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1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(选修2-3)


1.1分类计数原理

与分步计数原理

假如你从泉州到广州, 可以坐直达客车或直达动车, 客车每天有3个班次,动车每天有2个班次, 请问你共有多少种不同的走法? 客车1

泉州

客车2 客车3
动车1

广州

动车2 分析:完成从泉州到广州这件事有2类方案,
所以,从泉川到广州共有3+ 2= 5种方法.

完成一件事有两类不同的方案, 在第1类方案中有m种不同的方法, 在第2类方案中有n种不同的方法, 那么完成这件事共有 N= m+ n 种不同的方法。

如果完成一件事情有n类不同方案,在每一类 中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢?

完成一件事有 n 类不同的方案, 在第1类方案中有 m1 种不同的方法, 在第2类方案中有 m2 种不同的方法, …… 在第n类方案中有mn种不同的方法,

那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法。

例1.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到 A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具 体情况如下: A大学 B大学
生物学 数学

化学
医学

会计学
信息技术学

物理学
工程学

法学

5 ? 4 ? 9种

如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢?

变式1:在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解 到,A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专 业,具体情况如下: C大学 A大学 B大学
生物学 数学 机械制造

化学
医学

会计学
信息技术学

建筑学
广告学 汉语言文学 韩语

物理学
工程学

法学

如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢? N=5+4+5=14(种)

问题3:从甲地到乙地,有3条道路,从乙地到丙 地有2条道路,那么从甲地经乙地到丙地共有多少 种不同的走法 ?
甲地
乙地

丙地

这个问题与前一个问题不同.在这个问题 中,必须经过先从甲地到乙地、再从乙地到丙 地两个步骤,才能从甲地到丙地.
因为从甲地到乙地有3种走法,从乙地到丙地有 2种走法,所以从甲地到丙地,共有不同的走法: 3×2=6 (种).

完成一件事需要两个步骤, 做第1步有m种不同的方法, 做第2步有n种不同的方法, 那么完成这件事共有 N= m* n 种不同的方法。

完成一件事需要n个步骤, 做第1步有m1 种不同的方法, 做第2步有m2种不同的方法, …… 做第n步有mn种不同的方法, 那么完成这件事共有

N ? m1 ? m2 ??? mn
种不同的方法。

思考:用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯
数字,以A1,A2,· · · ,B1,B2,· · · 的方式给教室里 的座位编号,总共能编出多少种不同的号码?

字母

数字
1 2 3

得到的号码
A B C 1 F D E 1 11 A B C F D2 E 2
22

B C A F D E

4

A B C 3 F D E 3 33 A B C F D4 E 4
44

5
6

A B C 5 F D E 5 55 A B C F D6 E 6
66

7

共 6*9=54 种方法 8
树形图
88

A B C 7 F D E 7 77 A B C F D8 E 8 A B C 9 F D E 9 99

9

例2、设某班有男生30名,女生24名。现要从中选出 男、女生各一名代表班级参加比赛,共有多少种不 同的选法?

分析:

30*24=720

两个计数原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算“完成一件事”的方法种数 分类完成 类类相加 分步完成 步步相乘 不同点 每类方案中的每一 独立 种方法都能______ 完成这件事 依次完成 才 每步_________ 算完成这件事情 (每步中的每一种 方法不能独立完成 这件事)

注意点 类类独立 不重不漏 步步相依 步骤完整

例3 书架上的第1层放着4本不同的计算机书,第2层放 着3本不同的文艺书,第3层放着2本不同的体育书。 (1)从书架上任取1本书,有几种不同的取法? 解:从书架上任取1本书,

有三类方法:
第1类方法是从第1层取1本计算机书,有4种方法; 第2类方法是从第2层取1本文艺书,有3种方法;

第3类方法是从第3层取1本体育书,有2种方法。 根据分类加法计数原理,不同取法的种数是: N=4+3+2=9.

例3 书架上的第1层放着4本不同的计算机书,第2层放 着3本不同的文艺书,第3层放着2本不同的体育书。 (1)从书架上任取1本书,有几种不同的取法? (2)从书架上的第1、2、3层各取1本书,有几种不同 的取法? 解:从书架的第1,2,3层各取1本书, 可以分成三个步骤完成: 第1步:从第1层取1本计算机书,有4种方法;

第2步:从第2层取1本文艺书,有3种方法;
第3步:从第3层取1本体育书,有2种方法。

根据分步计数原理,不同取法的种数是: N=4×3×2=24.

解答计数问题的一般思维过程:
完成一件什么事

如何完成这件事

方法的分类

过程的分步

利用加法原理进行计数

利用乘法原理进行计数

例4 要从甲、乙、丙、3幅不同的画中选出2幅, 分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有 多少种不同的挂法?

解:从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙 上,可以分两个步骤完成: 第一步,从3幅画中选1幅挂在左边墙上,有3 种选法; 丙 甲 乙 第二步,从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上, 有2种选法。
根据分步计数原理,不同挂法的种数是: N=3×2=6.

思考:还有其他解答本题的方法吗?

例4 要从甲、乙、丙、3幅不同的画中选出2幅, 分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有 多少种不同的挂法?

解:从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙 上,可以分两个步骤完成: 第一步,从3幅画中选出2幅,有3种选法;

丙 甲 乙 (“甲、乙”,“甲、丙”,“乙、丙”) 第二步,将选出的2幅画挂好,有2种挂法
根据分步计数原理,不同挂法的种数是: N=3×2=6.

变式 要从甲、乙、丙、丁、戊5幅不同的画中 选出2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置, 问共有多少种不同的挂法?

解:从5幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙 上,可以分两个步骤完成: 第一步,从5幅画中选1幅挂在左边墙上,有5 种选法; 丙 甲 乙 第二步,从剩下的4幅画中选1幅挂在右边墙上, 有4种选法。 根据分步计数原理,不同挂法的种数是: N=5×4=20.





课堂练习: 课本P6, 1, 2, 3题

例5.给程序模块命名,需要用3个字符,其中首个字 符要求用字母A~G或U~Z,后两个要求用数字1~ 9,问最多可以给多少个程序命名?
分析:要给一个程序模块命名,可以分三个步骤:第一步, 选首字符;第二步,先中间字符;第三步,选末位字符。

解:首字符共有7+6=13种不同的选法, 中间字符和末位字符各有9种不同的选法
根据分步计数原理,最多可以有13×9×9=1053种不同的选法

答:最多可以给1053个程序命名。

练P4 例3

分析: 过程见板书

例6.核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学成分, 一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链,长 链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据,总 共有4个不同的碱基,分别用A,C,G,U表示,在一个 RNA分子中,各种碱基能够以任意次序出现,所以在任意一 个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA 分子由100个碱基组成,那么能有多少种不同的RNA分子?

分析:用100个位置表示由100个碱基组成的长链,每个位置都可以从A、 第1位 第2位 第3位 第100位 C、G、U中任选一个来占据。
……
4种 4种 4种 4种

解:100个碱基组成的长链共有100个位置,在每个位置中,从A、C、G、U 中任选一个来填入,每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理,共有
100 4 ? 4 ? 4 ? ? ? 4 = 4 种不同的RNA分子. ?? ? ??? ? 100 个4

例7.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种 状态,而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采 用了每一位只有0或1两种数字的计数法,即二进制,为了使计 算机能够识别字符,需要对字符进行编码,每个字符可以用一 个或多个字节来表示,其中字节是计算机中数据存储的最小计 量单位,每个字节由8个二进制位构成,问 (1)一个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符? (2)计算机汉字国标码(GB码)包含了6763个汉字,一个 汉字为一个字符,要对这些汉字进行编码,每个汉字至少要用 多少个字节表示? (1)28 ? 256种

(2) 256*256=65536>6763, 故需要两个字节

第1位

第2位

第3位

第8位

……
2种 2种 2种 2种

例8.计算机编程人员在编 开始 写好程序以后要对程序进 行测试。程序员需要知道 到底有多少条执行路(即 子模块3 子模块2 子模块1 28条执行路径 45条执行路径 程序从开始到结束的线),18条执行路径 以便知道需要提供多少个 测试数据。一般的,一个 A 程序模块又许多子模块组 成,它的一个具有许多执 行路径的程序模块。问: 子模块5 子模块4 43条执行路径 38条执行路径 这个程序模块有多少条执 行路径?另外为了减少测 试时间,程序员需要设法 减少测试次数,你能帮助 结束 程序员设计一个测试方式, 以减少测试次数吗?

1)整个模块的任意一 条路径都分两步完成: 第1步是从开始执行 子模块1 到A点,有 18条执行路径 18+45+28=91种方法 第2步是从A点执行到 结束,有38+43=81 种方法 由分步乘法计数原理: 整个模块的执行路径 条数为:

开始

子模块2 45条执行路径 A

子模块3 28条执行路径

子模块4 38条执行路径

子模块5 43条执行路径

结束

91*81=7371

2)在实际测试中,程序 开始 员总是把每一个子模块看 成一个黑箱,即通过只考 察是否执行了正确的子模 子模块3 子模块2 子模块1 块的方式来测试整个模块。 28条执行路径 45条执行路径 18条执行路径 这样,他可以先分别单独 测试5个模块,以考察每 A 个子模块的工作是否正常。 总共需要的测试次数为: 18+45+28+38+43=172。 子模块4 子模块5 43条执行路径 38条执行路径 再测试各个模块之间的信 息交流是否正常,需要测 试的次数为:3*2=6。 如果每个子模块都正常工 结束 作,并且各个子模块之间 的信息交流也正常,那么 这样,测试整个模块的次数就变为 整个程序模块就正常。 172+6=178(次)

例9.随着人们生活水平的提高,某城市家庭汽车拥有量迅速增 长,汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌 照组成办法,每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母 和3个不重复的阿拉伯数字,并且3个字母必须合成一组出现, 3个数字也必须合成一组出现,那么这种办法共能给多少辆汽 车上牌照?

分析: 过程见课本

两个原理的使用标准:

1.本节课学习了哪些主要内容?

2.你如何来判别使用哪个计数原 理?

共同点:都是有关“完成一件事情”的所有不同方法的 种数问题。

主要不同点: 分类加法计数原理 ①完成一件事有n类不同 直 相 的方案; 达 互 ②各类方案相互独立; 目 独 ③每一类方案都能直接完 成该事件。 的 立

分步乘法计数原理

完成一件事要n个不同的 相 分 步骤;
各个步骤相互联系 ;

步 互 到 联 每一个步骤都不能直接完 达 系 成该事件,只有完成每个
步骤,才能完成这件事。


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