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1.7 指数与指数函数


1.7 指数与指数函数

一、选择题 1.(2014· 聊城统考)若 lga+lgb=0(其中 a≠1,b≠1),则函数 f(x)=ax 与 g(x)=bx 的图 象( ) A.关于直线 y=x 对称 B.关于 x 轴对称 C.关于 y 轴对称 D.关于原点对称 - 解析: 由 lga+lgb=0 可知 lgab=0, 即 ab=1, 所以 f(x)=ax, g(x)=a x.若点(x, y)在 f(x) - x x =a 的图象上,则点(-x,y)在函数 g(x)=a 的图象上,即两函数图象关于 y 轴对称. 答案:C 2.(2014· 江西联考)已知函数 f1(x)=ax,f2(x)=xa,f3(x)=logax(其中 a>0,且 a≠1),在 同一坐标系中画出其中的两个函数在第一象限内的图象,正确的是( ) A B C D 解析:不论 a>1 还是 0<a<1,三个函数的单调性应该是一致的,而在 A、C、D 中的 两个函数的单调性显然不一致. 答案:B 1 1?b ?1?a 3.(2014· 中山一模)设 <? < <1,那么( ) 5 ?5? ?5? a b a a a b A.a <b <b B.a <b <a C.ab<ba<aa D.ab<aa<ba 1 1?b ?1?a 解析:∵ <? < <1, 5 ?5? ?5? ∴1>b>a>0. ∴ab<aa,且 aa<ba,故 ab<aa<ba. 答案:D 4.(2014· 福州质检)函数 y=2 的值域是( ) A.[4,+∞) B.(4,+∞) C.(-∞,4) D.(-∞,4] 解析:令 x2-2x+3=t,则 y=2t. ∵t=(x-1)2+2≥2,∴y=2t≥22=4. 答案:A 5.(2014· 丽水月考)当 x∈[-2,2]时,ax<2(a>0 且 a≠1),则实数 a 的范围是( 2 A.(1, 2) B.? ,1? ?2 ? 2 C.? ,1?∪(1, 2) D.(0,1)∪(1, 2) ?2 ? 解析:x∈[-2,2]时,ax<2(a>0 且 a≠1), 若 a>1 时,y=ax 是一个增函数,则有 a2<2,可得 a< 2,故有 1<a< 2,
x2-2x+3

)

若 0<a<1,y=ax 是一个减函数,则有 a 2<2,可得 a>


2 2 ,故有 <a<1, 2 2

综上知 a∈?

2 ? ∪(1, 2). ? 2 ,1?

答案:C 6. (2014· 哈尔滨月考)设 a=0.64.2, b=0.74.2, c=0.65.1, 则 a, b, c 大小关系正确的是( ) A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a 解析:由幂函数 y=x4.2 在第一象限内的单调递增的性质,可知 b>a;由指数函数 y= x 0.6 的单调递减性,可知 a>c,故有 b>a>c. 答案:B 二、填空题 + 7.函数 y=2x 1+4x 的值域为__________. x+1 解析:y=2 +4x=(2x+1)2-1,因为 2x>0,所以 y>0,故 y∈(0,+∞). 答案:(0,+∞) 8.若 x>0,则(2x +3 )(2x -3 )-4x
1 4
1 4 3 2 1 4 3 2 ? 1 2

(x-x )=__________.
1 2

1 2

解析:原式=(2x ) -(3 ) -4x +4x =4x -3 -4x +4=-23. 答案:-23 1 1 x2+2x-4 9.已知 loga >0,若 a ≤ ,则实数 x 的取值范围为__________. 2 a 1 1 x2+2x-4 解析:由 loga >0 得 0<a<1.由 a ≤ 2 a 得a ≤a 1, 2 ∴x +2x-4≥-1, 解得 x≤-3,或 x≥1. 答案:(-∞,-3]∪[1,+∞) 三、解答题 1 10.已知函数 f(x)=2x- |x|. 2 (1)若 f(x)=2,求 x 的值; (2)若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围. 解析:(1)当 x<0 时,f(x)=0; 1 当 x≥0 时,f(x)=2x- x. 2 1 x 由条件,可知 2 - x=2, 2 2x x 即 2 -2· 2 -1=0,解得 2x=1± 2. ∵2x>0,∴2x=1+ 2. ∴x=log2(1+ 2). 1 1 (2)当 t∈[1,2]时,2t(22t- 2t)+m(2t- t)≥0, 2 2 即 m(22t-1)≥-(24t-1). ∵t∈[1,2],∴22t-1>0,∴m≥-(22t+1). ∴t∈[1,2],∴-(1+22t)∈[-17,-5]. 故 m 的取值范围是[-5,+∞). -2x+b 11.(2014· 信阳调研)已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数(a>0,b>0). 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)<-f(2t2-k)恒成立,求 k 的取值范围.


2

3 2

2

1?

1 2

1 1 ? ? 2 2

3

1 2

x2+2x-4

-2 x+b b· 2x - 1 解析:(1)f(-x)= -x+1 = x , 2 +a a· 2 +2 由 f(x)=-f(-x)得, 2b· 22x+(ab-2)2x-a=a· 22x+(2-ab)2x-2b, ∴a=2,b=1 或 a=-2,b=-1(舍去), ∴a=2,b=1. 1-2x 2-?1+2x? 1 1 (2)f(x)= = - , x = 2?1+2 ? 2?1+2x? 1+2x 2 ∴f(x)在(-∞,+∞)上递减, ∵f(x)是奇函数, ∴f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2), ∴t2-2t>k-2t2, 整理得 3t2-2t-k>0 对 t∈R 恒成立, 1 ∴4+12k<0,k<- , 3 1? 因此实数 k 的取值范围是? ?-∞,-3?.


1 a 12.(2014· 潍坊联考)定义在[-1,1]上的奇函数 f(x),已知当 x∈[-1,0]时,f(x)= x- x(a 4 2 ∈R). (1)求 f(x)在[0,1]上的最大值; (2)若 f(x)是[0,1]上的增函数,求实数 a 的取值范围. 1 a 解析:(1)设 x∈[0,1],则-x∈[-1,0],f(-x)= -x- -x=4x-a· 2x . 4 2 ∵f(-x)=-f(x), ∴f(x)=a· 2x-4x,x∈[0,1]. x 令 t=2 ,t∈[1,2], a a2 t- ?2+ . ∴g(t)=a· t-t2=-? ? 2? 4 a 当 ≤1,即 a≤2 时,g(t)max=g(1)=a-1; 2 a? a2 a 当 1< <2,即 2<a<4 时,g(t)max=g? ?2?= 4 ; 2 a 当 ≥2,即 a≥4 时,g(t)max=g(2)=2a-4; 2 综上所述,当 a≤2 时,f(x)最大值为 a-1, a2 当 2<a<4 时,f(x)最大值为 , 4 当 a≥4 时,f(x)的最大值为 2a-4. (2)∵函数 f(x)在[0,1]上是增函数, ∴f′(x)=aln2· 2x-ln4· 4x=2xln2(a-2· 2x)≥0, ∴a-2· 2x≥0 恒成立,a≥2· 2x , x ∵2 ∈[1,2],∴a≥4. 即 a 的取值范围是[4,+∞).


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