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2017版高考数学一轮复习(通用版)课件:第2章-第9节


备 高 考

理 教 材

第九节 函数模型及其应用

分 层 限 时 跟 踪 练

研 考 点

专 题 突 破 提 练

备高考| 3 个任务 1.考查借助函数图象刻画实际问题中两变量的变化过程. 2.考查应用所给函数模型解决实际问题的能力. 3.考查选择

合适的函数模型,对已知数据的处理能力.

理教材| 回扣自测 要点梳理 一、三种函数模型之间增长速度的比较 函数 性质 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0)
单调递增 _________ 单调递增 _________

在(0,+∞)上的增减性 单调递增 _________ 增长速度 大小比较 越来越快

越来越慢

相对平稳
n x

存在一个 x0,当 x>x0 时,有 logax<x <a

二、常见的几种函数模型 1.一次函数模型:y= kx+b(k≠0) k 2.反比例函数模型:y= x (k≠0). 3.指数函数模型:y=a· bx+c(b>0,b≠1,a≠0)型. 4.对数函数模型:y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0)型. 5.幂函数模型:y=a· xn+b(a≠0)型. 6.分段函数模型.

[ 拓展延伸] 求解近似函数模型的步骤

基础自测 1.判断下列说法是否正确(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)函数 y=2x 的函数值比 y=x2 的函数值大.( (2)幂函数增长比直线增长更快.( (3)不存在 x0,使 ax0<xn 0<logax0.( ) ) )

(4)“指数爆炸”是指数型函数 y=a· bx+c(a≠0,b>0,b≠1)增长速度越来 越快的形象比喻.( )

【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×

2.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列实验数据: x 1.99 3 4 5.1 6.12

y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近 的一个是( ) 1 2 B.y=2(x -1) D.y=2x-2

A.y=2x-2 C.y=log3x

【解析】 代入数据验证,最接近的为 B. 【答案】 B

3.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增 长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利 润 y 与时间 x 的关系,可选用( A.一次函数 C.指数型函数 ) B.二次函数 D.对数型函数

【解析】 结合四个选项可知,对数型函数符合题目要求.故选 D. 【答案】 D

4.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种 12 商品 x 万件时的生产成本为 C(x)= x +2x+20(万元).一万件售价是 20 万元, 2 为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为( A.36 万件 C.22 万件 B.18 万件 )

D.9 万件 1 【解析】 利润 L(x)=20x-C(x)=-2(x-18)2+142,

当 x=18 时,L(x)有最大值.
【答案】 B

5.(2015· 四川高考)某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储藏温度 x(单位:℃) 满足函数关系 y=ekx b(e=2.718?为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品


在 0 ℃的保鲜时间是 192 小时, 在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时, 则该食品在 33 ℃ 的保鲜时间是( A.16 小时 C.24 小时 ) B.20 小时 D.28 小时

【解析】 由已知条件,得 192=eb,∴b=ln 192.又∵48=e22k b=e22k


+ln 192

=192e =192(e ) ,∴e 时,则 t=e
33k+ln 192

22k

11k 2

11k

? 48 ?1 ?1?1 1 =?192?2=?4?2=2.设该食品在 33 ℃的保鲜时间是 t 小 ? ? ? ?
11k 3

=192e =192(e )

33k

?1?3 =192×?2? =24. ? ?

【答案】 C

研考点| 梯度提升 考向 1 应用函数图象刻画实际问题中两变量的变化过程 题型:选择题 难度:中 命题指数:★★☆ 基础考点

命题热点:以实际问题为背景,结合变量的变化对函数 图象进行识别.

[自主突破] (1)(2015· 北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里 程,图 291 描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙 述中正确的是( )

图 291

A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D.某城市机动车最高限速 80 千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用 乙车更省油

(2)(2013· 江西高考)如图 292,已知 l1⊥l2,圆心在 l1 上、半 径为 1 cm 的圆 O 在 t=0 时与 l2 相切于点 A, 圆 O 沿 l1 以 1 m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线 l2 所截上方圆弧长记为 x,令 y=cos x,则 y 与时间 t(0<t<1,单位:s)的函数 y=f(t)的图 象大致为( )
图292

【解析】 (1)根据图象知消耗 1 升汽油,乙车最多行驶里程大于 5 千米, 故选项 A 错;以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相 同路程时,甲车消耗汽油最少,故选项 B 错;甲车以 80 千米/小时的速度行驶时 燃油效率为 10 千米/升,行驶 1 小时,里程为 80 千米,消耗 8 升汽油,故选项 C 错;最高限速 80 千米/小时,丙车的燃油效率比乙车高,因此相同条件下,在 该市用丙车比用乙车更省油,故选项 D 对.

(2)通过圆心角 α 将弧长 x 与时间 t 联系起来. 圆的半径为 1,设弧长 x 所对的圆心角为 α,则 α=x,如图 α x 2x 所示,cos 2=1-t,即 cos 2=1-t,则 y=cos x=2cos 2-1= 2(1-t)2-1=2(t-1)2-1(0≤t≤1).其图象为开口向上,在[0,1] 上的一段抛物线.
【答案】 (1)D (2)B

[规律总结] 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再 结合模型选图象. (2)验证法:当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题中两变量的 变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际 的情况,选择出符合实际情况的答案.

考向 2 应用函数模型解决实际问题 题型:解答题

能力考点

难度:中 命题指数:★★☆

命题热点:用给定函数模型解决实际问题.

[师生共研] (2015· 广州模拟)某企业生产 A,B 两种产品,根据市场调查与预测,A 产品 的利润与投资成正比,其关系如图 293;B 产品的利润与投资的算术平方根成 正比,其关系如图 294(注:利润和投资单位:万元).

图 293

图 294

(1)分别将 A,B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式; (2)已知该企业已筹集到 18 万元资金,并将全部投入 A,B 两种产品的生产. ①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润? ②问:如果你是厂长,怎样分配这 18 万元投资,才能使该企业获得最大利 润?其最大利润约为多少万元?

【解】 (1)设 A、B 两种产品分别投资 x 万元(x≥0),所获利润分别为 f(x)、 g(x)万元,由题意可设 f(x)=k1x,g(x)=k2 x, ∴根据图象可解得 f(x)=0.25x(x≥0), g(x)=2 x(x≥0).

(2)①由(1)得 f(9)=2.25,g(9)=2 9=6.所以总利润 y=8.25 万元. ②设 B 产品投入 x 万元,A 产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为 y 万元. 1 则 y=4(18-x)+2 x,0≤x≤18. 令 x=t,t∈[0,3 2], 1 2 1 2 17 则 y= (-t +8t+18)=- · (t-4) + . 4 4 2 17 所以当 t=4 时,ymax= 2 =8.5, 此时 x=16,18-x=2. 所以当 A,B 两种产品分别投入 2 万元、16 万元时,可使该企业获得最大利 润,约为 8.5 万元.

[规律总结] 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题.

[ 易错提醒] 解决实际问题时要注意自变量的取值范围.

[变式训练] 已知某物体的温度 θ(单位:摄氏度)随时间 t(单位:分钟)的变化规律是 θ= m· 2t+21 t(t≥0,并且 m>0).


(1)如果 m=2,求经过多长时间,物体的温度为 5 摄氏度; (2)若物体的温度总不低于 2 摄氏度,求 m 的取值范围.

【解】 (1)若 m=2,则 θ=2· 2 +2 1 5 当 θ=5 时,2 + t= , 2 2
t

t

1-t

? ? t 1 =2?2 +2t?, ? ?

1 5 令 2 =x(x≥1),则 x+ =2, x
t

即 2x2-5x+2=0, 1 解得 x=2 或 x=2(舍去),此时 t=1. 所以经过 1 分钟,物体的温度为 5 摄氏度.

(2)物体的温度总不低于 2 摄氏度,即 θ≥2 恒成立, 2 亦 m· 2 + t≥2 恒成立, 2
t

?1 1 ? 亦即 m≥2? t- 2t?恒成立. ?2 2 ?

1 令 t=y,则 0<y≤1, 2 1 1 ∴m≥2(y-y )恒成立,由于 y-y ≤ ,∴m≥ . 4 2
2 2

?1 ? 因此,当物体的温度总不低于 2 摄氏度时,m 的取值范围是?2,+∞?. ? ?

考向 3 构建函数模型解决实际问题 题型:解答题

交汇考点

难度:中 命题指数:★★★

命题热点:以实际问题为背景,结合二次函数、对数函数 等构建函数模型, 并借助不等式、 导数等解决最优化问题.

[ 研· 真题] (2013· 上海高考)甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求
? 3? 1≤x≤10),每小时可获得的利润是 100?5x+1- ?元. x? ?

(1)求证:生产 a 千克该产品所获得的利润为
? 1 3? 100a?5+x -x2?元; ? ?

(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产 速度?并求此最大利润.

[ 导· 思路] (1)利润=每小时的利润· 总时间. (2)先建立生产 900 千克时的利润函数,然后求其最大时的 x 值便可.

a 【解】 (1)生产 a 千克该产品,所用的时间是 小时, x
? 3? a 所获得的利润为 100?5x+1- x?·. ? ?x

所以,生产 a 千克该产品所获得的利润为
? 1 3? 100a?5+ - 2?元. x x? ?

900 (2) 生产 900 千克该产品,所用的时间是 小时,获得的利润为 90 x
? 1 3? 000?5+ - 2?,1≤x≤10. x x? ? ?1 1? 3 1 2 1 记 f(x)=- 2+ +5,1≤x≤10,则 f(x)=-3? -6? + +5, x x ?x ? 12

61 当且仅当 x=6 时,f(x)取到最大值 f(6)=12. 61 获得最大利润 90 000×12=457 500(元). 因此甲厂应以 6 千克/小时的速度生产,可获得最大利润 457 500 元.

[ 通· 技法] 解答函数实际应用题的步骤用框图表示如下:

[ 巧· 迁移] ● 迁移一 构建二次函数型解决实际问题 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如 图 295 所示的抛物线的一段,已知跳水板 AB 长为 2 m,跳水板距水面 CD 的高 BC 为 3 m,CE=5 m,CF =6 m,为安全和空中姿态优美,训练时跳水曲线应 在离起跳点 hm(h≥1)时达到距水面最大高度 4 m,规 定:以 CD 为横轴,CB 为纵轴建立直角坐标系.
图295

(1)当 h=1 时,求跳水曲线所在的抛物线方程; (2)若跳水运动员在区域 EF 内入水时才能达到压水花的训练要求, 求达到压 水花的训练要求时 h 的取值范围.
【解】 (1)由题意知最高点为(2+h,4),h≥1, 设抛物线方程为 y=a[ x-(2+h)]2+4, 当 h=1 时,最高点为(3,4),方程为 y=a(x-3)2+4, 将 A(2,3)代入,得 3=a(2-3)2+4,解得 a=-1. ∴当 h=1 时,跳水曲线所在的抛物线方程为 y=-(x-3)2+4.

(2)将点 A(2,3)代入 y=a[ x-(2+h)] 2+4 1 得 ah =-1,所以 a=- 2. h
2

由题意,得方程 a[ x-(2+h)]2+4=0 在区间[5,6]内有一解. 1 令 f(x)=a[ x-(2+h)] +4=- 2[ x-(2+h)] 2+4, h
2

1 则 f(5)=- 2(3-h)2+4≥0, h 1 4 2 且 f(6)=- 2(4-h) +4≤0.解得 1≤h≤3. h
? 4? 达到压水花的训练要求时的 h 的取值范围为?1,3?. ? ?

a ● 迁移二 构建 y=x+ (a>0)型解决实际问题 x 甲、乙两地相距 1 000 km,货车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 80 km/h,已知货车每小时的运输成本(单位:元)由可变成本和固定成本组成,可变 1 成本是速度平方的 ,固定成本为 a 元. 4 (1)将全程运输成本 y(元)表示为速度 v(km/h)的函数,并指出这个函数的定 义域; (2)为了使全程运输成本最小,货车应以多大的速度行驶?

12 1 000 【解】 (1)可变成本为 v ,固定成本为 a 元,所用时间为 , 4 v
?1 1 000?1 2 ? a? ? v +a?,即 y=1 000 ? v+ ?. 所以 y= v ?4 v? ? ?4

定义域为(0,80].
?1 a ? v2-4a (2)y′=1 000?4-v2?=250· v2 . ? ?

令 y′=0,得 v=2 a. 因为 v∈(0,80],所以 ①当 2 a≥80,即 a≥1 600 时,y′≤0,y 为 v 的减函数; 当 v=80 时,y 取得最小值.

②当 2 a<80,即 0<a<1 600 时,y 随 v 的变化情况如下表: v (0,2 a) y′ y - ? 2 a 0 极小值 (2 a,80) + ?

所以当 v=2 a时,y 取得最小值. 综上,当 0<a<1 600 时,货车以 2 a km/h 的速度行驶,全程运输成本最 小;当 a≥1 600 时,货车以 80 km/h 的速度行驶,全程运输成本最小.

● 迁移三 构建分段函数型解决实际问题 (2015· 贵阳模拟) 某种空气清洁剂在实验效果 时,发现空气含剂量 y(μg/m3)与时间 x 之间存在函 数关系,其变化的图象如图 296 所示.其中的曲 1 线部分是某函数 y=log (x+b)的图象(虚线部分为 2 曲线的延展).图中表明,喷洒 1 小时后,空气含 剂量最高,达到 3 μg/m3,以后逐步减小.
图296

(1)求出空气含剂量 y 关于时间 x 的函数表达式及定义域; (2)实验表明,当空气含剂量不低于 2 μg/m3 时,空气清洁的效果最佳.求一 次喷洒的“最佳效果”持续时间.

【解】 (1)当 x≤1 时,图象是一线段,设解析式为 y=kx,将点(1,3)代入 得 k=3,∴y=3x, 1 对于函数 y=log (x+b),将点(1,3)坐标代入得 2
?1? 1 1 7 3 log (1+b)=3?1+b=? ? = ?b=- , 2 8 ?2? 8

1? 7? 1? 7? 7 15 ∴y=log ?x- ?,令 y=0 得 log ?x- ?=0?x- =1?x= , 2? 8? 2? 8? 8 8 ?3x, 0≤x≤1, ? ∴函数的解析式为 y=? 1? 7? 15 ? ? log2 x-8 , 1<x≤ 8 . ? ? ? ?

2 (2)当 0≤x≤1 时,在 y=3x 中,令 y=2 得 x1=3, 15 1? 7? 当 1<x≤ 8 时,在 y=log2?x-8?中,令 y=2 得 ? ?
? 7? ?1?2 1 7 log12?x-8?=2?x-8=?2? =4, ? ? ? ?

9 9 2 11 从而 x2= ,x=x2-x1= - = , 8 8 3 24 11 故最佳效果持续时间为 小时. 24

分层限时跟踪练

(十二)
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