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高一等差与等比数列复习纲要 (1)


等差与等比数列复习纲要
一、数列中常用的一些结论 ?S1 ,(n ? 1) 1、 an ? ? 注意:对任意数列都适用,要分 n=1 与 n ? 2 讨论 ?Sn ? Sn?1 ,(n ? 2)
2、判断数列 an 最大(小)项,解出满足 ?

?an ? an ?1 , 或者 a ? a n ?1 ? n

?an ? an ?1 的 n 的整数值 ? a ? a n ?1 ? n

二、等差数列常见结论 1、判断给定的数列 {an } 是等差数列的方法 (1) 定义法: an?1 ? an ? d 是常数 (n ? N * ) ? 数列 {an } 是等差数列; (2) 通项公式法: an ? kn ? b(k , b是常数) ? 数列 {an } 是等差数列; (3) 前 n 项和法:数列 {an } 的前 n 项和

Sn ? An2 ? Bn( A, B是常数,A2 ? B2 ? 0) ? 数列 {an } 是等差数列; (4) 等差中项法: an ? an?2 ? 2an?1 (n ? N * ) ? 数列 {an } 是等差数列;
2、等差数列的通项公式的推广和公差的公式: a ?a an ? am ? (n ? m)d (n, m ? N * ) ? d ? n m (n, m ? N * , n ? m) ; n?m 3、若 A 是 a 与 b 的等差中项 ? 2 A ? a ? b 4、若数列 {an } , {bn } 都是等差数列且项数相同,则

{kbn },{an ? bn },{an ? bn },{ pan ? qbn } 都是等差数列; 5、等差数列 {an } 中,若项数成等差数列,则对应的项也成等差数列;
6、等差数列 {an } 中,隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列; 7 、若数列 {an } 是等差数列,且项数 m, n, p, q(m, n, p, q ? N * ) 满足 m ? n ? p ? q , 则 am ? an ? ap ? aq ,反之也成立;当 p ? q 时, am ? an ? 2a p , 即 a p是am和an 的等差中项;an+an=a1+a2n-1,=??=an-k+an+k 8、若数列 {an } 是等差数列的充要条件是前 n 项和公式 Sn ? f (n) ,是 n 的二次函 数或一次函数且不含常数项,即 Sn ? An2 ? Bn( A, B是常数,A2 ? B2 ? 0) ; 9、若数列 {an } 的前 n 项和 sn ? An2 ? Bn ? C( A, B是常数,C ? 0) ,则数列 {an } 从第 二项起是等差数列; S 10、 若数列 {an } 是等差数列, 前 n 项和为 Sn , 则 { n } 也是等差数列, 其首项和 {an } n
n m 1 的首项相同,公差是 {an } 公差的 即 n = m +(n-m)d/2 2 11、S2n-1=(2n-1)an,若数列 {an } , {bn } 都是等差数列,其前 n 项和分别为 Sn , Tn ,则 an S2 n ?1 ; ? bn T2 n ?1 12、若三个数成等差数列,则通常可设这三个数分别为 x ? d , x, x ? d ;若四个数 成等差数列,则通常可设这四个数分别为 x ? 3d , x ? d , x ? d , x ? 3d ; 13、等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sm , S2m , S3m , S4m ?????? 分别为数列 {an } 的前

s s

m 项,2m 项,3m 项,4m 项,??的和,则 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m , ?????? 成等差数 列(等差数列的片段和性质) ; 14、等差数列 {an } 中,若项数 2n ? 1 为奇数,设奇数项的和和偶数项的和分别为
S奇,S偶 ,则 S奇 ? nan , S偶 ? (n ? 1)an , S奇 ? S偶 ?an ,则 S2n ?1 ? (2n ? 1)an ,



S奇 n ; 若项数 2 n 为偶数,则 S偶 ? (n ? 1)an , S偶 ? S奇 ? nd , 则 ? S偶 n ?1

S奇 a ? n S偶 an ?1 15、 在等差数列 {an } 中, 若公差 d ? 0 , 则等差数列 {an } 为递增数列; 若公差 d ? 0 , 则等差数列 {an } 为递减数列;若公差 d ? 0 ,则等差数列 {an } 为常数列; 16、有关等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn 的最值问题:何时存在最大值和最小值 ① 若 a1 ? 0, d ? 0 ,则前 n 项和为 Sn 存在最大值 ② 若 a1 ? 0, d ? 0 ,则前 n 项和为 Sn 存在最小值 如何求最值: (任何数列都通用) ?an ? 0 通过 ? 解出 n 可求前 n 项和为 Sn 的最大值 ?an ?1 ? 0
S2n ? n(an ? an ?1 ) ,则
17、用方程思想处理等差数列中求相关参数问题,对于 an , n, Sn , a1, d 这五个量, 知任意三个可以求出其它的两个,即“知三求二” 18、 等差数列

st=sm,则 st+m=0,
ap=q,aq=p,则 ap+q=0;若有 sp=q, Sq =p.则 S p ? q =-(p+q)

19、等差数列{ an },若有 20、

绝对值类型: 1>0,d<0,求{| 和??

a

an|}前 n 项和,??或者 a1<0,d>0, 求{|an|}前 n 项

三、等比数列常见结论 1、对等比数列定义的理解 是从第二项开始,每一项与前一项的比每一项与前一项的比试同一个常数, 且这个常数不为 0 等比数列中任何一项都不为 0 符号语言的描述: 若数列 {an } a 中满足 n ?1 ? q (不为 0 的常数) ,则数列 {an } 为等比数列; an 2、当且仅当两个数 a 和 b 同号是才存在等比中项,且等比中项为 G ? ? ab 3、若 a, G, b 成等比数列,则 G 2 ? ab 4、判断给定的数列 {an } 是等比数列的方法 a (1) 定义法: n ?1 ? q (不为 0 的常数) ? 数列 {an } 为等比数列; an
2 (2)中项法: an an?2 ? an ?1 ? 数列 {an } 为等比数列;

(3)前 n 项和法:数列 {an } 的前 n 项和 Sn =A-Aqn (A 是常数, A ? 0, q ? 0, q ? 1 ) ? 数列 {an } 为等比数列; 5、等比数列通项公式的推广:若 {an } 为等比数列,则 an ? amqn?m (n, m ? N * )

6 、若数列 {an } 是等比数列,且项数 m, n, p, q(m, n, p, q ? N * ) 满足 m ? n ? p ? q , 则 aman ? a p aq ,反之也成立;当 p ? q 时,aman ? a p 2 ,即 a p是am和an 的等比中项; 7、等比数列 {an } 中,若项数成等差数列,则对应的项也等比数列; 8、等比数列 {an } 中,隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等比数列;
a 2 9、若数列 {an } ,{bn } 都是等比数列且项数相同,则 {kan }(k ? 0),{an ? bn },{an }{ , n} bn 都是等比数列; 10、 若等比数列 {an } 的公比 q 为参数, 则在求前 n 项和 Sn 时应分 q ? 1和 q ? 1 两种

( q ? 1) ?na1 ? 情况讨论,即 Sn ? ? a1 ? an q a1 (1 ? q n ) ; (q ? 1) ? 1? q ? 1? q ?

当 q ? 1 时 Sn ? A(1 ? q n )( A ?

a1 , A ? 0, q ? 0, q ? 1) 1? q

x 11、若三个数成等比数列,通常可设这三个数分别为 , x, xq ; q 12、 (等比数列的片段和性质)公比不为 ?1的等比数列 {an } 前 n 项和为 Sn ,则

Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2 n , ??????成等比数列; 13、用方程思想处理等比数列相关参数问题,对于 an , n, Sn , a1, q 这五个量,知任 意三个可以求出其它的两个,即“知三求二” ; 四、等差与等比数列的关系 1、若正项数列 {an } 为等比数列,则数列 {log a an } 为等差数列;
2、若数列 {an } 为等差数列,则数列 {b } 为等比数列; a?b 3、任意两数 a , b 都存在等差中项为 ,但不一定都存在等比中项,当且仅当 2 a, b 同号时才存在等比中项为 ? ab ; 4、任意常数列都是等差数列,但不一定都是等比数列,当且仅当非零的常数列 即是等差数列又是等比数列;
an


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