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7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题练习题


§7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
一、选择题 1.不等式 x-2y>0 表示的平面区域是( ).

解析 将点(1,0)代入 x-2y 得 1-2×0=1>0. 答案 D

?x+2y-5>0, 2.设实数 x,y 满足不等式组?2x+y-7>0, ?x≥0,y≥0.
的最小值是( A.14

解析 ). B.16 C.17

若 x,y 为整数,则 3x+4y

D.19

线性区域边界上的整点为(3,1),因此最符合条件的整点可能为(4,1)或

(3,2),对于点(4,1),3x+4y=3×4+4×1=16;对于点(3,2),3x+4y=3×3 +4×2=17,因此 3x+4y 的最小值为 16. 答案 B
? x ? y ? 10, ? 3. 设变量 x,y 满足 ?0 ? x ? y ? 20, 则 2x+3y 的最大值为( ? 0 ? y ? 15, ?

)

A. 20

B.35

C. 45

D. 55

解析 画出可行域,根据图形可知当 x=5,y=15 时 2x+3y 最大,最大值为 55,故 选 D. 答案 D 4.某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为 30 元、20 元,生产甲产品 每件需用 A 原料 2 kg、B 原料 4 kg,生产乙产品每件需用 A 原料 3 kg、B 原料 2 kg.A 原料每日供应量限额为 60 kg,B 原料每日供应量限额为 80 kg.要求每天生 产的乙种产品不能比甲种产品多超过 10 件,则合理安排生产可使每日获得的利 润最大为( ) A.500 元 B.700 元 C.400 元 D.650 元 解析 设每天生产甲乙两种产品分别为 x,y 件,则 x,y 满足

?4x+2y≤80, ?y-x≤10, ?x≥0, ?y≥0, ?x,y∈N .
2x+3y≤60,
*

利润 z=30x+20y.

不等式组所表示的平面区域如图,根据目标函数的几何意义,在直线 2x+3y= 60 和直线 4x+2y=80 的交点 B 处取得最大值,解方程组得 B(15,10),代入目标 函数得 zmax=30×15+20×10=650. 答案 D

?4x-y-10≤0, 5.设实数 x,y 满足条件?x-2y+8≥0, ?x≥0,y≥0,
b>0)的最大值为 12,则 + 的最小值为( a b
25 A. 6 B. 8 3 C. 11 3 2 3

若目标函数 z=ax+by(a>0,

). D.4

解析 由可行域可得,当 x=4,y=6 时,目标函数 z=ax+by 取得最大值,∴

a b 2 3 ?2 3? ?a b? 13 b a 13 25 4a+6b=12,即 + =1.∴ + =? + ?·? + ?= + + ≥ +2= . 3 2 a b ?a b? ?3 2? 6 a b 6 6
答案 A

?x+y≤1, 6.已知不等式组?x-y≥-1, ?y≥0
1? ? A.?0, ? 3? ?

表示的平面区域为 M,若直线 y=kx-3k 与

平面区域 M 有公共点,则 k 的取值范围是(

). 1? ? B.?-∞, ? 3? ?

? 1 ? C.?- ,0? ? 3 ? 解析

1? ? D.?-∞,- ? 3? ?

如图所示,画出可行域,直线 y=kx-3k 过定点(3,0),由数形结合,知

该直线的斜率的最大值为 k=0,最小值为 k= 答案 C

0-1 1 =- . 3-0 3

7. 设双曲线 4x2-y2=1 的两条渐近线与直线 x= 2围成的三角形区域(包含边界) 1 为 D,P(x,y)为 D 内的一个动点,则目标函数 z= x-y 的最小值为( 2 A.-2 C.0 B.- D.- 3 2 2 5 2 2 )

解析 曲线 4x2-y2=1 的两条渐近线方程为 2x-y=0,2x+y =0, 与直线 x= 2围成的三角形区域如图中的阴影部分所示, 1 所以目标函数 z= x-y 在点 P( 2,2 2)处取得最小值为 z 2 1 3 = 2-2 2=- 2. 2 2 答案 二、填空题 8.若点 P(m,3)到直线 4x-3y+1=0 的距离为 4,且点 P 在不等式 2x+y<3 表 示的平面区域内,则 m=________.

解析

?|4m-9+1|=4, 5 由题意可得? ?2m+3<3,

解得 m=-3.

答案 -3

?x+y-1≥0, 9.在平面直角坐标系中,若不等式组?x-1≤0, ?ax-y+1≥0
平面区域内的面积等于 2,则 a 的值为________.

(a 为常数)所表示的

?x+y-1≥0, 解析 等式组? ?x-1≤0

表示的区域为图中阴影部分.

又因为 ax-y+1=0 恒过定点(0,1), 当 a=0 时,不等式组

?x+y-1≥0, ?x-1≤0, ?ax-y+1≥0.

1 所表示的平面区域的面积为 ,不合题意;当 2 1 2

a<0 时,所围成的区域面积小于 ,所以 a>0,此时所围成的区域为三角形,其面
1 积为 S= ×1×(a+1)=2,解之得 a=3. 2 答案 3 10.铁矿石 A 和 B 的含铁率 a,冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的排放量 b 及每万吨铁 矿石的价格 c 如下表:

a A B
50% 70%

b/万吨 c/百万元
1 0.5 3 6

某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁,若要求 CO2 的排放量不超过 2(万吨),则购 买铁矿石的最少费用为________百万元. 解析 可设需购买 A 矿石 x 万吨,B 矿石 y 万吨,则根据题意得到约束条件为:

?y≥0, ?0.5x+0.7y≥1.9, ?x+0.5y≤2,
x≥0,

目标函数为 z=3x+6y,作图可知当目标函数经过

(1,2)点时目标函数取得最小值,最小值为 zmin=3×1+6×2=15(百万元).

答案 15

?3≤2x+y≤9, 11.若变量 x , y 满足约束条件 ? ?6≤x-y≤9, ________. ?3≤2x+y≤9, 解析 根据? ?6≤x-y≤9 得可行域如图所示;

则 z = x +2y 的最小值为

根据 z=x+2y 得 y=- + ,平移直线 y=- ,在 M 点 z 取得最小值.根据 2 2 2 ?x-y=9 ? ?2x+y=3 ?x=4 得? ?y=-5,

x z

x

此时 z=4+2×(-5)=-6. 答案 -6

?x+y≥1, 12.若 x,y 满足约束条件?x-y≥-1 ?2x-y≤2,

,目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)

处取得最小值,则 a 的取值范围是________.

解析 画出可行域

a 1 ,目标函数可化为 y=- x+ z,根据图 2 2

a 象判断,当目标函数的斜率-1<- <2 时,目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处 2 取得最小值,这时 a 的取值范围是(-4,2). 答案 (-4,2) 三、解答题

13.设集合 A={(x,y)|x,y,1-x-y 是三角形的三边长}. (1)求出 x,y 所满足的不等式; (2)画出点(x,y)所在的平面区域. 解析

?x+y>1-x-y>0, (1)已知条件即?x+1-x-y>y>0, ?y+1-x-y>x>0,
1

?-x+2<y<-x+1, ? 1 化简即?0<y< , 2 ?0<x<1. ? 2
(2)区域如下图.

14.画出 2x-3<y≤3 表示的区域,并求出所有正整数解.

?y>2x-3, 解析 先将所给不等式转化为? ?y≤3. 而求正整数解则意味着 x,y 还有限制条件,

?y>2x-3, 即求?y≤3, ?x>0,y>0

?y>2x-3, 的整数解.所给不等式等价于? ?y≤3.

依照二元一次不等式表示平面区域可得如图(1).

?y>2x-3, 对于 2x-3<y≤3 的正整数解,再画出?y≤3, ?x>0,y>0
如图(2)所示:

表示的平面区域.

可知,在该区域内有整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)共五组.

?x≥0, 15.若 a≥0,b≥0,且当?y≥0, ?x+y≤1 ?x≥0, 作出线性约束条件?y≥0, ?x+y≤1

时,恒有 ax+by≤1,求以 a,b 为坐标

的点 P(a,b)所形成的平面区域的面积.

解析

对应的可行域如图所示,在此条件下,

要使 ax+by≤1 恒成立,只要 ax+by 的最大值不超过 1 即可. 令 z=ax+by,则 y=- x+ . 因为 a≥0,b≥0,则-1<- ≤0 时,b≤1,或- ≤-1 时,a≤1. 此时对应的可行域如图,

a b

z b

a b

a b

所以以 a,b 为坐标的点 P(a,b)所形成的面积为 1. 16.某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位 的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童

S 这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物,42 个单位的蛋白质和 54
个单位的维生素 C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那 么要满足上述的营养要求, 并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的

午餐和晚餐? 解析 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位, 所花的费

?12x+8y≥64, 用为 z 元,则依题意得:z=2.5x+4y,且 x,y 满足? 6x+6y≥42, ?6x+10y≥54,
x≥0,y≥0,

?3x+2y≥16, 即? x+y≥7, ?3x+5y≥27.
x≥0,y≥0,

让目标函数表示的直线 2.5x+4y=z 在可行域上平移,

由此可知 z=2.5x+4y 在(4,3)处取得最小值. 因此,应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐,就可满足要求.


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