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河北省衡水市冀州中学2015-2016学年高一上学期第五次月考数学(理)试卷A卷


河北冀州中学 2015—2016 学年上学期月五考试 高一年级理科数学试题
考试时间 120 分钟 试题分数 150 分

一、 选择题: (共 15 小题,每小题 4 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要求的。 ) 1.设集合 ? ? x x ? x , ? ? x lg x ? 0 ,则 ? ? ? ? (

2

A. ? 0,1?

?

B. ? 0,1? )

?

?

?



C. ? 0,1? A. 0 B. 1

D. ? ?? ,1? C. 2 ) D. 4

2. 2 log 5 10 ? log 5 0.25 ? (

? x 2 ? 1, ( x ? 2) 3.已知函数 f ( x ) ? ? ,则 f (1) ? f (3) ? ( ? f ( x ? 3), ( x ? 2)
A.-7 B.-2 C.7 D.27

4. 已知直线 PQ 的斜率为 ? 3 , 将直线绕点 P 顺时针旋转 60°所得的直 线的斜率是( A.0 B.

)

3 3

C. 3

D.- 3

5.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示,则相应的侧(左) 视图可以为 ( )

6.已知 l , m , n 是三条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,下列命题 正确的是( ) A.若 m ? l , n ? l ,则 m / / n B.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? / / ? C.若 m / / l , n / / l ,则 m / / n D.若 m / /? , n / /? ,则 m / / n )

7.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为(

A.

3 ? R3 24

B.
b

3 ? R3 8

C.

5 ? R3 24

D.

5 ? R3 8

?1? 8.若 log2 a<0, ? ? >1,则( ? 2?
A.a>1,b>0 B.a>1,b<0

). C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0

1

9.函数 f ? x ? ? ( ) x ? ( ) x ? 1, x ? ? 0, ?? ? 的值域为(

1 4

1 2



A. ? ?

? 5 ? ,1? ? 4 ?

B. ? ?

? 5 ? ,1? ? 4 ?

C. ? ?1,1?

D. ? ?1,1? ) D. 10

3 10. 已知 f ( x ) ? ax ? bx ? 4 ,若 f (2) ? 6 ,则 f ( ?2) ? (

A. ? 14

B. 14

C. ? 6

11.三棱锥 P ? ABC 三条侧棱两两垂直,三条侧棱长分别为 1, 5 , 10 ,则该三棱锥的外 接球体积为( D. 16? ) A.

32 ? 3

B.

16 ? 3

C



32?

12.如果直线 l1: 2 x ? ay ? 1 ? 0 与直线 l2: 4 x ? 6 y ? 7 ? 0 平行,则 a 的值为( A.3 B.-3 C.5 D.0



13.已知直线 l : ax ? y ? 2 ? a ? 0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值 是( A.1 B.-1
2

)

C.-2 或-1

D.-2 或 1 )

14. 函数 f ( x ) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 ( ?? , 4] 上递减, 则实数 a 的取值范围是 ( A、 a ? ?3 B、 a ? ?3 C、 a ? 5 D、 a ? 5

15.设 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的函数,满足条件 y ? f ( x ? 1) 是偶函数,且当 x ? 1 时,

2 1 3 1 f ( x ) ? ( ) x ? 1 ,则 f ( ) , f ( ) , f ( ) 的大小关系是 3 2 2 3
A. f ( ) ? f ( ) ? f ( )





2 3 3 2

3 2 2 3

1 3 1 3

B. f ( ) ? f ( ) ? f ( )

2 3

1 3

3 2

C. f ( ) ? f ( ) ? f ( )

D. f ( ) ? f ( ) ? f ( )

1 3

3 2

2 3

二.填空题:(共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。) 16.圆柱的侧面展开图是边长分别为 2a , a 的矩形,则圆柱的体积为 17. 已知 A(1, 2), B(3,1) 则线段 AB 的垂直平分线的方程是 . .

18.在三棱锥 A - BCD 中, E , F , G 分别是 AB , AC , BD 的中点,若 AD 与 BC 所成的角 是 60 ? ,那么 ?FEG 为 .
2

19. 函 数 f ( x ) ? x 2 ? 4 x ? 3 在 区 间 ? 0, a ? 上 的 最 大 值 为 3 , 最 小 值 为 -1 , 则 不 等 式

log a ( x ? 1) ? 0 的解集为________.
ì ? 2 x - 1, x > 0 ? 20.已知函数 f ( x ) = í 若函数 g ( x ) = f ( x ) - m 有 3 个零点,则实 2 ? ? ? - x - 2 x, x ? 0
数 m 的取值范围是________. 三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤. ) 21.(本题满分 10 分)设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围.

22.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? (1)求 A ;

lg( x 2 ? 2 x ) 9 ? x2

的定义域为 A ,

(2)若 B ? { x x 2 ? 2 x ? 1 ? k 2 ? 0} ,且 A ? B ? ? ,求实数 k 的取值范围.

23. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , AB ? AD ,

AC ? CD ,

?ABC ? 600 , PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点. (1)求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小; (2)证明 AE ? 平面 PCD ; P (3)求二面角 A ? PD ? C 的正弦值

E
A
? x 2 ? (4a ? 1) x ? 8a ?B 4 24.(本题满分 12 分)设函数 f ( x ) ? ? x?1 ? log a x
(1)当 a ?

D
x?1
C

1 时,求函数 f ( x ) 的值域; 2
3

(2)若函数 f ( x ) 是(-∞,+∞)上的减函数,求实数 a 的取值范围.

25. (本题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? log 2 (1 ? a ? 2 x ? 4 x ) ,其中 a 为常数 (1)当 f (2) ? f (1) ? 2 时,求 a 的值; (2)当 x ? [1, ?? ) 时,关于 x 的不等式 f ( x ) ? x ? 1 恒成立,试求 a 的取值范围;

26. (本题满分 12 分)已知 a ? 1 ,且 f (log a x ) ? ( 1 )求 f ( x ) 的解析式;

a 1 (x ? ) . a ?1 x
2

( 2 )判断 f ( x ) 的奇偶性与单调性(直接写出结论,不需要证明) ;
2 ( 3 )对于 f ( x ) ,当 x ? ( ?1,1) 时,有 f (1 ? m ) ? f (1 ? m ) ? 0 ,求 m 的取值范围 .

高一数学理科第五次月考参考答案 一. A 卷: ACCCD B 卷: BCCDD 二 . 16. CADCA CACCA ABDBA BBDBA

a3

?



a3 2?

17. 4 x - 2 y - 5 = 0

18.600 或1200

19.(1, 2]
三、

20.(0,1)

21. 解(1)当直线过原点时,该直线在 x 轴和 y 轴的截距为 0,显然相等。

? a ? 2 ,方程即为 3 x ? y ? 0
当直线不过原点时,由截距存在且均不为 0,



a?2 ? a ? 2 ,即 a ? 1 ? 1 ,? a ? 0 ,方程即为 x ? y ? 2 ? 0 。综上, l 的方程为 a ?1

4

3 x ? y ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 。………………5 分

(2)将 l 的方程化为 y ? ? (a ? 1) x ? a ? 2 ,由题意得 ?

? ?(a ? 1) ? 0 ? ?(a ? 1) ? 0 或? , ?a ? 2 ? 0 ?a ? 2 ? 0

? a ? ?1 。综上可知 a 的取值范围是 a ? ?1 ………………10 分
22. (1)由 ?
2 ? ? x ? 2x ? 0 ,解得 ?3 ? x ? 0 或 2 ? x ? 3 ,? A ? ( ?3, 0) ? (2, 3) ………4 分 2 9 ? x ? 0 ? ?

(2) x 2 ? 2 x ? 1 ? k 2 ? 0 ,所以当 k ? 0 时, x ? 1 ? k 或 x ? 1 ? k 当 k ? 0 时, x ? 1 ? k 或 x ? 1 ? k 或 或 或 ? A ? B ? ? ,? ? k ? 0 ?k ? 0 ?k ? 0 ?k ? 0 ? ? ? ? ?1 ? k ? ?3 ?1 ? k ? 3 ?1 ? k ? ?3 ?1 ? k ? 3

? k ? ( ?4, 4) ………………12 分
23. (1)解:在四棱锥 P ? ABCD 中,因 PA ? 底面 ABCD , AB ? 平面 ABCD , 故 PA ? AB . 又 AB ? AD , PA ? AD ? A ,从而 AB ? 平面 PAD . 故 PB 在平面 PAD 内的射影为 PA , 从而∠APB 为 PB 和平面 PAD 所成的角. 在 Rt△PAB 中, AB ? PA ,故∠APB ? 45? . 所以 PB 和平面 PAD 所成的角的大小为 45? . (2)证明:在四棱锥 P ? ABCD 中, 因 PA ? 底面 ABCD , CD ? 平面 ABCD ,故 CD ? PA .CD ? CA, 所以 CD ? 平面 PAC, 所以 CD ? AE,AE ? PC,所以 AE ? 平面 PCD, …….8 分 ……….4 分

P

M E
A D

B

C

(3)过 E 作 EM ? PD,连结 AM,则 AM ? PD,所以∠AME 即二面角的平面角,……9 分 设 PA= a ,AE=

2 a 2

5

在 ABCD 中 ?CAD ? 30。

所以 AD=

2 3 a 3

在 Rt ?PAD 中, AM ?

PA. AD 2 AE 14 ……….12 分 ? a , Sin?AME ? ? AM 4 PD 7

24.

x -3x,x<1, ? ? 1 (1)当 a= 时, f(x)=? 1 2 log x,x≥1 ? ? 2
2

2

当 x<1 时, f(x)=x -3x 是减函数,所以 f(x)>f(1)=-2, 即 x<1 时, f(x)的值域是(-2,+∞). 当 x≥1 时, f(x)=log1 x 是减函数,所以 f(x)≤f(1)=0, 2 即 x≥1, f(x)的值域是(-∞,0]. 于是函数 f(x)的值域是(-∞,0]∪(-2,+∞)=R. ………………6 分 (2)若函数 f(x)是(-∞,+∞)上的减函数, 则下列①②③三个条件同时成立: ①当 x<1 时, f(x)=x -(4a+1)x-8a+4 是减函数, 4a+1 1 于是 ≥1,则 a≥ ; 2 4 ②当 x≥1 时, f(x)=logax 是减函数,则 0<a<1; 1 ③1-(4a+1)-8a+4≥loga1=0,∴a≤ . 3 1 1 综上所述,a 的取值范围为 ≤a≤ .……………12 分 4 3 25. (1). f (2) ? f (1) ? 2 ? log 2 (1 ? 4a ? 16) ? log 2 (1 ? 2a ? 4) ? log 2 4
2

? log 2 (17 ? 4a ) ? log 2 4(5 ? 2a ) ?

3 17 ? 4a ? 20 ? 8a ? a ? ? ………(4 分) 4

(2) log 2 (1 ? a ? 2 x ? 4 x ) ? x ? 1 ? log 2 2 x ?1

1 ? a ? 2 x ? 4 x ? 2 x ?1 ?
令 t ? 2 x ∵ x ? [1, ?? )

a ? ?2 x ?

1 1 ? 2x 2

∴ t ? [2, ?? )
6

设 h( t ) ? ? t ?

1 1 ? , 2 ? t1 ? t 2 t 2
t t ?1 1 1 ? t 2 ? ? ( t 2 ? t1 ) ? 1 2 t1 t2 t1 t 2

h( t1 ) ? h( t 2 ) ? ? t1 ?

t 2 ? t1 ? 0 , t1 t 2 ? 1 ? 0 , t 1 t 2 ? 0 h( t1 ) ? h( t 2 )

1 1 有最大值为 ?2 h( t ) 在 [2, ?? ) 上为减函数 ? t ? 2 时, y ? ? t ? ? t 2
∴ a ? ?2 ………(12 分)

26.(1)令 log a x ? t ? x ? a t ,原式为 f (t ) ? 所以 f ( x) ?

a ? t 1? ?a ? t ? , a ?1 ? a ?
2

a ? x 1 ?a ? x a ?1 ? a
2

? ? ...4 分 ?
2

(2)奇函数,增函数...6 分 (3) f (1 ? m) ? ? f (1 ? m ) ,因为函数为奇函数,所以 f (1 ? m) ? f (m ? 1) ,函数为增函数
2

所以 1 ? m ? 1 ? m 2 ①因为 x ? (?1,1) ,所以 ?1 ? 1 ? m ? 1 ②且 ?1 ? 1 ? m 2 ? 1 ③ 综上 1 ? m ?

2 ...12 分

7


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