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数列--求前n项和的方法


一、教学目的与考点分析
1.教学目的:数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有 重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数 列的求和都需要一定的技巧。 2.考点分析 (1)重点: 数列的前 n 项和 (2)难点: 数列的前 n 项和

二、教学内容及步骤
1、

数列求和的方法 类型 1、公式法 ①
n?a1 ? an ? n?n ? 1? ? na1 ? d. 2 2 ?na1 , q ? 1 ? 等比数列前 n 项和 S n ? ? a1 1 ? q n a1 ? an q ? 1? q ? 1? q , q ? 1 ? 2 1 S n ? ? n 2 ? 12 ? 22 ? ? ? n 2 ? n?n ? 1??2n ? 1? 6 i ?1

等差数列前 n 项和 S n ?



?

?

③ ④

?1 ? Sn ? ? n ? 1 ? 2 ? ? ? n ? ? n?n ? 1?? ?2 ? i ?1
2 3 3 3 3

2

例 1-1 设 a1 , d 为实数,首项为 a1 ,公差为 d 的等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 S5 S6 ? 15 ? 0 (1)若 S5 ? 5 ,求 S6 及 a1 。 (2)求 d 的取值范围。 在数列 ?an ?中,已知 a1 ? ?1 ,且 an?1 ? 2an ? 3n ? 4 n ? N * . (1)求证:数列 ?an?1 ? an ? 3? 是等比数列。 (2)求数列 ?an ?的通项公式以及前 n 项和 Sn 。

?

?

类型二、分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成, 则求和时可用分组求和 法,分别求和后相加减. 例 2-2 2 ? 3? 5?1 ? 4 ? 3? 5?2 ? ? ? 2n ? 3? 5?n
?1 ?2 ?n

? ? ? ? ? ? 解: ?2 ? 3? 5 ?? ?4 ? 3? 5 ?? ? ? ?2n ? 3? 5 ?

? 2?1 ? 2 ? ? ? n? ? 3 5?1 ? 5?2 ? ? ? 5?n n?n ? 1? 5?1 ?1 ? 5? n ? ? 2? ? 3? 2 1 ? 5?1 3 ? n?n ? 1? ? ?1 ? 5? n ? 4
练: ?a ?1? ? a 2 ? 2 ? ? ? a n ? n 求和。

?

?

?

?

?

?

类型三、并项求和法 在一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如 a n ? ??1? f ?n?类型,可采用
n

两项合并求解 例 1-3 求 cos1? ? cos2? ? cos3? ? ? ? cos178? ? cos179? 的值.
? ? ? ? ? 解:设 Sn ? cos1 ? cos2 ? cos3 ??? cos178 ? cos179

因为 cosn? ? ? cos 180? ? n?

? ? ? ? ? 所以 Sn ? cos1 ? cos179 ? cos2 ? cos178 ??? cos89 ? cos97 ? cos90 ? ?

?

?

? ?

?

(找特殊性质)

?

?

?

=0 练:在各项均为正数的等比数列中,若 a5a6 ? 9 ,求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 的值.(10)

类型四、倒序相加法 如果一个数列 ?an ?中,与首末两端等距离的两项之和等于首末两项之和,求和时可采用把正着写与 倒着写的两个和式相加,就和得到一个常数列的和。如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的. 1 例 2-4 设 f ?x ? ? x ,求 f ?? 5? ? f ?? 4? ? ? ? f ?0? ? ? ? f ?5? ? f ?6? 的值. 2 ? 2 1 ? 2x x 1 2 1 ? ? 2 x 解: 因为 f ?x ? ? x , f ?1 ? x ? ? 1? x x 2 ? 2 2? 2 ?2 2?2 2 ? 2
2 , 2 即 f ?x ? ? f ?1 ? x ?正好是一个定值.

所以 f ?x ? ? f ?1 ? x ? ?

2 ?6 ? 3 2 . 2 练:求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? sin 2 89? 的值。 (44.5)
所以 S n ?

类型五、错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求,只需用 Sn ? qSn 便可转化为等比数列的求和,如等比数列的前 n 项和公式就是用 此法推导的。
1 1 1 2n ? 1 例 1-5 求和: S n ? 1? ? 3 ? ? 5 ? ? ? ? n . ? 2 4 8 2 ? 2n ? 1? ?1? 解:由题可知, ? n ? 的通项是等差数列 ?2n ? 1?的通项与等比数列 ? n ? 的通项之积 ? 2 ? ?2 ? 1 1 1 1 2n ? 1 设 S n ? 1? ? 3 ? ? 5 ? ? ? ? n ?1 ? 2 4 8 16 2 1 1 1 1 1 2n ? 1 ?-?得: S n ? 1? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? n ? n ?1 2 2 4 8 2 2 1 1 2n ? 1 S n ? ? ? n ?1 ? 2?1 ? 2 n ? 2 2 2 2n ? 3 Sn ? 3 ? . 2n

练:已知数列 ?an ?是首项、公比都为 q?q ? 0且q ? 1? 的等比数列, bn ? an log4 an n ? N * (1)当 q ? 5 时,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Sn 14 (2)当 q ? 时,若 bn ? bn?1 ,求 n 的最小值. 15

?

?

类型六、裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. 常见的列项公式: 若 ?an ?为等差数列,则

1 1? 1 1 ? 1 1 ?1 1 ? ? ? ?; , ? ? ? ? ? ? ? ? an an?1 d ? a1 an?1 ? an an?2 2d ? a1 an?2 ? ?

1 1 1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ? ? ?; n?n ? 1? n n ? 1 n?n ? k ? k ? n n ? k ? 1 1? 1 1 ? ? ? ? ?; ?2n ? 1??2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 1 1 1 ? n ?1 ? n ? ? n?k ? n ; n ? n ?1 n ? n?k k ? 1 1? 1 1 ; ? ? ? n?n ? 1??n ? 2? 2 ? n?n ? 1? ?n ? 1??n ? 2?? ?

例 2-6 (1)已知等差数列 ?an ?满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn ①求 an 及 Sn . 1 ②令 bn ? 2 ?n ? N * ? ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn . an ? 1 解:(1)设等差数列 ?an ?的首项为 a1 ,公差为 d ,

因为 a3 ? 7 。 a5 ? a7 ? 26 所以 a1 ? 2d ? 7 , 2a1 ? 10d ? 26 解得 a1 ? 3 , d ? 2 所以 an ? 2n ? 1 , Sn ? n?n ? 2? . (2)因为 an ? 2n ? 1 ,所以 bn ?
Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ? a ? 1 4n?n ? 1? 4 ? n n ? 1 ?
2 n



? ?

1? 1 1 1 1 1 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4? 2 2 3 3 n n ?1? 1? 1 ? n ?1 ? ?? 4 ? n ? 1 ? 4?n ? 1?

所以数列 ?bn ?的前 n 项和

Tn ?

n 4?n ? 1?
2

练:已知等比数列 ?an ?的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a3 ? 9a2a6 (1)求数列 ?an ?的通项公式;

?1? (2)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an ,求数列 ? ? 的前 n 项和. ? bn ?

三、课后作业
1.已知等差数列 ?an ?, a2 ? 9 , a5 ? 21 (1)求 ?an ?的通项公式; (2)设 bn ? 2an ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Sn . 2.已知数列 ?an ?的通项公式是 an ? 2 ? 3n?1 ? ??1? ?ln 2 ? ln 3? ? ??1? n ln 3 ,求其前 n 项和 Sn .
n n

?9? 3.已知数列 an ? ?n ? 1?? ? ? ,求 ?an ? 的前 n 项和 Sn . ? 10 ?
4.已知等差数列 ?an ?的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4. (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)设 bn ? ?4 ? an ?qn?1 q ? 0, n ? N* ,求 ?bn ?的前 n 项和 Sn . 1 2 2 2 ? ?? ? 5.在数列 ?an ?中, an ? ,又 bn ? ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Sn . n ?1 n ?1 n ?1 an an?1 6.等差数列 ?an ?的各项均为正数, a1 ? 3 ,前 n 项和 Sn , ?bn ?为等比数列, b1 ? 1 , 且 b2 S2 ? 64 , b3 S3 ? 960. (1)求 an 和 bn ; 1 1 1 (2)求 ? ? ? ? . S1 S 2 Sn

n

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