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一类常微分方程的初等解法浅析


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学 科 教 育

一类常微分方程的初等解法浅析
邓小青
(湖南商学院, 湖南 长沙 410205 )
摘 要:《常微分方程》作为高等院校信科专业的一门学科基础课受到师生普遍重视,本文 以一类常微分方程的初等解法为例,

引导学生对书上的疑难点深入研究,以培养学生的探究能力。 关键词:常微分方程;初等解法;教学

《常微分方程》 作为高等院校信科专 业的一门学科基础课,受到师生的普遍 重视, 如何学好这门课, 除了学生自身的 努力外, 还与教师的教学方法有关。 教师在教学过程中, 不仅要重视一题 多解, 培养学生的发散思维能力, 还要注 意归纳总结, 使知识系统化, 以培养学生 的综合能力, 此外还要抓住难点、 疑点引 导学生作深入研究, 以培养学生的探索研 究能力。 比如讲到可化为变量分离方程的 类型, 须归纳总结一下, 大概有以下几种 类型: 类型 1 齐次方程 dy =g y ) ( , dx x 其中 g u 是 u 的连续函数。该类型 () 的方程只须利用变量变换 u= y 即可。 x 类型 2 形如 dy =f ax+by+c ( ) dx 的方程,只需利用变量变换 u=ax+ by+c 即可 类型 3 形如 dy = a1x+b1y+c1 dx a2x+b2y+c2 的方程也可经变量变换化为变量分 离方程。该类型的方程可分三种情形讨 论其变量变换,可转为情形 1 或情形 2, 并将其推广到更一般的方程类型 dy =f a1x+b1y+c1 ) ( 。 dx a2x+b2y+c2 类型 4 其他类型, 诸如 yf xy dx+ ( ) xg xy dy=0,2 dy =f xy , ( ) x ( ) dx =0,

dy =xf y ) ( 2 , dx x M y (xdx+ydy +N y (xdy-ydx (x, ) ) (x, ) ) ① 其中 M, 为 x, 的齐次函数,次数 N y 可以不相同。 教材上只是说这几种类型的方程可 化为变量分离方程, 但没说具体的解法。 实际上, 可引导学生, 前两个利用变量变 换 u=xy,后一个利用变量变换 u= y2 , 均 x 可化为变量分离方程。但是最后一个方 程即方程 ) (1 的变量变换是不明显的, 是 同学们难以想到的。所以在这里对该问 题的解法提出自己的一点见解。

其中 f u , ) u 的连续函数。 () g (u 是 因 此③为 u2+1 x du =。 dx () u+xn-m f u g ) (u 然后对④况讨论。 情形 1: m=n 时, 当 方程④显然是变 量分离方程, 易求得其通解为 u+f ) (u 1n | x | +∫ (u /g )du=c, u2+1 这里 c 为任意常数。 情形 2: m≠n 时, n-m=l, 当 令 显然, l≠0 由方程④得 f u dx =- u x( ) xl+1 ⑥ )(u du u2+1 (u2+1 g ) 当 l=-1 时,可利用常数变易法得到 其通解为 x= () 1 姨 2 [- ∫ u +1 f u du+c], 2 (u2+1 g ) )(u 姨u +1 ⑦ 这里 c 为任意常数。然后回代变量 y=ux 便可得到方程①的通解。 当 l≠- 1 时, v=x -l, l+1≠-0, 令 因 1 故方程⑥是伯努利方程, 可改为 dv = lu v+ lf u () , dx u2+1 (u2+1 g ) )(u 利用常数变易法求得其通解为 ③
2 ( ) du+c], v=x = +1 [∫ u2(u +1 (u ) lf ) (u +1 g ) )(u -l 2 l 2 -l 2





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一、 方程①的初等解法探讨
方程①可改写为 [M (x, x -N y ) (x, y]dx +[M y ) (x, y +N y ) (x, x]dy=0, y ) 即 dy =- Mx-Ny , dx My+Nx 其中 M=M y , (x, 。 (x, N=N y ) ) 令 u= y , 方程②可化为 x x du =- u +1 dx u+ N M
2



注意到 M, 为 x, 的齐次函数且次 N y 数不一定相同,不妨假设 M, 的次数分 N 别为 m, n,即有 M (tx,) mM ty =t (x, , y N ) (tx,) nN y (t>0 。容易证得 ty =t (x, ) ) N = N ux =xn-m f u , (x, ) () M M ux (x, ) g ) (u y=ux, 便可得到方程①的通解。

⑧ 这里 c 为任意常数。然后回代变量

二、 举例说明
例1 M (x, =x2,(x, =x2 +xy y ) N y ) (此

基金项目 : 湖南省教育科学 “十一五” 规划 2008 年度立项资助课题 [课题批准号: XJK08CGD066] 。 作者简介 : 邓小青 (1974-) 女, , 湖南武冈人, 湖南商学院讲师。

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浅析大学英语教学中幽默语言艺术的作用
张 爽
(吉林大学珠海学院大学外语中心, 广东 珠海 519041 )
摘 要:幽默是一种语言艺术,具有幽默感并在教学中运用幽默来提升教学效果是英语 教师应该必备的素养,同时也是教师用

才智创造的个性化教学艺术。 本文从语言艺术 的角度对幽默在英语教学中发挥的作用及运用的原则进行了阐述和探究 ,以促使学 生领略到英语作为一门语言的无穷魅力,提高学生英语学习的积极性和主动性。 关键词:幽默;语言艺术;英语教学

“ 美国心理学家特鲁赫伯说过, 幽默 是一种最有趣, 最富有感染力, 最有普通 意义的传递艺术。” 英语教师, 作为语言 的传播者和传授者,其职责之一就是运 用幽默的语言艺术向学生展现英语语言 的机智风趣及其中所蕴涵的文化,使学 生领略到英语作为一门语 言的无穷魅 力,从而提高学生英语学习的积极性和 主动性。什么是幽默语言艺术, 在英语教 学中如何运用幽默语言艺术及运用的原 则是本文讨论的中心问题。

用双关、 讽刺、 夸张、 迂回说法、 矛盾修 辞、 首音互换、 提喻等各种语言技巧构建 的幽默。 (Attardo, ) 1994 幽默语言艺术是 一种以语言为建构材料,以智慧和理性 为内核, 以美的形式为外观表现, 以契机 为催化剂的艺术表达形式。教学语言幽 默艺术是指将语言幽默运用于教学, 并 以其独特的艺术美丽,在学生会心的微 笑中提高教学艺术效果和水平的活动。 (李如密, 教学艺术论 )

名英语教授陆谷孙说过, 老师不是喜剧 “ 演员, 但有一点幽默感, 对教学显然是有 益的。” 笔者从多年的英语学习和教学经 历中得出, 具有幽默感并运用幽默的语言 教学是大学英语教师所要具备的教学艺 术之一。 1.教学中运用幽默的语言艺术可以 缓解学生在英语课堂上的焦虑感, 减轻情 感过滤, 提高学习效率 语言焦虑是语言学习者在外语学习 中产生的特有的一种复杂心理现象, 是指 学习者因需要使用外语进行表达时产生 的恐惧或不安心理。根据克拉申的情感 过 滤 假 说 (affective filterhypothesis), 习 学 者在语言学习过程中不会将全部精力投 入到其所 “浸泡” 的语言信息中并将其完 全吸收, 其原因就在于情感过滤。如果学 习者缺乏强烈的学习动机、 自信心、 自尊 心, 却表现出很强的焦虑感, 那他的情感 过滤就会相对突出,导致相当数量的信 息被过滤掉, 语言输入受阻, 其真正理解 吸收的信息就更加有限。而幽默的语言 营造了轻松愉快的学习气氛, 创造了良好 的课堂语言环境, 在一定程度上减轻了学 生的心理压力, 有利于减少学生的 “情感

一、 什么是幽默语言艺术
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“幽默”一词来自英语 humour 的音 词典上的解释是 the quality of being 译。 amusing。 英语 humor 刚传入我国时, 曾有 人用汉语意思与之相近的 “滑稽” 诙谐” “ 等词翻译它, 然而林语堂先生认为 humor 之特殊内涵不是这两个汉语词汇所能够 涵盖的, 因此林语堂先生于 1924 年首次 撰 文 提 倡 使 用 humor 一 词 的 音 译 形 式 “幽默”并为国人所接受。按照 , 《现代汉 语词典》 的解释, 幽默” “ 的意思是 “有趣 或可笑而意味深长” 。 “言语幽默 (verbal humor ” ) 是通过运

二、 幽默的语言艺术在大学 英语教学中的作用
很多人认为运用幽默的语言来提升 学习者的学习兴趣是英语学习初级阶段 的方法,在严肃的大学英语课堂是不必 要的。但是根据美国一位博士所征集的 九万多封学生 (其中包括成人学生) 的 信, 归纳出教师应该具备的素质, 其中的 一项就是教师语言要有幽默感,这就表 明学生无论年纪和学习阶段都喜欢具有 幽默感的教师。 唐树芝先生说: “教师善不 善于运用幽默, 具不具有幽默感, 能不能 充分发挥幽默的力量,这是衡量教师教 学机智和教学口才的重要标志。” 我国著

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时令 u= y , 则有 f u =1+u, u =1 () g ) ( x 于是由⑤可知方程①的通解为
2 1n | y +x | +arctan y =c, x x

+c, 这里 c 为任意常数。 例3 M (x, =x,(x, =1, y ) N y ) 此时令 u= y , 则有 f u =1, ) 于是由⑧知 () g (u =1, x 方程①的通解为 c姨y2+x2 -y=1, 这里为任意常数。

通过对方程①的初等解法的探讨, 可使学生熟练掌握变量分离方程的 解 法、 常数变易法及伯努利方程的解法, 理 解齐次函数的涵义,并熟练掌握变量变 换的技巧和可化为变量分离方程的方程 类型, 且培养了学生的探索研究能力。
参考文献:

这里 c 为任意常数。 例2 M y =xy,(x, =x 此时令 (x, ) N y ) u= y , 则有 f u =1, ) 于是由⑦可 () g (u =u, x 知方程①的通解为 sgnx 姨x2+y2 +1n |y|=1n 姨x2+y2 + |x|) (

三、 结论

[1] 王 高 雄 , 等 . 常 微 分 方 程 (第 二 版 ).
北京:高等教育出版社,1983.


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