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2014-2015学年度山东省滕州市实验中学高三数学第一学期期中试题


2014-2015 学年度山东省滕州市实验中学高三第一学期期中考试 数学试题
第Ⅰ卷(60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.设集合 A={ x | x ? 3x ? 2 ? 0 },则满足 A ? B={0,1,2}的集合 B 的个数是
2

r />A.1

B.3

C .4

D.6

2.已知 a ? b ,则下列不等式一定成立的是 A. a ? 3 ? b ? 3 B. ac ? bc

a b ? C. c c

D. a ? 2 ? b ? 3

? ? ? ? ? ? ? ? p : a ?b ? a b 3.已知 a, b 是两个非零向量,给定命题 ,命题 q : ?t ? R ,使得 a ? tb ,


p 是q 的
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

a11 ? a13 1 ? 3a1 , a3 , 2a2 { a } a ? a n 2 8 10 4.已知各项均为正数的等比数列 中, 成等差数列,则
A.27 B.3 C. ?1 或 3 D.1 或 27

5.函数 f ( x) 的定义域为 (0,1] ,则函数 A. [?5,4] C. [?5,?2] ? [1,4]

f (lg

x2 ? x ) 2 的定义域为
B. [?5,?2) D. [?5,?2) ? (1,4]

cos( x ?
6.已知

?
6

)??

3 ? cos x ? cos( x ? ) ? 3 ,则 3 2 3 3

2 3 3 A. ?

?
B.

C. ? 1 D . ? 1

1

x ?1 ? ? ? x? y?4 ? x ? by ? c ? 0 7.已知 x,y 满足 ? ,记目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为 1,最大值为 7,则
b, c 的值分别为
A.-1,-2 8.已知等比数列 B.-2,-1 C.1,2 D.1,-2

?an ? 满足 an >0, n =1,2,…,且 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) ,则当 n ≥1 时,
B. (n+1)2 C.n2 D. (n-1)2

log2 a1 ? log2 a2 ???? ? log2 a2n?1 =
A.n(2n-1) π 1+2sin2x 0, ? , 且 函 数 f ( x ) = 9.已知 x∈? 的最小值为 b,若函数 g(x)= ? 2? sin 2x

? ?-1? ?4<x<2? ? π? ?8x2-6bx+4? ?0<x≤4?
π π? A.? ?4,2?

π

π

,则不等式 g(x)≤1 的解集为

π 3 B.? , ? ?4 2 ?

C.?

3 3? ?4,2?

D.?

3 π? ? 4 ,2?

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 10.设 F1,F2 是双曲线 C: a (a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C
的左、右两支分别交于 A,B 两点.若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |=3:4 : 5,则双曲线的离心率为 A. 13 B. 15 C .2 D. 3

11.若曲线 f(x,y)=0 上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线 f(x,y)=0 的“自公切线”. 下列方程: ①x2-y2=1; ②y=x2-|x|; ③y=3sin x+4cos x; ④|x|+1= 4-y2 对应的曲线中存在“自公切线”的有 A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 12. 函数

f ? x ? ? x3 ? ax2 ? bx ? c

, 在定义域

x ???2, 2?

上表示的曲线过原点, 且在 x ? ?1

处的切线斜率均为 ?1 .有以下命题: ①

f ? x?

是奇函数;②若

f ? x ? 在? s, t ?

内递减,则

t?s

的最大值为 4;③

f ? x?

的最大值为

?x ???2,2?,k ? f ? ? x ? M,最小值为 m,则 M ? m=0 ;④若对 恒成立,则 k 的最大值为
2.其中正确命题的个数为 A.1 个 B.2 个 C .3 个 第Ⅱ卷(90 分) 二、填空题:本大题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若函数 D.4 个

f ? x?

在 R 上可导,

f ? x ? ? x 3 ? x 2 f ? ?1?

f ? x ? dx ? ,则 ?
0

2



2

14.若 x ? 0, y ? 0, 且 x ? 2 y ? 1 ,则 2 x ? 3 y 的最小值为
2



x2 y2 ? ?1 6 15.抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 与双曲线 3 的右焦点重合,过点 P(2,0)且
斜率为 1 的直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点, 则弦 AB 的中点到抛物线准线的距离为_______

?a 2 ? ab(a ? b) a ?b ? ? 2 ?b ? ab(a ? b) 设 f ( x) ? (2 x ? 1) ? ( x ? 1) ,且关 16.对于实数 a,b,定义运算 "?" :
x ,x ,x xx x 于 x 的方程 f ( x) ? m(m ? R) 恰有三个互不相等的实数根 1 2 3 ,则 1 2 3 的取值范围
是___________ 三、解答题:本大题共六个大题,满分 70;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分)

cos ? ?
(1)已知

1 11 ? , cos(? ? ? ) ? ? ? , ? ? (0, ) 7 14 ,且 2 ,求 cos ? 的值;

??) 2 4 sin ? ? 4 ,求 cos 2? ? sin( 2? ? ? ) ? 1 的值. (2)已知 ? 为第二象限角,且 cos(
18. (本题满分 12 分)在锐角三角形 ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, 且 3a ? 2c sin A ? 0 . (Ⅰ)求角 C 的大小; 19. (本题满分 12 分) (Ⅱ)若 c ? 2, 求 a ? b 的最大值.

?

设数列

{a n } 是等差数列,数列 {bn } 的前 n 项和 S n 满足 {a n } 和 {bn } 的通项公式:

Sn ?

3 (bn ? 1) a ? b , a ? b 1 5 2 2 且 2

(Ⅰ)求数列 (Ⅱ)设

cn ? an ? bn , ,设 Tn 为 ?cn ? 的前 n 项和,求 Tn .

20. (本题满分 12 分)

1 x y x2 y2 e? ? ?1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 2 a b a b 设 椭圆 C : 的离 心率 , 右 焦点 到直线 的距离

d?

21 7 ,O 为坐标原点.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆 C 分别交于 A,B 两点,证明:点 O 到直线 AB
3

的距离为定值,并求弦 AB 长度的最小值。 21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3x(a, b ? R) ,在点(1,f(1) )处的切线方程为 y+2=0.
3 2

(1)求函数 f(x)解析式; (2)若对于区间[-2,2]上的任意两个自变量 x1 , x 2 都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? c

,求实数 c 的最

小值; (3)若过点 M(2,m) (m ? 2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围; 22. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a sin x ? x ? b ( a, b 均为正常数) ,设函数 f ( x) 在

x?

?
3 处有极值.

x ? [0, ] 2 ,不等式 f ( x) ? sin x ? cos x 总成立,求实数 b 的取值范围; (1)若对任意的 m ? 1 2m ? 1 ?, ?) 3 (2)若函数 f ( x) 在区间 3 上单调递增,求实数 m 的取值范围. (
2014-2015 学年度山东省滕州市实验中学高三第一学期期中考试 数学试题参考答案 一、选择题:1.C 2.A 3.C 4.A 5.D 6.C 7.A 8.A 9.D 10.A 11.B 12.B

?

二、填空题:13.-4 三、解答题:

3 [ , 2] 14. 4

15.11

1? 3 ,0) 16. 16 (

18.解: (Ⅰ)由 3a-2csin A=0 及正弦定理, 得 3sin A-2sin Csin A=0(sin A≠0) , (1 分) ∴sin C= π ∴C= 3 3 , (4 分)∵△ABC 是锐角三角形, 2 (6 分)

π π (Ⅱ)∵c=2,C= ,由余弦定理,a2+b2-2abcos =4, 3 3 即 a2+b2-ab=4 (8 分)

?a+b?2,即(a+b)2≤16, ∴(a+b)2=4+3ab≤4+3· (10 分) ? 2 ?
∴a+b≤4,当且仅当 a=b=2 取“=”(11 分) 故 a+b 的最大值是 4. (12 分) 19.解: (1) (2)

an ? 2n ? 1, (3 分) bn ? 3n . (3 分)

Tn ? 3 ? (n ?1)3n?1 . (12 分)

4

x2 y2 ? ?1 3 20. (1) 4
(2) 设 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 当直线 AB 的斜率不存在时,x2 ? ? x1 , y1 ? y2 ,? y1 ? y2 ,
2 2

12 2 21 x12 y12 2 21 x1 ? ? ? ?1 d? 7 7 ,即 O 到直线 AB 的距离 3 7 ,当直线的 又 4 ,解得
x2 y2 ? ?1 3 斜 率 存 在 时 , 直 线 AB 的 方 程 为 y=kx+m, 与 椭 圆 4 联立消去 y 得

3x 2 ? 4(k 2 x 2 ? 2km ? m 2 ) ? 12 ? 0
? x1 ? x 2 ? ? 8km 4m 2 ? 12 , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2



? OA ? OB

? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0

, 即

? x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0
(k 2 ? 1) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 0
? (k 2 ? 1)

4m 2 ? 12 8k 2 m 2 ? ? m2 ? 0 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k ,整理得
线 AB 的 距 离

7m 2 ? 12(k 2 ? 1)
d? m 1? k
2

?

O





?

12 2 21 ? 7 7 ? OA ? OB ? OA2 ? OB 2 ? AB2 ? 2OA ? OB 当且仅当

AB 2 4 21 d ? AB ? OA ? OB ? ? AB ? 2d ? 2 , 7 OA=OB 时取“=”有 d ? AB ? OA ? OB 得

4 21 即弦 AB 的长度的最小值是 7

? f (1) ? ?2 ? a ? b ? 3 ? ?2 ? ? 2 ? f ?(1) ? 0 即 ?3a ? 2b ? 3 ? 0 21. (1)由已知得 f ( x) ? 3ax ? 2bx ? 3 ,根据题意,得 ? ?a ? 1 ? b ? 0 ? f ( x) ? x 3 ? 3x 解得 ?
? ? (2)由(1)知? f ( x) ? x ? 3x 则 f ( x) ? 3x ? 3 令 f ( x) ? 0, x ? ?1 又 f(-1)=2,f(1)
3 2

=-2,f(-2)=-2,f(2)=2, (3)设切点为(

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x) max ? f ( x) min ? 4 ?c ? 4

3 2 2 x0 , y0 ) ,则 y0 ? x0 ? 3x0 ? f ?( x) ? 3x0 ? 3 切线的斜率为 3x0 ? 3 则有

5

3 x0 ? 3x0 ? m 3x ? 3 ? 2 2x 3 ? 6x0 ? 6 ? m ? 0 过点 M(2,m)可作曲线 y=f(x)的三 x0 ? 2 ,即 0 2 0
3 2 3 2 2x0 ? 6x0 ? 6 ? m ? 0 有三个不同的实数解,g ( x) ? 2x0 ? 6x0 ? 6 ? m 有三

条切线, 方程

? g (0) ? 0 ?? ? ?6 ? m ? 2 ? ? g ( 2 ) ? 0 g ( x ) ? 0 g ( x ) ? 6 x ? 12 x ? 个不同的零点, 令 解得 x=0,x=2,
2

f '( ) ? 0 f ( x ) ? a sin x ? x ? b f ( x ) ? a cos x ? 1 3 22.解:∵ ,∴ ,由题意,得 ,解得
'

?

a ? 2 .---- 2 分
( 1 ) 不 等 式 f ( x) ? sin x ? cos x 等 价 于 b ? x ? cos x ? six 对 于 一 切 立. ---- 4 分 记 g ( x) ? x ? cos x ? sin x ,则

x ? [0, ] 2 恒成

?

g ' ( x) ? 1 ? sin x ? cos x ? 1 ? 2 sin( x ?

?
4

)
----5 分

? ? ? 3? ? x ? [0, ] x ? ?[ , ] 1 ? 2 sin( x ? ) ? 2 2 ,∴ 4 4 4 ,∴ 4 ∵ ,
' ∴ g ( x) ? 0 ,从而 g ( x) 在

[0, ] 2 上是减函数.

?



g ( x) max ? g (0) ? 1 ,于是 b ? 1 . ---- 6 分
'

(2) f ( x) ? 2 cos x ? 1 , 由 分 ∵函数 f ( x) 在区间

f ' ( x) ?

1 ? ? ? ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? Z 2 ,得,即 3 3 . ---- 7

(

m ? 1 2m ? 1 ?, ?) 3 3 上单调递增,

m ? 1 2m ? 1 ? ? ?, ? ) ? [? ? 2k? , ? 2k? ] 3 3 3 3 ∴ , (

6

? ?m ?1 ? 3 ? ? ? 3 ? 2k? ? ? ? 2m ? 1 ? ? ? 2k? ? 3 ? 3 ?6k ? m ? 3k ? 1, k ? Z 2m ? 1 ?m ?1 ? ? ? , k ? Z ? ? m?0 3 则有 ? 3 ----9 分,即 ? ,
∴ k ? 0 时, 0 ? m ? 1 ---- 12 分

7


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