
一、条件 :小变形,讲书中例题

9—5、弯曲应力
一纯弯曲横截面上的正应力
p p

纯弯曲: BC 段——只有弯曲而无剪力

p A

+ B +

C

-

D P

Q同 M同

p

p

1.变形特点: a 中性层:没伸 Pa Pa b 中性轴:中性 1.正应力公式推导:(从三个反面考虑:几何 静力平衡条件) (1) 几何条件——应变规律
d

长,没缩短 层与横截面交线 条件,物理条件,

设:m’n’伸长 ?s , d?
o2 n'

o1o2 曲率半径 ? ,两截面

夹角
y o1 m'

ρ

则:m’n’曲率半径为 ? +y
?s

dx

= ( ? +y)d ? — ? d ? =y d ?

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m’n’的应变: ? ? ?s /dx=y d ? /( ? d ? )=y/ ?

??

y/ ? (1)式

说明: ? 与 y 成正比 (2)物理关系——应力与应变的关系 假设一层层纤维无挤压作用,则各条件纤维处于单向拉伸或单向压缩 材料在弹性范围内, ? ? E ? ? 成立 则

? ? E ? ? =Ey/ ?

(2)式

说明: ? 沿截面高度按直线变化 (3)静力平衡关系:
中性轴

z

N= ? ?d A =0
A

(a) M= ? y?d A
A

y

σ dA

(b)

将(2)代入(a) N= ? ( Ey / ? )d A = ( E / ? ) ? yd A =ESz/ ? =0
A A
y

只有 Sz=0 说明:中性轴通过截面形心 将(2)代入(b) M= ? ( Ey 2 / ? )d A =(E/ ? ) ? y 2 d A =EIz/ ?
A A

即:M= EIz/ ? , 则 1/ ? =M/EI ? (c)

将(2)代入(c)

? ? My / I z
y——欲求应力点到中性轴的距离。 一. 纯弯曲理论: 1.横向弯曲:横截面上即有 M,又有 Q 2.推广: 当(l/h)>5,剪力对正应力分布影响很小,可不计。公式 ? =M·y/Iy 可适用横向弯 曲。

9-6 梁的应力强度计算

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一、强度条件
M max ? ?? ? W 1、如果截面上下对称:

? max ?

y

δ max

y2

(1) ?? l ? ? ?? a ? W1=
I y1

y1

δ min

W2=

I y2

如 y1 >y2, 那么: W1< W2 此时应强度条件:

?

max

?

M W

max 1

? [? ]

(2)材料抗拉压应力不同: ?? l ? ? ?? a ? 要分别对拉应力和压应进行核对。

? max ?
? min ?

M max ? ?? l ? W1 M min ? ?? a ? W2

二、最大弯矩压应力:包括最大拉应力和最大压应力(最大压应力一般称为最小压应力,用 ? min 表 示)最大压应力发生在最大弯矩(绝对值)处。用截面的上下边缘。 即: ? max
M y ? max max Iz

? min

M min y ' max ? Iz

y max 为受拉区最外边缘到中性轴距离, y ' max 为受压区最外边缘到中性轴距离。

当中性轴是截面对称轴时, y 令: Wz=

max

?

y

' max

Iz 、Wz 称为抗弯截面摸量(单位为 cm3 ) y max

则、 ? max ?

M max ; W2
3

1 ? bh Iz 对矩形截面:Wz= = 12 h y max 2

1 = bh3 6

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Iz 对圆形截面:Wz= = y max

1 ?d 6 d 2

4

=

? 3 d 32

三、强度计算的三类问题: 1、强度核算:已知: ?? ? 、W、M 是否: ? max ?
M max ? ?? ? W

2、选择截面:已知: ?? ? 、M 据:W ?
M max

?? ?

确定截面尺寸(若是型钢可查型钢表)

3、计算许用核载:已知: ?? ? 、W 求 M max ? ?? ?? W 进而确定荷载

9-7

提高梁压应力强度的主要途径

一、据:a、压应力分布规律(远距离中性轴的正应力越大)。 M b、? ? = ,? 提高W降低M W c、考虑材料特性 d、选合理的结构 二、 具体措施: Wz 1、据 比值选择截面形状 A 2、.选择合理的截面形状 据正应力分布规律: a、将矩形截面改成工字形 b、减轻梁的自重,在靠近(预制板开孔的道理)中性轴的地方开孔 3、据 ? max ?

M max 、选择合理的放置方法(同一截面) Wz

?? max?

M max Wz

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Wz1 ?

1 2 bh 6

Wz 2 ?

1 2 hb 6

显然: Wz 1 ? Wz 2 则: ? 1 max ? ? 2 max 所以通常矩形截面梁竖放。

4、锯材料的特性选择截面形状; a.塑性材料:如钢材、因其受拉、受压容许应力相同。故将截面形状设计成对称于中性轴的 截面,如矩形、工字形、圆形截面。 b.脆性材料:如铸铁、因其容许压应力大于容许拉应力,故选择不对称于中性轴的非对称截 面,使中性轴偏于材料容许压应力较低的一边。如采用“T”或“ ? ”截面。(如上侧受 拉则“ ? ”,下侧受拉则“ ? ”)

9-8

梁横截面上的剪应力及其强度的计算

引言:在剪切弯曲时 m ? m 截上有Q、M,因此m-m上有 ? 、I一般剪应力是影响梁的强度的次要因 素,鼓将剪应力作简单介绍。
P2
(+) (-)

M

一、矩形截面梁的剪应力 1、两个假设: a.横截面上各点处的剪应力方向都与剪力Q的方向一致。 b.梁横截面上距中性轴的距离处各点的剪应力数值都相等。讲P249图 6-2 δ 2、横截面的任意一点处剪应力的计算为(推导略)
?? QS ? z Iz ? b

Q-横截面上的剪力
? -横截面上需求剪应力处的水平线以下(或以上)部分的面积 A ? 对中 SZ

性轴的静距。 Iz -整个截面对中性轴的惯性距。 b-需求剪应力处的横截面的宽度。

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Z
*

A

3、剪应力的分布规律: a、沿着截面宽度均匀分布
QS z? b、沿截面高度的分布:由公式: ? ? Izb
? 知道 Q、Iz、b 是常数。剪应力的变化是由 S ? z 而变化, S z 越大, ? 也越大。

2 ? 1?h h ?h ?? ?? 1 ? h S ? A y ? b? ? y ? ? y ? ? ? y ?? ? ? ? y2 ? ? b 当 y ? ? 时, S z? ? 0 ? ? 2 2?2 ?2 ?? ?? 2 ? 4 ? * z ? ?

则 ? ? 0 ,y=0 时,

? max

2 Q ? bh QS z? 8 ? 3Q ( S ? 达到最大值则 ? 最大) ? ? z 3 bI z 2A b ? bh 112

二、工字型截面的梁的剪应力 翼元部分的剪应力复杂,又很小,通常不计算。 ( 1 ) 腹板部分(按矩形)
y
z
h1
max

c
b

min

?f ?

Q ? S z? Izd
? Q ? Sz max ? Iz ?d

? f max

通常计算可知: ? max 与 ? min 相差不大,可近似认为腹板上的剪应力是均匀分布的,因为腹板上所 承受的 Q 是工字型截面剪力的 95%。 所以: ? f ?
Q h1d

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也可: ? max ?

Q h1d

或: ? max

? Q ? Sz max ? Iz ?d

三、圆形截面梁的最大剪应力 剪力与剪应力方向在圆截面任一点处不都是互相平行的,在圆周上的剪力与圆周相切。但在中 性轴两端点处的剪应力方向平行与剪力 Q。则在中性轴上方点处的剪应力都平行与剪力 Q 而且 相等。这样可应用矩形截面剪应力公式:
y K c Q
D
n

z

? max

? Q ? Sz ? Iz ?b

x

C

y = 2D 3

y

其中: I z ?
? z max

?D

4

图9-26

64
? ?

S

1 2 2D D 3 ? A ? y ? ?D ? ? 8 3? 12
? Q?D Q ? S zmac 12 ? 4Q ? ? 4 Iz ?b 3A ?D ?D 64 3

则 ? max

四、环形截面梁的最大剪应力
d

z ∑ max

z

图9-27

D

图9-28

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? 用推导圆形截面 S z max 的方砖: ? max ?

? Q ? Sz max Iz ?b

得:

? max

Q ?D 2 ? ?d ?2 A

其中: A ?

?D

2

?d2 ? 4

?

S z? 是大半圆面积乘其型心到 Z 轴的距离减去小半圆面积乘上其型心到 Z 轴垂直距离。

9-9 积分法计算梁变形
一、求转角方程,挠曲线方程
d2y M ( x) ?? 2 EI dx

积分一次得

dy 1 dy ?? M ( x)dx ? C Q? 而 ? dx EI dx 1 再积分一次: y ? ? {? ? M ( x)dx dx ? cx ? D} EI “D”积分常数,常数距边界条件即

?

?

求: QB 、 YB
M ( x) Pl M ( x) ? ? ( 0 ? X1 ? l ) EI 2 Pl 2 X 1 ? CX 1 ? D 两边积分: EI Y ? ? 4 边界条件:当 X1=0、Ya=0、QA=0、C=0、D=0

取(a)据 Y ? ?

当 X=l

QB ?

1 Pl Pl 2 ( ? l) ? EI 2 2 EI

YB ?

1 Pl 2 Pl 3 ( ?l ) ? EI 4 4 EI

M ( x) l l M ( x ) ? ? p ( ? X 2 ) (0 ? X 2 ? ) EI 2 2 P P 2 两边积分: EI Y ? ? LX 2 ? X 2 ? C 2 2 P 2 P 3 两边积分: EIY ? lX 2 ? X 2 ? CX 2 ? D 4 6

取(b):据 y ?? ? ?

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边界条件:当 X 2 ? 0 、 YA ? 0 、Q=0 、C=0 、D=0 当X ?
l 2

QC ?

1 P P ?l? Pl 2 [ l ? ?? ? ] ? EI l 2 ? 2? 8EI

2

2 3 1 ?P ? l ? P ? l ? ? 2 Pl 3 YC ? ? l? ? ? ? ? ? ? EI ? 6 ? 2? ? ? 4 ? 2? ? 48EI

叠加:

Pl 2 Pl 2 5Pl 2 QB ? ? ? 2 EI 8EI 8EI Pl 3 2 Pl 3 Pl 2 l 17Pl 3 ? ? ? ? 4 EI 48EI 8EI 2 48EI

YB ?

例: 已知:EI 为常数 求 Q A 、 QB 及 Ymax 解:?
d 2Y ?Q dx
1 2 qx 2

M ( X ) ? RA ? x ? ?

1 1 qlx ? qx 2 2 2
M (X ) ? 1 1 qlx ? qx 2 2 2

d 2Y EI ? ? M ( X ) dx2

积分一次: EI

dy

q 1 ? EIQ ? ? lx 2 ? qx3 ? c dx 4 6

(1) (2)

q 3 q 4 lx ? x ? cx ? D 12 24 确定积分常数:据边界条件: x=0 处 y=0 代入(1)式 D=0

再积分一次: EIY ? ?

x=l 处 y=0

代入(2)式 C ?

QL3 24

将 C、D 植代入(1)、(2)式中 挠曲线方程分别是
1 ql 2 ql 3 Q? (? x ? ) EI 4 24

(3)

y?

1 ? ql 3 q 4 ql 4 ? ?? x ? ? x ? EI ? 24 24 ? ? 12 ?

(4)

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在 A 截面处 X=0 代入(3)式中
QA ? ql 3 24EI

B 截面处: x ? l 代入式(3)
QB ? ?
x?

ql 3 24EI

l 代入(4)式 2

y c max ? y c ?

5ql 4 384EI

二、叠加法求梁弯曲 查表后叠加 三、挠度核算 条件:
f ?f? ? l ? ?l ? ?

10-1 一点处应力状态的概念
一、应力状态 1、轴向拉(压):应力随截面方位改变而改变。 2、弯曲、扭转:杆内不同位置的点具有不同的应力 二、单元体

δB

δα
α

δ

δ

δ

δ
δα
B

δB

10-2 平面应力分析
一、斜截面上的应力分析

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δY
Y

a

N

δ
α

α

δ
Y

δα δ
e

α
f

δY

δY

Y

利用平衡条件: ?t ? 0 , ? N ? 0 简化整体后: ? ? ?

? x ?? y
2

?

? x ?? y
2

? cos 2? ? ? x sin 2?

?? ?
二、主应力与主平面

? x ?? y
2

? sin 2? ? ? x cos 2?

1、 主应力——主平面上的应力( ? 1 、 ? 2 、 ? 3 ——按代数植大小排) 2、 主平面——剪应力等于零的平面。 设 ? 0 为主平面,则

?? x ?? y ? d? ? ?2? sin 2? 0 ? ? x cos 2? 0 ? ? ? ? ?2? ? 0 ? 0 d? 2 ? ?
此式表明主平面上的剪应力为零。 又由: ? ? ?

? x ?? y
2

sin 2? 0 ? ? x cos 2? 0 ? 0

可得: tg 2? ? ?

2? x ? x ?? y

——确定主平面方位。 3、 主应力大小: ? max ?? min ? ? 三、剪应力极值及所在平面 1、极值: ? m,ax ?? min ? ? ? 2、方位: 最大剪应力平面和最小平面与平面夹角 45? 。 四、主应力迹线 主应力迹线使复杂的应力状态形象化 (1)主抗应力迹线。 (2)主压应力迹线。

? x ?? y
2

?

1 2

??

x

2 ? ? y ? ? 4? x 2

? max ? ? min
2

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五、强度条件 强度条件的四顾: 压应力强度条件: ? max ?
N ? ?? ? (拉伸、压缩弯曲) A N ? max ? ? ?? ? (弯曲) W Q 剪应力强度条件: ? max ? ? ?? ? (剪切) A

? max ?

? Q ? Sz ? ?? ? (弯曲剪应力) I zb

以上强度条件特点:危险点所在横截面上只有正应力或只有剪应力(简单应力状态)。 1、横截面上同时有“ ? ”和“ ? ”存在(复杂应力状态)。 强度条件:

? 2 ? 4? 2 ? ?? ? ——最大剪应力强度理论。

? 2 ? 3? 2 ? ?? ? ——变形形能强度理论。

11-1 组合变形的概述
一、组合形式 理论上组合变形的形式约有 37 种,但常见的仅有四、五种。 本教材究三种组合变形。 组合变形 1、斜弯曲; 2、单向偏心压缩(拉伸); 研究柱内力,先将移至轴线(平移定理)。 1、双向偏心压缩(拉伸);

11—2 应力计算及强度条件
一、应力计算及强度条件 将基本变形应力计算出叠加即组合变形应力。 1、斜弯曲:

PX PY P

a、外力分解: Py ? P ? cos?

; Pz ? P ?

b、外力计算: M z ? Py ? x ; M y ? Pz ? x

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c、应力计算: ? M z ?

M yZ Mz ? y ; ? My ? Iz Iy

d、应力叠加某点应力: ? ? ? M z ? ? My 即: ? ?

Mz ? y My ?Z ? Iz Iy

e、强度条件: ? max ?

M z max M y max ? ? ?? ? Wz Wy

1、单向偏心压缩(拉伸)
P P e

a、简化荷载: M z ? Pe b、内力计算:P; M z ? Pe c、应力计算: ? N ? ?

M ?y P ;? Mz ? z A Wz P Mz ? y ? N Wz

d、应用叠加某点总应力: ? ? ?

e、讨论:当偏心受压柱是矩形截面,截面边缘沿线上 “ ? max ”与“e”之间的关系。(A=ba、 Wz ?
bh2 ) 6

? max ? ?

P P?e P ? 6e ? ? 2 ? ? ?1 ? ? bh bh bh ? h? 6

? 6e ? 其中 ?1 ? ? 将有三种情况: h? ?
h 时, ? max 为压应力; 6 h 当 e ? 时, ? max 为零; 6

当e ?

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h 时, ? max 为抗拉应力 6 故截面受拉、压与“e”有关。 2、双向偏心压缩(拉伸)

当e ?

P

PM
Mz

y

Z

a、简化荷载: 据平移定理得: M z ? P ? e y ; M y ? P ? ez b、内力计算: N ? P ; M z ? P ? e y ; M y ? P ? ez 。 c、应力计算: ? N ? ?

My ?z M Y P ;? Mz ? z ; ? My ? ? 。 N Iz IY

某点总应力: ? ? ? N ? ? M z ? ? M y

? ??
d、强度条件: ? max ? ?

P M z ?Y M y z ? ? A Iz Iy

P Mz My ? ? ? ?? ? ? A Wz Wy

? max ? ?
二、核心 1、介绍截面核心概念

P Mz My ? ? ? ?? ? ? A Wz Wy

12-1
一、稳定平衡、临界平衡、不稳定平衡
A A

压杆稳定的概念

A

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1、稳定平衡:使物体在平衡位置上经受微小的移动式干扰,任其自然,若物体能回复到它原来平 衡位置,那么它原来所处的平衡就是稳定平衡。 2、不稳定平衡:若受到干扰后物体不仅不能回复到原来的位置,而且还要远远离开,那么它在原 来位置的平衡就是不稳定平衡。 3、临界平衡:若受到干扰后物体即不回复到它后来的平衡位置,也不远离,而且停留在动的位置 上处于动的平衡状态,那么它在后来位置上和现在位置上所处的平衡状态叫临界平衡状态。 二、压杆的失稳 1、三种平衡状态:

P P

lj

P P

lj

P P

lj

(1) 当轴向压力小于某一个数值时,压杆就是处于稳定状态。 (2) 当轴向压力大于某一定数值时,压杆就是处于不稳定状态。 (3) 当轴向压力等于某一定数值时,压杆就处于临界平衡状态。 2、临界力:临界平衡状态相对应的某一定数值叫临界力。临界力的大小与杆的材料、横截面的形 状、大小杆的长度及杆的约束都有关,故并非定植。 3、压杆失效:当压杆受到的轴向压力达到了临界值时,杆就会从直线形式的平衡突然转变为微弯 形式的平衡,这就是压杆失效。即临界状态时压杆已经失稳。

12-2
一、两端钝支细长压杆的 Pl j

细长压杆临界力公式——欧拉公式

=

ij

X
= ij

Y Y

X
Y

X A P
lj

A

(1)距支座为 L 截面的弯矩:

M ? X ? ? Pl j ? y
(2)杆在弯曲状态下的挠曲线微分方程:

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Y ?? ? ?

M ?X ? EI Pl j EI

??

Pl j Y EI

令: K 2 ?

则: Y ?? ? ? K 2 ? Y

即: Y ?? ? K 2 ? Y ? 0 此微分方程的通解:Y=C ; sin kx ? C2 coskx ——(1)

边界条件: 当 X=0, C 2 ? 0 , Y ? C1 sin kx ——(2) 又杆上端边界条件:X=l 代入(2)式 0 ? sin kl ——(3)

若要使(3)式成立必有 C1 或 sin kl ? 0 方可。 如果 C1 ? 0 式就不成立,所以必定是 sin kl ? 0
kl ? n?

当 kl ? 0, ? ,2? ,3? ?n? 时, sin kl ? 0 得 K?

Pl j EI

?

n? l

又得 Pl j ?

n 2? 2 EI l2

n=1 时, Pl j ?

? 2 EI min
l2

——临界力欧拉公式

Pl j ——临界力
I min ——截面 I z 、 I y 选小值
l ——杆长 二、其他支座 Pl j 1、一端固定、一端自由
P
lj

Pl j ?

? 2 EI min

?2L ?2

u=2 ;

2、一端固定、一端钝支

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P

lj

Pl j ?

? 2 EI min

?0.7l ?2

u=0 ;

3、两端固定
P
lj

Pl j ?
三、临界应力

? 2 EI min

?0.5l ?2

u=0.5

? 2 EI min ?l ?
j

Plj A

?

?ul?2
A

?

? 2 EI min

?ul?

2

A

?

? 2E

?ul?

2

r2

——(1)

式中: r ?
ul ?? r

I min A

——截面的回转半径

——压杆的长细比

(1)式可成:

?l ?
j

? 2E ?2

12-3 临界应力总图
目的: 了解临界应力适应范围 关键是看懂 ? l j 总图 一、临界应力的公式的适用范围 (因为挠曲线近似微分方程只在材料服从虎克定律的前提下成立,即在材料不超过比例极限时 成立,而 Pl j 又是通过挠曲线微分方程推倒出来的故 ? l j ? ? p )

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?l ?
j

? 2E ??P ?2

即: ? ?

? 2E E ?? ?p ?P
E

?2 ?E 即只有当 ? 大于或等于极限值 ? p ? ? 时 ?l ? 方成立。 ?p ?2
j

那么 ? l j 适用的范围总: ? ? ? p 如:钢 ? p ? 100 铸铁 ? p ? 80 木材 ? p ? 100 二、超过 ? p 后压杆的临界应力

?l

j

2 ? ??? ? ? ? ?1 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? c? ? ? ?

——经验公式

其中: ? s ——材料的屈服极限

? ——系数 0.43
?c ? ?
E 0.57? S
cm

例: AS 钢: ? s ? 2400kg
j

E ? 2 ? 106 kg

cm2

? l ? 2400? 0.0715 ?2
三、 ? l j 总图 总图: ? l j ? ? p 和 ? l j ? ? p 的图形,

? ? ? l 曲线图
j

12-4 压杆稳定计算
一、压杆的稳定条件:
P? Pl j Klj

? ?

P ? ? ?? ? A

其中 Pl j 压杆的临界力

K l 稳定安全系数,随 ? 变化比例强度安全系数 K 的实际作用在杆上的应力
j

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则:

??

Pl j ?l P ? ? j ? ? lj A A ? K lj Klj

? ?

其中 ? 为实际杆内力

?? ?
lj

为稳定许用应力

稳定条件: ? ? ? l j
? ? lj ?

? ?
, ?? ? ?

? ?

?l

j

??
K

Klj

? ? LJ ?

? ?

?L

J

K LJ

?

K , ?? ? ? ? ?? ? ??

其中 ? 为折减系数,可查表 又? ? ?
P ? ? ?? ? A

说明:(1)式中 ? l j 总小于 ? ? , ? l j ? ? ? ; Kl j ? k 故 ? 是小于 1 的。 (2) ?? ? ? ? l j ,因为失稳是在强度破坏前发生。 二、压杆稳定的三类问题 1、压杆是否稳定:步骤(1)求 ? 值, (2)据压杆的材料即 ? 值,从表 12-1 中查 ? 值。 (3)验算是否满足 ? ?
PN ? ? ?? ? 这一稳定条件。 A

?

?

? ?

2、确定容许荷载:步骤(1)求 ? 值, (2)据压杆的材料即 ? 值,从表 12-1 中查出 ? 值 (3)按稳定条件 ?P? ? ? ?? ?A 确定 ?P ? 3、确定截面尺寸:步骤(1)假设一个 ?1 值(一般 ?1 ? 0.5 ),求得 A1 值。 (2)由 A1 算出 ?1 再查 ?1 与 ? 相差较大,再假设 ? 2 ? 定者非常接近为止。

? ? ?1
2

,重复上面的计算,查到 ? 值与假

13-1

结构的计算简图

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一. 简化原则 1. 反映结构实际情况 2. 分清主次因素 3. 视计算工具而定 二,简化方法 1. 铰节点的简化:举例说明。 2. 刚节点的简化:举例说明。 3. 支座的简化: 举例。 结构的简化举例:如桁架的简化,包括 1.荷载 2.支座 3.杆连接处。

13-2 杆系结构分类
一.分类 1. 梁 2. 桁架
P 2 P
P

P
P P P 2

3. 刚架
P

4. 组合结构
P
P

5. 拱

14-1 几何组成分析的目的、几何不变体系、几何可变体系

一. 平面几何组成分析的目的 1. 判别某体系是否为几何不变体系,以决定其能否作为工程结构使用。 2. 研究并掌握几何不变体系的组成规则,以便合理布置构件,使所设计的结构在荷载作用下能够 维持平衡。 3. 根据体系的几何组成状态,确定结构是静止的还是超静定的,以便选择相映的计算方法。 二. 几何不变体系、几何可变体系 1. 几何不变体系 在不考虑材料应变的情况下,任何荷载作用后体系的位置和形状均能保持不变。(图 a,b, c) 2. 几何可变体系

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在不考虑材料应变的条件下,即使不大的荷载作用,也会产生机械运动而不能保持其原来形状 和位置的体系。(图 d,e,f)

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

14-2

自由度和约束的概念

一.自由度 在介绍体系自由度之前,了解一下有关刚体的概念。 在几何分析中,把体系的任何杆件都看成是不变形的平面刚体,简称刚片。 自由度是指确定体系位置所需的独立坐标数。
y y

x

A y x

x y x

一个点需二个坐标确定位置 一个刚体需三个坐标确定位置 二.约束 1. 链杆—减少一个自由度。 2. 单铰、固定铰支座——减少二个自由度。 3. 复铰—相当于 n-1 个单铰。 4. 刚性连接、固定端—减少三个自由度。 讨论:自由度(W)有三种结果: W〉0 一定是可变体系 W<0 与 W=0 不一定是可变体系,需进一步分析. 例: 已知:M=9, r=3,h=(3-1) ? 6=12,求 W=? 解:W=3m-(2h+r)=3 ? 9-2 ? 12-3=0 W 等于 0,但不能判断体系就是几何不变。 (那么怎么才能组成几何不变体系呢)



14-3

几何不变体系的组成规则

Ⅰ Ⅰ

Ⅰ Ⅰ Ⅰ

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说明:利用三规则,判断体系几何可变,不变性。 (本节只讨论由二个或三个刚片构成几何不变体系的规律) 一. 几何不变体系充分必要条件: ①有足够的约束。 ②约束的布置要合理。如: 规则 1:两个刚片之间用三根不相交于一点又不都 平行的链杆相连,组成的体系是几何不变的,并无多余 约束。 两个刚片之间用一个铰和一根不通过铰的链杆组 成,组成的体系也是几何不变的。



A



C


B

b a



B

A A


规则 2:三个刚片之间用不在同一直线上的三 B C 个铰两两相连,所组成的体系是几何 不变的,且没有多余约束。 规则 3:在几何不变体系上增加或撤去若干二元体,体系仍是几何不变的。


规则 1、2、3 是判断体系几何不变性的充分条件。 二.如何判断一个体系的几何可变和不可变性: 1. 一般情况下,用三个规则判断。 2. 在利用三规则进行几何分析时,可将其中的几何不变成分视为一个刚片,然后再利用三规则进 行分析。 3. 对于较复杂的体系进行分析时,可先利用求自由度公式,求出 w,如果大于 0,则一定是几何 可变体系。 例 1: 分析:利用规则 3,在用规则 1,多余一个约束。

例 2:

分析:阴影部分为一个刚片,右面两个小三角形为一个刚片,两大刚片用一铰一链杆 连结,故几何不变。在将其视为一个刚片与基础相连,整个 体系为几何不变。 例 3:








C

B



A





C



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三.几何可变,不可变与静力特性的关系 1. 几何可变体系:不能用静力学解答。 2. 具有多余约束的几何不变体系是超静定问题。 3. 无多余约束的几何不变体系是静定问题。 四.瞬变体系概念 在两刚片发生微小的相对位移后,三根链 就不再相互平行,并且 不交于一点,故体系就成为几何不 变的。这种在短暂的瞬时间是几何可变的体系,叫做瞬变体系。总之,如果一个几何可变体系发生微 小的位移之后,即成为几何不变体系,我们就称为瞬变体系。
I
⊿ ⊿ ⊿

II

i

1

α1
II

i

2

α2

i

3

i
α3







1

α1

i

2

α2

i

3

α3

在两刚片

发生位移后,三 移将继续发生。 系。
3

I

根链杆仍旧相互平行,故位 这样的体系是几何可变体

条件 l1=l2=l3, 则α 1=α 2=α

14-4
例:对下列结构进行几何组成分析 (1)

几何分析举例

分析:将两个三角形视为两个刚片,两刚片由三个即不相交于一点,又不都相互平 行的链杆连结,形成的几何不变体系。此体系和基础视为两刚片,同理,整个体系 几何不变。 (2) 分析: 链杆的交点在同一条直线上,所以是几何可变。

(3)
3 1 4 2

分析: 将两三角形视为两刚片,由三链杆 1,2,3 相连则为几何不变,多余一个约束链杆 4。

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(4)
C F E

分析:AC,BC 基础视为三个刚片,据规则 2 得为几何不变。EF 和 ED 为二元题。据规则 3,整个体系为几何不变。
A B D

(5) 分析: 因铰复杂,则计算 W=? m=9,j=4(2-1)+7(4-1)=25 c=3 ? 3 ? 2 ? 25 ? 3 ? 1 ? 0 几何可变。

14-11 图

15-1
一. 概念:

多跨静定梁

多跨梁:若干两用铰相连,并用支座与基础连结的结构。 说明:铰的受力特点相当于固定铰支座。 二. 内力计算:
A B

2qa

q
D C E F

qa

2a

a

a

a

3a

a

解:1.支座力:

① DF 段

x

qa y y

D

D

E

?M

D

? 0 ; yE ?

4 qa ?? ? ; 3

1 y D ? qa ?? ? 3

②BD 段
x 2qa
B

q x y y
D D

y

B

C

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?M
③AB 段

B

?7? ? 11? ? 0 ; y c ? ? ?qa ; y B ? ? ?qa ; ? 4? ? 12 ?

y
A

B

?

11 qa 12

x y
B

B

11 2 qa 6 1 qa 2 6 A B G 11 2 qa 12 11 qa 12 (+) 13qa 12 (-) (-) 1 qa 3 2 qa 3 (+) Q图 qa C D 1 qa2 18 qa 2 F M图

E

1 1 QX ? y? qa ? qx ? 0 x? a D ? qx ? ? 3 3 1 1 1 1 1 a ? q ? ? ? a ? qa 2 CD 段: M max ? ? y ? D ? 3 3 2 3 18 三. 斜梁的内力计算: 求 M,Q,N 并绘内力图
q (a) H A=0 A x l qx
α

解: 支座力: y A ?
B ql V B= 1 2

ql ql ; yB ? ; 2 2

K α

M q ? Y?X ? q ? x ?

ql V A= 1 2

x ql qx2 q ? x? ? lx ? x 2 2 2 2 2

?

?

当 X=0 时, M A ? 0
M u N Q K

( b) A
α

当 X ? l 时, M B ? 0 ; X ?

x v

l 1 , M c ? ql 2 2 8 l Q X ? y A ? cos ? ? qx cos ? ? q( ? x) cos ? 2

X ?0 当 X ?l

ql cos? 2 q Q B ? ? l cos? 2 QA ?

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N X ? y A sin ? ? qx sin ? ? 0 ?l ? N X ? ?q? ? x ? sin ? ?2 ?



x?0 x?l

ql sin ? 2 ql N B ? sin ? 2 NA ? ?

( d) ql cos 2 α
(c) 1 ql 2 8

ql cos 2 α

ql sin 2 α (e) ql sin 2 α

Q 图

M图
q q′ l′
α α

N 图

l

l

因在梁上的总载不变: q1l1 ? ql 下面按上做!

q?

l1 q q q1 ? 1 ? 1 l l cos? l1

15-2
一. 三铰拱

三铰拱

P

拱顶
C f 拱高

特点:①轴线为曲线 ②在竖向荷载作用下,支座处有水平反力。
拱轴线
B

A

拱距 跨度 l

二.三铰拱的反力和内力( VA H AVB H B ) 1. 支座反力的计算

a1 a2 d1 P1 K

1

b2 P2 C f B HB

YK HA A VA l1

l2 l

VB

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支座反力:

?M

B

?0
d1

P1 C

VA ?
Hc Vc f

1 ? p1b1 ? p 2 b2 ? l ?MA ? 0 1 ? p1 a1 ? p 2 a 2 ? l ?x ? 0

H VA

VB ?

?M

HA ? HB
C

?0 1 ?V A ? l1 ? p1d1 ? f

HA ?

简支梁反力及内力
a1 a2 H A
0

b1 b2 P2 C l2 l
0 VB

?M
VA ? V ? A

B

?0

P1 D

d1

可见: VB ? V ? B
HA ? M ?C f

VA

0

l1

f 与 H 成反比,当 f=0 时,HA= ? ,为可弯体系。 2. 任意截面内力的计算
0 HA =0 0

P1 D

Q

0

N=0 M
0

VA

简支梁: ① Q? ? V A ? P 1 ② M? ? V ? A ? P 1 ?x ? a ? ③ N=0 三铰拱 ①(水平力)H=+HA,(压为正) ② M ? VA x ? p1 ?x ? a1 ? ? H A y 即M ? M ? ? HAy

D 截面 M、Q、N

M x ? VA x ? p1 ?x ? a1 ? ? H A ? y 即 M ? M x ? H A y
?

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Qx ? Q? cos? ? H sin ? N x ? Q? sin ? ? H sin ?
说明: ? 随截面不同而变化,如果拱轴曲线方程 y ? f ? x ? 已知的话,可利用 tg? ? 值。 二.三铰拱的合理轴线(拱轴任意截面
M ?0 Q?0
dy 确定 ? 的 dx



据: M ? M ? ? H A ? y 当 M ? 0 时, y ?
M?

M? HA

是简支梁任意截面的弯矩值,为变值。

说明:合理拱轴材料可得到充分发挥。

HA ?

M ?c (只有轴力,正应力沿截面均匀分布) f
M ?c

为简支跨中弯矩。

由于 M ? 、 H A 荷载不同,其结果不同,故不同荷载有不同的合理拱轴方程。

15-3

静定平面刚架
成的结构叫刚架。

一. 概念 1. 什么叫刚架: 结构的各杆全部或部分用刚(架)接点连接而

2.刚架的弯形特点:在刚接点处杆件的夹角不因任何原因而有所改变。 3.刚架的受力性能:刚接点处可以承受弯矩、简力、轴力。 4.刚架分类:按几何构成分:平面刚架、空间刚架。 按计算方法分:静定刚架、超静定刚架。 二. 刚架各杆受拉侧的确定 根据变形确定受控侧:

P

P

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三. 刚架的内力计算 1. 计算步骤:支反力 ?内力 ?绘内力图(M 图、Q 图、N 图) 2. 内力图及正负号规定: a. M 图不标明正负号,是将图形画在结构杆的受控侧,在计算 的弯矩为正,反之为负; N 图以拉为正,压为负,需要在图上标明正负号; Q 图以顺时针为正,逆时针为负,需要标明正负号。 b. 内力校核: ?X ?0 取出刚架中任一部分(如刚结点),按 ? Y ? 0 校核。

弯矩时则使刚架内侧受拉

?M ? 0

四. 讲书上例题及补充例题。

15-4

静定平面桁架

一 .桁架特点: 1. 结构中所有杆为二力杆; 2. 杆与杆之间是移铰连接 二.桁架类型: 1. 简单桁架;2.联合桁架;3.复杂桁架;举例 三.求内力方法及原理: 1. 方法:①结点法②截面法 2. 原理 :①结点法----汇交力系平衡条件

?x ?0 ?y?0 ?x ? 0 ②截面法----一般力系平衡条件 ? y ? 0 ?M ? 0

N
1

四. 结点平衡的几种特殊情况 1. 不共线的两杆结点无外
N N = 0 N=0
2 1 2

2. 其中两杆共线的三杆结点无外力

N N
1

4

N =0
3

N

2

N =N
1

2

3. 两两共线的四杆结点无外
N N
3 1


N
4

N N =N N =N
2 1 2 3

4

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五. 斜杆内力投影法

N x y l l 则: N ? ? x 或 N ? ? y ? ? lx l lx l y ly

N y x

l l
x

l

y

六. 讲例题(结点法、截面法、及结点和截面法的联合应用) 七. 截面法解题思路(增加例题) 求各杆的内力: 例1 求支反力:
xA A 1.8m 3 4

1.2m

2.67 85 -2. 2 C

3.2m 1

1t D

2.8m

0.95

5

?y?0 ?M ? 0 ?x ? 0
B

y B ? 1t 4x A ? 5 ? 0 x B ? ?1.25t
x A ? 1.25t

xB

-2.

31

B

-1

.7

lCD ? 3.2 2 ? 1.2 2 ? 3.42 m

yB

l AC ? 1.8 2 ? 1.2 2 ? 2.16m l BC ? 2.8 2 ? 1.8 2 ? 3.33m

结点 D:
1t N1 D 3.42 1.2 3.2 y2

? y ? 0;? y
N2 ?

2

? 1 ? 0; y 2 ? ?1

x2 N2

?1 ? 3.42 ? ?2.85t 1.2 ? x ? 0;? N1 ? x2 ? 0;
N1 ? ? x 2 ? ? y2 ?1 ? 3.2 ? ? 3.2 ? 2.67t 1.2 1.2

结点 A:
1.25t A N4

? x ? 0; N
1.2

1

? x3 ? 1.25 ? 0

N1 2.16 N3 1.8 y3

x3 ? 1.25 ? 2.67 ? ?1.42t
x3

? 1.42 ? 2.16 ? ?1.7t 1 .8 ? y ? 0;? N 4 ? y3 ? 0; N3 ? N 4 ? ? y3 ? ? x3 ? 1.2 ? 0.95t 1 .8

结点 B:
y5 N4 xB 3.33 1.8 yB 2.8 N5 x5

? x ? 0; x
N5 ?

5

? x B ? 0; x5 ? ?1.25t

? 1.25 ? 3.33 ? ?2.31t 1.8
x3 N3 N2 x2

校核:C 结点

x5

N5

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? x ? 0; x
正确! 例 2:截面法 (1)
y E P F x D G

2

? x3 ? x5 ? ?2.67 ? 1.42 ? 1.25

A

C

B

取右:

? y ? 0; N
P Q


1

??

(2)图:
C 3 A 1 2


B

N 3为零杆 I ? I取右:

?M
(3)图:

C

? 0;N 1 ? ?

而N 1 ? N 2

I-I: ? M C ? 0;N 2 ? ?
Ⅰ Ⅰ 1

II-II:

2 A B
Ⅰ ⅠⅠ

?M
P


B

? 0;N1 ? ?

P

16-1

计算结构位移的目的

一.引起位移的原因 1. 荷载的作用;2.温度的改变;3.支座下陷;4.装配误差 二.目的 1. 确定结构的刚度 2. 为计算超静定结构打下基础 三.位移的概念: 1. 广义位移:①线位移②角位移
⊿cH

C

C′

⊿cV

C

⊿0V C′

A

B

B′

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C′

⊿cV

C


B

B′

⊿0V C′

由荷载作用产生的位移

由于支座下陷产生的位移

16-2
一.功、广义力 W ? P??; 1.功 二.虚功 1. 外力虚功:
P1
1
11 12 22

变形体的虚功原理

2.广义力:力--- P 力偶--- M

P2
2

p1 ? ? ? 先作用在梁上,在 ? 11 位移段位静载(0-- p1
为恒载。

);在 ? 22 位移段

虚功: W12 ? P 1 ? ?12 外力虚功----外力在其他原因(力、温度变化、位移)所引起的位移上所作的功。

? )---虚功原理 据能量守恒定律:外力虚功( w12 )=内力虚功( w12
q为后加(相当 P 2) q为后加(相当 P 2) K l dx K
K

P=1为先加(相当 P 1) P=1为先加(相当 P 1)
K
kp

l

dx

dx
kp

dx

实际状态 则:外力虚功: W ? P ? ? KP ? ? KP

虚设状态

内力虚功: dx段上为- - dw? ? Md? ? Q dn ? Nd? 而 d? 、 dn 、 d? 分别是: 据梁正应力公式推导《材力》中
d MP

M P dx

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1

?

?

M M ,而 dx ? d? ? ? ,故 d? ? P dx EI EI

据《材力》拉压杆胡克定律:
?l ?
NP d dx NP

N NL 故d? ? P dx 。 EA EA

据《材力》剪切胡克定律: d? ?
Qp dx Qp dn

k ? QP dx GA

k---剪应力不均匀系数。 矩形:k=1.2 圆形:k=1.11 工字形:k=

A A?

A ? ?截面积 A? ? ?腹板面积

虚拟状态: dx由于p ? 1引起截面上的内力: M、Q 、N表示

? dx段上内力虚功: dW ? ? Md? ? Q dn ? Nd? 整个AB梁的内力虚功: W ? ? ? Md? ? Q dn ? Nd?
0 l

如果结构有许多杆组成则
W ? ? ? ? Md? ? ? ? Q dn ? ? ? N d?

由外力虚功等于内力虚功: W ? ? K ? W ? 即: ? k ? ? ? Md? ? ? ? Q dn ? ? ? N d? 所引起结构上 k 点的位移:
?K ? ?? M PM KQP Q N N ds ? ? ? ds ? ? ? P ds EI GA EA

弯矩引起的位移

剪力引起的位移

轴力引起的位移

公式说明:1.当 ? 代表线位移时,p=1 表示单位集中力。 2.当 ? 代表角位移时,M=1 表示单位集中力偶。 3.结果为正表示位移与单位荷载方向一致,否则相反。 4.梁和刚架位移主要是由 M 产生:故 ? ? ? ?
M ?MP dx EA

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5.桁架中各杆只承受轴力,且每根杆轴力为常数,当各杆截面相同时:
? ? ?? N ? NP N ? NP dx ? ? ?L。 EA EA

16-3

图乘法

一. 图乘法原理: 如果求 ? B?
B
l 1ql 2 2 2

A

M P ? dx ? dw; M ? x ? tg?
1 1 1 M ? M P dx ? x ? tg? ? dw ? tg? ? xdw ? ? EA EA ea (据合力矩定理) 1 1 ? tg? ? xc ? w ? ? w ? yc 上式= EA EA 1 ? w ? y c ----图乘公式。 即: ? ? EA 公式应用条件及注意问题 ? B? ?

1qx Mp=2 dw dx

实际

x

Mp

P=1

x yc

虚设
M

二.

α

1.条件:(1)杆轴线为直线(2)EI=常数(3) M 、 M P 图至少有一个是直线。 2. 注意:(1) yc 必须从直线中取 (2) w与y c 在基线同侧, w、yc为正,反之为负 (3)

M、M P 有折点,则必须分段图 乘。 即w1 ? yc1、w2 ? yc 2 .......... ..wy c ? w1 ? yc1 ? w2 ? yc 2 ? ........

三.基本图形的面积及形心: 1.三角形 2.二次抛物线 四.应用图乘法的技巧 b 1. 两个梯形图形相乘
a
1

b a
1

形心 形心
l

2

形心 形心

2

l c

c y1 d y2

y1

d y2

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?w
?

p

? y 0 ? w1 ? y1 ? w2 ? y 2

?w

p

? y 0 ? w1 ? y1 ? w2 ? y 2

1 ?1 2 ? 1 ?2 1 ? la? c ? d ? ? lb? c ? d ? 2 ?3 3 ? 2 ?3 3 ?

1 1 ? ? 1 ? ? ? la? c ? ?d ? c ?? ? bl? c ? ?d ? c ?? 2 3 ? ? 2 ? ?

2. 两个图形均为直线,且面积均由正负
C a A
1 2

B b D l 3 d

?w

p

? y 0 ? w1 y1 ? w2 ? y 2

l 3

l 3

1 ?2 1 ? 1 ?2 1 ? ? ? bl? d ? c ? ? al? c ? d ? 2 ?3 3 ? 2 ?3 3 ?

y2 y1 c

3. 弯矩图为折线,,应将折线分成几段。分别图乘后求其代数和
形心 形心
1 2

1

2

3

y1

y2

y1

y2

y3

4. 二次抛物线图形相乘
a
c1 w1 c2 w2

?w? y
b

c

?

c

M
yc1

c3 w3

1 2 1 1 la ? ? c ? lb ? c 2 3 2 3

yc2 yc3

2 1 ? l ?h? c 3 2

a
c1 w1 c2 w2 yc1 yc2

l

?w? y
c

c

?

b

1 1 ? 2 1 ? ?2 ?1 ? la ? ? b ? c ? ? ? lh ? ? b ? c ? 2 3 ? 3 2 ? ?3 ?2

l

16-4
一.位移计算

支座移动时的位移计算

P C B P =1 K M Q N ds R3 B

A

R1 实际状态 虚拟状态

c2

c1

R2

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据虚功原理: W外 ? W内 即: p ? ? ? ? R ? c ? ? ?
M ?MP N ? NP KQ ? QP dx ? ? ? dx ? ? ? dx EI EA GA

当仅有支座移动,无其特权因素下:

? ? ?? R ? C
式中: R ——虚设状态下在实际状态支座有移动处的支反力。 C——实际状态下支座的移动。

16—5 互等定理
一、 功的互等定理
P1
11 21 12

P2
22

第 第二状态: 内力: N1 , M 1 , Q1

(a) 第一状态

( b) 第二状态

一状态:

内力: N 2、M 2、Q 2 变形:dn2、d ? 2、d ? 2

变形: dx段上:dn1、d?1、d?1

p1 ? 12 ? ? N 1 dn 2 ? ? M 1 d? 2 ? ? Q2 d?1 —第一状态的外力和内力在第二状态相应的位移上所

做的虚功。(W 外=W 内)
p 2 ? 12 ? ? N 2 dn1 ? ? M 2 d?1 ? ? Q2 d?1 —第二状态的外力和内力在第一状态相应的位移上所做

的虚功 ( W 外=W 内) 因为等式右边相等,即:

?N

1

?(

N2 M KQ2 dx) ? ? M 1 ( 2 dx) ? ? Q1 ( dx) EA EI GA

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= ? N2 ? (

N1 M Q dx) ? ? M 2 ( 1 dx) ? ? Q2 ( 1 dx) EA EI GA

所以:W12=W21 功的互等定理:表示第一状态的外力在第二状态相应的位移上所作的虚功,等 于第二状态相应的位移上所作的虚功。 二、 位移互等定理 当 p1 ? 1, p2 ? 1, 则

1 ? ? 12 ? 1 ? ? 21 即: ? 12 ? ? 21
定理:第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移 ? 21 等于第二个单位力所引 起的第一个单位力作用点沿其方向的位移 ? 12 。(单位力—广义力;单位位移—广义位移)
P =1 A C B

M=1 A fc B

如:

第一个单位力

第二个单位力

ML2 pl 2 ; ? 21 = ? A ? ; ? 12 = f c ? 16EI 16EI

(M=1,P=1)

故: ? c ? f c ?

l2 16EI

三、 反力互等定理: 据功互等定理: r12 ? ?1 ? r21 ? 2

r12 —2 点的位移 ? 2 ? 1, 引起 1 点处的支反力
r21 —1 点的位移 ?1 ? 1 ,引起 2 点的支反力。
当 ?1 ? ? 2 ? 1 时, r12 = r21
1 △2=1 2 r 12

△1=1 1

2

r 21

定理:支座 1 发生单位位移所引起的支座 2 的反力,等于支座 2 发生单位位移所 引起的支 座 1 的反力。

17—1 超静定次数的确定

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一.静定结构:1〉用静定平衡方程可以求出所有支反力;2>是一个几何不变,并无多 于约束体系。
P
P1 A C P2
z

B

由此看出超静定结构:1〉与静定结构反之;2〉有多余约束的几何可变体系。多于约束个数=超静定次 数。 二.超静定次数的确定及基本结构的取法

图12-27

1.

原结

x

1

x

2

基结

2.

原结
x1 x2 x3 x4

基结 3.
x2
x2 x6 x3 x1 x6 x4

x1

x6 x

x7

1〉一个封闭回路超三次。 2〉同一静定结构具有不同的基结。 原结 基结

4.

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原结

基结

17—5 图 结论:1〉基本结构:去掉多于约束,用相应约束反力代替,形成静定结构。 2〉基结特点:去掉所有多于约束,基结构是几何不变体系。 由此看出:要确定超静定数,关键是把原结构拆成一个静定结构.则要支以下几点: 1.去掉或切掉一根连杆,相当于去掉一个约束。如图(如绗架). 2.去掉一个链支座或去掉一个单链相当于拆掉连个约束。如图(h). 3.去掉一个固定端或切掉一个梁式杆等于去掉三个约束。如图(e). 4.截开一个界面换成单链等于拆掉一个约束。如图(f).

x2

x1

另外: 5.切勿将原结构拆成一个几何可变体系 。 6.要将全部多于约束拆除。如图。
x
2

x x
1

1

x

2

x1

x1

17—2 一. 原理
q

力法基本原理

q

1. 如何求出 x,使其变成静定结构

x

1

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(超一次) 基结 2. 基结的位移情况
q

L

x

1

位移方程: ? 1 ? ?1 p ? ?11 ? 0 如何求出
x
1

?1 p ?11

?11 ? ?11 ? x 1

则 ?11 x1 ? ?1 p ? 0, 其中 ?11、?1 p 都可用图乘法求出:

? 11 ?

?3 3??

?1 p ? -

q? 4 8??

?1 ?

3 q? ( ? ) 8

_ 1 p2 2

MP

x

L

_ M

P =1

_ 2 1qL 2

2 __ 9 qL 128

_ qL 5 8

x _ qL 3 8

二.力法典型方程 1.不同的基本结构力法方程关系:
q

q

l

x1

q
11

x

1

?

点原结构转角为 0,即 ?1 ? 0 ;而 ?1 ? ?1 p ? ?11

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其中 ?11 ? ?11 ?1 ,即 ? 11 ?1 ? ?1 p ? 0 ( ?1 求出是力偶)
q C B
A

q C B
A

q

x x
1

2

Δ 2p

2

Δ 21

Δ 11

x
Δ 22

Δ 21

x

2

在 ?1 方向的位移: ?1 ? ?1 p ? ?11 ? ?12 ? 0 在 ? 2 方向的位移: ? 2 ? ? 2 p ? ? 21 ? ? 22

?11 ?1 ? ?12 ? 2 ? ?1 p ? 0
既:

?11 ?1 ? ?12 ? 2 ? ?1 p ? 0
? 22 ? 2 ? ? 21 ?1 ? ? 2 p ? 0
? 12 ——在 ? 2 ? 1 单独作用时引起 ? 方向的位移.

如原结改为:
x1
x1

Δ Δ 21

11

Δ 12 Δ 22
Δ 2p Δ 1p

x2

x2

力法方程: ?11 ?1 ? ?12 ? 2 ? ?1 p ? 0 :

? 21 ?1 ? ? 22 ? 2 ? ? 2 p ? 0
方程相同但 ?1 是水平反力, ? 2 是集中力偶含义与前不同。

二. 力法典型方程:n 次超静定方程的立法结构 1. 方程: ?11 ?1 ? ?12 ? 2 ? ?13 ? 3 ? ??1n?n ? ?1 p ? 0

Δ 1p

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? 21 ?1 ? ? 22 ? 2 ? ? 23 ? 3 ? ?? 2 n?n ? ? 2 p ? 0
…………………………………………………………

?n1 ?1 ? ?n2 ? 2 ? ?n3 ? 3 ? ??nn?n ? ?np ? 0
式中的数: ?ij ——第一角标表示位移的方向,第二个角标表示产生位移的原因.由 ?i ? 1 产生的 沿 ?i 方向位移。 自由数 ?ip —— 由荷载产生沿 ?i 方向的位移。 2. 系数的计算方法 : 主系数 ?ii ——是 ?i ? 1 时弯矩图自乘,恒为正。

?ij ——是 ?i ? 1 、 ?j ? 1 时两万句图相乘。 ?ij ? ?ji 。可正可负。
?1 p —— ?i ? 1 时弯矩图与荷载弯矩图相乘,可正可负。

17——3 对称性的利用
一. 对称: 条件:1〉结构的几何形状、支承情况对某轴对称 2〉EI.EA 值均相等。(对称) 而。对训结构在对称荷载作用下(奇数跨) 1.计算内力 x1.x2.x3
_ P 2 EI
l

a

a

_ P 2 EI

A

B

_ P x 2 x
3

2

P x_ 2 x
2 3

_ 2

l

x M
3

3

_ 2

l

A

EI

EI

B

力法方程: ?11 ?1 ? ?12 ? 2 ? ?13 ? 3 ? ?1 p ? 0

? 21 ?1 ? ? 22 ? 2 ? ? 23 ? 3 ? ? 2 p ? 0

? 31 ?1 ? ? 32 ? 2 ? ? 33 ? 3 ? ? 3 p ? 0
_ P( l _ ) _ P _ P _ P _ 2 h2 2 2( l h)
_ 2 _ 2 _ 2

l

M

x =1 _ M
1 1

P

h

h

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求系数: ?13 ? ? 31 ? 0

?3 p ? 0

? 23 ? ? 32 ? 0
?12 ? ? 21 ? 0
方法: ?11 ?1 ? ?12 ? 2 ? ?1 p ? 0

? 21 ?1 ? ? 22 ? 2 ? ? 2 p ? 0

? 33 ? 3 ? 0
解得 ? 2 ? 0 2.半刚架法: 移,没有转角和水平位移
_ _ P P 2 a a 2 E h _ L 2 _ L 2

结论:正对称内力 ? 1, ? 2 存在;反对称内力 ? 3 不存在。

从变形情况分析,E 点只有竖向位

_ P 2 EI EI _ L
2

E

三. 对称结构在对称荷载作用下(偶数跨)
D h P EI EI A L EI B L P E EI
h

F

P EI

EI B

EI

L

四. 对称结构在反对称荷载作用下(奇数跨)
_ _ P P 2 a a 2 E h _ L 2 _ L 2

_ PX 2
1

2

_ P 2
3 3

X XX E h _ L 2

_ L 2

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力法方程: ?11 ?1 ? ?12 ? 2 ? ?13 ? 3 ? ?1 p ? 0

? 21 ?1 ? ? 22 ? 2 ? ? 23 ? 3 ? ? 2 p ? 0

? 31 ?1 ? ? 32 ? 2 ? ? 33 ? 3 ? ?3 p ? 0
系数: ? 12 ? ? 21

? 13 ? ? 31 =0
?1 p ? 0 ? 2 p ? 0
_ 2

? 23 ? ? 32 ? 0
_ P( l _ ) _ P _ P _ P _ 2 h2 2 2( l h)
_ 2 _ 2 _ 2

l

x=1
2

l

M

P

x =1 _ M
1 1

1 1

1 _ M

x M
3

3

_ 2

l

2

h

h

1

? 11 ?1 ? ? 12 ? 2 ? 0

解得: ? 1 ? ? 2 ? 0

? 21 ?1 ? ? 22 ? 2 ? 0

? 3 存在.

? 33 ? 3 ? ? 3 p ? 0
结论:存在反对称内力,正对称内力为 0. 2.半刚架法: 从变形看无竖向位移,有水平位移及转角。
_ P 2 E EI h EI _ L 2 _ L 2 _ P 2 E'
h _ P 2 EI EI _ L 2

五. 对称结构在反对称荷载作用下(偶数跨)

8 — 1

位移法基本概念

一. 位移法的基本概念 1. 位移发育力法的比较:1〉力法把多余约束力选为基本未知量,位移法把节点位移选为基本 未知量。2〉力法是把超静定结构拆成静定结构,再由静定结构构过渡到超静定结构。位移 法是将结构拆成单个杆件,再由杆件过渡到结构。3〉力法是从静定结构为出发点,位移法 是以杆件位出发点。 二. 位移法的基本思路:

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Q

B

B Q
B

Q EI EI

B Q
B

B

C

C

B

P _ h 2

h
L
A

P EI

A

1〉转角位移产生杆端变矩 : ?? ?? ? ?? ? 4 Q? ? ? C ? 4 Q? ? ? ?? ?? ? ?? ? 2 ? C ? ? 2 Q? ? ? 2〉荷载作用产生德杆端变矩称为固端变矩 ? ? F F ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 8 8 3〉转角与荷载共同作用产生的杆端变矩: ?? 1 ? ?? ? 4 Q? ? ?? ?? (1) ? 8 ?? ? ?C ? 4 Q? ????(2) ? ?? ? ? ?? ? 2 Q? ? ? ………(3) ? 8 2?? ? C? ? 2 Q? ………………(4) ? 4〉如何求 Q? ?取结点 B 平衡。

??
4

?

? 0, ??? ? ??C ? 0

?? 1 ?? Q? ? ?? ? 4 Q? ? 0 ? 8 ?

Q? ? ?

?? 2 ? 将 Q? 代入式(1)(2)(3)(4)式求得 ? ?? , ? ?C , ? ?? , ? C? 32(? ? ?)??

18—2 位移法的基本未知量

一. 未知量: 1> 刚结点的角位移; 2> 刚结点的线位移。 二. 刚结点角位移未知量的确定:

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P
1

1 2

2

2 1

因为刚结点处各杆端转角相同,只有一个独立的角位移。所以 刚结点的数目就是角位移未知量的数目。 此例有两个角位移。 三. 刚结点相对线位移未知量的确定: 1〉直观法; 2〉铰化法。 直观法判断:2 个 铰化法判断:2 个

1. 直观法:在同一线(水平、竖直)刚结点线位移相等。 2. 铰化法:把所有的刚结点(包括固定端)都改为铰结点,如事务多余约束的几何不变体 系,则无线位移;如是可变体系,则使其成为几何不变体系所增加的链杆数就是线位移 数。
△2 △3 △ 1 △ 1

直观法 铰化 法

18—3 等截面直杆的转角位移方程

一. 正负号规定:
+ + M M +M + M

二. 等截面直杆的转角位移方程:
Q P
A

B Q
B

L

B

1. 两端固定梁: a. Q? 产生的杆端变矩: ? ?? ? 4iQ? , ? ?? ' ? 2iQ? b. Q? 产生的杆端变矩: ? ?? ' ' ? 2iQ? , ? ?? ' ' ? 4iQ?
'

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6i 6i ?, ? ?? ' ' ' ? ? ? ? ? ?? ?? F F d.荷载作用产生的固端变矩: ? ?? ? ? , ? ?? ? 8 8

c. ? 产生的杆端变矩: ? ?? ' ' ' ? ?

e.据叠 加原理的杆端变矩: Q? .Q? .?.? 共同作用产生的杆端变矩。 转角位移方程: ? ?? ? 2iQ? ? 4iQ? ?
? ?? ? 4iQ? ? 2iQ? ? 6i F ? ? ? ?? ?

6i F ? ? ? ?? ?

2. 一端固定一端铰支的梁:
? ?? ? ?iQ? ?
F 3i ? ? ? ?? ?

? ?? ? 0
3. 一端固定一端双链杆(滑动)支座:

Q A

P
A

B B'

? ?? ? iQ? ? ? ??

F

L

? ?? ? ?iQ? ? ? ??

F

说明:转角位移方程的作用:反映内力与变形的关系,如果求出 ? ,则能求出个杆内力.这是位移 法的核心问题。 6—3 无结点线位移刚架计算 讲 ?120 同 6—8 讲例 6—1、6—2 例:绘刚架内力图:

q= 20kN/m 3EI 3 i=1 i = _ 4 3EI 1 i=_ 2
4m 5m 4m

A 4EI B 5EI C

4EI

D

4m

6m

各杆刚度取相对值,计算方便。 ?? =1 解:1.未知量: ? ? ,? C , ? 3. 转角位移方程——杆端变矩

? ?? ? 3i??? ? ?

q? ?? 8

2

? 3? ? ?

20 ? 16 8

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? ?C

q? 20 ? 25 ? ? ?? ? 4i?C ? ? ? 2i?C ? C ? ? ? 4? ? ? 2? C 12 12 ? CB ? q? CB 20 ? 25 ? 4iCB? C ? 2iCB? ? ? ? 4? c ? 2? B 12 12
2

2

? CD ? 3iCD? C ? 3? C
6i?? 3 ? ? 4 ? ?? ? ? ?? 4 6? 4 3 4?

? BE ? 4i?? ? ? ?

? ?? ? 2i??? ? ?

6i?? 3 ? ? 2 ? ?? ? ? 4

6? 4

3 4?
1 2? 1 2?

? CF

6i 1 ? 4iCF ? C ? CF ? ? 4 ? ? ? ? ? CF 2

6? 6 6? 6

? FC ? 2iCF ? C ?

6iCF 1 ? ? 2? ?B ? ? CF 2

4. 求未知量 ? ? ,? C , ?
B M
BA

M

BC

M

BE

?m

?

?0

? ?? ? ? ?? ? ? BC ? 0
M M

即:10 ? ? ? 2? C ? 1.125? ? 1.7 ? 0
CD

CB

M

CF

??

C

?0
即:

? CB ? ? CF ? ? CD ? 0

2? ? ? 9?C ? 0.5? ? 4.17 ? 0
B A C D

Q

BE

Q

CF

?? ? 0
'

Q?? ? QCF ? 0

? ?? ? Q?? ? 4 ? ? ?? ? 0

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Q?? ' ? ?
M
BE

? ?? ? ? ?? 4

M

CF

Q'

Q' 6m

CF

BE

??

F

?0
QCF ' ? ? ? CF ? ? FC 6

4m Q M
EB

Q M
FC

EB

FC

整理上式: 6.75? ? ? 3? C ? 4.37? ? 0 联立方程解: ? ? ? ?0.94,?C ? ?4.94, ? ? ?1.94

5. 杆端 ? :

? ?? ? 42.82 K N.M ; ? BC ? ?47.82KN.M ; ? CB ? 23.82KN.M ? CD ? ?14.18KN .M ; ? CF ? ?8.19KN.M ;
6. 内力图:
A 42.82 42.78 B C23.82 14.8 D 8.91 M F 3.97

? ?? ? 5KN .M

; ? ?? ? 3.59KN .M

? FC ? ?3.97KN.M

5

E 3.59

Q,N 自己作
B
B 50.7 A + + 29.3 54.8 2.15 E 2.15 F C 45.2 + Q + D 3.7

2.15 E 105.5 N -

C

A

D

F 48.9

19—1 力矩分配法的基本原理

一. 原理:

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P A B
B

P

M
B

F B

(不平衡力矩 )
D

P A

M

g B

D

A

B
B

D

C

C

C

实际状态

固定状态

放松状态

三者关系:实际状态下弯矩=固式状态下的弯矩+放松状态下的弯矩。即:

???
?F ?u

F

? ?u 或 ? ? ? F ? ?C

——固端变矩; ——分配弯矩;
?C

——传递弯矩。

二. 固定弯矩,分配弯矩,传递弯矩: 1.固端弯矩:固定状态下使各杆成为单跨超静定梁,此梁在荷载作用下使杆端产生的弯矩为固端 弯矩。
M
F CB

M

F CF

P A

B

M

F CD

查得 ? ?? ? ?

F

?? ?? , ? ?? ? 8 8
F?

? ? ? ? ??

F

? BC ? ? BD ? ? ? ?i
F F

F

2. 分配弯矩:放松状态下个单杆在 ? ? ? 作用下的固端弯矩——近端,用 ? ? 表示。
F

a.分配系数:
B

=1
D

转动刚度——杆 BD 在 B 端转动了一个单位转角 ? ? 1 时的弯矩称 为该杆端的转动刚度。用 S BD 表示。

B

S BD —— 近端刚度; S DB ——远端刚度。
分配弯矩: ? ?? ? S ??? ? ? 4i??? ?
-M M
u BA F B

?

? BC ? S BC? ? ? 3iBC? ?
M
u BD

?

M

u

BC

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? BD ? S BD? ? ? iBD? ?

?

??
??
F

?

? 0; ? BD ? ? BC ? ? ?? ? ?? ?
F

?

?

?

F

S BD?? ? S BC?? ? S BA?? ? ???
Q? ? ?
?

?

?

S

则: ? ?? ? 分配弯矩:

?

S ??
?

S

(?? ? )

F

用 ? ?? 表示分配系数。

??? ? ??? (??? F )
? BD ? ? BD (?? ? )
? BC ? ? BC (?? ?
?
F

?

?

F

)

—— ? ? 产生的近端的弯矩。 说明:同一结点各杆的分配系数有下列关系: ? ? ?? ? 0

? ?? ? ? ?D ? ? ?C ? 1
3.传递弯矩:放松状太下由 ? ? 产生的固端弯矩(远端);用 ? C 表示。
B

B
B

A
B

D B

B

C

a. 传递系数: 由于: ? ?? ? 4i? ?
?

? ?? ? 2i? ?
C

? ?D ? i? ?

?

? D?

C

? ?i? ?

??C ? 3i??
而:

?

? C? ? 0
? 1 ? C ?? ——传递系数2

C

? ?? ? ??

C

?

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1 2 2.一端固定,一端滑动:C=-1 3. 一端固定一端铰支:C=0

1 .两端固定:C=

b. 传递弯矩(远端弯矩): ? ?? ? C?? ? ??

C

?

? DB ? CDB ? DB
? CB ? 0
4. 杆端最后弯矩:

C

?

F ? F C ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ; ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ;

其中: ? ?? ——查表;
? g ? ?? —— ? ?? 与(- ? ? )之乘积.
C ? ?? ——传递函数与分配弯矩之乘积。

F

三. 例题: 绘梁的弯矩图:

P=80KN/m
A

q =20kN/m EI 6m
C

EI 3m 3m

B

分配系数 固端弯矩 分配及传 传递弯矩 最后杆端 弯矩

0.4290.571 +90.00 -60.00 -12.87 -17.13 +60.00 -8.57 +51.43

+77.13 -77.13 77.13 77.13

51.43

25.72 81.5

例:绘图示刚架的弯矩图:

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q = 2KN/m C A 4m E 3EI 4EI B 5EI

10KN D 4EI

2EI 6m

F 4m 5m 2m 2m

1.分配系数:设 EI=1 i?? ?

4?? 5?? ? 1; i BC ? ?1 4 5

4?? 2?? 1 3?? 1 ? 1 ; i?? ? ? ; i BC ? ? 4 4 2 6 2 3 1 4 4 ? ? 0.333 ; ? BC ? ? ? 0.445 ; 结点 B: ? ?? ? 3? 4? 2 3 3? 4?3 9 iCD ?

??

?

? 0.333? 0.445? 0.222 ? 1
4 3 2 ? 0.445 ; ? CD ? ? 0.333 ; ? CF ? ? 0.222 4?3? 2 9 9

结点 C: ? CB ?

??

C

? 0.445? 0.333? 0.222 ? 1
g

2.弯矩: ? ?? ?
? CD ? ?
g

q? 2 2 ? 4 2 ? ? 4 KN ? M ; 8 8

3?? 3 ? 10 ? 4 ?? ? ?7.5 KN ? M 16 16
BE BC 0.222 0.445 0 0 1.67 -2.52 -1.26 0.28 -0.06 -0.12 -1.32 -0.7 EB -0.63 -0.03 -0.66 CD CB CF 0.445 0.222 0.333 -7.5 0 C 0 3.34 1.67 2.49 -1.26 0.28 0.42 0.56 0.06 2.64 1.95 -4.59 FC 0.84 0.14 0.98

BA

A

0.333 4B -1.89 -0.09 2.02

D

E

F

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4.59 2.02 0.07 2.64

C
1.32 1.95 7.7

D

A
2.99

B

0.66

E

F
0.98

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20—1 影响线的概念

一. 二.

活动荷载的类型:1、移动的集中荷载(a.单个 b.一组) 2、可动的均匀荷载(可任意布置的均匀荷载) 最不利荷载位置

定义:某量值(S)产生最大值时的荷载位置称为该值的最不利荷载位置。 确定最不利荷载位置的方法:借助影响线。 三. 影响线定义 定义:当一个方向不弯的(一般为竖向)单位荷载(P=1)沿结构移动时,表示某量值变化 规律的图形称为该量值得影响线。 20-2 用静力法作单跨静定梁的影响线 一. 简支梁的影响线 1、反力影响线(RA,RB)
x P =1

l

RA
1 (+)

RB

RA 影响线

RA=

L? X L

先找 P 与 X 之间的关系(影响线方程) RA 影响线: ? MB=0,RA ? L-1 ? (L-X)=0 RA 影响线方程 当 X=0 时,RA =1 X=L 时,RA =0 RB 影响线:

RA 影响线

? MA=0,-RBL+1·X=0
X L 当 X=0 时,RB=0 X=L 时,RB =1

RB=

2、弯矩影响线:(MC)
x

P =1 C
a l b ql 2

A

0

B

a

图20-2

ab l (+) HA 影响线 图20-3 c

b

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MC 影响线: 当 P=1 在 C 点左边移动(0 ? X ? a)时,从 C 截面截开取右段为研究对象:(按通常对弯距 正负的规定) x MC= RB · b= · b (0 ? x ? a) l 当 x=0 时,MC =0 ab x=a 时,MC = l 当 P=1 在 CB 段移动(a ? x ? l ) 时, 从 C 截面截开取左段为研究对象 l?x a (a ? x ? l ) MC = R A · a= l ab 当 x=a 时,MC = l x=l 时,MC =0 3.剪力影响线(QC):
P =1 C
a l 1 图20-2 l-a b l =l c (+) (-) a l 1 b

x

A

0

B

当 P=1 在(0<x<a)时,C 截面截开取右段, x QC=-RB=- (0 ? x ? a) l 当 P=1 在(a<x<l)时,C 截面截开取坐段: QC =RA(a<x<l) l?x = l

影响线 图20-4

二. 外伸梁的影响线 1、反力影响线(RA 、RB ):
x

P=1-x

0 x

P=1 B
l

P=1

A
c l-c l 1 (+) (+)

d

(-) R A 影响线 d l 1 (+) c l (-) R B 影响线 图20-5 (+) l+d l

当 P=1 在 AB 段内, l?a x RA = ,RB = (与简支梁相同) l l 当 P=1 在 EA 和 BD 段: 在 EA 段: l-1· [l+(-x)]=0 ? MB=0,RA · l?x RA = l 在 BD 段: ? MB=0,RA · l +1·(x-l)=0 x?l l ? x RA = ? = l l 顾可将简支梁 RA 、RB 影响线延长就是外伸梁 RA 、RB 影 响线。

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在 BD 段:同理 RA= 2.内力影响线(MC、QC)(在跨中) 当

l?x x ,RB = l l

P=1 在 CE 段:C 截面截开取右段: x x MC= RB·b= · b P=1-x P=1 l P=1 x C x QC= E -RB =- D A B l a b 当 P=1 在 CD 段,C 截面截开,取左段: c d l x l-x l?x l l MC= RA·a= · a l 图20-6 l?x QC= RA = l 结论:跨内任意截面内力影响线,只需相应简支梁影响线向两臂延伸。 3.外伸部分的内力影响线:
P=1 x K E
e c l d

A

B

D

K
(-) e MK 影响线

K
(-) 1 图20-8 Q K 影响线

以 K 点为例: 当 P=1 在 KD 段移动时,K 截开取左段: MK=0,QK=0 当 P=1 在 EK 取移动时,K 截开仍取左段: MK=-1(-x) (-e ? x ? 0 ) QK=-1 Mk=-1【-(-e)】=-e 20-3.影响线的应用 一. 利用影响线求当荷载位置固定时某量值的大小

1.当个集中力
P =1 C A
ab l

求:MC
B

MC=P·

ab ab ? l l

MK 影响线

2.一组集中荷载
P A
a l 1 b l
1

P C

2

P
b

3

B

求:QC 值 图中由 P 产生的 QC 是 P1y1,由 P2 产生的 QC 是 P2y2……,则 P1、P2、P3 作用下,QC 的数值是: QC =Py1+Py2+Py3

y

2

y
(+) a l 影响线

3

y

(-)
1

图20-9

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故得结论:一组集中荷载加于结构,而结构某量 S 的影响线在各荷载作用处的竖标为 y1,y2 ??那么 S= Py1+Py2+??= ?Piyi 2.均布荷载
q C A dx
a l b l (+) (-) a l 图20-10 w b

注:y 值有项之别。

B

求 QC 值 图中 qdx 可看成集中荷载,它所引起的 QC 值是(qdx)· y,则 在 AB 段均布荷载作用下的 QC 是

y

QC= ? q(dx ? y) ? q ? w
A

B

dx

其中 w-受载段影响线面积 注:面积有正负之别。

二. 确定最不利荷载位置(移动荷载) 1.单个集中荷载
P =1 A
2m 6 5 (+) (-) 2 5 影响线 图20-11

C B
3m 1m

求:Mcmax、Mcmin
6 如图:当集中移动到 C 点时有 Mmax=P· ; 5 2 当 P 移动到 D 点时有 Mmin=P· 5

2.均布荷载:(任意断续荷载) 如图:只有当荷载移动分布在这种情况下有 Mcmax=q· w1 A B C Mcmin=-q(w1+w2)
q w w2 (-) q
影响线 图20-12
1

(+) (-)

最不利荷载位置的必要条件:
w
3

( ? P 左+Pu)tg ? - ? P 右 tg ? >0
? P 左·tg ? -( ? P 右+PK)tg ? <0

q

h h (tg ? = ,tg ? = ) a b

即:

?P左 ? Pk ?Pt ? a b

Pu--临界荷载

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?P左 ?P右 ? a b

说明:能满足此条件的荷载位置有时不止一个,也就是同时有几个 PK,求出所有 Mcmax 比较,选一更 大值。 讲例题,部分习题。 3.均布荷载: 最不利位置: q
A
a P左

C
b P 右

B

P左 P右 ? a b

MC

3.一组集中荷载(各力间距不变,并且是抬空截面) 求:Mcmax 要求 Mcmax,则必定有某一个集中力作用 Mc 影响线的 P P 顶点处。设某一集中力 Pk,那么无论荷载向左还是向右, P P P P 都必然使 S(Mc)减少,如果这组荷载向右移动了 ?x 距
1 2 3 4 k 5

A

C
4

B

y y y y
1 3

离,则 ?Mc ? P1?y1 ? P2?y 2?? P5?y5,
y

y
1

2

由图看出在 AC 段:
5

h

α

x a MC 影响线 图20-713

?y ? ?x ? tg?
b

C

BC 段: ?y ? ??x ? tg? ` 当 P4(P k)位于 C 截面左边时(一组荷载向右移

动):
?Mc ? ( P1 ? P2 ? P3 ? Pk) ? ?x ? tg? ? P5 ? ?x ? tg?

如果求出 Mc>0,说明 ?Mc 随 x 增大而增大,此时的荷载位置还不是最不利荷载位置(产生 Mcmax 的位置); 当 P4(P k)位于 C 截面右边时(一组荷载向右移动):
?Mc ? ( P1 ? P2 ? P3) ? ?x ? tg? ? ( Pk ? P5) ? ?x ? tg?

如果求出 Mc<0,说明 ?Mc 随 x 增大而减小,此时的荷载位置已越过了最不利荷载位置。 三. 简支梁绝对最大弯距 将 Pk 设为临界荷载, ? MB =0 R RA= (l ? x ? a ) l

x

a

P1 P2 A
RA l 2

P3 PK

R

Pn B
l 2 RB

图20-14

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R (l ? x ? a ) · x-Mk l Mk—Pk 以左梁上荷载对 Pk 作用点的力矩总和要使 Mx 为极大值: dMx R ? (l ? 2 x ? a) ? 0 dx l l a x= ? --梁中线平分合力 R 与 Pk 2 2 只有(l-2x-a)=0 R Mmax=RA· X—Mk= (l ? x ? a ) · X-Mk l R l a = ( ? )2 ? M k l 2 2

Mx= RA·X-Mk=


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