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1圆锥曲线


1. 圆锥曲线
1. 双曲线
x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 )的两个焦点为 F1 、 F2, 若 P 为其上一点,且 a 2 b2

|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为( A.(1,3) 2.若双曲线 是( ) (A)3 (B)5 (C) 3 B. ?1,3?

) C.(3,+

? ) D. ?3, ?? ?

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3: 2,则双曲线的离心率 a2 b2

(D) 5

3.已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线 焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为(
1 A. ( ,-1) 4

) D. (1,-2)

B. (

1 ,1) 4

C. (1,2)

4.如图所示, “嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月 球,在月球附近一点 P 轨进入以月球球心 F 为一个焦点的 椭圆轨道Ⅰ绕月飞行, 之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以
F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在 P 点第

三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用 2c1 和 2c2 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距, 用 2a1 和 2a2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的 长,给出下列式子: ① a1 ? c1 ? a2 ? c2 ; ② a1 ? c1 ? a2 ? c2 ; ) B. ②③ C. ①④ D. ②④ ③ c1a2 ? a1c2 ; ④
c1 c < 2. a1 a2

其中正确式子的序号是( A. ①③ 5.若双曲线

3a x2 y 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)上横坐标为 的点到右焦点的距离大于它到左 2 2 a b
1

准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( A.(1,2) B.(2,+ ? ) C.(1,5)

) D. (5,+ ? ) )

x2 y2 6.设 a ? 1 ,则双曲线 2 ? ? 1的离心率 e 的取值范围是( a (a ? 1)2
A. ( 2, 2) B. ( 2,5) C. (2, 5) D. (2,5)

5 ,焦点在 X 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 13 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( )

7.设椭圆 C1 的离心率为

(A)

x2 y2 ? ?1 4 2 32

(B)

x2 y2 ? ?1 132 5 2

x2 y2 (C) 2 ? 2 ? 1 3 4

x2 y2 (D) 2 ? 2 ? 1 13 12

8.双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1( a ? 0 ,b ? 0 ) 的左、 右焦点分别是 F1,F2 , 过 F1 作倾斜角为 30? 2 a b

的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为( A. 6 B. 3 C. 2 D.
3 3



9. 已 知 抛 物 线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F ,准线与 x 轴的交点为 K ,点 A 在 C 上且

AK ? 2 AF ,则 ?AFK 的面积为(
(A) 4 (B) 8

) (C) 16 (D) 32

10.如图,AB 是平面 a 的斜线段,A 为斜足,若点 P 在平面 a 内运动,使得△ABP 的 面积为定值,则动点 P 的轨迹是( (A)圆 (C)一条直线 11.过双曲线 (B)椭圆 (D)两条平行直线 )

x2 y 2 ? ? 1 的右顶点为 A,右焦点为 F。过点 F 平行双曲线的一条渐近线 9 16
2

的直线与双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为________ 12.已知抛物线 y ? ax2 ? 1 的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为 顶点的三角形面积为 .
7 .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该 18

13.在 △ ABC 中, AB ? BC , cos B ? ? 椭圆的离心率 e ? .

14.已知菱形 ABCD 的顶点 A,C 在椭圆 x2 ? 3 y 2 ? 4 上,对角线 BD 所在直线的斜率为 1. (Ⅰ)当直线 BD 过点 (0, 1) 时,求直线 AC 的方程; (Ⅱ)当 ?ABC ? 60 时,求菱形 ABCD 面积的最大值.
?

x2 y2 ? 2 ? 1 ,抛物线方程为 x2 ? 8( y ? b) .如图 4 所示,过点 15. 设 b ? 0 ,椭圆方程为 2 2b b
F (0,b ? 2) 作 x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为 G ,已知抛物线在点 G 的切线经
过椭圆的右焦点 F 1. (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2) 设 A,B 分别是椭圆长轴的左、 右端点, 试探究在抛物线上是否存在点 P , 使得 △ ABP 为直角三角形?若存在, 请指出共有几个这样的点?并说明理由 (不必具体求出这些点的坐标) .

| AB |? 4 为直径的半圆 ADB 中, 16.如图, 在以点 O 为圆心,
OD ? AB , P 是半圆弧上一点,?POB ? 30? ,曲线 C 是
满足 || MA | ? | MB ||为定值的动点 M 的轨迹,且曲线 C 过 点P . (Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E 、 F . 若△ OEF 的面积不小于 ...2 2 ,求直线 l 斜率的取值范围. 17.双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2 ,经过右焦点 F 垂直于 l1 的

AB 、 OB 成等差数列,且 BF 与 FA 同向. 直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点.已知 OA 、
3

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

(Ⅰ)求双曲线的离心率; (Ⅱ)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程. 18.如图,设抛物线方程为 x2=2py(p>0),M 为 直线 y=-2p 上任意一点,过 M 引抛物线的切线,切 点分别为 A,B. (Ⅰ)求证:A,M,B 三点的横坐标成等差数列; (Ⅱ)已知当 M 点的坐标为(2,-2p)时, AB ? 4 10 ,求此时 抛物线的方程; (Ⅲ)是否存在点 M,使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线

??? ? ??? ? ??? ? x2 ? 2 py( p>0) 上,其中,点 C 满足 OC ? OA ? OB (O 为坐标
原点).若存在,求出所有适合题意的点 M 的坐标;若不存在,请说 明理由.

1.圆锥曲线
4

1. B 13.

2.D

3.A

4.B

5.B 6.B

7.A 8.B

9.B 10.B

11.

32 15

12.2

3 8

14.解: (Ⅰ)由题意得直线 BD 的方程为 y ? x ? 1 . 因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD . 于是可设直线 AC 的方程为 y ? ? x ? n .

? x 2 ? 3 y 2 ? 4, 2 2 由? 得 4 x ? 6nx ? 3n ? 4 ? 0 . y ? ? x ? n ?
因为 A,C 在椭圆上, 所以 ? ? ?12n ? 64 ? 0 ,解得 ?
2

4 3 4 3 . ?n? 3 3

设 A,C 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), ( x2,y2 ) , 则 x1 ? x2 ?

3n 3n 2 ? 4 , x1 x2 ? , y1 ? ? x1 ? n , y2 ? ? x2 ? n . 2 4

所以 y1 ? y2 ?

n . 2

所以 AC 的中点坐标为 ?

? 3n n ? ,?. ? 4 4? ? 3n n ? , ? 在直线 y ? x ? 1 上, ? 4 4?

由四边形 ABCD 为菱形可知,点 ? 所以

n 3n ? ? 1 ,解得 n ? ?2 . 4 4

所以直线 AC 的方程为 y ? ? x ? 2 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . (Ⅱ)因为四边形 ABCD 为菱形,且 ?ABC ? 60 ,
?

所以 AB ? BC ? CA . 所以菱形 ABCD 的面积 S ?

3 2 AC . 2
5

由(Ⅰ)可得 AC ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ?
2 2

2

?3n2 ? 16 , 2

所以 S ?

? 4 3 3 4 3? (?3n 2 ? 16) ? ? ? n ? ? ? ?. 4 3 3 ? ?

所以当 n ? 0 时,菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3 . 15.【解析】 (1)由 x2 ? 8( y ? b) 得 y ?

1 2 x ?b, 8

y F G A F1 O 图4 B x 即

当 y ? b ? 2 得 x ? ?4 , ? G 点 的 坐 标 为 (4, b ? 2) ,

1 y ' ? x ,y ' |x ?4 ? 1, 过点 G 的切线方程为 y ? (b ? 2) ? x ? 4 4

y ? x ? b ? 2 , 令 y ? 0 得 x ? 2 ? b , ? F1 点 的 坐 标 为 (2 ? b, 0) ,由椭圆方程得 F1 点的坐标为 (b, 0) ,
? 2 ? b ? b 即 b ? 1 ,即椭圆和抛物线的方程分别为

x2 ? y 2 ? 1和 x2 ? 8( y ? 1) ; 2

(2)? 过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P ,? 以 ?PAB 为直角的 Rt ?ABP 只有一 个, 同理? 以 ?PBA 为直角的 Rt ?ABP 只有一个。
2 若以 ?APB 为直角,设 P 点坐标为 ( x , x ? 1) , A 、 B 两点的坐标分别为 (? 2, 0)和

1 8

( 2,0) ,
??? ? ??? ? 1 1 4 5 2 PA?PB ? x 2 ? 2 ? ( x 2 ? 1) 2 ? x ? x ?1 ? 0 。 8 64 4
关于 x 的二次方程有一大于零的解,? x 有两解,
2

即以 ?APB 为直角的 Rt ?ABP 有两个, 因此抛物线上存在四个点使得 ?ABP 为直角三角形 16.(Ⅰ)解法 1:以 O 为原点,AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴,建立平面直角坐标系,则 A(-2,0) ,B(2,0) ,D(0,2),P( 3,1 ) ,依题意得
2 2 2 2 |MA|-|MB|=|PA|-|PB|= ( 2 ? 3 ) ? 1 ? (2 ? 3) ? 1 =2 2 <|AB|=4.

6

∴曲线 C 是以原点为中心,A、B 为焦点的双曲线. 设实平轴长为 a,虚半轴长为 b,半焦距为 c, 则 c=2,2a=2 2 ,∴a2=2,b2=c2-a2=2.

x2 y2 ? ? 1. ∴曲线 C 的方程为 2 2
解法 2:同解法 1 建立平面直角坐标系,则依题意可得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|< |AB|=4. ∴曲线 C 是以原点为中心,A、B 为焦点的双曲线. 设双曲线的方程为

x2 y2 ? ? 1(a >0,b>0). a2 b2

则由

2 ? ( 3) 1 ? 2 ? 2 ?1 解得 a2=b2=2, b ? a ?a 2 ? b 2 ? 4 ?

∴曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 2 2

(Ⅱ)解法 1: 依题意, 可设直线 l 的方程为 y=kx+2, 代入双曲线 C 的方程并整理得 (1-K2) x2-4kx-6=0. ∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F, ∴
2 ? ?1-k ? 0 ? ? 2 2 ? ? ? ( ? 4 k ) ? 4 ? 6 ( 1 ? k ) ? 0 ?

? k ? ?1 ? ?? 3 ? k ? 3

∴k∈(- 3 ,-1)∪(-1,1)∪(1, 3 ).
7

设 E(x,y) ,F(x2,y2),则由①式得 x1+x2=
2 2 |EF|= ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? x 2 ) ?

4k 6 , x1 x 2 ? ? ,于是 2 1? k 1? k

(1 ? k 2 )( x1 ? x 2 ) 2
2

= 1 ? k ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? 1 ? k ?
2 2

2 2 3?k2 1? k 2

.

而原点 O 到直线 l 的距离 d=

2 1? k 2



2 1 1 2 2 2 3? k2 2 2 2 3?k ? 1? k ? ? . ∴S△DEF= d ? EF ? ? 2 2 1? k 2 1? k 2 1? k 2

若△OEF 面积不小于 2 2 ,即 S△OEF ? 2 2 ,则有

2 2 3? k2 1? k
2

? 2 2 ? k 4 ? k 2 ? 2 ? 0, 解得 ? 2 ? k ? 2. 



综合②、③知,直线 l 的斜率的取值范围为[- 2 ,-1]∪(1-,1) ∪(1,

2 ).

解法 2:依题意,可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整理, 得(1-K2)x2-4kx-6=0. ∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F, ∴
2 ? ?1-k ? 0 ? ? 2 2 ? ? ? ( ? 4 k ) ? 4 ? 6 ( 1 ? k ) ? 0 ?

? k ? ?1 ? ?? 3 ? k ? 3

.∴k∈(- 3 ,-1)∪(-1,1)∪(1, 3 ). 设 E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得 |x1-x2|= ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2

? 1? k 2

?

2 2 3?k2 1? k 2

.



当 E、F 在同一去上时(如图 1 所示) , S△OEF= S ?ODF ? S ?ODE ?

1 1 OD ? x1 ? x 2 ? OD ? x1 ? x 2 ; 2 2

当 E、F 在不同支上时(如图 2 所示).

8

S ?OEF ? S ?ODF ? S△ODE=
综上得 S△OEF=

1 1 OD ? ( x1 ? x 2 ) ? OD ? x1 ? x 2 . 2 2

1 OD ? x1 ? x 2 , 于是 2

由|OD|=2 及③式,得 S△OEF=

2 2 3?k2 1? k 2

.

若△OEF 面积不小于 2 2,即S?OEF ? 2 2, 则有

2 2 3?k2 1? k
2

? 2 2 ? k 4 ? k 2 ? 0, 解得 ? 2 ? k ? 2.



综合②、④知,直线 l 的斜率的取值范围为[- 2 ,-1]∪(-1,1)∪(1, 2 )
17. 解: (Ⅰ)设 OA ? m ? d , AB ? m , OB ? m ? d 由勾股定理可得: (m ? d )2 ? m2 ? (m ? d )2 得: d ?

1 b AB 4 m , tan ?AOF ? , tan ?AOB ? tan 2?AOF ? ? 4 a OA 3

b a ? 4 ,解得 b ? 1 ,则离心率 e ? 5 . 由倍角公式? 2 a 2 3 2 ?b? 1? ? ? ?a? 2
a x2 y 2 (Ⅱ)过 F 直线方程为 y ? ? ( x ? c ) ,与双曲线方程 2 ? 2 ? 1 联立 b a b
将 a ? 2b , c ? 5b 代入,化简有

15 2 8 5 x ? x ? 21 ? 0 4b2 b

2 ? ? a ?2 ? ?a? 2 4 ? 1 ? ? ? x1 ? x2 ? ?1 ? ? ? ? ? ?( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ? b b ? ? ? ? ? ? ? ?

?? 32 5b ?2 28b2 ? ? ? b?3 将数值代入,有 4 ? 5 ? ? ? ? 4 5 ? ,解得 15 ?? ? ? ? ?
故所求的双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1。 36 9
9

18.(Ⅰ)证明:由题意设 A( x1 ,

x12 x2 ), B( x2 , 2 ), x1<x2 , M ( x0 , ?2 p). 2p 2p

x x2 由 x ? 2 py 得 y ? ,则 y? ? , p 2p
2

所以 kMA ?

x1 x , kMB ? 2 . p p x1 ( x ? x0 ), p x2 ( x ? x0 ). p


因此直线 MA 的方程为 y ? 2 p ?

直线 MB 的方程为 y ? 2 p ?

所以

x12 x ? 2 p ? 1 ( x1 ? x0 ), 2p p
2 x2 x ? 2 p ? 2 ( x2 ? x0 ). 2p p
2 x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? x0 , 2



由①、②得

因此

2 x1 ? x2 x0 ? ,即 2x0 ? x1 ? x2 . 2

所以 A、M、B 三点的横坐标成等差数列. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,当 x0=2 时, 将其代入①、②并整理得:

x12 ? 4x1 ? 4 p2 ? 0,
2 x2 ? 4x2 ? 4 p2 ? 0,

所以 x1、x2 是方程 x2 ? 4x ? 4 p2 ? 0 的两根, 因此 x1 ? x2 ? 4, x1 x2 ? ?4 p ,
2

10

又 k AB

2 x2 x12 ? 2 p 2 p x1 ? x2 x0 ? ? ? , x2 ? x1 2p p

所以 k AB ?

2 . p

由弦长公式得

AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 1 ?
又 AB ? 4 10 , 所以 p=1 或 p=2,

4 16 ? 16 p 2 . 2 p

因此所求抛物线方程为 x2 ? 2 y 或 x2 ? 4 y. (Ⅲ)解:设 D(x3,y3),由题意得 C(x1+ x2, y1+ y2), 则 CD 的中点坐标为 Q (

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ), 2 2

设直线 AB 的方程为 y ? y1 ?

x0 ( x ? x1 ), p
x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 也在直线 AB 上, 2 2

由点 Q 在直线 AB 上,并注意到点 ( 代入得 y3 ?

x0 x3 . p

2 若 D(x3,y3)在抛物线上,则 x3 ? 2 py3 ? 2x0 x3 ,

因此 x3=0 或 x3=2x0. 即 D(0,0)或 D(2 x0 ,
2 2 x0 ). p

(1)当 x0=0 时,则 x1 ? x2 ? 2x0 ? 0 ,此时,点 M(0,-2p)适合题意.
2 x12 ? x2 2 x 2 ? x2 2p ? ? 1 , 2 x0 4 px0

(2)当 x0 ? 0 ,对于 D(0,0),此时 C (2 x0 ,

2 x12 ? x2 ), kCD 2p

11

又 k AB ?

x0 , AB⊥CD, p
2 2 x0 x12 ? x2 x12 ? x2 ? ? ? ?1, p 4 px0 4 p2

所以 k AB ? kCD ?

2 2 即 x1 ? x2 ? ?4 p2 , 矛盾.
2 2 2 x0 x 2 ? x2 ), 因为 C (2 x0 , 1 ), 此时直线 CD 平行于 y 轴, p 2p

对于 D(2 x0 ,

又 k AB ? 所以

x0 ? 0, p
直线 AB 与直线 CD 不垂直,与题设矛盾,

所以 x0 ? 0 时,不存在符合题意的 M 点. 综上所述,仅存在一点 M(0,-2p)适合题意.

12


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