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平面向量单元测试卷


第二章向量综合测试题
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. 已知向量 a = ?1,2? , b = ? x,4? ,若 b ? 2 a ,则 x 的值为( A. 2 B.4 C. ?2 ) D. ? 4

2. 已知向量 a ? (2,3) , b ? (?1, 2) ,若 ma ? nb 与 a ? 2b 共线,则 A. ? 2 ;

B. 2 C. ?

1 2

m 等于( n 1 D. 2




3. 若 A、B、C、D 是平面内任意四点,则下列四式中正确的是( ① AC ? BD ? BC ? AD ③ AB ? AC ? DB ? DC A.1 B.2 ② AC ? BD ? DC ? AB ④ AB ? BC ? AD ? DC

C.3 D.4 → → → 4. 在四边形 ABCD 中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,其中 a,b 不共线,则 四边形 ABCD 为( A.梯形 C.菱形 ) B.平行四边形 D.矩形

5. 某人先位移向量 a:“向东走 3 km”,接着再位移向量 b:“向北走 3 km”,

则 a+b 表示(

). B.向东北走 3 2 km D.向东北走 3 3 km


A.向东南走 3 2 km C.向东南走 3 3 km

6. 在边长为 6 的正 ?ABC 中,点 M 满足 BM ? 2MA, 则 CM ? CB 等于(

A.6

B.12

C .18

D.24
??? ?

7. 如图,正方形 ABCD 中,点 E 是 DC 的中点,点 F 是 BC 的一个三等分点.那么 EF =

? 1 ???? 1 ??? AB - AD 2 3 ??? ? ? 1 1 ??? (C) AB + DA 3 2
(A)

? 1 ???? 1 ??? AB + AD 4 2 ??? ? 1 2 ???? (D) AB - AD 2 3
(B)

D

E

C F

? ? ? ? ? ? ? ? ? 8. 已知 | a | ? 1 ,| b | ? 2 ,a 与 b 的夹角为 120? ,a ? b ? c ? 0 ,则 a 与 ? c 的夹角为 A. 150? B. 90 ? C. 60 ? D. 30 ?

A

B

9.

??? ? ???? ??? ? ???? ?ABC 的外接圆的圆心为 O ,半径为 1,若 AB ? AC ? 2 AO, 且 OA ? AC , 则向
??? ?

量 BA 在向量 BC 方向上的投影为( (A).

??? ?



3 2

(B).

3 2

(C). 3

(D).

-

3 2

10. 下列命题:①若向量 a 与向量 b 共线,向量 b 与向量 c 共线,则向量 a 与向量 c 共线; ②若向量 a 与向量 b 共线,则存在唯一实数 ? ,使 b ? ? a ;③若 A, B, C 三点不共线,O 是 平面 ABC 外一点,且 OM ?

1 1 1 OA ? OB ? OC ,则点 M 一定在平面 ABC 上,且在 3 3 3
) D. ?

?ABC 的内部。上述命题中的真命题个数为 ( A. ? B. ? C. ?
二.填空题(每小题 5 分,共 25 分)

11. 设∠POQ=60° 在 OP、OQ 上分别有动点 A,B,若 OA · OB =6, △OAB 的重心是 G, 则| OG | 的最小值是 12. 若非零向量 a, b 满足 a ? b ? a ? b ,则 a 与 a ? b 的夹角为

? ?

?

?

? ?

?

? ?



13. 力 F 的大小为 50 N, 与水平方向的夹角为 30° (斜向上), 使物体沿水平方向运动了 20 m, 则力 F 所做的功为________. 14.在△ABC 中,H 为 BC 上异于 B,C 的任一点,M 为 AH 的中点,若AM=λAB





→ ,则 λ+μ=________. +μAC
15. 已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90° ,AD=2,BC=1,P 是腰

→ +3PB → |的最小值为________. DC 上的动点,则|PA
三.解答题(共 75 分) 16. (本大题满分 12 分) → → → → → 已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且CM=3CA,CN=2CB.求 M,N 的坐标和MN.

17. (本大题满分 12 分) 已知|a|=4,|b|=8,a 与 b 的夹角是 120°. (1)计算|a+b|,|4a-2b|; (2)当 k 为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)?

18. (本大题满分 12 分) → → → 已知平面内 A,B,C 三点在同一条直线上,OA=(-2,m),OB=(n,1),OC=(5,-1), → → 且OA⊥OB,求实数 m,n 的值.

19. (本大题满分 12 分) → → → 已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m). (1)若 A,B,C 三点共线,求实数 m 的值; (2)若∠ABC 为锐角,求实数 m 的取值范围.

20. (本大题满分 13 分) π 3π? 已知 A,B,C 的坐标分别为 A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),α∈? ?2, 2 ?. → → (1)若|AC|=|BC|,求角 α 的值; → → (2)若AC· BC=-1,求 sin αcos α 的值.

21. (本大题满分 14 分) → 1→ → 1→ → → 如图所示,在△ABO 中,OC= OA,OD= OB,AD 与 BC 相交于点 M.设OA=a,OB= 4 2 b. → (1)试用 a 和 b 表示向量OM; → → → → (2)在线段 AC 上取一点 E,在线段 BD 上取一点 F,使 EF 过点 M,设OE=λOA,OF=μOB, 1 1 3 1 1 3 当 EF 为 AD 时,λ=1,μ= ,此时 + =7;当 EF 为 CB 时,λ= ,μ=1,此时 + =7, 2 λ μ 4 λ μ 1 3 有人得出如下结论:不论 E、F 在线段 AC、BD 上如何变动, + =7 总成立.试问他的这 λ μ 个结论对吗?请说明理由.

参考答案
一、CCCAB 二、11. 14. 2 1 2 DDBAB 12. 30 ? 15. 5 13. 500 3 J

三、16.解 ∵A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4), → → ∴CA=(1,8),CB=(6,3). → → → → ∴CM=3CA=3(1,8)=(3,24),CN=2CB=2(6,3)=(12,6). → 设 M(x,y),则CM=(x+3,y+4).
? ? ?x+3=3, ?x=0, ∴? 得? ∴M(0,20). ?y+4=24, ?y=20. ? ?

→ 同理可得 N(9,2),∴MN=(9-0,2-20)=(9,-18). 1 17.解:由题意可知,a· b=4×8×(- )=-16. 2 (1)|a+b|2=a2+2a· b+ b2 =16+2×(-16)+64=48, ∴|a+b|=4 3. |4a-2b|2=16a2-16a· b+4b2 =16×16-16×(-16)+4×64=3×162, ∴|4a-2b|=16 3. (2)若(a+2b)⊥(ka-b),则(a+2b)· (ka-b)=0, 2 2 ∴ka +(2k-1)a· b-2b =0, 即 16k-16(2k-1)-2×64=0, ∴k=-7. 18.解 由于 A,B,C 三点在同一条直线上, → → → → → 则AC∥AB,AC=OC-OA=(7,-1-m), → → → AB=OB-OA=(n+2,1-m), ∴7(1-m)-(-1-m)(n+2)=0, 即 mn+n-5m+9=0,① → → 又∵OA⊥OB, ∴-2n+m=0.②

? ? ? ?m=6, ? 联立①②,解得 或? 3 ?n=3 ? ?n= . ?
2

m=3,

→ → → 19.解 (1)已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-(3+m)).

→ → ∴AB=(3,1),AC=(2-m,1-m), → → ∵A、B、C 三点共线,∴AB与AC共线, 1 ∴3(1-m)=2-m,∴m= . 2 → → (2)由题设知BA=(-3,-1),BC=(-1-m,-m) ∵∠ABC 为锐角, 3 → → ∴BA· BC=3+3m+m>0?m>- 4 1 又由(1)可知,当 m= 时,∠ABC=0° 2 3 1 1 - , ?∪? ,+∞?. 故 m∈? ? 4 2? ?2 ? → → 20.解 (1)∵AC=(cos α-3,sin α),BC=(cos α,sin α-3), → ∴AC2=(cos a-3)2+sin2α=10-6cos α, → BC2=cos2α+(sin α-3)2=10-6sin α, → → → → 由|AC|=|BC|,可得AC2=BC2,即 10-6cos α=10-6sin α,得 sin α=cos α. π 3π? 5π 又∵α∈? ?2, 2 ?,∴α= 4 . → → (2)由AC· BC=-1, 得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1, 2 ∴sin α+cos α= .① 3 4 由①式两边分别平方,得 1+2sin αcos α= , 9

5 5 ∴2sin αcos α=- .∴sin αcos α= - . 9 18
→ 21.解(1)设OM=ma+nb, → → → 则AM=OM-OA=ma+nb-a=(m-1)a+nb, 1 → → → 1→ → AD=OD-OA= OB-OA=-a+ b. 2 2 → → ∵A、M、D 三点共线,∴AM与AD共线. → → 故存在实数 t,使得AM=tAD, 1 即(m-1)a+nb=t(-a+ b), 2

m-1=-t ? ? ∴? ,消去 t 得 m-1=-2n, t ? ?n=2 即 m+2n=1① 1 1 → → → ∵CM=OM-OC=ma+nb- a=(m- )a+nb, 4 4 1 → → → CB=OB-OC=b- a, 4 → → 又 C、M、B 三点共线,∴CM与CB共线. 同理可得 4m+n=1.② 1 3 → 1 3 由①②解得 m= ,n= .∴OM= a+ b. 7 7 7 7 1 3 (2) + =7 这个结论是对的. λ μ → → ∵E、F、M 三点共线,由直线的向量参数方程式可知存在实数 k,使得OM=kOE+(1 → -k)OF, 1 3 即 a+ b=λka+μ(1-k)b, 7 7 → → 又∵OA、OB不共线,即 a、b 不共线,

?7=λk ∴? 3 ?7=μ?1-k?

1

1 3 ,消去 k 整理得 + =7. λ μ


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