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台北市立第一女子高级中学八十八学年度校庆科学展览作品说明书


台北市立第一女子高級中學八十八學年度校慶科學展覽作品說明書 組別﹔ 數學組 作品名稱:四角的震撼 作者姓名:二讓 王美雯 廖芷嫻 陳致豫 黃郁芳 指導老師:許秀聰老師 蘇麗敏老師 編號:M10

一. 研究動機 在上了高二之後,因為課業壓力的增大以及繁重,我們往往忘記了實際在現實生活之中的學 問,而只是在舊式的課本教學之中度

過;後來,我們接觸到了所謂”模式”的數學概念,又加上希 望從數學的遊戲中學習,在我們的日常生活之中,我們找到了風靡於世界的一種新新遊戲----四角 拼圖,從遊戲之中,我們希望能夠發現另一種不一樣的模式,從拼圖當中,我們希望找出數學的 樂趣,所以我們開始著手於研究。

二. 研究目的 從3╳ 3的四角拼塊之中,找出其唯一解型態的規律,利用實驗,進而推廣到4╳ 4甚至是 更多的四角拼圖,當然,都是唯一解的形式,這樣,我們是否能夠依循這樣的模式來自己製作四 角的拼圖呢?

三. 研究過程 我們先來把我們所要研究的題目再做一次完整的表達:首先是我們採用在正方形的四邊皆有
1

圖形的正方形拼塊 N 塊,首先先固定所有拼塊的方向,在所有的拼塊之中,沒有一個拼塊的圖形 是一樣的,而且拼塊之中的圖案不可以有三個以上是一樣的;圖形必須有頭有尾,我們便是利用 他的頭尾作拼組的動作;也就是說,假設有九塊拼圖,則拼圖的四邊各印有不同的圖案,而拼者 必須將這些卡片排成3╳ 3的正方形,而緊鄰的四邊圖案及顏色必須相吻合。如附圖。 確定題目的方向之後,我們試著從3╳ 3的拼圖之中找出其解,利用實驗的方式進行,因為 我們並不知道結果將會如何所以我們記下了每一個拼出來的圖形,發現了一件很奇異的事,不管 如何去拼它,它永遠是唯一個的一個解,這讓我的更有興趣了,為了要去證實這樣的理論是真的 正確的,我們決定用機率的可能性一個一個來拼,最後還是這樣的結果,我們姑且將其當作我們 最初的條件。 爾後,我們在尋求其解的過程之中,我們發現了一件很有趣的事,那就是,我們能夠從其中 找到一個最基本構成一解的模式,如下圖一。

(1)我們由此做個一個很大膽的假設,我們擺脫所有圖形的限制,只有管圖形的走向,所 以的圖形都有所謂的頭和尾,我們依照頭尾的方向,畫出了上圖,這是我們在一個真實 的四角拼圖遊戲中見到的,為了查看這樣的假設是對的,我們自己製作了幾個拼圖,完
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全不管圖形的擺設,結果發現,我們可以列出下列的規則:

1. 在F、A、B與G直線之中,各有三個圖形,而這三個圖形的方向,二個是一樣的,一 個是不同的,而就C和D和E大排之中,各有兩個圖形,其中C、D、E三大排之中, 必有兩排的走向是兩個圖形都一樣的,以六排之中,必有一排內之圖形是非同向的,無 論是以哪一個角度去看,都會有一樣的結果。我們列舉基本的兩種情形來說明之。如下 圖三、四。

我們依循著這樣的模式,做了數次的試驗,結果可以發現這樣的情形真的只能造成一個 解!我們重新將其歸納一遍;如果依循著這樣,不管其種類來說,這樣的組合先就單一 角度而言,總共有 〔12╳ 2種 (兩個方向) 情形。下列先列出單一方向的十二種情況。 〕
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因為有兩個方向的角度,所以就會有〔12╳ 12-36(必有一不同向之排)╳ 2種〕 排列方式,會出現單一解的圖形,但是,不可否認的它都會依循著我們上述的模式在進 行;既然我們發現了所謂的模式,那我們是否就能夠推廣到4╳ 4的正方形呢? 2. 我們把4╳ 4的拼圖,依循著模式列出了六種可能性如下:

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然後我們用自製拼圖的方式,來做實驗,我們發現了圖18、圖20和圖21和圖22 都會出現其他的解,這是令人雀躍的,因為我們最後可以發現,留下來的三種圖形,都 是以兩個為一組的方式在做組合排列,而且,是依循著我們所找到的模式在進行的!

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這裡的模式是和3╳ 3的情形是大致上相同的,在線h、a、b、c、i之中,各有四 個圖形,在這四個圖形之中,兩兩為一組,兩組反向,但是組中的圖形皆會同向進行; 而在格子中d、e、f、g之中,則必有兩排內的圖形是同向進行的,且在所有的排之 中並有一非同向進行的;下方列出基本的兩種情形。

根據上述的情形,我們也再做了數次的實驗,發現其真的只有一個解!我們再將它重新 在整理一遍,就會共有〔6(直)╳ 24(橫) (圖24)+24(直)╳ 24(橫) (圖 25〕╳ 2(兩個方向),一共是1440種情形,由於是基本情形眾多,又模式與3 ) ╳ 3時相同故我們在此並不一一列出。 3.知道上述的情況之後,我們將方塊推回2╳ 2的情形,看看也是否有一樣的結果出現? 當然,如我們所料的得到了同樣的結果,這就代表著這種樣式的排列,能夠造成一組解的 N╳ N拼塊塊許N將屬於自然數,所以我們從2╳ 2到4╳ 4逐步做下列的工作;

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您使否也察覺到了它的變化,利用2╳ 2的一組解圖形可以伸展、推廣到3╳ 3的一組解 圖形再推到4╳ 4的一組解圖形。 由上述的研究,我們可以發現2╳ 2、3╳ 3帶入此模式中會使其只有一組解,而當我們 帶4╳ 4的圖形進到此模式之中,也可發現其只有一解,並且在推廣的過程之中,其一直 遵守著這樣的規律進行著,以下,我們試著用上述所得到的結果來做一個小小的證明。 4.已知有N╳ N之四角拼塊,且每塊的圖案不同,遵守四角拼圖的規定。 證明;當N帶入規律為:其在平行與垂直於地平線的線上(包括交線及邊界)各有N個圖 形,而此N個圖形以N/2及N/2或(N/2)+1/2及(N/2)-1/2 為分組,兩組互相反向進行,而組中的圖形同向進行;另外,以橫格來看,則必有 (N/2)+1/2或N/2排內之圖形同向也必有一排內之圖形不同向;在此規 律之中,N∈自然數(N≥2) 。 (1)當N=2時,則一解圖形以1和1為組,兩組反向進行。如圖27 (2)當N=3時,則一解圖形以2和1為組,兩組反向進行,以橫格來看則必有兩排內 之圖形同向進行。如圖28 (3)當N=4時,則一解圖形以2和2為組,兩組反向進行,以橫格來看則必有兩排內
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之圖形同向。如圖29 (4)由圖27、圖28可知,當N=2時之一解圖形,可用於構成N=3時之一解圖形, 即N=3時之一解圖形之中已有一固定圖形即為N=2時之一解圖形,再依模式加 上五塊圖形即為一解圖形。 (5)由圖28、29可知,當N=3時之一解圖形,可用於構成N=4時之一解圖形, 即N=4時之一解圖形之中已有一固定圖形即為N=3時之一解圖形,再依模式架 上七塊圖形即為一解圖形。 (6)由數學歸髂法可知,當N=k(k≥2)時可以為其解,又N=k+1時亦可以得 其解,則此模式合於有所自然數,即N∈自然數(N≥2) 。

四. 研究結果 (1)在四角拼圖之中,我們可以發現一個模式,就是無論為N╳ N的四角拼圖中,以單角度而 言,在平行與垂直於地平線的線上(包括交線及邊界)各有N個圖形,而此N個圖形以N /2及N/2或(N/2)+1/2及(N/2)-1/2為分組,兩組互相反向進行, 而組中的圖形同向進行;另外,以橫格來看,則必有(N/2)+1/2或N/2排內之 圖形同向也必有一排內之圖形不同向;在此規律之中,N∈自然數。 (2)我們以可自製出有趣好玩而且只有一組的四角拼圖,於當日展出時同步展出。 (3)我們發現循著模式便能很快且運用記憶的方式拼出拼圖喔!

五. 未來展望及感想
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(1)在這一次的研究之中,因為時間較為緊迫的緣故,只有倉促地找出其模式,並未試著 去證明是否能夠擴展到所有的數,我們希望會有這樣的結果發生,那麼上述的結論之中 N就屬於自然數了! (2)我們能夠推廣完所有的平面問題之後,我們希望能夠將其推廣到立體空間之中,不但 希望能夠找出奇特有的模式,甚至希望能夠找出其拼法種類的多寡之公式。 (3)除了傳統的實驗方法之外,我們希望還能夠從多一點的數學角度去看這個模式,說不 定能找出一些多一點的數學概論! 六. 參考資料及其他 無參考資料,以下為製作時所自製的四角遊戲拼圖(於展出當日同步展出) ,皆只有一解。 ~實圖請見繳交說明書

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