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函数的单调性和最值课时作业


课时作业 4
一、选择题

函数的单调性与最值
)

1.(2014· 北京卷)下列函数中, 定义域是 R 且为增函数的是( A.y=e-x C.y=lnx B.y=x3 D.y=|x|

解析:分别画出四个函数的图象,如图:

因为对数函数 y=lnx 的定义域不是 R,故首先排

除选项 C;因为
?1? 指数函数 y=e-x,即 y=? e?x,在定义域内单调递减,故排除选项 A; ? ?

对于函数 y=|x|,当 x∈(-∞,0)时,函数变为 y=-x,在其定义域 内单调递减, 因此排除选项 D; 而函数 y=x3 在定义域 R 上为增函数. 故 选 B. 答案:B 2. (2015· 宁夏月考)下列函数中, 在(-1,1)内有零点且单调递增的 是( ) A.y=log1 x
2

B.y=2x-1

1 C.y=x2-2

D.y=-x3

解析:观察四个选项,在(-1,1)内单调递增的只有函数 y=2x-1 且其在(-1,1)内也有零点.故选 B. 答案:B 3.函数 f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是( 3? ? A.?-∞,2?
? ? ?3 ? B.?2,+∞? ? ? ?3 ? D.?2,4? ? ? ? ?

)

3? ? C.?-1,2?
? ?

3? ? 解析:函数 f(x)的定义域是(-1,4),u(x)=-x2+3x+4=-?x-2?2
?3 ? 25 + 4 的减区间为?2,4?, ? ? ?3 ? ∵e>1,∴函数 f(x)的单调减区间为?2,4?. ? ?

答案:D 4.函数 f(x)(x∈R)的图象如下图所示,则函数 g(x)=f(logax)(0<a <1)的单调减区间是( )

1? ? A.?0,2?
? ? ? ? ?1 ? B.(-∞,0)∪?2,+∞?

C.[ a,1]

D.[ a, a+1] 解析:y=logax(0<a<1)为减函数,根据复合函数的单调性及图 1 象知,当 0≤logax≤2,即 a≤x≤1 时,g(x)为减函数,故其单调减区 间为[ a,1]. 答案:C
??a-2?x-1,x≤1, ? 5.已知函数 f(x)=? 若 f(x)在(-∞,+∞)上 ?logax,x>1. ?

单调递增,则实数 a 的取值范围为( A.(1,2) C.(2,3]

) B.(2,3) D.(2,+∞)

解析:要保证函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则首先分段函 数应该在各自定义域内分别单调递增. 若 f(x)=(a-2)x-1 在区间(-∞,1]上单调递增,则 a-2>0,即 a>2. 若 f(x)=logax 在区间(1,+∞)上单调递增,则 a>1. 另外,要保证函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增还必须满足(a- 2)×1-1≤loga1=0,即 a≤3.故实数 a 的取值范围为 2<a≤3. 答案:C 6.(2014· 安徽卷)若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3,则实 数 a 的值为( A.5 或 8 C.-1 或-4 ) B.-1 或 5 D.-4 或 8

3x+a+1,x>-1, ? ?x+a-1,-a≤x≤-1, 2 解析:当 a≥2 时,f(x)=? a ? - 3 x - a - 1 , x <- ? 2,
? a? a a 则 f(x)的图象如图 1 所示,故当 x=-2时,f(x)min=f?-2?=2-1 ? ?

=3,解得 a=8;

图1

图2

3x+a+1,x>-2, ? ? a 当 a<2 时,f(x)=? -x-a+1,-1≤x≤-2, ? ?-3x-a-1,x<-1,
? ?

a

则 f(x)的图象

? a? a a 如图 2 所示,故当 x=-2时,f(x)min=f?-2?=-2+1=3,解得 a=-

4;综上可知,答案为 D. 答案:D 二、填空题 7. 已知 y=f(x)是定义在(-2,2)上的增函数, 若 f(m-1)<f(1-2m), 则 m 的取值范围是______. 解析:依题意,原不等式等价于

?-2<m-1<2

? ?-2<1-2m<2 ? ?m-1<1-2m
? 1 2? 答案:?-2,3? ? ?

-1<m<3 ? ?-1<m<3 2 ?? 2 2 ? m < ? 3

1 2 ?-2<m<3.

8.已知下列四个命题:①若 f(x)为减函数,则-f(x)为增函数; 1 ②若 f(x)为增函数, 则函数 g(x)= 在其定义域内为减函数; ③若 f(x) f ?x ? 与 g(x)均为(a,b)上的增函数,则 f(x)· g(x)也是区间(a,b)上的增函数; f ?x ? ④若 f(x)与 g(x)在(a,b)上分别是递增与递减函数,且 g(x)≠0,则 g ?x ? 在(a,b)上是递增函数.其中正确命题的序号是__________. 解析:①正确;②不正确,可用 y=x(x≠0)说明,若 f(x)恒大于零 (或若 f(x)恒小于零),则命题②成立;

1 ③不正确,可用 y=x(x>0)与 y=-x(x>0)说明; ④不正确,可用 y=x(x>0)与 y=-x(x>0)说明. 答案:①
2 ? ?-x +4x-10 9.已知函数 f(x)=? ? ?log3?x-1?-6

?x≤2? ?x>2?

若 f(6-a2)>f(5a),则

实数 a 的取值范围是__________. 解析:当 x≤2 时,f1(x)=-x2+4x-10 是单调递增函数;当 x>2 时,f2(x)=log3(x-1)-6 也是单调递增函数,且 f1(2)=-22+4×2- 10=-6,f2(2)=log3(2-1)-6=-6,即 f1(2)=f2(2),因此 f(x)在 R 上 单调递增,又因为 f(6-a2)>f(5a),所以 6-a2>5a,解得-6<a<1. 答案:-6<a<1 三、解答题 10.(2015· 江西师大附中测试)已知函数 y= x2)的定义域为 M, (1)求 M; (2)当 x∈M 时,求 f(x)=a· 2x+2+3×4x(a>-3)的最小值. 1+x ? ?1-x≥0,且x≠1, 解析:(1)依题意,有? ? ?3-4x+x2>0, 解得 M=[-1,1). 2a? 4 ? 1 (2)∵f(x)=a· 2x+2+3×4x=3?2x+ 3 ?2-3a2,又2≤2x<2,a>-3,
? ?

1+x +lg(3-4x+ 1-x

2a ∴- 3 <2. 2a 1 3 3 若- 3 ≤2,即 a≥-4时,f(x)min=f(-1)=2a+4,

? 2a? 1 2a 3 2 若2<- 3 <2,即-3<a<-4时,则 2x=-3a,即 x=log2?- 3 ? ? ?

4 时,f(x)min=-3a2. 11.已知函数 f(x)=a· 2x+b· 3x,其中常数 a,b 满足 ab≠0. (1)若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 ab<0,求 f(x+1)>f(x)时 x 的取值范围. 解析:(1)当 a>0,b>0 时,任意 x1,x2∈R,令 x1<x2,则 f(x1) -f(x2)=a(2x1-2x2)+b(3x1-3x2), ∵2x1<2x2,a>0?a(2x1-2x2)<0, 3x1<3x2,b>0?b(3x1-3x2)<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,函数 f(x)在 R 上是增函数. 当 a<0,b<0 时,同理,函数 f(x)在 R 上是减函数. (2)f(x+1)-f(x)=a· 2x+2b· 3x>0,
?3? a 当 a<0,b>0 时,?2?x>-2b,则 ? ? ? a? x>log1.5?-2b?; ? ? ?3? a 当 a>0,b<0 时,?2?x<-2b,则 ? ? ? a? x<log1.5?-2b?. ? ?

12.已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且 2 当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=-3. (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 解析:(1)证明:方法一:∵函数 f(x)对于任意 x,y∈R 总有 f(x) +f(y)=f(x+y),

∴令 x=y=0,得 f(0)=0. 再令 y=-x,得 f(-x)=-f(x). 在 R 上任取 x1>x2,则 x1-x2>0, f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2). 又∵x>0 时,f(x)<0, 而 x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0, 即 f(x1)<f(x2). 因此 f(x)在 R 上是减函数. 方法二:设 x1>x2, 则 f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2) =f(x1-x2). 又∵x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在 R 上为减函数. (2)由(1)得 f(x)在 R 上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为 f(-3)与 f(3). 而 f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为 2,最小值为-2.


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