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高二数学空间向量单元测试题-新人教


高二数学单元试题
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 已知向量 a= (1, 0) b= 1, , (-1, 2) 且 k a+b 与 2 a-b 互相垂直, k 的值是 0, , 则 ( 1 3 7 A. 1 B. C. D. 5 5 5
2.已知 a = 3i + 2 j ? k , b = i ? j + 2 k , 则 5 a与 3b的数量积等于 A.-15 B.-5 C.-3 ( ) )

D.-1

3.已知 A、B、C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O,下列条件中能确定点 M 与点 A、B、 C 一定共面的是 A. OM = OA + OB + OC C. OM = OA + ( B. OM = 2OA ? OB ? OC D. OM = )

1 1 OB + OC 2 3

1 1 1 OA + OB + OC 3 3 3

4.在下列命题中:①若 a、b 共线,则 a、b 所在的直线平行;②若 a、b 所在的直线是异面直线, 则 a、b 一定不共面;③若 a、b、c 三向量两两共面,则 a、b、c 三向量一定也共面;④已知三 向量 a、b、c,则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数 为( ) A. 0 B.1 C. 2 D.3
? ?→ 1 5. 已知空间四边形 ABCD, G 分别是 BC、 的中点, M、 CD 连结 AM、 MG, AB + ( BD + BC ) AG、 则 2

等于(
A. AG
? ?→


B. CG
? ?→

C. BC

? ?→

D. 2 BC

1

? ?→

6.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 CA = a , CB = b , CC1 = c , 则 A1 B = A. a + b ? c B. a ? b + c C. ?a + b + c 7.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量 D1 A 、 D1C 、 A1 C1 A.有相同起点的向量 C.共面向量 B.等长向量 D.不共面向量





D. ?a + b ? c







8.已知点 A(4,1,3) B(2,-5,1) C 为线段 AB 上一点,且 3 | AC |=| AB | ,则点的坐标是 , ,

(

)
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7 1 5 A. ( , ? , ) 2 2 2

B.

3 ( , ?3, 2) 8

10 7 C. ( , ?1, ) 3 3

5 7 3 D. ( , ? , ) 2 2 2

9.设 A、B、C、D 是空间不共面的四点,且满足 AB ? AC = 0, AB ? AD = 0, AC ? AD = 0 ,则

△BCD 是 (
A.钝角三角形


B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定

10. 已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GC⊥平面 ABCD,且 GC= 2,则点 B 到平面 EFG 的距离为( ) A.

10 10

B.

2 11 11

C.

3 5

D. 1

二.填空题(本大题 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11.已知向量 a=( λ +1,0,2 λ ),b=(6,2 ? -1,2),若 a∥b,则 λ 与 ? 的值分别是 ∥

. . .

已知 a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底, m=a+b,n=b-c,则 m, 的夹角为 n 12.
13. 已知向量 a 和 c 不共线, 向量 b≠0, (a ? b) ? c = (b ? c ) ? a , 且 d=a+c, ? d , b? = 则 14. 棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, Q 为 BB1 的中点,

若 DD1 上 存 在 一 点 P 使 DQ ∥ 面 PA1C1 , 则 PD 的 长 为 .

15. (如图)一个结晶体的形状为平行六面体,其中,以顶点 A 为

端点的三条棱长都等于 1,且它们彼此的夹角都是 60 ,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线 的长为 。

°

三.解答题(本大题 6 小题,共 74 分)
(本小题满分 12 分) 16. 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,如图E、F分别是 BB1 ,CD的 (1)求证: D1 F ⊥ 平面 ADE; (2)cos EF ,CB1 . 中点,
z D1 B1 C1

A1

E D F x
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C

y

A

B

17. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ⊥ 底面 ABCD, PD = DC ,E 是 PC 的中点,作 EF ⊥ PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA ∥平面 EDB ; (2)证明 PB ⊥ 平面 EFD.

18. 如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的所有棱长都为 2 , D 为 CC1 中点.

(Ⅰ)求证: AB1 ⊥平面 A1 BD ; (Ⅱ)求二面角 A ? A1 D ? B 余弦值的大小.
A

A1

C D B

C1

B1

19(本小题满分 12 分)如图所示,在棱长为 2 的正方体 OABC—O1A1B1C1 中,E、F 分别为棱 AB 和 BC 上的动点,且 AE=BF。 (1)求证:A1F⊥C1E; (2)当 O1B⊥EF 时,求点 B 到平面 B1EF 的距离; (3)在(2)的条件下,若 M 为棱 BB1 上的一点,且 O1M⊥平面 B1EF。试定出点 M 的位置, 并说明理由。

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20 如图6,已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为2,点E是正方形 BCC1 B1 的中心,点F、 G分别是棱 C1 D1 , AA1 的中点.设点 E1 , G1 分别是点E、G在平面 DCC1 D1 内的正投影. (1)求以E为顶点,以四边形 FGAE 在平面 DCC1 D1 内的正投影为底面边界的棱锥的体积; (2)证明:直线 FG1 ⊥ 平面FEE1 ; (3)求异面直线 E1G1与EA 所成角的正统值

21、如图 5 所示,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形,其中 BD 是 圆的直径, ∠ABD = 60 , ∠BDC = 45 , PD 垂直底面 ABCD , PD = 2 2 R , E,F 分别 是 PB,CD 上的点,且

(1)求 BD 与平面 ABP 所成角 θ 的正弦值; (2)证明: △EFG 是直角三角形; (3)当

PE DF = ,过点 E 作 BC 的平行线交 PC 于 G . EB FC
P

PE 1 = 时,求 △EFG 的面积. EB 2

E

G

A F B 图5 C

D

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