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2009年石嘴山市高三数学模拟试题(理)7(海南)student20090516


海南省国兴中学 海师附中 嘉积中学 三亚一中 2009 年高三联考数学(理)试卷

石嘴山市光明中学

潘学功

宁夏石嘴山市 2009 年高考数学(理科)模拟试题(七)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.命题“ ? x∈Z,使 x2+2x+m≤0”的否定是( ) A. ? x∈Z,使 x2+2x+m>0 C.对 ? x∈Z 使 x2+2x+m≤0 B.不存在 x∈Z,使 x2+2x+m>0 D.对 ? x∈Z 使 x2+2x+m>0

2.已知集合 A ? {x | y ? lg(2x ? x 2 )}, B ? { y | y ? 2 x , x ? 0} ,R是实数集,则 (CR B) ? A =( ) A. ?0,1? B. ?0,1? C. ?? ?,0? D.以上都不对 3.设 i 为虚数单位,则 1 ? i ? i ? i ? ? ? i
2 3

A.. i A. 7

B. ? i B. 15

C. 2i C. 31

?( ) D. ? 2i
10

开 始

4.若某程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的 B 等于( ) D. 63 A=1,B=1 A=A+1 A≤5?
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5.已知直线 l ? 平面? ,直线 m ? 平面? ,给出下列命题: ① ? ∥ ? ? l ? m ;② ? ? ? ? l ∥m;③ l ∥ m ? ? ? ? ; ④ l ? m ? ? ∥ ? 。中正确命题的序号是( )


B=2B+1 是

A.①②③

B.②③④

C.①③

D.②④

c, 6. ?ABC 的三个内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、 2 ) 。若 p // q , 已知 sin B ? 1 ,向量 p ? (a,b) , q ? ( 1, 则 ?C 角的大小为( ) A.π /6 B.π /3 C.π /2 D.2π /3
7.下面是高考第一批录取的一份志愿表。现有4所重点院校,每所院 校有3个专业是你较为满意的选择,如果表格填满且规定学校没有重复, 同一学校的专业也没有重复的话,你将有( )种不同的填写方法。 志 愿 学 A B C
2 3

否 输出 B

结 束 缚



专 第1专业 第1专业 第1专业
2 3 3

业 第2专业 第2专业 第2专业
2

第一志愿 第二志愿 第三志愿

A.4 ? ( A3 )
3

B. 4 ? (C3 )
3

C. A4 ? (C3 ) 3

D.A4 ? ( A3 ) 3

3

2

8.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m)

则该几何体的体积为( ) m A.7/3 B.9/2

3

C.7/2

D.9/4 ) D.1/2
10

? x ? 1,( ?1 ? x ? 0) 9.函数 f ( x) ? ? ? ? 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为( cos x , (0 ? x ? ) ? ? 2

A.3/2 10.若多项式 x ? x
3 10

B. 1 B. 10
高三理科模拟(七)

C. 2
9

? a0 ? a1 ( x ? 1) ? ? ? a9 ( x ? 1) ? a10 ( x ? 1) ,则 a9 ? ( )
C.-9
-1-

A. 9

D.-10

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2 2 11.已知双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,直线 l : y ? x ? t 交双曲线于A、B 两点, ?OAB 的面积为 S a b

(O 为原点) ,则函数 S ? f (t ) 的奇偶性为( ) A.奇函数 B.偶函数 C.不是奇函数也不是偶函数 D.奇偶性与 a 、 b 有关

12.定义一种运算 a ? b ? ? 的最大值是( ) A.5/4 B .1

?a, a ? b 5 ?? ? ?? ? 2 ,令 f ? x ? ? ?cos x ? sin x ? ? ,且 x ? ?0, ? ,则函数 f ? x ? ? 4 2? ? ? 2? ?b, a ? b
C. ? 1 D.-5/4
0.04 0.02 0.01 80 90 100 110 120 130 周长(cm) 频率/组距

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.为了解一片经济林的生长情况,随机测量了其中 100 株树 木的底部周长(单位:cm) 。根据所得数据画出样本的频率 分布直方图(如右) ,那么在这 100 株树木中,底部周长小 于 110cm 的株数是

14.从抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且 PM ? 5 ,设抛物线的焦点为 F,则 △MPF 的面积为

?x 2 ? 4x ? 0 15.若不等式组 ? ?? 1 ? y ? 2 表示的平面区域为 M, ?x ? y ? 1 ? 0 ?

( x ? 4) 2 ? y 2 ? 1 表示的平面区域为 N,现随机向区域M内
抛一点,则该点落在平面区域 N 内的概率是 16.某小朋友用手指按如图所示的规则练习数数,数到 2009 时 对应的指头是 (填出指头名称:各指头对应依次为大拇指、食指、中指、无名指、小拇指) 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 项依次为 3,7,13。求(1)数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)数列 {an ? bn } 的前 n 项和 S n 。
( 高考资。 。源 网

17. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 为等差数列,且 a1 ? 1 , {bn } 为等比数列,数列 {an ? bn } 的前三

18. (本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面是边长为 2 的 正三角形且侧棱垂直于底面,侧棱长是 3,D 是 AC 的中点。 (1)求证: B1C // 平面 A1 BD ;(2)求二面角 A1 ? BD ? A 的大小; (3)求直线 AB1 与平面 A1 BD 所成的角的正弦值。

高三理科模拟(七)

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19. (本小题满分 12 分)在一次食品卫生大检查中,执法人员从抽样中得知,目前投放我市的甲、乙两种 食品的合格率分别为 90 0 0 和 80 0 0 。(1) 今有三位同学聚会,若每人分别从两种食品中任意各取一件, 得不合格食品的件数,试写出 ? 的分布列,并求其数学期望。 求恰好有一人取到两件都是不合格品的概率;(2) 若某消费者从两种食品中任意各购一件,设 ? 表示购

20. (本小题满分 l2 分)设椭圆 C1:x /4 + y /b = 1(0<b<2)的离心率等于 3 /2,抛物线 C2:x =2py(p>0)
2 2 2 2

的焦点在椭圆的顶点上。 (1)求抛物线 C2 的方程; (2)过 M(-1,0)的直线 l 与抛物线 C2 交于 E、F 两点,又过 E、F 作抛物线 C2 的切线 l1 、 l 2 ,当 l1 ⊥ l 2 时,求直线 l 的方程。

21.(本小题满分 l2 分) 已知曲线 C: f ( x) ? x3 ? ax ? a , (Ⅰ )若 f ( x) 在区间[1,2]上是增函数,求实数 (Ⅱ )过 C 外一点 A(1,0)引 C 的两条切线,若它们的倾斜角互补,求 a 的值。 a 的取值范围;

C

四、选考题(本题满分 10 分,请从所给的三道题中任选一题做答,并在答
G

题卡上填写所选题目的题号,如果多做,则按所做的第一题记分. ) 22. (几何证明)如图, AB 是⊙ O 的一条切线,切点为 B ,
ADE , CFD , CGE 都是⊙ O 的割线,已知 AC ? AB 。
O

F D

A

(1)证明: AD ? AE ? AC 2 ; (2)证明: FG // AC 。

E B

? ? x ? ?2 ? 10 cos? ? 23. (极坐标参数方程)曲线 C1 的参数方程为 ? ( 为参数) ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? y ? 10 sin ?

? ? 2 cos? ? 6 sin ? 。 (1)将曲线 C1 的参数方程化为普通方程,将曲线 C 2 的极坐标方程化为直角坐标 方程; (2)曲线 C1 , C 2 是否相交,若相交请求出公共弦的长,若不相交,请说明理由。
24. (不等式选讲) (1)已知关于 x 的不等式 2 x ?

2 ? 7 在 x ? (a,??) 上恒成立,求实数 a 的最小值; x?a (2)已知 x ? 1, y ? 1 ,求证: 1 ? xy ? x ? y 。

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海南省国兴中学 海师附中 嘉积中学 三亚一中
2009 年高三联考数学(理)参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B A D B D A 答案 C D C A B 13.70; 14.10;15.π /15 16.答案:从第二行起,周期为8得对应的指头是大拇指。 17.解:①设公差为 d ,公比为 q ,由已知得 b1 ? 2, d ? 2, q ? 2 ? an ? 2n ? 1, bn ? 2 n n 2 n ?1 ② S n ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 1 ? 2n ? 1 n ? 2(1 ? 2 ) ? n ? 2 ? 2 。 2 1? 2 18.解(1)设 AB1 与 A1 B 相交于点 P,连接 PD,则 P 为 AB1 中点,? D 为 AC 中点,? PD// B1C 。 (2)? 正三棱住 ABC ? A1B1C1 ,? AA1 ? 底面 ABC。又? BD ? AC,? A1 D ? BD 又? PD ? 平面 A1 B D,? B1C //平面 A1 B D 。

? ?A1DA 就是二面角 A1 ? BD ? A 的平面角。? AA1 = 3 ,AD=1/2,AC=1, ? tan ?A1DA = 3 。 ? ?A1DA =π /3, 即二面角 A1 ? BD ? A 的大小是π /3 。 (3)由(2)作 AM ? A1 D ,M 为垂足。 ? BD ? AC,平面 A1ACC1 ? 平面 ABC,平面 A1ACC1 ? 平面 ABC=AC ? BD ? 平面 A1ACC1 ,? AM ? 平面 A1ACC1 ,? BD ? AM,? A1 D ? BD = D ? AM ? 平面 A1 DB ,连接 MP,则 ?APM 就是直线 A1B 与平面 A1B D 所成的角。 ? AA1 = 3 ,AD=1,? 在 Rt ? AA1 D 中, ?A1DA =π /3, A1 3 1 7 /2 。 sin ? APM ? 21 / 7 AB ? ? AM ? 1 ? sin60? ? 3 /2, AP ? 7 ? , 1 2 2 2 ? 直线 AB1 与平面 A1B D 所成的角的正弦值为 21 /7。
另解: (2)如图建立空间直角坐标系, 则 D(0,0,0) ,A(1,0,0) , A1 (1,0, 3 ) ,B(0, 3 ,0) ,

C1

B1

M

P C D

B1 (0, 3 , 3 )? A1B =(-1, 3 ,- 3 ) , A1D =(-1,0,- 3 ) 设平面 A1 BD 的法向量为 n =(x,y,z) ,则 n · ? A1B ? ?x ? 3y ? 3z ? 0
x ? ? 3z ,得 n =( ? 3 ,0,1) n· ? A1D ? ?x ? 3z ? 0 ,则有 ? ? ? y?0

A z
C1

B

由题意,知 AA1 =(0,0, 3 )是平面 ABD 的一个法向量。 设 n 与 AA1 所成为 ? ,则 cos? ?

A1

B1

n ? AA1 n ? AA1

?

1 , 2
D A x

C

? ? ? ? / 3 ,? 二面角 A1 ? BD ? A 的大小是π /3。 (3)由已知,得 AB1 =(-1, 3 , 3 ) , n =( ? 3 ,0,1)
则 cos? ? AB1 ? n ? 21 7 AB1 n

B

y

? 直线 AB1 与平面 A1B D 所成的角的正弦值为 21 /7

1? 0.2 ? 0.02, 19.(1) P(? ? 2) ? 0.
因为每人从两种食品中各取一件,两件恰好都是不合格食品的概率为 0.02,所以三人分别从中各取一 件,恰好有一人取到两件都是不合格品的事件,可看做三次独立重复试验问题。
1 ? P ? C3 (1 ? 0.02) 2 ? 0.02 ? 0.0576 (2) ? ? 0,1,2, P(? ? 0) ? 90 0 0 ? 80 0 0 ? 0.72 ,P(? ? 1) ? (1 ? 90 0 0 ) ? 80 0 0 ? 90 0 0 ? (1 ? 80 0 0 ) ? 0.26 P(? ? 2) ? 1 ? 0.72 ? 0.26 ? 0.02 , 所 ? 求的分布列为:

ξ P
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0 0.72
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1 0.26

2 0.02

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E ? = 0 ? 0.72 ? 1 ? 0.26 ? 2 ? 0.02 ? 0.30 。 20.解: (1)已知椭圆的长半轴为 2,半焦距 c ? 由 e ? 3 / 2 ,得 b ? 1 ,抛物线: x 2 ? 4 y 。
2

4 ? b2 ,

(2)由已知,直线 l 的斜率必存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , E ( x1 , y1 ) 、 F ( x2 , y 2 ) ∵y?

1 2 x 4

∴ y' ?

1 x 2

∴切线 l1 、 l 2 的斜率分别为

x1 x 2 x x 、 , 当 l1 ⊥ l 2 时, 1 · 2 =-1, 即 x1 x2 ? ?4 , 2 2 2 2


由?

? y ? k ( x ? 1) ?x ? 4 y
2

2 得 x ? 4kx ? 4k ? 0 。 ? ? (4k 2 ? 4 ? (?4k ) ? 0 ,解得 k ? ?1 或 k ? 0

∴ x1 x2 ? ?4k ? ?4 即 k ? 1 ,此时, k ? 1 满足①,∴直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 。 21. 解: (Ⅰ )函数 f ( x) 的导数为 f ?( x) ? 3x 2 ? a ,由题意可知 f ?( x) ? 0 对于 x ? [1,2] 恒成立, 即 a ? 3x 对于 x ? [1,2] 恒成立,可得 a ? 3 。
2

(Ⅱ )由(Ⅰ )知 f ?( x) ? 3x ? a ,过点 A(1,0)作曲线 C 的切线,
2

设切点 ( x0 , f ?x0 ?) ,则切线方程为: y ? (3x0 ? a)(x ? 1) ,
2 2 3

将 ( x0 , f ?x0 ?) 代入得: , f ( x0 ) ? (3x0 ? a)(x0 ?1) ? x0 ? ax0 ? a 即 2x0 ? 3x0 ? 0 (*) ,则 x0 ? 0
3 2

或 x0 ? 3 / 2 ,
C G

故满足条件的切线只有两条,且它们的斜率分别为 ? a 与 27/4 ? a , 则由 27/4 ? a ? a =0 得 a ? 27 / 8 22.证明:(1) ? AB为切线, AE为割线 ? AB2 ? AD ? AE 又 ?

AB ? AC ? AD ? AE ? AC 2 F A AD AC ? (2) 由(1)有 ∴ 又? ?EAC ? ?DAC O D AC AE ∴ ?ADC ~ ?ACE ∴ ?ADC ? ?ACE 又 E B ? ?ADC ? ?EGF ∴ ?EGF ? ?ACE ∴ GF // AC ? ? x ? ?2 ? 10 cos? 23.解: (1)由 ? 得 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 10 ∴曲线 C1 的普通方程为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 10 ? ? y ? 10 sin ?
∵ ? ? 2 cos? ? 6 sin ?
2 2

∴ ? 2 ? 2? cos? ? 6? sin ?
2 2

∵ ? 2 ? x 2 ? y 2 , x ? ? cos? , y ? ? sin ?
2 2

∴ x ? y ? 2x ? 6 y ,即 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 10 ∴ C 2 的直角坐标方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 10 (2) ∵圆 C1 的圆心为 (?2,0) , 圆 C 2 的圆心为 (1,3) ∴ C1C 2 ?

(?2 ? 1) 2 ? (0 ? 3) 2 ? 3 2 ? 2 10

∴两圆相交. 设相交弦长为 d ,因为两圆半径相等,所以公共弦平分线段 C1C2 ∴

d 3 2 2 ( )2 ? ( ) ? ( 10) 2 2 2
24.解: (1)? 2 x ? (2)因为 1 ? xy
2

∴d ?

22

∴公共弦长为 22 。

2 2 ? 7 ,? 2( x ? a) ? ? 7 ? 2a ? 7 ? 2a ? 4 x?a x?a
2

?a ?

3 2

? x ? y ? (1 ? a 2 )(1 ? b 2 ) ? 0, 所以 1 ? xy ? x ? y
-5-

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