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一道平面几何题的深入探究


一道平面几何题的深入探究
浙江师范大学数理与信息工程学院 数学与应用数学 董佳升 姜佳姮 吴晴飘 祝佳琪 143 班

摘要 一道平面几何题往往可以从不同的知识层面去考查我们运用所学知识分析并解决问题
的能力,如“证明三角形的三条中线共点”,便是这样一道具有多解性的好题.本文用 几何法,向量法,坐标法,综合法这 4 种不同的方法,以归纳总结的方式,对此题的多 解性展开讨论.

关键词

平面几何;多解;向量法;几何法;坐标法;综合法

1.引言 本文参考了《解析几何教材》和《平面解析几何方法证明方法》全书,归纳总结,
以供我们以后对一道几何题从不同方面进行思考。一题多解可以锻炼我们思维的全 面性,严谨性,逻辑性,从而使加深我们对几何问题的认识,初步了解几何思想, 为我们之后的几何学习奠定基础。

2.一道平面几何题目的证明
[证明] 三角形的三条中线共点
解决一道平面几何题的方法归纳:证明一个平面几何问题一般有以下几种方法:坐标法,反证法,面 积法,代数法,参量法,三角法,割补法,几何变换法,射影法,消点法,分析法等,但是以我们目前的 学习情况我们常用的大致有这些方法:反证法,面积法,代数法,参量法,分析法。

以下以证明三角形的中线交于一点为例, 从多种解题思路和目的出发, 探究了不同的证明方法.

2.1 解题思路 1:D,E 分别为 BC,AC 的中点,连接 AD,BE,
使之交于点 O,延长 CO 交 AB 于点 F, 求证:F 为 AB 中点.

解法 1.(几何法)利用中位线定理

在△ABC 中,D,E,F 分别为 BC,CA,AB 的中点, 连接 AD,BE 交于点 O, 连接 CO 并延长交 AB 于点 H, 延长 OD 于点 G,并使 OD=DG. ∵BD=CD,OD=DG ∴四边形 BOCG 是平行四边形. ∴BO∥CG, ∴OE∥CG. ∵AE=EC ∴AO=OG. 又∵OC∥BG ∴OH∥BG, 又∵AO=OG ∴AH=BH F 为 AB 中点 ∴H 与 F 重合 ∴AD、BE、CF 交于一点 即三角形的三条中线共点.

解法 2.(几何法)利用相似三角形

△ABC 的两条中线 AD,CF 交于点 O, 连接 BO 并延长交 AC 于点 E. 过点 O 作 MN∥BC,交 AB 于点 M,交 AC 于点 N; 过点 O 作 PQ∥AB,交 BC 于点 P,交 AC 于点 Q. ∵MN∥BC, ∴△AMO∽△ABD,△AND∽△ACD, ∴ MO = AO = NO
BD

AD

CD

∵AD 是△ABC 的一条中线 ∴BD=CD,MO=NO. 同理:OP=OQ. ∴△MOP∽△NOQ,∠ MPO=∠ NQO, ∴MP∥NQ 且 MP=NQ, ∴△BMR∽△BAE,△BPR∽△BOC, ∴

MR BR PR BR = , , = AE BE CE BE

易证 BMOP 是平行四边形 ∴MR=PR ∴AE=CE,即 E 为 AC 中点, ∴三角形的三条中线共点.

解法 3.(几何法)利用面积法

在△ABC 中,D,E,F 分别为 BC,CA,AB 的中点, 连接 AD,CF 交于点 O, 连接 BO 并延长交 AC 于点 E. ∵D 是 BC 中点, ∴S △ ABD =S △ ACD ,S △ OBD =S △OCD , ∴S △ ABD -S △ OBD =S △ ACD -S △OCD ,即 S △ AOB =S △ AOC . ∵F 是 AB 中点, ∴S △ CAF =S △ CBF ,S △ OAF =S △ OBF , ∴S △ CAF -S △ OAF =S △ CBF -S △ OBF ,即 S △ AOC =S △ BOC . ∴S △ BOC =S △ AOB . ∵

S△ AOE OE S△COE OE = , ,S △ AOB =S △ BOC , = S△ AOB OB S△COB OB

∴S △ AOE =S △ COE ∴AE=CE,E 为 AC 中点, ∴三角形的三条中线共点.

解法 4.(几何法)综合法

在△ABC 中,D、E 为 AC、AB 中点, 连结 BD、CE,交于点 O,连接 AO 并延长,交 BC 于点 M, 过 O、A 作 BC 的垂线,垂足分别为 P,Q, 连接 ED、DM. ∵D、E 分别为 AC、AB 中点, ∴DE∥BC,且 DE= ∴△EDO∽△CBO ∴

1 BC, 2

BC BO CO 2 = = = , ED OD OE 1

1 ? S△BCD = S△ ABC ,且 BO:BD=2:3 2
∴ S△ BOC

2 1 = S△ BCD = S△ ABC 3 3

∵△BOC 与△ABC 同底 ∴ OQ =

1 AP 3

∴OM:AM=1:3,AO:OM=2:1=BO:OD
∴△ODM∽△OBA

∴DM∥AB
∵D 为 AC 中点 ∴M 也为 BC 中点 ∴AM 为 BC 中线, ∴△ABC 的三条中线交于一点 O.

解法 5.坐标法 以 B 为坐标原点,BC 方向为 x 轴正方向,建立平面直角坐标系.D,E,H 分别为 BC,AC,AB 的中点. 令 A(m,n),C(c,0),

则 H(

m n c m+c n , ),E( , ),D( ,0) 2 2 2 2 2

直线 BE 的方程: y =

n x m+c
n ( x - c) m - 2c

直线 CH 的方程: y = BE、CH 交于一点 O ∴

n n ( x - c) x= m - 2c m+c
x= m+c 3

解得

∴点 O 的坐标为(

m+c n , ) 3 3

连接 AQ 并延长交 BC 于点 F 直线 AF 的方程: y = 把 y=0 代入 AF
2n (x - m) +n , 2m - c

c x= ,y=0 2 c F( , 0) 2
∴点 H 与点 F 重合. ∴三角形的三条中线共点.

解法 6:向量法 在△ABC 中,令 BA = e1 , BC = e2 设

BF = λe1 ,
μ BO = μ BE = (e1 + e2) 2



AO = AB + BO = (

μ μ - 1)e1 + e2 2 2

又∵ ∴

AO = η AD = η (-2e1 +e2 )
μ -2 = -2 μ

即μ =

2 3
1 3 1 3 1 1 2 1 BA+ BC = BF + BC 3 3 3 3

∴ BO = e1 + e2 = 即λ=

1 2

∴F 是 AB 中点 ∴三角形的三条中线共点.

2.2 解题思路 2:已知 D,E,F 分别为 BC,AC,AB 的中点 连接 AD,BE,CF,使之交于点 O 求证:点 O 在线段 CF 上

解法 1:向量法 在△ABC 中,令 BA = e1 , BC = e2

1 FC = - e1 + e2 2


μ BO = μ BE = (e1 + e2) 2
λ AO = λ AD = -λ e1 + e2 2

又∵ AO = ∴

AB + BO = (


μ μ - 1)e1 + e2 2 2

μ - 1 = -λ 2
即λ=μ =

λ μ = 2 2

2 3

∴ OC = OB + BC = - e1 + e2 = ∴O 在 FC 上 ∴三角形的三条中线共点.

1 3

2 3

2 FC 3

解法 2.向量法

在△ABC 中,D,E,F 分别为 BC,CA,AB 的中点, 连接 AD,BE 交于点 O.

BA = e1 , BC = e2
1 AD = AB+ BD = e2 - e1 , 2

1 BE = (e1 + e2 ) , 2
令 BO = λ BE ,

λ λ AO = AB + BO = ( - 1)e1 + e 2 , 2 2
∵ AO 、 AD 共线,
1 2 ∴ 2 = -1 , λ = , λ λ 3 -1 2 2

∴ CO = CB + BO =

λ λ 1 2 e1 + ( - 1) e2 = e1 - e2 , 2 2 3 3

1 2 CF = CB + BF = e1 - e2 = CD , 2 3
∴ CF 与 CO 共线,O 在 CF 上,

∴AD、BE、CF 交于一点,即三角形的三条中线共点.

解法 3.坐标法 以 B 为坐标原点,BC 方向为 x 轴正方向,建立平面直角坐标系.D,E,F 分别为 BC,AC,AB 的中点. 令 A(m,n),C(c,0),F(

E(

c m+c n , ),D( ,0) 2 2 2

m n , ), 2 2

直线 BE 的方程: y =

n x m+c
n ( x - c) m - 2c

直线 CF 的方程: y = BE、CF 交于一点 O ∴

n n ( x - c) x= m - 2c m+c
x= m+c 3

解得

∴点 O 的坐标为(

m+c n , ) 3 3
2n c (x - ) , 2m - c 2

直线 AD 的方程: y =

把 x=

m+c 3

代入 AD

y=

2n m + c c 2n 2m+ 2c 3c n ( - )= ( - ) = 2m - c 3 2 2m - c 6 6 3

∴点 O 在直线 AD 上. ∴三角形的三条中线共点.

解法 4:几何法 在△ABC 中 D,E,F 分别为 BC,AC,AB 的中点 连接 AD,BE,交于点 O, ∵DE 为△ABC 的中位线 ∴ DE ∥ AB 且 DE = ∴△ABD∽△DEO 且

1 AB 2

AO BO AB 2 = = = DO EO DE 1 1 BE 3

∴ OE =

连接 EF,与 CF 交于点 P 同理可得

1 PE = BE 3

∴点 O 与点 P 重合 即点 O 在 CF 上 ∴三角形的三条中线共点.

2.3 解题思路 3:已知 D,E,F 分别为 BC,AC,AB 的中点, AD,BE,CF 两两分别相交于点 O,P,Q, 求证:点 O,P,Q 三点重合

解法 1:几何法 在△ABC 中,D,E,F 分别为 BC,AC,AB 的中点, BE 与 CF 交于点 O, AD 与 CF 交于点 P.令

S△OAF = a , S△OBF = b , S△PBD = c , S△PCD = d , S△QCE = e ,

S△QAE = f , S△AOQ = g , S△OBP = h , S△PQC = i , S△OPQ = j ,
∵D,E,F 分别为 BC,AC,AB 的中点 ∴a=b,c=d,e=f c+d+h=e+f+g+i+j a+b+g=c+d+h+i+j e+f+g=a+b+g+h+j
①+② ②+③ ①+③

??① ??② ??③

a+b=e+f+i+i+j+j e+f=c+d+h+h+j+j c+d=a+b+g+g+j+j a=e+i+j e=c+h+j c=a+g+j ??④ ??⑤ ??⑥

④+⑤+⑥

0=g+h+i+j+j+j

∴g=h=i=j=0 ∴O、P、Q 三点重合.
∴三角形的三条中线共点.

解法 2:坐标法 以 B 为坐标原点,BC 方向为 x 轴正方向,建立平面直角坐标系. D,E,F 分别为 BC,AC,AB 的中点.连接 AD,BE,CF。 令 A(m,n),C(c,0),

则 F(

m n c m+c n , ),E( , ),D( ,0) 2 2 2 2 2

直线 BE 的方程: y =

n x m+c
n ( x - c) m - 2c

直线 CF 的方程: y =

y=
直线 AD 的方程: BE、CF 交于一点 P ∴

c (x - ) c 2 m2

n

n n ( x - c) x= m - 2c m+c
x= m+c 3

解得

同理 BE,AD 交于 O AD,CF 交于 Q

得出 O(

m+c n m+c n , ),Q( , ) 3 3 3 3

故 P,Q,O 三点重合 ∴三角形的三条中线共点.

解法 3.向量法
在△ABC 中,令 BA = e1 , BC = e2 如图(1) 设 AB 边上的中线为 CD,取 O 使得 CO:OD=2:1 如图(2) BO = BC + CO = e 2 + ( e1 - e2 ) = (e1 + e2 ) 设 BC 边上的中线为 AE,取 P 使得 AP:PE=2:1

2 1 3 2

1 3

(1)

1 1 1 BP = BA+ ( BA - BC) = (e1 + e2 ) 2 2 3
如图(3) 设 AC 边上的中线为 BF,取 Q 使得 BQ:QF=2:1 (2)

2 2 1 1 BQ = BF = [BC + ( BA - BC)] = (e1 + e2 ) 3 3 2 3
∴O、P、Q 三点重合. ∴三角形的三条中线共点. (3)

3.结论
几何法是我们同学最早接触也是最为熟悉的, 而向量法与坐标法也都是解析几何重要的 思想方法和主要的研究工具。 坐标法的特点是比较具体直接,而向量法体现了抽象与具体的完 美结合。 用坐标法解决问题时,关键在于建立适当的坐标系,建立坐标系的原则是使图形中尽可 能多的顶点在坐标轴上,一般而言,我们都采用直角系。 用向量法解决问题时, 前提是会将几何命题与向量间的关系互译,关键在于选择适当的 基向量,借助向量的运算,并用基向量表示其它向量。 在具体问题中, 选用向量法还是坐标法应具体问题具体分析,多角度思考问题有利于培 养学生思维的灵活性、深刻性,提高学生的数学能力。 对解析几何的研究不应该是题海战术,而应该精选题目,多角度、多层次的探究。对一 道题目的深入探究往往要比对许多题目的浅尝辄止能学到得更多。 一题多解的探究能使自己学 会从不同角度分析问题、研究问题,领悟数学思想的精妙之处,最大限度地提高自身的思维水 平,激发对数学探索的激情。本文通过探究三角形三条中线的交于一点的证法,初步知道平面 几何问题的探究方法,有利于以后对于几何问题的深入思考。

【参考文献】

[1]吕林根,许子道,解析几何[M],高等教育出版社,2006 [2]沈文选,平面几何证明方法全书[M],哈尔滨工业大学出版社,2005 [3]郑平,对向量法与坐标法的一些认识[J],中国科技信息,2009,

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