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张家口市2016年高考考前模拟数学试题(理)B4


张家口市 2016 年高考考前模拟

8. 已知数列 ?an ?、 满足 a1 ? b1 ? 3 ,an ?1 ? an ? ?bn ? , 则 c2013 =

数学试题(理)
注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 2.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在相应的位置. 3.全部答

案在答题卡上完成,答在本试卷上无效. 第 I 卷(选择题 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. ) 1.如图, I 为全集, M 、 P 、 S 是 I 的三个子集,则阴影部分所表示的集合是 A. ? M ? P ? ? S C. ? M ? P ? ? CI S B. ? M ? P ? ? S D. ? M ? P ? ? CI S

bn?1 若数列 ?cn ? 满足 cn ? ban , ? 3 ,n ? N ? , bn

A. 92012 B. 272012 C. 92013 D. 272013 9.点 ( x, y) 是如图所示的可行域内(阴影部分且包括边界)的任意一点, 若目标函数 z ? x ? ay 取得最小值的最优解有无数个, 则 值是

y 的最大 x?a

I P

2i 2.设 i 是虚数单位,则复数 在复平面内所对应的点位于 1? i
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

S

M

1 2 1 C. D. 6 3 4 2 2 10.已知 e O:x ? y ? 1 ,若直线 y ? k x ? 2 上总存在点 P ,使得过点 P 的 e O 的两条切线互相 垂直,则实数 k 的取值范围为 A. k ? 1 B. k ? 1 C. k ? 2 D. k ? 2 11.已知 A 、 B 为双曲线 E 的左、右顶点,点 M 在 E 上,△ ABM 为等腰三角形,且顶角为 120° , 则 E 的离心率为
A. B. A. 5
3

2 5

B .2
2

C. 3

D. 2

( 3 ? 2a,a+1 ) 3.已知函数 f ( x ) 的定义域为 ,且 f ( x +1) 为偶函数,则实数 a 的值是

12. 函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 有两个极值点 x1 , x2 , 且 f ( x1 ) ? x1 , 则方程 3[ f ( x)]2 ? 2af ( x) ? b ? 0 的 不同的实根个数为 A .2 B .3 C.4 D.不确定

2 A. 3

B.2

C.4

D.6

4.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a , 顶点都在一个球面上,则该球的表面积为

2 2 4 4 8 8 正视图

1 1

第 II 卷(非选择题 90 分) 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案写在答题卡上. )
侧视图
n 13. ( x ? ) 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,则该展开式中

?a A.

2

2 B. ? a

11 3

2 C. ? a

7 3

5? a D.

2

5.如图是某几何体的三视图,正视图是等腰梯形, 俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环, 侧视图是直角梯形,则该几何体的体积等于 12? 16? A. B. C.20? D.24? 6.执行如图所示的程序框图.若输出的结果为 2,则 输入的正整数 a 的可能取值的集合是
i=0

1 x

1 的系数为_______. x2

14. 已知函数 y=sin ?? x ? ? ? (?>0, -? ? ? ? ? ) 的图像如图所示, 则? =
俯视图 俯视图

_______.

15. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 am?1 ? am?1 ? am2 ? 0 , S2m?1 ? 38 , 则 m ? _______.
是 输出 i 结束

否 开始 输入 a a=2a+3 i=i+1 a>13?

A. ?1,2,3,4,5?
2

B. ?1,2,3,4,5,6?

C. ?2,3,4,5?

D. ?2,3, 4,5,6?

16.如图,已知圆 M : ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 ,四边形 ABCD 为圆 M 的内 接正方形,E、F 分别为 AB、AD 的中点,当正方形 ABCD 绕圆心 M 转 uuu r uuu r 动时, ME ? OF 的最大值是________.

7. 已知点 P 是抛物线 x ? 4 y 上的一个动点, 则点 P 到点 M (2,0)的距离与点 P 到该抛物线准线的 距离之和的最小值为 A.

17 2

B. 5

C. 2 2
数学(理)

D.

9 2

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数学(理)

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三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分)凸四边形 PABQ 中,其中 A、B 为定点,AB= 3 ,P、Q 为动点,满足 AP=PQ=QB=1, (Ⅰ)写出 cosA 与 cosQ 的关系式; (Ⅱ)设△APB 和△PQB 的面积分别为 S 和 T, 求 S 2 ? T 2 的最大值, 以及此时凸四边形 PABQ 的面积. 18. (本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC-A1B1C 1 中, CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60° . (Ⅰ)证明:AB⊥A1C; (Ⅱ)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB, 求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值. 19. (本小题满分 12 分)PM 2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微 米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.PM 2.5 日均值在 35 微克/立方米 以下空气质量为一级;在 35 微克/立方米?75 微克/立方米之间空气质 量为二级;在 75 微克/立方米以上空气质量为超标. 石景山古城地区 2013 年 2 月 6 日至 15 日每天的 PM 2.5 监测数据如茎叶图所示. (Ⅰ)小陈在此期间的某天曾经来此地旅游,求当天 PM 2.5 日均监测数据未超标的概率; (Ⅱ)小王在此期间也有两天经过此地, 这两天此地 PM 2.5 监测数据均未超标.请计算出这两天空气 质量恰好有一天为一级的概率; (Ⅲ)从所给 10 天的数据中任意抽取三天数据,记 ξ 表示抽到 PM 2.5 监测数据超标的天数,求 ξ 的 分布列及期望. 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : 9x ? y ? m ? m ? 0? ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标
2 2 2

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ?=ex-- 1 x-ax2 . (Ⅰ)若 a=0 ,求 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 ,求 a 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框 涂黑.如果多做,则按所做的第一题记分. A 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,⊙O 与 ? ABC 的底边 BC 交于 M、N 两 点,与底边上的高 AD 交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点. (Ⅰ)证明: EF P BC ; (Ⅱ)若 AG 等于 e O 的半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求四边形 EBCF 的面积. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 ? x ? acos? 在平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( a ? b ? 0 , ? 为参数),以 Ο 为极点, x ? y ? bsin? 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 是圆心在极轴上且经过极点的圆,已知曲线 C1 上的点 E O B M D N C G F

M (2, 3) 对应的参数为 ? ? ,? ? 与曲线 C2 交于点 D( 2, ) . 4 3 4
(Ⅰ)求曲线 C1 和 C2 的普通方程; (Ⅱ) A( ?1 , ? ),B ( ? 2 ,? ?

?

?

?

?

2

) 是曲线 C1 上的两点,求 12 ? 1 2 的值.
?1 ?2

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,函数 f ( x) =| x + a | + | x - b | +c 的最小值为 4. (Ⅰ)求 a + b + c 的值;

轴, l 与 C 有两个交点 A 、 B ,线段 AB 的中点为 M . (Ⅰ)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ)若 l 过点 (

1 1 (Ⅱ)求 a 2 + b 2 + c 2 的最小值. 4 9

m , m ) ,延长线段 OM 与椭圆 C 交于点 P ,四边形 OAPB 能否为平行四边形? 3

若能,求此时 l 的斜率;若不能,说明理由.

数学(理)

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张家口市 2016 年高考考前模拟

数学(理)参考答案及评分标准
一、选择题 二、填空题 CBBCA CBDAA DB 9? 13. 56 14. 10 15. 10 16. 6

r uuu r ? ? ?n ? BC ? 0 ? x ? 3z ? 0 则 ? r uuu 即 ? 可取 n=( 3 ,1,-1). r ? x ? 3 y ? 0 n ? BB ? 0 ? ? ? 1 ? r uuu r r uuu r n ? AC 10 1 故 cos 〈, n AC . uuu r =1 〉= r 5 n ? AC 1
10 . ????????????12 分 5 19. 解(Ⅰ)记“当天 PM2.5 日均监测数据未超标”为事件 A, 因为有 2+4 天 PM2.5 日均值在 75 微克/立方米以下, 2?4 3 ? . ??????????????????????????2 分 故 P(A)= 10 5 (Ⅱ)记“这两天此地 PM2.5 监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”为事件 B, C1C1 8 P(B)= 2 2 4 ? ???????????????????????????5 分 C6 15 (Ⅲ)ξ 的可能值为 0,1,2,3. ?????????????????????6 分 由茎叶图可知:空气质量为一级的有 2 天,空气质量为二级的有 4 天,只有这 6 天空气质 量不超标,而其余 4 天都超标。 3 2 1 1 2 C6 C6 C4 1 C6 C4 3 C3 1 1 4 P(ξ=0)= 3 ? ,P(ξ=1)= ? ,P(ξ=2)= 3 ? ,P(ξ=3)= 3 ? . 3 C10 6 C10 2 C10 10 C10 30
所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 ξ 的分布列如下表: ξ 0 1 2 3

17. 解: (Ⅰ)在△PAB 中,由余弦定理得:PB2 ? PA2 ? AB2 ? 2PA ? AB ? cosA ? 4 ? 2 3cosA , 在△PQB 中,由余弦定理得: PB2 ? PQ2 ? QB2 ? 2PQ ? QB ? cosQ ? 2 ? 2cosQ , ∴ 4 ? 2 3cosA ? 2 ? 2cosQ, 即cosQ ? 3cosA ?1 ?????????????5 分 ; 1 3 1 1 (Ⅱ)根据题意得: S ? PA ? AB ? sinA ? sinA, T ? PQ ? QB ? sinQ ? sinQ, 2 2 2 2
2 2 ∴ S ?T ?

3 2 1 3 1 3 1 1 sin A ? sin 2Q ? sin 2 A ? (1 ? cos 2Q ) ? sin 2 A+ ? cos 2Q 4 4 4 4 4 4 4 Q cosQ = 3 cos A ? 1

3 2 1 1 sin A+ ? ( 3 cos A ? 1) 2 4 4 4 3 3 3 ? ? cos 2 A ? cos A ? 2 2 4 7 3 当 cos A ? ? (?1,1) 时, ( S 2 ? T 2 ) max ? , ????????????????10 分 8 6 3 1 33 3 此时 cos A ? , cosQ ? ? ,所以 sinA= ,sinQ= 6 2 6 2 3 1 11+ 3 所以: S+T= ??????????????????12 分 sinA+ sinQ= 2 2 4 ?S2 ?T 2 ?
18. (Ⅰ)证明:取 AB 的中点 O,连结 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB,所以 OC⊥AB.由于 AB=AA1, ∠BAA1=60??,故△AA1B 为等边三角形,所以 OA1⊥AB.因为 OC??OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C.又 A1C 平面 OA1C,故 AB⊥A1C. ??????????????????5 分 (Ⅱ)解:由(1)知 OC⊥AB,OA1⊥AB. 又平面 ABC⊥平面 AA1B1B,交线为 AB,

1 3 10 30 1 1 6 1 3 ∴Eξ=0× +1× +2× +3× = ?????????????????????12 分 6 30 5 2 10
P

1 6

1 2

20. 解:(Ⅰ)设直线 l : y ? kx ? b ? k ? 0, b ? 0? , A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , M ? xM , yM ?.
2 2 2 2 2 2 2 将 y ? kx ? b代入9 x ? y ? m 得 k ? 9 x ? 2kbx ? b ? m ? 0, 故 ……2 分

uur 所以 OC⊥平面 AA1B1B, 故 OA,OA1,OC 两两相互垂直.以 O 为坐标原点, OA 的方向为 uur x 轴的正方向, OA |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz. 由题设知

?

?

A ?1,0,0?,A1 (0,3,, 0) C (0,0,3),B(- 1,0,0) uu u r uuu r uuuu r uuur BC =(1,0,3), BB1=AA1=(-, 1 3,, 0) A1C =(0, - 3,3). r 设 n =(x,y,z)是平面 BB1C1C 的法向量,
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x1 ? x2 ?kb 9b ? , yM ? kxM ? b ? . …………………………………3 分 2 2 9?k 9 ? k2 y 9 于是直线 OM 的斜率 kOM ? M ? ? ,即k gkOM ? -9 xM k xM ?
所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值. …………………………………4 分
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(Ⅱ)四边形 OAPB 能为平行四边形. 因为直线 l 过点 (

故当 x∈(0,ln2a)时, f??(x)<0,而 f(0)=0,于是当 x∈(0,ln2a)时,f(x)<0. ……11 分 综合得 a 的取值范围为 (??, ] . …………………………………………………………………12 分

m , m ) ,所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k ? 0, k ? 3 . 3

1 2

9 由(Ⅰ)得 OM 的方程为 y ? ? x . k 9 设点 P 的横坐标为 xP , y ? ? x 与 9 x2 ? y 2 ? m2 联立解得 k

22.解(Ⅰ)由于 V ABC 是等腰三角形, AD ? BC ,所以 AD 是 ?CAB 的平分线. 又因为☉O 分别与 AB, AC 相切于点 E , F , 所以 AE ? AF ,故 AD ? EF .从而 EF PBC .…5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, AE ? AF , AD ? EF ,故 AD 是 EF 的垂直平分线.又 EF 为☉O 的弦,所以 O 在

xp2 ?

k m ? km 即 xp ? …………………………………………………6 分 2 9k ? 81 3 k2 ? 9
2 2

AD 上 . 连 结 O E, O M, 则 OE ? AE . 由 AG 等 于 ☉O 的 半 径 得

b? m 将点 ( , m ) 的坐标代入 l 的方程得 3

m(3 ? k) km(k ? 3) ,因此 xM ? ………8 分 3 2
3(k ? 9)

AO ? 2OE ,所以 ?OAE ? 30? .因此 V ABC 和 V AEF 都是等边三角形.
因为 AE ? 2 3 ,所以 AO ? 4, OE ? 2 因为 OM ? OE ? 2, DM ? 于是 AD ? 5, AB ?

四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分,即 xP=2xM. 于是

1 MN ? 3, ,所以 OD ? 1 . 2

? km 3 k2 ? 9

? 2?

km(k ? 3) ……………………………………………………10 分 3(k 2 ? 9)

10 3. . 3
16 3 .………………………………………………………………………………………10 分 3

解得 k1 ? 4 ? 7, k2 ? 4 ? 7. 因为 ki ? 0, ki ? 3, i ? 1, 2 , 所以当 l 的斜率为 4 ? 7 或 4+ 7 时,四边形 OAPB 为平行四边形. ……………12 分 21.解: (Ⅰ) a=0 时, f(x)=e -1-x, f??(x)=e -1. 当 x∈(-??,0)时, f??(x)<0;当 x∈(0,+??)时, f??(x)>0. 故 f(x)在(-??,0)上单调递减,在(0,+??)上单调递增.…………………………………3 分 x (Ⅱ) f??(x)=e -1-2ax. x 由(1)知 e ??1+x,当且仅当 x=0 时等号成立,………………………………………………4 分 故 f??(x)??x-2ax=(1-2a)x, ………………………………………………………………5 分 当 a?
x x

所以四边形 EBCF 的面积为 23. 解 ( Ⅰ ) 由 题 意 得

2=a cos

?

3

,

3 ? b sin

?

3

,所以

a ? 4 ,b ? 2, 所 求 C1

的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 4
设 曲 线 C2 的 方 程 为 :

? ? 2R cos?

, 将 点 D ( 2,

?
4

) 代 入 得 半 径 R=1 , 所 求 圆 C2 的 方 程 为

( x ?1)2 ? y2 ? 1 .……………………………………………………………………5 分
(Ⅱ)将 A(?1cos?,?1 sin ?), B(?2cos(? ?

?
2

) ,?2 sin(? ?

?
2

代入 ) )

1 时, 1-2a??0, f??(x)??0(x??0), f ( x ) 在 R 上是增函数, 2

又 f(0)=0,于是当 x??0 时,f(x)??0. 符合题意. ……………………………………………8 分 当a ?

1 x -x 时,由 e >1+x(x??0)可得 e >1-x( x??0). 2
x
-x -x

? ?12cos 2? ?12 sin 2 ? ? ?1 ? 16 4 x2 y 2 ? ? ? 1得 ? ? ? 2 2 2 2 16 4 ? ? 2 cos (? ? ) ? 2 sin (? ? ) 2 ? 2 ?1 ? 16 4 ?
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所以 f??(x)<e -1+2a(e -1)=e (e -1)(e -2a),
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x

x

? cos 2? sin 2 ? 1 ? 16 ? 4 ? ? 2 1 1 1 5 1 ,所以 1 整理为 ? ? 2 ? ? ? ……………………10 分 ? 2 2 2 ?1 ?2 16 4 16 ? sin ? ? cos ? ? 1 2 ? 4 ?1 ? 16
24. 解(Ⅰ)

f ( x) ? x ? a ? x ? b ? c ? ( x ? a) ? ( x ? b) ? c ? a ? b ? c
x ? b 时等号成立。

当且仅当 ?a ?

又 a ? 0, b ? 0 ,所以 (Ⅱ)由柯西不等式得

f ( x)min ? a ? b ? c ? 4 ,所以 a ? b ? c ? 4 ………………5 分

1 1 1 1 ( a 2 ? b2 ? c2 ) ? (22 ? 32 ? 12 ) ? ( a ? 2 ? b? 3 ? c?1) 2 ? (a ? b? c) 2 ? 16 4 9 2 3

1 1 b a c 1 2 1 2 2 8 3 2 ? ? 时等号成立 即 a ? b ? c ? ,当且仅当 2 3 1 4 9 7
所以当 a

8 18 2 1 1 8 ? , b ? ,c ? 时. ( a 2 ? b2 ? c2 )min ? ……………………………10 分 7 7 7 4 9 7

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